Ficha 1 — Interés Compuesto, Tasas, Crecimiento y Comparación de Alternativas

Conceptos clave

  • El interés compuesto sigue la ecuación: \[ FV = PV(1+i)^n \]
  • La tasa nominal debe ajustarse por la frecuencia de capitalización: \[ i_e = \left(1 + \frac{i_n}{m}\right)^m - 1 \]
  • Para crecimiento poblacional o financiero: \[ P(t)=P_0(1+r)^t \]
  • Antes de comparar tasas, conviértelas a TEA.

Ejemplos tomados de los ejercicios

Ejemplo 1 — Tasa que duplica una inversión (ejercicio 36):
Calcular \(i\) tal que:
\[ (1+i)^{10} = 2 \]

Ejemplo 2 — Comparar tasas (ejercicios 34, 35):
¿Es mejor 6% nominal semestral o 6.1% anual?

Ejemplo 3 — Crecimiento poblacional (ejercicio 37):
\[ 4(1.02)^t = 10 \]

Ejemplo 4 — Hallar R y capital inicial con datos de FV en dos años consecutivos (ejercicios 3 y 10): \[ P(1+r)^2 = A_2,\qquad P(1+r)^3 = A_3 \]

Ejercicios que pertenecen a esta ficha

  • 3, 10, 33, 34, 35, 36, 37

Variantes de examen frecuentes

  • Calcular la TEA equivalente a una tasa nominal dada.
  • Comparar dos alternativas de inversión con distintos periodos.
  • Calcular la tasa necesaria para duplicar/triplicar un capital.
  • Determinar la tasa y el capital inicial a partir de dos futuros consecutivos.
  • Problemas de crecimiento poblacional o económico.

Cómo resolver

  1. Identifica la frecuencia de capitalización.
  2. Convierte todas las tasas a tasa efectiva anual (TEA).
  3. Si tienes dos futuros consecutivos, divide para aislar \(1+r\).
  4. Usa logaritmos si necesitas despejar exponentes.
  5. Compara tasas o calcula \(i\), \(n\) o \(FV\) según el caso.

Ficha 2 — Demanda, Ingreso, Ingreso Marginal y Equilibrio

Conceptos clave

  • Una demanda lineal se modela con: \[ q(p) = mp + b \]
  • El ingreso total: \[ I(p)=p\, q(p) \]
  • El ingreso marginal: \[ MR(p)=\frac{dI}{dp} \]
  • Para maximizar ingreso se usa el vértice: \[ p^* = -\frac{b}{2a} \]

Ejemplos tomados de los ejercicios

Ejemplo 1 — Demanda con dos puntos (ejercicio 40):
- $2 → 3000 martillos
- $2.75 → 2000 martillos

Ejemplo 2 — Precio óptimo que maximiza ingreso (ejercicio 6):
Ingreso por suscripciones: \[ I(p) = p(17500 - 25p) \]

Ejemplo 3 — Función de ingreso marginal (ejercicio 11):
\[ I(p)=p(-20p +180) \]

Ejemplo 4 — Equilibrio oferta-demanda (ejercicio 30): \[ D: 5p + 8x = 80 \] \[ S: 3x = 2p -1 \]

Ejercicios que pertenecen a esta ficha

  • 2, 4, 6, 8, 9, 11, 16, 18, 30, 31, 40

Variantes de examen frecuentes

  • Hallar demanda lineal a partir de dos puntos.
  • Determinar el precio que maximiza ingreso.
  • Determinar precio óptimo para que \(MR = 0\).
  • Relación lineal entre precio y ocupación (hoteles, apartamentos, renta).
  • Equilibrio entre oferta y demanda.
  • Ingreso óptimo sujeto a cantidad vendida.

Cómo resolver

  1. Construye la demanda con dos puntos.
  2. Escribe la función de ingreso \(I(p)=p q(p)\).
  3. Deriva para obtener \(MR(p)\).
  4. Igualar a cero para obtener el precio óptimo.
  5. Validar que la cantidad demandada sea positiva.

Ficha 3 — Optimización (Máximos y Mínimos)

Conceptos clave

Los problemas típicos requieren optimizar:

  • Ingresos
  • Utilidades
  • Áreas mínimas (folletos, terrenos)
  • Costos

Los pasos universales:

  1. Plantear función objetivo.
  2. Derivar.
  3. Igualar a cero.
  4. Verificar máximo o mínimo.

Ejemplos tomados de los ejercicios

Ejemplo 1 — Utilidad máxima (ejercicio 2):
\[ U(x)=60x - 0.01x^2 - (2000 + 25x) \]

Ejemplo 2 — Ingreso máximo (ejercicio 8):
\[ p(x)=\frac{5-0.01x}{2} \]

Ejemplo 3 — Minimizar área de folleto (ejercicio 12):
\[ (w-2)(h-6)=48 \]

Ejemplo 4 — Área mínima de terreno (ejercicio 14):
\[ xy=6400 \]

Ejemplo 5 — Ingreso máximo con demanda exponencial (ejercicios 13 y 22):
\[ R(x)=10x e^{-x/6} \]

Ejercicios que pertenecen a esta ficha

  • 2, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 22

Variantes de examen frecuentes

  • Maximizar utilidad dada por ingresos menos costos.
  • Minimizar área bajo restricciones geométricas.
  • Maximizar ingreso con demanda exponencial o lineal.
  • Encontrar el número óptimo de unidades a producir.

Cómo resolver

  1. Convertir todas las relaciones a una sola variable.
  2. Montar la función objetivo \(U(x)\), \(I(x)\), \(A(x)\).
  3. Derivar y resolver \(f'(x)=0\).
  4. Confirmar máximo/mínimo usando segunda derivada.
  5. Evaluar el valor óptimo.

Ficha 4 — Mezclas (Ácidos, Fertilizantes, Café, Soluciones)

Conceptos clave

Los problemas de mezcla se basan en dos ecuaciones fundamentales:

Total: \[ x + y = T \]

Componente: \[ p_A x + p_B y = p_T T \]

Para mezclas de tres componentes se usa un sistema 3×3.

Ejemplos tomados de los ejercicios

Ejemplo 1 — Café de dos tipos (ejercicio 20):
\[ 2x + 1.5(50-x) = 1.6\cdot 50 \]

Ejemplo 2 — Soluciones ácidas (ejercicio 26):
\[ 0.25x + 0.15y = 0.18 \cdot 200 \]

Ejemplo 3 — Fertilizantes con 3 ingredientes (ejercicio 5):
Sistema 3×3 con potasio, nitrato y fosfato.

Ejemplo 4 — Inversión con condiciones (ejercicios 1 y 32):
Tres inversiones con restricciones: \[ x+y+z = T,\quad 0.06x = 0.05y,\quad \text{etc.} \]

Ejercicios que pertenecen a esta ficha

  • 1, 5, 20, 26, 32

Variantes de examen frecuentes

  • Mezclas de soluciones con porcentajes distintos.
  • Determinar proporciones para obtener concentración requerida.
  • Mezclas de café, químicos, cereales, combustibles.
  • Sistemas 3×3 con restricciones múltiples.

Cómo resolver

  1. Convierte los porcentajes a decimales.
  2. Plantea ecuación de total.
  3. Plantea ecuación del componente.
  4. Si son 3 componentes, formular sistema 3×3.
  5. Resolver por sustitución o matrices.

Ficha 5 — Sistemas Lineales y Modelos Lineales (Costos, Inventarios, Empleados, Inversiones)

Conceptos clave

Un sistema lineal típico tiene la forma:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

O puede generalizarse a 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Se usan para:

  • Costos lineales
  • Inventarios
  • Empleados y distribución
  • Equilibrio oferta–demanda
  • Depreciación
  • Problemas lineales con dos o más variables

Ejemplos tomados de los ejercicios

Ejemplo 1 — Distribución de empleados (ejercicio 15):
\[ a+b=53,\qquad \frac{a}{3}+\frac{3b}{7}=21 \]

Ejemplo 2 — Inventario (ejercicio 29):
Inventario inicial 650, disminuye 25 por día → recta.

Ejemplo 3 — Depreciación exponencial (ejercicio 19):
\[ V(t)=10000e^{-0.2t} \]

Ejemplo 4 — Oferta y demanda (ejercicio 30):
Resolver dos ecuaciones simultáneas.

Ejemplo 5 — Costos lineales (ejercicio 25):
Recta entre (100, 500) y (150, 600).

Ejercicios que pertenecen a esta ficha

  • 15, 18, 19, 23, 25, 27, 28, 29

(Nota: algunos problemas de esta categoría también tienen optimización o demanda, pero aquí se clasifican por su estructura lineal).

Variantes de examen frecuentes

  • Sistemas 2×2 y 3×3 con interpretación económica.
  • Modelos de costo lineal.
  • Modelos de inventario lineal.
  • Sistemas con condiciones sobre porcentajes o proporciones.
  • Soluciones lineales con condiciones auxiliares.

Cómo resolver

  1. Identifica las variables.
  2. Plantea el sistema según las frases “total”, “parte”, “proporción”.
  3. Resuelve con el método más simple (sustitución o reducción).
  4. Verifica interpretación económica: no debe haber valores negativos.