中級統計学：復習テスト19

作者

村澤 康友

公開

2025年12月3日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．

  1. 以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．

  1. 不偏推定量

  2. 最小分散不偏推定量

  3. 一致推定量

  4. 漸近分布

  5. 漸近分散

  6. 漸近正規推定量

  7. 漸近有効推定量

  1. 期待値が母数と等しい推定量

  2. 不偏推定量の中で分散が最小の推定量

  3. 母数に確率収束する推定量

  4. 大標本における推定量の近似的な分布

  5. 漸近分布の分散

  6. 漸近分布が正規分布である推定量

  7. 漸近正規推定量の中で漸近分散が最小となる推定量

  1. 平均 \mu，分散 \sigma^2 の母集団分布から抽出した大きさ n の無作為標本の標本平均を \bar{X}_n とする．

  1. \bar{X}_n が \mu の不偏推定量であることを示しなさい．

  2. \bar{X}_n が \mu の一致推定量であることを示しなさい（ヒント：大数の法則）．

  3. \bar{X}_n が \mu の漸近正規推定量であることを示しなさい（ヒント：中心極限定理）．

  4. \bar{X}_n の漸近分散を求めなさい．

  1. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{X}_n\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n)}{n} \\ & =\frac{\mu+\dots+\mu}{n} \\ & =\mu \end{align*}

  1. （チェビシェフの）大数の弱法則より

\plim_{n \to \infty}\bar{X}_n=\mu

  1. （リンドバーグ＝レヴィの）中心極限定理より

\bar{X}_n \stackrel{a}{\sim}\mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)

  1. 前問より漸近分散は \sigma^2/n．