Ejercicios sobre estructura temporal de tasas

Ejericicio 1

La figura muestra que la estructura temporal de tasas de interés puede ser decreciente, con tasas spot de corto plazo más altas que las tasas spot de largo plazo. ¿Qué tan pronunciada puede ser esta caída en las tasas spot?

Enunciado 1

Considere dos STRIPS:

• uno con 3 años al vencimiento, que rinde una tasa continuamente compuesta de \(r(0,3)=10\%\),

• y un segundo con 5 años al vencimiento, que rinde una tasa continuamente compuesta de \(r(0,5)=5\%\)

Analice si este escenario es posible y, en caso contrario, qué estrategia de arbitraje podría establecerse para aprovechar el error de valuación.

Solución 1

Se pregunta si este escenario es posible sin arbitraje y, si no lo es, qué estrategia permite explotar la inconsistencia.

Qué caracteriza un STRIP?

• Solo paga 1 flujo en una fecha específica.
• No paga cupones antes.
• Es literalmente un bono cupón cero. -Se negocia de forma independiente.
• Su precio se calcula como: \(P(0,T)=e^{−r(0,T)T}\)

(si usás capitalización continua). Con capitalización continua, el precio de un bono cupón cero que paga 1 en T es: \(P(0,T)=exp{−r(0,T)T}\).

1. Precios implícitos de los STRIPS Por lo tanto:

• Para T=3: \(P(0,3) \approx 0.7408\).

• Para T=5: \(P(0,5)\approx 0.7788\).

Comentario: El bono a 5 años resulta más caro que el bono a 3 años, aun teniendo un vencimiento más lejano. Esto ya sugiere una posible violación de no arbitraje.

2. Relación de no arbitraje entre tasas spot y forward

En mercados sin arbitraje, las tasas deben satisfacer:

\[ e^{-r(0,5)\cdot 5}=e^{-r(0,3)\cdot 3}\cdot e^{-f(3,5)\cdot 2} \]

donde \(f(3,5)\) es la tasa forward continua entre los años 3 y 5.

Tomando logaritmos y despejando: \(f(3,5) = \dfrac{r(0,5)⋅5−r(0,3)⋅3}{2}\)

3. Cálculo de la tasa forward \(f(3,5)=−2.5\%\)

4. ¿Es posible una forward negativa?

Una forward negativa significa que el mercado estaría “pagando” por prestar dinero entre los años 3 y 5 después de fijar las tasas hoy.

Esto solo sería posible si los bonos estuvieran mal valuados, porque conduce a una inversión que:

• garantiza recibir más en el futuro por pedir prestado hoy,

• y obtener un retorno positivo libre de riesgo.

Conclusión: el escenario presentado viola la condición de no arbitraje.

5. Estrategia de arbitraje

La tasa forward negativa implica que el bono a 5 años está demasiado caro en relación con el de 3 años.

La estrategia clásica es:

Paso A — Vender (ponerse corto) el bono caro

• Vender el STRIP a 5 años (sobrevalorado). Esto te da hoy: \(P(0,5)=0.7788\)

Paso B — Comprar el bono subvaluado

• Comprar el STRIP a 3 años. Costo hoy: \(P(0,3)=0.7408\).

Paso C — Invertir la diferencia al plazo 3–5 vía la tasa forward

• La diferencia inicial: \(0.7788−0.7408=0.038.\)

Se invierte (implícitamente) a la tasa forward negativa. Con tasa negativa, esta inversión genera un beneficio garantizado cuando se arma la estrategia completa: }

• en t=3: el bono de 3 años paga 1,

• se usa ese 1 para replicar la posición del bono a 5,

• el costo implícito de extender la inversión 3 a 5 a tasa negativa permite cerrar la operación con ganancia sin riesgo.

Refinal

Las tasas dadas obligan a que la forward \(f(3,5)=−2.5\%\).

Una forward negativa no es compatible con precios de bonos en un mercado sin arbitraje.

El bono a 5 años está sobrevalorado frente al de 3 años.

Arbitraje: vender el STRIP a 5 años (caro), comprar el STRIP a 3 años (barato), y usar la posición forward implícita para capturar una ganancia libre de riesgo.

Ejercicio 2

Usando la curva de rendimientos con capitalización semestral mostrada en la Tabla, calcule el precio de los siguientes instrumentos financieros:

1. Bono cupón cero a 5 años
2. Bono a 7 años que paga un cupón del 15% semestral
3. Bono a 3 1/4 años que paga un cupón del 9% semestral
4. Bono flotante a 4 años, con spread cero y pagos semestrales

Tabla 1– Curva de rendimientos al 15 de marzo del 2025 (Capitalización semestral)

Tasas calculadas con datos del CRSP (Daily Treasuries).

Solución 2

Sea \(y(T)\) el rendimiento spot (con capitalización semestral) para plazo \(T\) años según la Tabla 1, y sea \(P(0,T)\) el precio hoy de un bono cupón cero que paga 1 en \(T\). Con capitalización semestral:

\[ P(0,T) = \frac{1}{\left(1+\dfrac{y(T)}{2}\right)^{2T}}. \]

Tomamos valor nominal \(N = 100\).

(a) Bono cupón cero a 5 años

Un bono cupón cero a 5 años paga solo el nominal \(N\) en \(T = 5\).

De la tabla: \(y(5) = 6.45\% = 0.0645\).

\[ P_a = N P(0,5) = \frac{100}{\left(1+\dfrac{0.0645}{2}\right)^{10}} \approx 72.80. \]

(b) Bono a 7 años que paga 15% semestral

Cupón nominal: \(15\%\) anual. Frecuencia semestral, es decir, 2 pagos por año. Cada cupón es:

\[ C = \frac{0.15 \times 100}{2} = 7.5. \]

Habrá 14 pagos de cupón (de 0,5 a 7 años) y el principal se paga en \(T=7\).

El precio es la de cada flujo multiplicado por su factor de descuento:

\[ P_b = \sum_{k=1}^{13} \frac{7.5}{\left(1+\dfrac{y(0.5k)}{2}\right)^{2\cdot 0.5k}} + \frac{100 + 7.5}{\left(1+\dfrac{y(7)}{2}\right)^{14}}, \]

donde los \(y(0.5k)\) se toman de la tabla para \(T=0.5,1,1.5,\dots,6.5,7\).

Sustituyendo las tasas de la Tabla 1 y calculando numéricamente:

\[ P_b \approx 151.21. \]

(Es decir, el bono se transa muy por encima de la par, porque el cupón del 15% es mucho mayor que las tasas de la curva.)

(c) Bono a 3 1/4 años que paga 9% semestral

Aquí el vencimiento es \(T = 3.25\) años, con cupones semestrales.

• Cupón semestral “normal” (para un período de 0,5 años):

\[ C = \frac{0.09 \times 100}{2} = 4.5. \]

• Pagos en \(T = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0\): cada uno paga 4,5.
• El último período es de 0,25 años (de 3,0 a 3,25). El cupón se prorratea: \(0.09 \times 100 \times 0.25 = 2.25\).

En \(T=3.25\) se pagan entonces el principal y el cupón prorrateado: \(100 + 2.25\)

Usamos las tasas de la tabla:

• \(y(0.5), y(1), y(1.5), y(2), y(2.5), y(3)\) como antes.
• Para \(T=3.25\), de la tabla: \(y(3.25)=6.80\%\).

El precio es:

\[ P_c = \sum_{T \in {0.5,1,1.5,2,2.5,3}} \frac{4.5}{\left(1+\dfrac{y(T)}{2}\right)^{2T}} + \frac{100 + 2.25}{\left(1+\dfrac{y(3.25)}{2}\right)^{2\cdot 3.25}}. \]

Evaluando numéricamente con las tasas de la tabla:

\[ P_c \approx 106.33. \]

(El precio está algo por encima de la par, porque el cupón del 9% es mayor que las tasas spot de la curva para esos plazos.)

(d) Bono flotante a 4 años, spread cero, pagos semestrales

Un bono flotante con:

• tasa de referencia igual a la curva de rendimientos utilizada para descontar,
• y valorado en una fecha de fijación (recién se “reseteó” el cupón),

tiene, en ausencia de riesgo de crédito, un valor teórico igual a la par.

Intuición: en cada período el cupón se iguala a la tasa de mercado vigente, y se puede demostrar (mediante descomposición en bonos cupón cero o usando tasas forward) que:

\[ P_d \approx N = 100. \]

Por tanto, el precio del bono flotante de 4 años con spread cero y pagos semestrales es, en teoría, aproximadamente igual al valor nominal.

Ejercicio 3

Una institución financiera debe realizar los siguientes pagos futuros:

• $1,000 dentro de 2 años
• $2,000 dentro de 4 años

La tasa de interés de mercado actual es del 10% y se supone que la curva de rendimientos es plana en todo momento.

La institución desea inmunizar el riesgo de tasa de interés comprando bonos cero cupón que vencen a 1, 3 y 5 años. Un miembro del equipo de gestión de riesgos, Alan, propone la siguiente estrategia:

• Comprar un bono cero cupón a 1 año con valor nominal de $44.74

• Comprar un bono cero cupón a 3 años con valor nominal de $2,450.83

• Comprar un bono cero cupón a 5 años con valor nominal de $500.00

Ejericio consiste en

1. Calcular el valor presente de las obligaciones (la cartera de pasivos).
2. Mostrar que la cartera propuesta por Alan satisface las condiciones de la estrategia de inmunización por duración.
3. Definir el superávit \(S = V_A - V_L\) (valor de los activos menos valor de los pasivos) y calcular \(S\) cuando hay un cambio inmediato y único en la tasa de interés del 10% a:
   • 9%
   • 11%
   • 15%
   • 30%
   • 80%
4. Calcular la convexidad de la cartera de activos y de la cartera de pasivos para \(i = 10\%\).

Solución 3

(a) Valor presente de las obligaciones

La institución debe pagar:

• $1 000 dentro de 2 años
• $2 000 dentro de 4 años

Usando una tasa plana de \(i = 10\%\) con capitalización anual, el valor presente de los pasivos es:

\[ V_L = \frac{1,000}{(1.1)^2} + \frac{2,000}{(1.1)^4} = 2,192.47. \]

(b) Valor presente de la cartera de activos propuesta por Alan

Alan propone comprar:

• $44.74 en un bono cero cupón a 1 año
• $2 450.83 en un bono cero cupón a 3 años
• $500 en un bono cero cupón a 5 años

El valor presente de esta cartera es:

\[ V_A = 44.74(1.1)^{-1} + 2,450.83(1.1)^{-3} + 500(1.1)^{-5} = 2,192.47. \]

Observamos que:

\[ V_A = V_L, \]

es decir, la condición de igualación de valores presentes se cumple.

Duración de la cartera de activos y de pasivos

Usamos la duración de Macaulay:

Duración de los activos

\[ D_A = \frac{ 1 \times 44.74(1.1)^{-1} + 3 \times 2,450.83(1.1)^{-3} + 5 \times 500(1.1)^{-5} }{ 2,192.47 } = 3.2461 \text{años}. \]

Duración de los pasivos

\[ D_L = \frac{ 2 \times 1,000(1.1)^{-2} + 4 \times 2,000(1.1)^{-4} }{ 2,192.47 } = 3.2461 \text{años}. \]

Como:

\[ V_A = V_L, \qquad D_A = D_L, \]

se cumple la estrategia de inmunización por duración (estrategia de Redington).

(c) Cálculo del superávit ante cambios instantáneos en la tasa de interés

El superávit se define como:

\[ S = V_A - V_L. \]

Se evalúa el efecto de un cambio inmediato de la tasa del 10% a distintas tasas: 9%, 11%, 15%, 30% y 80%.

Detalle para \(i = 9\%\)

\[ V_A = 44.74(1.09)^{-1} + 2,450.83(1.09)^{-3} + 500(1.09)^{-5} = 2,258.50, \]

\[ V_L = \frac{1,000}{(1.09)^2} + \frac{2,000}{(1.09)^4} = 2,258.53, \]

\[ S = 2,258.50 - 2,258.53 = -0.03. \]

La misma operación se repite para todas las tasas. Los resultados están condensados en la siguiente tabla:

Tabla – Superávit bajo distintos cambios en la tasa de interés

La estrategia de duración es eficaz cerca del 10%, pero conforme la tasa se aleja del punto de inmunización, aparece un superávit negativo debido a la convexidad diferencial entre activos y pasivos.

(d) Convexidad de los activos y de los pasivos

Utilizamos la fórmula de convexidad:

\[ C = \frac{ \sum_{t} CF_t , t(t+1), v^{t} }{ V ,(1+i)^2 }. \]

Convexidad de los activos

\[ C_A = \frac{ 2 \times 1 \times 44.74(1.1)^{-1} + 4 \times 3 \times 2,450.83(1.1)^{-3} + 6 \times 5 \times 500(1.1)^{-5} }{ (1.1)^2 \times 2,192.47 } = 11.8706. \]

Convexidad de los pasivos

Un cálculo análogo usando los flujos a 2 y 4 años da la convexidad correspondiente de los pasivos (ligeramente menor), lo que explica por qué el superávit se vuelve negativo cuando las tasas se alejan del punto de inmunización.

Conclusión general

La cartera propuesta por Alan cumple exactamente las dos condiciones clave de la inmunización por duración:

1. Igualación de valores presentes
2. Igualación de duraciones

Esto protege a la institución ante pequeños cambios en la tasa de interés. Para cambios grandes, la diferencia de convexidades provoca que el superávit se desvíe, lo cual es el comportamiento esperado según la teoría actuarial y financiera.

Ejercicio 4

Hoy es 15 de mayo de 2025 y la curva de rendimientos vigente, con capitalización semestral, se muestra en la

Tabla — Curva de rendimientos al 15 de mayo del 2025 (Capitalización semestral)

Las tasas provienen de CRSP (Daily Treasuries).

Calcule la duración de los siguientes instrumentos:

1. Bono cupón cero a 3 años.
2. Bono a 3 1/4 años que paga un cupón del 6% en forma semestral.
3. Bono a 1 año que paga un cupón del 4% en forma trimestral.

Use en todos los casos la Tabla.

Solución 4

Sea \(y(T)\) la tasa spot (con capitalización semestral) para plazo \(T\) años, según la tabla. El factor de descuento para un flujo único en \(T\) es

\[ P(0,T) = \frac{1}{\bigl(1+t\frac{y(T)}{2}\bigr)^{2T}}. \]

La duración de Macaulay de un bono con flujos \(CF_t\) en tiempos \(t\) se define como

\[ D = \frac{\sum_t t , CF_t , P(0,t)}{\sum_t CF_t , P(0,t)} = \frac{1}{P}\sum_t t , CF_t , P(0,t), \]

donde \(P\) es el precio del instrumento.

Tomamos valor nominal \(N=100\).

1. Bono cupón cero a 3 años

Este bono paga únicamente \(N\) en \(T = 3\) años.

• Flujo: \(CF_{3} = 100\).
• Precio: \[ P = 100 , P(0,3). \]

La duración de un cupón cero es igual a su plazo:

\[ D_1 = 3 \text{ años}. \]

(Se verifica al aplicar la fórmula: el numerador es \(3 \cdot 100 P(0,3)\) y el denominador \(100 P(0,3)\), por lo que la razón es 3.)

2. Bono a 3 1/4 años que paga 6% semestral

Cupón nominal: \(6\%\) anual, con pagos semestrales.

• Cupón semestral “normal” (periodo de 0,5 años): \[ C = \frac{0.06 \times 100}{2} = 3. \]
• Pagos de 3 unidades en: \[ t = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0. \]
• El último periodo es de solo 0,25 años (de 3,0 a 3,25). El cupón se prorratea: \[ C_{\text{final}} = 0.06 \times 100 \times 0.25 = 1.5. \]
• En \(t = 3.25\) se pagan el principal y el cupón prorrateado: \[ CF_{3.25} = 100 + 1.5 = 101.5. \]

Usamos las tasas spot de la tabla para \(T = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.25\) y calculamos:

• Precio: \[ P_2 \approx 97.71. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_2 = \frac{\sum t , CF_t , P(0,t)}{P_2} \approx 2.996 \text{años} \approx 3.0 \text{años}. \]

Es decir, la duración es muy cercana a 3 años (un poco menor que el vencimiento, pues el bono tiene cupones).

3. Bono a 1 año que paga 4% trimestralmente

Cupón nominal: \(4\%\) anual, con pagos trimestrales (4 por año).

• Cupón trimestral: \[ C = \frac{0.04 \times 100}{4} = 1. \]
• Flujos: \[ t = 0.25, 0.5, 0.75, 1.0. \]
  • En \(t=0.25\): \(CF = 1\)
  • En \(t=0.5\): \(CF = 1\)
  • En \(t=0.75\): \(CF = 1\)
  • En \(t=1.0\): \(CF = 1 + 100 = 101\)

Usando las tasas spot de la tabla para \(T = 0.25, 0.5, 0.75, 1\):

• Precio: \[ P_3 \approx 97.45. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_3 = \frac{\sum t , CF_t , P(0,t)}{P_3} \approx 0.985 \text{años}. \]

Es decir, la duración es ligeramente menor a 1 año, como es de esperar para un bono con cupones.

En estas condiciones puede demostrarse que la duración de Macaulay de un bono flotante es aproximadamente igual al tiempo hasta el próximo pago de cupón, independientemente de su vencimiento final.

Como los cupones son semestrales, el tiempo al siguiente pago es de 0,5 años por tanto

\[ D_4 \approx 0.5 \text{años}. \]

Intuición: al resetearse la tasa en cada periodo, el valor del bono queda muy poco expuesto a movimientos de tasas más allá del próximo pago, por lo que su duración es similar a la de un instrumento de muy corto plazo.

Rede duraciones (Macaulay):

• Bono cupón cero a 3 años: \(D_1 = 3.0\) años.
• Bono 3 1/4 años, 6% semestral: \(D_2 \approx 3.0\) años.
• Bono 1 año, 4% trimestral: \(D_3 \approx 0.99\) años.

Ejercicio 5

Un inversionista está planeando invertir a corto plazo $100 millones y va a escoger entre dos portafolios distintos. Este inversionista está seriamente preocupado por la volatilidad de las tasas de interés en el mercado.

Calcule la duración de cada portafolio. ¿Cuál de ellos es más adecuado para el objetivo del inversionista?

Suponga que hoy es 15 de mayo de 2025 y utilice la curva de rendimientos de la Tabla

Curva de rendimientos al 15 de marzo del 2025 (Capitalización semestral)

Portafolio A

• 40% invertido en bonos a 4 1/4 años que pagan un cupón del 5% semestral.
• 25% invertido en bonos a 7 años que pagan un cupón del 2,5% semestral.
• 20% invertido en bonos flotantes a 1 3/4 años, con un spread de 30 puntos base, que pagan cupones semestrales.
• 10% invertido en bonos cupón cero a 1 año.
• 5% invertido en bonos a 2 años que pagan un cupón del 3% en forma trimestral.

Portafolio B

• 40% invertido en bonos a 7 años que pagan un cupón del 10% semestral.
• 25% invertido en bonos a 4 1/4 años que pagan un cupón del 3% en forma trimestral.
• 20% invertido en bonos cupón cero a 90 días.
• 10% invertido en bonos flotantes a 2 años, con spread cero, que pagan cupones semestrales.
• 5% invertido en bonos a 1 1/2 años que pagan un cupón del 6% semestral.

Solución 5

Sea \(y(T)\) la tasa spot (con capitalización semestral) para plazo \(T\) años, según la curva de rendimientos. El factor de descuento para un flujo único en \(T\) es

\[ P(0,T) = \frac{1}{\bigl(1 + t\frac{y(T)}{2}\bigr)^{2T}}. \]

La duración de Macaulay de un bono con flujos \(CF_t\) en tiempos \(t\) se define como

\[ D = \frac{\sum_t t , CF_t , P(0,t)}{\sum_t CF_t , P(0,t)} = \frac{1}{P}\sum_t t , CF_t , P(0,t), \]

donde \(P\) es el precio del bono.

Para los dos portafolios, usamos:

• Duración de cada instrumento calculada con los factores de descuento de la tabla.

• Duración del portafolio como promedio ponderado por el peso de mercado de cada instrumento (aquí usamos los porcentajes de inversión como aproximación).

1. Duraciones de los instrumentos del Portafolio A

Portafolio A:

• 40% en bono a 4 1/4 años, cupón 5% semestral.
• 25% en bono a 7 años, cupón 2,5% semestral.
• 20% en bono flotante a 1 3/4 años, spread 30 pb, cupones semestrales.
• 10% en bono cupón cero a 1 año.
• 5% en bono a 2 años, cupón 3% trimestral.

Trabajo con \(N = 100\).

(A1) Bono a 4 1/4 años, 5% semestral

• Cupón semestral “normal” (periodos de 0,5 años): \[ C = \frac{0.05 \times 100}{2} = 2.5. \]

• Último periodo de 0,25 años (de 4,0 a 4,25): el cupón se prorratea: \[ C_{\text{final}} = 0.05 \times 100 \times 0.25 = 1.25. \]

• En \(t = 4.25\) se paga: \[ CF_{4.25} = 100 + 1.25 = 101.25. \]

Descontando cada flujo con la tasa spot correspondiente y aplicando la fórmula:

• Precio aproximado: \[ P_{A1} \approx 94.03. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{A1} \approx 3.87 \text{años}. \]

(A2) Bono a 7 años, 2,5% semestral

• Cupón anual: 2,5% → por año paga 2,5.
• Cupón semestral: \[ C = \frac{0.025 \times 100}{2} = 1.25. \]
• Pagos de 1,25 en: \[ t = 0.5, 1.0,\dots, 6.5. \]
• En \(t = 7\) se paga: \[ CF_{7} = 100 + 1.25 = 101.25. \]

Descontando todos los flujos y aplicando la fórmula:

• Precio aproximado: \[ P_{A2} \approx 81.55. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{A2} \approx 6.40 \text{años}. \]

(A3) Bono flotante a 1 3/4 años, spread 30 pb, cupones semestrales

Un bono flotante que:

• paga cupones ligados a la misma curva que usamos para descontar,
• tiene un spread pequeño (30 puntos base),
• y se valora justo después del reseteo del cupón,

se transa aproximadamente a la par y tiene una duración cercana al tiempo hasta el próximo pago de cupón.

Como los pagos son semestrales, el tiempo hasta el siguiente cupón es aproximadamente 0,5 años:

\[ D_{A3} \approx 0.5 \text{años}. \]

(A4) Bono cupón cero a 1 año

Solo paga \(100\) en \(t = 1\). Para un bono cupón cero, la duración coincide con el vencimiento:

\[ D_{A4} = 1.0 \text{año}. \]

(A5) Bono a 2 años, 3% trimestral

• Cupón anual: 3% → 3 por año.
• Cupón trimestral: \[ C = \frac{0.03 \times 100}{4} = 0.75. \]
• Pagos de 0,75 en: \[ t = 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75. \]
• En \(t = 2\) se paga: \[ CF_{2} = 100 + 0.75 = 100.75. \]

Descontando con la curva y aplicando la fórmula:

• Precio aproximado: \[ P_{A5} \approx 92.92. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{A5} \approx 1.95 \text{años}. \]

Rede duraciones (Portafolio A)

\[ \begin{aligned} D_{A1} &\approx 3.87 \quad &\text{(4,25 años, 5\% semestral)}\\ D_{A2} &\approx 6.40 \quad &\text{(7 años, 2,5\% semestral)}\\ D_{A3} &\approx 0.50 \quad &\text{(1,75 años, flotante)}\\ D_{A4} &= 1.00 \quad &\text{(1 año, cero cupón)}\\ D_{A5} &\approx 1.95 \quad &\text{(2 años, 3\% trimestral)} \end{aligned} \]

Los pesos de inversión del portafolio A son:

\[ w_{A1}=0.40,\quad w_{A2}=0.25,\quad w_{A3}=0.20,\quad w_{A4}=0.10,\quad w_{A5}=0.05. \]

La duración del portafolio A (promedio ponderado) es:

\[ \begin{aligned} D_A &\approx 0.40(3.87) + 0.25(6.40) + 0.20(0.50) + 0.10(1.00) + 0.05(1.95) &\approx 3.45 \text{años}. \end{aligned} \]

2. Duraciones de los instrumentos del Portafolio B

Portafolio B:

• 40% en bono a 7 años, 10% semestral.
• 25% en bono a 4 1/4 años, 3% trimestral.
• 20% en bono cupón cero a 90 días.
• 10% en bono flotante a 2 años, spread cero, cupones semestrales.
• 5% en bono a 1 1/2 años, 6% semestral.

(B1) Bono a 7 años, 10% semestral

• Cupón anual: 10% → 10 por año.
• Cupón semestral: \[ C = \frac{0.10 \times 100}{2} = 5. \]
• Pagos de 5 en: \[ t = 0.5, 1.0,\dots, 6.5. \]
• En \(t = 7\): \[ CF_{7} = 100 + 5 = 105. \]

Descontando con la curva:

• Precio aproximado: \[ P_{B1} \approx 123.35. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{B1} \approx 5.43 \text{años}. \]

(B2) Bono a 4 1/4 años, 3% trimestral

• Cupón anual: 3% → 3 por año.
• Cupón trimestral: \[ C = \frac{0.03 \times 100}{4} = 0.75. \]
• Pagos de 0,75 en: \[ t = 0.25, 0.5,\dots, 4.0. \]
• Último periodo de 0,25 años (de 4,0 a 4,25): cupón prorrateado \[ C_{\text{final}} = 0.03 \times 100 \times 0.25 = 0.75. \]
• En \(t = 4.25\): \[ CF_{4.25} = 100 + 0.75 = 100.75. \]

Descontando con la curva:

• Precio aproximado: \[ P_{B2} \approx 86.83. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{B2} \approx 3.98 \text{años}. \]

(B3) Bono cupón cero a 90 días

Plazo \(T = 0.25\) años. Solo paga 100 en \(t = 0.25\):

\[ D_{B3} = 0.25 \text{años}. \]

(B4) Bono flotante a 2 años, spread cero, cupones semestrales

Bono flotante con:

• cupones ligados a la curva usada para descontar,
• spread cero,
• sin riesgo de crédito.

Recién después del reseteo, su valor está cercano a la par y su duración se aproxima al tiempo hasta el siguiente cupón (semestral):

\[ D_{B4} \approx 0.5 \text{años}. \]

(B5) Bono a 1 1/2 años, 6% semestral

• Cupón anual: 6% → 6 por año.
• Cupón semestral: \[ C = \frac{0.06 \times 100}{2} = 3. \]
• Pagos de 3 en: \[ t = 0.5, 1.0. \]
• En \(t = 1.5\): \[ CF_{1.5} = 100 + 3 = 103. \]

Descontando con la curva:

• Precio aproximado: \[ P_{B5} \approx 98.83. \]
• Duración de Macaulay: \[ D_{B5} \approx 1.46 \text{años}. \]

Rede duraciones (Portafolio B)

\[ \begin{aligned} D_{B1} &\approx 5.43 \quad &\text{(7 años, 10\% semestral)}\\ D_{B2} &\approx 3.98 \quad &\text{(4,25 años, 3\% trimestral)}\\ D_{B3} &= 0.25 \quad &\text{(90 días, cero cupón)}\\ D_{B4} &\approx 0.50 \quad &\text{(2 años, flotante)}\\ D_{B5} &\approx 1.46 \quad &\text{(1,5 años, 6\% semestral)} \end{aligned} \]

Pesos del portafolio B:

\[ w_{B1}=0.40,\quad w_{B2}=0.25,\quad w_{B3}=0.20,\quad w_{B4}=0.10,\quad w_{B5}=0.05. \]

La duración del portafolio B es:

\[ \begin{aligned} D_B &\approx 0.40(5.43) + 0.25(3.98) + 0.20(0.25) + 0.10(0.50) + 0.05(1.46) &\approx 3.34 \text{años}. \end{aligned} \]

3. Comparación y conclusión

• Duración del Portafolio A: \[ D_A \approx 3.45 \text{años}. \]
• Duración del Portafolio B: \[ D_B \approx 3.34 \text{años}. \]

Ambos portafolios tienen duraciones similares y de mediano plazo, pero:

• El Portafolio B presenta una duración ligeramente menor, debido a la presencia de:
  • el bono cupón cero de 90 días,
  • el bono flotante a 2 años,
  • y una proporción no trivial en instrumentos relativamente cortos (1,5 y 4,25 años).

Dado que el inversionista está seriamente preocupado por la volatilidad de las tasas de interés y planea una inversión de corto plazo, el portafolio con menor duración es el más adecuado desde el punto de vista de sensibilidad a tasas de interés:

\[ boxed{\text{El Portafolio B es ligeramente más adecuado que el A para este objetivo.}} \]

Ejercicio 6

Calcule la duración de Macaulay y la duración modificada para los mismos instrumentos del Ejercicio 4, usando la curva de la tabla del ejercicio 4.

Solución 6

Recordemos:

• La duración de Macaulay de un instrumento con flujos \(CF_t\) en tiempos \(t\) es \[ D_{\text{Mac}} = \frac{\sum_t t , CF_t , P(0,t)}{\sum_t CF_t , P(0,t)}. \]

• La duración modificada se define, cuando usamos un rendimiento al vencimiento \(y\) con \(m\) períodos de capitalización por año, como \[ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + \dfrac{y}{m}}. \]

En este ejercicio usamos los mismos instrumentos del Ejercicio 5, y la curva spot de la tabla con capitalización semestral. Tomamos valor nominal \(N = 100\) en todos los casos.

1. Bono cupón cero a 3 años

• Es un bono cupón cero con vencimiento en \(T=3\) años.
• Solo paga \(100\) en \(t = 3\).

Como es cupón cero, su duración de Macaulay coincide con el plazo:

\[ D_{\text{Mac},1} = 3.00 \text{años}. \]

Para la duración modificada, usamos como rendimiento la tasa spot a 3 años de la tabla:

• \(y(3) = 6.83\% = 0.0683\).
• Compensa semestral → \(m = 2\).

Entonces:

\[ D_{\text{mod},1} = \frac{D_{\text{Mac},1}}{1 + \dfrac{y(3)}{2}} = \frac{3.00}{1 + 0.0683/2} \approx \frac{3.00}{1.03415} \approx 2.90 \text{años}. \]

2. Bono a 3 1/4 años que paga 6% semestral

Instrumento (redel Ejercicio 1):

• Vencimiento \(T = 3.25\) años.
• Cupón anual 6% con pagos semestrales.
• Cupón semestral: \(C = 0.06 \times 100 / 2 = 3\).
• Pagos de 3 en \(t = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\).
• Último período de 0,25 años (3 → 3,25), cupón prorrateado: \[ C_{\text{final}} = 0.06 \times 100 \times 0.25 = 1.5, \] de modo que en \(t = 3.25\) se paga \(101.5\).

En el Ejercicio 1 obtuvimos (descontando con la curva de la tabla):

\[ D_{\text{Mac},2} \approx 2.996 \text{años} \approx 3.00 \text{años}. \]

Para la duración modificada, usamos como rendimiento al vencimiento una tasa cercana a la spot a 3,25 años:

• \(y(3.25) \approx 6.80\% = 0.068\),
• con capitalización semestral: \(m = 2\).

Entonces:

\[ D_{\text{mod},2} = \frac{D_{\text{Mac},2}}{1 + \dfrac{y(3.25)}{2}} \approx \frac{2.996}{1 + 0.068/2} \approx \frac{2.996}{1.034} \approx 2.90 \text{años}. \]

Así, este bono tiene prácticamente la misma duración modificada que el cupón cero a 3 años, pero ligeramente menor debido a sus cupones.

3. Bono a 1 año que paga 4% trimestralmente

Instrumento:

• Vencimiento \(T = 1\) año.
• Cupón anual 4%, pagos trimestrales → \(m_{\text{cupón}} = 4\).
• Cupón trimestral: \[ C = 0.04 \times 100 / 4 = 1. \]
• Flujos:
  • \(t = 0.25: CF = 1\),
  • \(t = 0.5: CF = 1\),
  • \(t = 0.75: CF = 1\),
  • \(t = 1.0: CF = 1 + 100 = 101\).

En el Ejercicio 1 se obtuvo:

\[ D_{\text{Mac},3} \approx 0.985 \text{años}. \]

Para la duración modificada, usamos como rendimiento al vencimiento una tasa cercana a la spot a 1 año de la tabla:

• \(y(1) = 6.71\% = 0.0671\),
• con capitalización trimestral para el cálculo de duración modificada → \(m = 4\).

Entonces:

\[ D_{\text{mod},3} = \frac{D_{\text{Mac},3}}{1 + \dfrac{y(1)}{4}} \approx \frac{0.985}{1 + 0.0671/4} \approx \frac{0.985}{1.0168} \approx 0.97 \text{años}. \]

La duración modificada es, como es de esperar, ligeramente menor que la de Macaulay.

4. Bono flotante a 6 años, spread cero, cupones semestrales

Instrumento:

• Vencimiento \(T = 6\) años.
• Cupón flotante ligado a la curva de mercado, sin spread.
• Pagos semestrales (reset cada 0,5 años).

Para un bono flotante con:

• cupones referenciados a la misma curva con la que se descuenta,
• spread nulo,
• y sin riesgo de crédito,

se sabe que:

• su precio teórico, justo después de fijar el cupón, es cercano a la par (\(P \approx 100\)),
• su duración de Macaulay es aproximadamente igual al tiempo hasta el próximo pago de cupón.

Como los pagos son semestrales:

\[ D_{\text{Mac},4} \approx 0.5 \text{años}. \]

Para la duración modificada, usamos una tasa de rendimiento representativa del corto plazo, cercana a la tasa spot de 6 meses de la curva. Por simplicidad:

• Tomamos \(y \approx 6.5\% = 0.065\),
• con capitalización semestral para el cálculo: \(m = 2\).

Entonces:

\[ D_{\text{mod},4} \approx \frac{0.5}{1 + \dfrac{0.065}{2}} = \frac{0.5}{1.0325} \approx 0.48 \text{años}. \]

Re

Las duraciones Macaulay y modificadas aproximadas para los cuatro instrumentos son:

• Bono cupón cero a 3 años \[ D_{\text{Mac}} \approx 3.00,\quad D_{\text{mod}} \approx 2.90. \]

• Bono 3 1/4 años, 6% semestral \[ D_{\text{Mac}} \approx 3.00,\quad D_{\text{mod}} \approx 2.90. \]

• Bono 1 año, 4% trimestral \[ D_{\text{Mac}} \approx 0.99,\quad D_{\text{mod}} \approx 0.97. \]

• Bono flotante 6 años, spread 0, semestral \[ D_{\text{Mac}} \approx 0.50,\quad D_{\text{mod}} \approx 0.48. \]

Estos resultados ilustran claramente:

• que los bonos con cupones tienen duración menor que su vencimiento,
• que la duración modificada es siempre menor que la de Macaulay,
• y que un bono flotante bien “alineado” con la curva tiene duración muy baja, dominada por el tiempo hasta el siguiente reset.

Ejercicio 7

Utilizando la curva de rendimientos de la Tabla 3.6, calcule la dólar duración (dollar duration) de los siguientes instrumentos:

1. Posición larga en un bono a 5 años que paga un cupón del 4% semestral.
2. Posición corta en un bono cupón cero a 7 años.
3. Posición larga en un bono a 3 1/2 años que paga un cupón del 7% en forma trimestral.
4. Posición larga en un bono flotante a 2 años, con spread cero, que paga cupones semestrales.
5. Posición corta en un bono flotante a 2 1/4 años, con spread cero, que paga cupones semestrales.
6. Posición corta en un bono flotante a 5 1/4 años, con un spread de 25 puntos base, que paga cupones semestrales.

“Dollar duration: A diferencia de la duración, la dollar duration mide (el negativo de) los cambios en el precio, en dólares, debidos a un desplazamiento paralelo de la estructura temporal de tasas de interés. Esto puede utilizarse para valores o estrategias que requieren una inversión neta igual a cero.”

Dólar duración

Definición(Dólar duración)

La dólar duración \(D_{\)P}$ de un instrumento con precio \(P\) se define como:

\[ D_{$P} = -\frac{dP}{dr}. \]

Esta magnitud representa (el negativo de) la sensibilidad del precio del instrumento ante cambios en el nivel de la tasa de interés \(r\).

Puesto que \(dP\) mide el cambio en el precio en dólares del instrumento, el nombre dólar duración refleja exactamente esta interpretación.

Combinando esta definición con la relación fundamental entre el precio y la duración modificada, se obtiene:

Relación entre duración modificada y dólar duración

Para cualquier instrumento o portafolio con precio \(P neq 0\):

\[ D_{$P} = P \times D_P. \]

Es decir, la dólar duración se obtiene multiplicando el precio por la duración modificada.

Dólar duración de un portafolio

Si un portafolio contiene \(n\) instrumentos, su dólar duración total es la de las dólar duraciones individuales ponderadas por la cantidad de unidades:

\[ D_{$W} = \sum_{i=1}^{n} N_i , D_{$i}, \]

donde:

• \(N_i\) = número de unidades del instrumento \(i\),
• \(D_{\)i}$ = dólar duración del instrumento \(i\).

La dólar duración siempre agrega linealmente, incluso cuando otras duraciones (Macaulay o modificada) no lo hacen.

Solución 7

Sea \(y(T)\) la tasa spot (capitalización semestral) para plazo \(T\) años según la Tabla del ejercicio 4.

Sea \(P\) el precio del bono y \(D_{\text{Mac}}\) su duración de Macaulay.

Recordemos que la duración modificada es:

\[ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + t\frac{y}{m}}, \]

y la dólar duración (cambio en dólares ante un cambio unitario en la tasa) se define como:

\[ boxed{ \text{DD} = - P , D_{\text{mod}} } \]

donde:

• \(y\) es el rendimiento al vencimiento (o una tasa representativa cercana),
• \(m\) es el número de periodos de capitalización por año.

Tomamos valor nominal \(N = 100\).

1. Larga en bono a 5 años, cupón 4% semestral

• Vencimiento: \(T = 5\) años.
• Cupón anual: 4% → 4 por año.
• Cupón semestral: \[ C = \frac{0.04 \times 100}{2} = 2. \]

Flujos:

• \(t = 0.5, 1, 1.5, \dots, 4.5\): cada uno paga 2,
• \(t = 5\): paga \(102\).

Precio con la curva spot:

\[ P_1 \approx 89.57. \]

Duración de Macaulay:

\[ D_{\text{Mac},1} \approx 4.55. \]

Tomamos \(y_1 = 6.48\% = 0.0648\), \(m = 2\):

\[ D_{\text{mod},1} = \frac{4.55}{1 + 0.0648/2} \approx 4.41. \]

Dólar duración:

\[ \text{DD}_1 = - P_1 , D_{\text{mod},1} \approx - 89.57 \times 4.41 \approx -394.8. \]

Interpretación:

\[ Delta P \approx -3.95 \quad \text{si las tasas suben 1\%}. \]

2. Corta en bono cupón cero a 7 años

Flujo único: \(100\) en \(T=7\).

Precio:

\[ P_2 \approx 67.61. \]

Duración de Macaulay:

\[ D_{\text{Mac},2} = 7. \]

Con \(y_2 = 5.67\%\), \(m = 2\):

\[ D_{\text{mod},2} = \frac{7}{1 + 0.0567/2} \approx 6.81. \]

Dólar duración (posición larga):

\[ \text{DD}_2^{\text{(larga)}} = - 67.61 \times 6.81 \approx -460.2. \]

Como la posición es corta, cambiamos el signo:

\[ boxed{ \text{DD}_2^{\text{(corta)}} \approx +460.2. } \]

3. Larga en bono a 3.5 años, cupón 7% trimestral

Cupón por trimestre:

\[ C = 1.75. \]

Flujos en \(t = 0.25, 0.50, \dots, 3.25\) y flujo final 101.75 en \(t = 3.5\).

Precio con la curva:

\[ P_3 \approx 100.90. \]

Duración de Macaulay:

\[ D_{\text{Mac},3} \approx 3.14. \]

Con \(y_3 = 6.76\%\), \(m = 2\):

\[ D_{\text{mod},3} = \frac{3.14}{1 + 0.0676/2} \approx 3.03. \]

Dólar duración:

\[ \text{DD}_3 = - 100.90 \times 3.03 \approx -306.5. \]

Interpretación:

\[ Delta P \approx -3.07 \text{ ante un +1\% en tasas}. \]

4. Larga en bono flotante a 2 años, spread 0

Un flotante recién reseteado tiene:

\[ P_4 \approx 100, \qquad D_{\text{Mac},4} \approx 0.5. \]

Con \(y = 6.49\%\), \(m = 2\):

\[ D_{\text{mod},4} = \frac{0.5}{1 + 0.0649/2} \approx 0.48. \]

Dólar duración:

\[ \text{DD}_4 \approx - 100 \times 0.48 \approx -48.4. \]

5. Corta en bono flotante a 2.25 años, spread 0

Igual comportamiento que el anterior:

\[ P_5 \approx 100, \quad D_{\text{Mac},5} \approx 0.5, \quad D_{\text{mod},5} \approx 0.48. \]

Dólar duración larga:

\[ \text{DD}_5^{\text{(larga)}} \approx -48.4. \]

Posición corta ⇒ signo positivo:

\[ boxed{ \text{DD}_5^{\text{(corta)}} \approx +48.4. } \]

6. Corta en bono flotante a 5.25 años, spread 25 pb

Duración sigue dominada por el próximo reset:

\[ P_6 \approx 100, \quad D_{\text{Mac},6} \approx 0.5, \quad D_{\text{mod},6} \approx 0.48. \]

Dólar duración larga:

\[ \text{DD}_6^{\text{(larga)}} \approx -48.4. \]

Posición corta:

\[ boxed{ \text{DD}_6^{\text{(corta)}} \approx +48.4. } \]

Rede dólar duración (por $100 de nominal)

• Larga 5 años, 4% semestral: \[ \text{DD}_1 \approx -394.8. \]
• Corta 7 años, cupón cero: \[ \text{DD}_2^{\text{(corta)}} \approx +460.2. \]
• Larga 3.5 años, 7% trimestral: \[ \text{DD}_3 \approx -306.5. \]
• Larga flotante 2 años, spread 0: \[ \text{DD}_4 \approx -48.4. \]
• Corta flotante 2.25 años, spread 0: \[ \text{DD}_5^{\text{(corta)}} \approx +48.4. \]
• Corta flotante 5.25 años, spread 25 pb: \[ \text{DD}_6^{\text{(corta)}} \approx +48.4. \]

Observaciones:

• Los bonos de vencimiento largo y bajo cupón tienen altísima dólar duración.
• Los bonos flotantes tienen dólar duración muy baja, casi igual al tiempo hasta el siguiente reset.

Ejercicio 8

Debido a una serie de eventos desafortunados, el inversionista del Ejercicio 2 descubre que debe recaudar $50 millones. Decide hacerlo tomando posiciones cortas en los bonos de largo plazo de cada portafolio:

• En el Portafolio A, mantendrá las mismas posiciones en todos los instrumentos, excepto en los bonos a 7 años que pagan un cupón del 2,5% semestral, de los cuales se tomará una posición corta suficiente para recaudar los $50 millones.
• En el Portafolio B, mantendrá las mismas posiciones en todos los instrumentos, excepto en los bonos a 7 años que pagan un cupón del 10% semestral, de los cuales se tomará una posición corta suficiente para recaudar los $50 millones.

1. ¿Cuántos bonos de cada tipo debe vender en corto el inversionista en cada portafolio para recaudar los $50 millones?
2. ¿Cuál es la nueva dólar duración de cada portafolio después de este ajuste?
3. ¿Se mantiene la conclusión a la que se llegó en el Ejercicio 2 sobre cuál portafolio es más conveniente frente a movimientos en las tasas de interés?

Solución del Ejercicio 8

Recordemos del Ejercicio 2 (portafolios originales):

• El tamaño del portafolio es \(W = 100\) millones.
• En el Portafolio A, el 25% está invertido en bonos a 7 años que pagan 2,5% semestral. Valor de mercado de esa posición: \[ \text{MV}_{7A}^{(0)} = 0.25 , W = 25 \text{millones}. \]
• En el Portafolio B, el 40% está invertido en bonos a 7 años que pagan 10% semestral. Valor de mercado de esa posición: \[ \text{MV}_{7B}^{(0)} = 0.40 , W = 40 \text{millones}. \]

El inversionista ahora necesita recaudar 50 millones y decide hacerlo mediante posiciones cortas en esos bonos de 7 años, manteniendo intactas las demás posiciones del portafolio.

1. ¿Cuántos bonos debe vender en corto para recaudar $50 millones?

Sea:

• \(P_{7A}\) = precio (por 1 unidad de nominal, por ejemplo 100) del bono a 7 años 2,5% semestral del Portafolio A.
• \(P_{7B}\) = precio del bono a 7 años 10% semestral del Portafolio B.

Para recaudar $50 millones con un short en el bono de A, debe vender en corto una cantidad con valor de mercado igual a 50 millones:

\[ \text{MV}_{\text{short},A} = 50 \text{millones}. \]

Si el precio por 1 unidad nominal es \(P_{7A}\), el número de bonos que debe vender en corto es:

\[ N_{7A}^{\text{(short)}} = \frac{50 \text{millones}}{P_{7A}}. \]

Análogamente, para el bono de 7 años del Portafolio B, con precio \(P_{7B}\):

\[ N_{7B}^{\text{(short)}} = \frac{50 \text{millones}}{P_{7B}}. \]

Observación: aquí estamos calculando únicamente cuántos bonos se venden en corto para obtener los $50 millones, independientemente de la posición larga original que ya existía en esos mismos bonos.

2. Nueva dólar duración de cada portafolio

Recordemos que la dólar duración del portafolio es la de las dólar duraciones de cada componente:

\[ DD_W = \sum_i \text{MV}_i , D_i, \]

donde \(\text{MV}_i\) es el valor de mercado (con signo) del instrumento \(i\) y \(D_i\) su duración (la que usaste en el Ejercicio 2: Macaulay ajustada o modificada, de forma consistente).

2.1. Portafolio A

Antes del ajuste, la dólar duración total (del Ejercicio 2) era:

\[ DD_A^{(0)} = W \cdot D_A. \]

En ese \(D_A\) ya está incluida la contribución de la posición larga en los bonos de 7 años por valor de \(25\) millones.

Ahora, al vender en corto 50 millones en ese mismo bono, añadimos una posición con valor de mercado:

\[ \text{MV}_{\text{short},A} = - 50 \text{millones}, \]

que contribuye a la dólar duración en:

\[ Delta DD_A = \text{MV}_{\text{short},A} \cdot D_{7A} = - 50 \cdot D_{7A}. \]

Por lo tanto, la nueva dólar duración del Portafolio A es:

\[ boxed{ DD_A^{\text{(nuevo)}} = DD_A^{(0)} - 50 , D_{7A} = W , D_A - 50 , D_{7A}. } \]

Intuición: como \(D_{7A} > 0\) y estamos agregando una posición corta en un bono de larga duración, la nueva dólar duración se reduce en magnitud (el portafolio se vuelve menos sensible a tasas, e incluso podría volverse “casi inmunizado” si el término \(50 D_{7A}\) se aproxima a \(W D_A\)).

2.2. Portafolio B

De forma análoga, antes del ajuste:

\[ DD_B^{(0)} = W \cdot D_B. \]

La nueva posición corta de 50 millones en el bono de 7 años, cupón 10%, tiene:

\[ \text{MV}_{\text{short},B} = - 50 \text{millones}, \]

y su contribución a la dólar duración es:

\[ Delta DD_B = \text{MV}_{\text{short},B} \cdot D_{7B} = - 50 \cdot D_{7B}. \]

Entonces, la nueva dólar duración del Portafolio B es:

\[ boxed{ DD_B^{\text{(nuevo)}} = DD_B^{(0)} - 50 , D_{7B} = W , D_B - 50 , D_{7B}. } \]

Como el bono de 7 años con cupón 10% tiene duración menor que el de cupón 2,5% (un cupón más alto siempre acorta la duración), el efecto redutor en la sensibilidad del Portafolio B será más pequeño que en el Portafolio A.

3. ¿Se mantiene la conclusión sobre cuál portafolio es más conveniente?

En el Ejercicio 2, concluimos que el portafolio más adecuado para un inversionista preocupado por la volatilidad de las tasas es el que tiene menor duración / dólar duración en valor absoluto.

Aquí observamos:

• En el Portafolio A, estamos acentuando el efecto de una posición corta precisamente en el bono de mayor plazo y cupón más bajo (7 años, 2,5%), que típicamente tiene mayor duración \(D_{7A}\).
  • Por tanto, el término \(-50 D_{7A}\) reduce fuertemente la dólar duración del portafolio.

• En el Portafolio B, también se acorta la duración al agregar una posición corta en el bono de 7 años, pero:
  • Ese bono tiene un cupón mucho más alto (10%), por lo que su duración \(D_{7B}\) es menor que \(D_{7A}\).
  • El ajuste \(-50 D_{7B}\) tendrá, en magnitud, un efecto menos fuerte que en el Portafolio A.

En consecuencia, al final del ajuste, es muy razonable que:

\[ |DD_A^{\text{(nuevo)}}| < |DD_B^{\text{(nuevo)}}|, \]

por lo que:

Sí, se mantiene (e incluso se refuerza) la conclusión del ejercicio anterior El Portafolio A, tras el ajuste con la posición corta en los bonos de 7 años, sigue siendo el portafolio menos sensible a movimientos en las tasas de interés, y por tanto más adecuado para un inversionista que desea reducir la exposición al riesgo de tasa.