Actividad 1: Modelo SIR

El modelo SIR

Consideremos un modelo para describir la dinámica de un grupo de individuos de una población con exposición a una enfermedad que puede contagiarse entre los miembros de la población. Esto puede modelarse como un sistema dinámico denominado $SIR$ para una población de $N$ individuos en la que se considera la interacción entre un conjunto de $S$ individuos suceptibles de contraer la enfermedad, un conjunto $I$ de individuos infectados y uno conjunto $R$ de individuos recuperados de la enfermedad.

Este modelo tiene los siguientes supuestos:

la probabilidades de infectarse son iguales para todos los individuos de la población;
la población es homogénea, es decir que los riesgos de infectarse son iguales para toos los suceptibles y que los tiempos para recuperarse son iguales para todos los infectados; y
el tamaño $N$ de la población es constante.

El modelo maneja los diferentes conjuntos $S$, $I$ y $R$ como si fueran compartimentos bien separados y considera que los individuos pueden pasr de uno a otro en el caso de que se enfermen (cambio $S\rightarrow I$) o que una vez enfermos se recuperen (cambio $I\rightarrow$). Ademas, se asume que un individuo no puede pasar del conjunto de suceptibles directamente al conjunto de recuperados.

Con estos supuestos y consideraciones, las ecuaciones diferenciales del modelo SIR son: \[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt}&= -\beta \frac{I}{N} S\\ \frac{dI}{dt}&= \beta\frac{I}{N}S-\gamma I\\\ \frac{dR}{dt}&= \gamma I \end{aligned} \]

donde:

N=S+R+I
la cantidad $\beta\frac{I}{N}$ representa la razón con que las personas salen del compartimento S (se infectan);
en la primera ecuación $dS$ representa el cambio debido a las personas que salen del compartimento $S$ (el signo negativo se debe a que las personas salen)
en la segunda ecuación $dI$ representa el cambio debido a las personas que salen del compartimento $I$ (una parte se debe a las personas que del compartimento $S$ pasan al compartimento $I$, y otra parte se debe a las personas que salen del compartimento $I$ porque se recuperan);
la cantidad $\gamma$ representa la razón con que las personas se recuperan.

# PACKAGES:
library(deSolve)
library(reshape2)
library(ggplot2)


initial_state_values <- c(S = 999999,  # Número de susceptibles inicial
                                       # 
                          I = 1,       # Se inicia con una persona infectada
                          R = 0)       # 


#razones en unidades de días^-1
parameters <- c(beta = 1,      # razón de infección
                gamma = 0.1)   # razón de recuperación

#valores de tiempo para resolver la ecuación, de 0 a 60 días
times <- seq(from = 0, to = 60, by = 1)   

sir_model <- function(time, state, parameters) {  
    with(as.list(c(state, parameters)), {# R obtendrá los nombres de variables a
                                         # partir de inputs de estados y parametros
        N <- S+I+R 
        lambda <- beta * I/N
        dS <- -lambda * S               
        dI <- lambda * S - gamma * I   
        dR <- gamma * I                 
        return(list(c(dS, dI, dR))) 
    })
}

# poner la solución del sistema de ecuaciones en forma de un dataframe
output <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = parameters))

Gráficos de la evolución del sistema

output_long <- melt(as.data.frame(output), id = "time")                  

ggplot(data = output_long,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Pregunta 1

Analizando el dataframe “output” encuentre el día en que el número de contagios es máximo (el pico de la curva verde). ¿Después de cuántos días del inicio ocurre el máximo? Usando las ecuaciones diferenciales del modelo, encuentre una relación entre los parámetros del modelo válida para el valor de $t$ correspondiente al máximo de la curva de infección.

Analíticamente tenemos que: [ \[\begin{aligned} \frac{dI}{dt} &= \beta \frac{I}{N} S - \gamma I \\\\ \frac{dS}{dt} &= -\beta \frac{I}{N} S\\ \frac{\frac{dI}{dt}}{\frac{dS}{dt}} &= -\frac{\beta \frac{I}{N} S - \gamma I}{\beta \frac{I}{N} S}\\ \frac{\frac{dI}{dt}}{\frac{dS}{dt}} &= \frac{\gamma N}{\beta S} - 1 \\ \frac{dI}{dS} &= \frac{\gamma N}{\beta S} - 1 \\ dI &= (\frac{\gamma N}{\beta S} - 1) dS \\ \int_{I_0}^{I} dI &= \int_{S_0}^{S} (\frac{\gamma N}{\beta S} - 1) dS\\ \textit{Since $I_0 = 1$ and $S_0 = N-1$}\\ \int_{1}^{I} dI &= \int_{N-1}^{S} (\frac{\gamma N}{\beta S} - 1) dS\\ I - 1 &= -S + \frac{\gamma N }{\beta} \ln{S} \Big|_{N-1}^{S}\\ I &= (N-1) - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}] + 1 \\ (1) I &= N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}] \\\\\\ \textit{ Substituting (1) into our original System for $\frac{dS}{dt}$ we have}\\ \frac{dS}{dt} &= -\beta \frac{N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}]}{N} S\\ -\frac{N dS}{ \beta S [N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}]]} &= dt\\ -\int_{S_0}^{S} \frac{N dS}{ \beta S [N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}]]} &= \int_{t_0}^{t_{max}} dt\\\\ \textit{ Now we need to find S integral upper limit }\\ \textit{We know that $\frac{dI}{dt} = 0$ at the maximum value. Then:}\\ \frac{dI}{dt} &= \beta \frac{I}{N} S - \gamma I \\ (2) S &= \gamma I \frac{N}{I \beta } \\ \therefore \\ -\int_{S_0}^{\gamma \frac{N}{ \beta }} \frac{N dS}{ \beta S [N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}]]} &= \int_{t_0}^{t_{max}} dt\\\\ \int_{\gamma \frac{N}{ \beta }}^{N-1 } \frac{N dS}{ \beta S [N - S + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(S)}]]} &= \int_{t_0}^{t_{max}} dt\\\\ \textit{ Substituting (2) in (1) We have}\\ I_{max} &= (N-1) - \gamma \frac{N}{\beta } + \frac{\gamma N }{\beta} [\ln{(N-1)} - \ln{(\gamma \frac{N}{\beta })}] + 1\\ \end{aligned}\]

]

# Compute analitical solution
import numpy as np
from scipy.integrate import quad, odeint
import matplotlib.pyplot as plt

beta = 1.0
gamma = 0.1
N = 1000000

S_0 = N - 1
I_0 = 1
R_0 = 0


# S upper limit
S_h = gamma * N / beta

print(f"Valor de S_h: {S_h:.2f}")

## Valor de S_h: 100000.00

# I = 1 / (gamma * (N - R - (N-1)*exp(-beta/(N*gamma) * R)))

I_respect_to_S = lambda S: -S + N + ((gamma * N) / beta) * (np.log(S/(N-1)))

integrand = lambda S: -N / (beta * S * I_respect_to_S(S))

# Numerical integration
t_h, error = quad(integrand, N-1, S_h)

print(f"Tiempo en el que I es máximo por integración numérica: {t_h:.4f} días")

## Tiempo en el que I es máximo por integración numérica: 18.0028 días

import numpy as np
import pandas as pd

data = pd.DataFrame(r.output)

# Índice en el que I es máximo
max_index = data.idxmax().I
value = data.iloc[max_index].I

print("Día de mayor infección: ", max_index)

## Día de mayor infección:  18

print("Cantidad de infectados: ", value)

## Cantidad de infectados:  669741.3834546854

Se puede apreciar que el mayor valor de infectados ocurrió en el día 18, en que existieron 669741.3834 infecciones.

Pregunta 2

Analizando el dataframe “output” encuentre después de cuántos días el número de “susceptibles” se reduce a la mitad. Usando la ecuación diferencial que expresa la variación del número de susceptibles, encuentre de manera analítica una fórmula que exprese el tiempo $t$ necesario para que el número de susceptibles sea la mitad del valor incial en función de $\beta$.

# S inicial
N = 1000000
N_half = N / 2

# Encontramos una tabla de diferencias con respecto al valor que buscamos, para obtener el más parecido
differences_with_half = (data['S'] - N_half).abs()

idx_closest = differences_with_half.idxmin()
value_closest = data.iloc[idx_closest].S
print(f"El día mas cercano a la mitad de los suceptibles iniciales ({N_half}), fue el día {idx_closest} en el que habían {value_closest} suceptibles.")

## El día mas cercano a la mitad de los suceptibles iniciales (500000.0), fue el día 15 en el que habían 562081.9077902815 suceptibles.

Analíticamente tenemos que: [ \[\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta \frac{I}{N} S\\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I \\\\ \frac{\frac{dS}{dt}}{\frac{dR}{dt}} &= -\frac{\beta I S}{N \gamma I}\\\\ \frac{dS}{dR} &= -\frac{\beta I S}{N \gamma I}\\ \frac{dS}{dR} &= -\frac{\beta S}{N \gamma}\\ \frac{dS}{S} &= -\frac{\beta}{N \gamma} dR\\ \ln{S} &= -\frac{\beta}{N \gamma} dR\\ S &= Ce^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} \\ S(0) &= N-1\\ N-1 &= Ce^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}0} \\ N-1 &= C \\ \therefore \\ S &= (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} \\ \textit{We know that } N &= I + R + S\\ \textit{Then } I &= N - R - S\\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I\\ \therefore \\ \frac{dR}{dt} &= \gamma ( N - R - S )\\ \frac{dR}{\gamma ( N - R - S )} &= dt\\ \int_{R_0}^{R}\frac{dR}{\gamma ( N - R - S )} &= \int_{t_0}^{t}dt\\ \int_{R_0}^{R}\frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} &= \int_{t_0}^{t}dt\\\\ \textit{Since $R_0$ = 0, and $t_0$ = 0}\\\\ \int_{0}^{R}\frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} &= \int_{0}^{t}dt\\ \int_{0}^{R}\frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} &= t\\\\\\ \textit{This is valid $\forall t \in \mathbb{R}^+$ } \\\\ \textit{Now we Apply the fact that } S(R_h) &= \frac{N}{2} \textit{ To get the specific $t_h$}\\ S(R_h) &= (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R_h} \\ \frac{N}{2} &= (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R_h} \\ \frac{N}{2(N-1)} &= e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R_h} \\ \ln{\frac{N}{2(N-1)}} &= \ln{e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R_h}} \\ \ln{N} - \ln{2(N-1)} &= - {\frac{\beta}{N \gamma}} R_h \\ \frac{N \gamma [\ln{2(N-1)} - \ln{N}]}{\beta} &= R_h \\\\\\ \textit{Thus, the complete expression is: }\\\\ \int_{0}^{R_h}\frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} &= t\\ \therefore \\ \int_{0}^{\frac{N \gamma [\ln{2(N-1)} - \ln{N}]}{\beta}}\frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} &= t\\ \end{aligned}\]

]

import numpy as np
from scipy.integrate import quad, odeint
import matplotlib.pyplot as plt

beta = 1.0
gamma = 0.1
N = 1000000

S_0 = N - 1
I_0 = 1
R_0 = 0


# Rh = (N * gamma / beta) * ln(2*(N-1)/N)
R_h = (N * gamma / beta) * np.log((2 * (N - 1)) / N)

print(f"Valor de R_h: {R_h:.2f}")

## Valor de R_h: 69314.62

# I = 1 / (gamma * (N - R - (N-1)*exp(-beta/(N*gamma) * R)))

S_respect_to_R = lambda R: (N - 1) * np.exp((-beta / (N * gamma)) * R)
I_respect_to_R = lambda R: N - R - S_respect_to_R(R)
integrand = lambda R: 1 / (gamma * I_respect_to_R(R))

# Numerical integration
t_h, error = quad(integrand, 0, R_h)

print(f"Tiempo en el que S = N/2 por integración numérica: {t_h:.4f} días")

## Tiempo en el que S = N/2 por integración numérica: 15.2886 días

# Verification With Python scypi odeint

def deriv(y, t, N, beta, gamma):
    S, I, R = y
    dSdt = -beta * S * I / N
    dIdt = beta * S * I / N - gamma * I
    dRdt = gamma * I
    return dSdt, dIdt, dRdt

y0 = N-1, 1, 0

ret = odeint(deriv, y0, [0, t_h], args=(N, beta, gamma))
S_final, I_final, R_final = ret[-1]

print(f"N/2 =  {N/2:,.0f}")

## N/2 =  500,000

print(f"S en el tiempo calculado (t={t_h:.2f}) =  {S_final:,.0f}")

## S en el tiempo calculado (t=15.29) =  500,000

print(f"Error =  {abs(S_final - N/2):.4f}")

## Error =  0.0347

La solución analítica (estimada numéricamente con Python) se aproxima con un margen de error bastante pequeño al tiempo en el que S(t) = N/2 segun odeint. Obtenemos así que \[ \int_{0}^{\frac{N \gamma [\ln{2(N-1)} - \ln{N}]}{\beta}} \frac{dR}{\gamma ( N - R - (N-1)e^{-{\frac{\beta}{N \gamma}}R} )} = t \] Representa de forma precisa el tiempo cuando S(t) = N/2

Pregunta 3

Estudie la dinámica del contagio variando los parámetros $\beta$ y $gamma$. Empiece con $gamma=0.1$ constante cambiando $\beta$ (que representa la ‘fuerza’ de la infeccion):

$\beta=0.1$ 365 días
$\beta=0.3$ 365 días
$\beta=0.7$ 60 días
$\beta=0.9$ 60 días
$\beta=1.2$ 60 días

# Generate Dataframes for multiple Beta Values (Using R for better plot aestetics)

times_1_yr = seq(from = 0, to = 360, by = 1)

output_Beta_1 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times_1_yr, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 0.1, gamma = 0.1)))

output_Beta_2 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times_1_yr, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 0.3, gamma = 0.1)))

output_Beta_3 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 0.7, gamma = 0.1)))

output_Beta_4 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 0.9, gamma = 0.1)))

output_Beta_5 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 1.2, gamma = 0.1)))

output_long_B_1 <- melt(as.data.frame(output_Beta_1), id = "time") 
output_long_B_2 <- melt(as.data.frame(output_Beta_2), id = "time")  
output_long_B_3 <- melt(as.data.frame(output_Beta_3), id = "time")  
output_long_B_4 <- melt(as.data.frame(output_Beta_4), id = "time")  
output_long_B_5 <- melt(as.data.frame(output_Beta_5), id = "time")

Gráfica para $\beta = 0.1$ A un año

ggplot(data = output_long_B_1,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\beta = 0.3$ A un año

ggplot(data = output_long_B_2,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\beta = 0.7$ A un mes

ggplot(data = output_long_B_3,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\beta = 0.9$ A un mes

ggplot(data = output_long_B_4,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\beta = 1.2$ A un mes

ggplot(data = output_long_B_5,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Comente acerca de los cambios que se observan en las curvas. Encuentre una relación entre $\beta$ y $\gamma$ necesaria para que ocurra la epidemia. Para que haya una epidemia la fuerza de infección ($\beta$) debe ser suficientemente alta por un tiempo suficientemente largo ($\gamma$ suficientemente bajo) de manera que se pueda transmitir el agente patógeno. A partir de este estudio se puede definir el coeficiente $R_0$ de la infección.

A medida que se incrementa $\beta$ el día de máximas infecciones ocurre antes, al igual que el estado de equilibrio. Esto ocurre ya que $\beta$ está relacionado con la fuerza que tiene la enfermedad para infectar, de modo que a mayor valor de $\beta$, mayor es su infecciosidad.

El valor $R_0$ es conocido como el número reproductivo básico, y determina la dinámica de una enfermedad regida por SIR. Se define como $R_0 = \frac \beta \gamma$. Este indicador explica diferentes comportamientos según su valor.

Si $R_0 \in [0, 1)$ La enfermedad la enfermedad desaparecerá con el tiempo, ya que cada caso existente causa, en promedio, menos de una nueva infección.

Si $R_0 = 1$ la enfermedad se mantendrá endémica (estable) en la población, pero no causará una epidemia.

Si $R_0 \in [0, \infty)$ la enfermedad se propagará y puede causar una epidemia, ya que cada caso existente causa, en promedio, más de una nueva infección.

beta_values = [0.1, 0.3, 0.7, 0.9, 1.2]
gamma = 0.1
R_0 = [ beta / gamma for beta in beta_values]

Basic_Reproductive_Number_Table = pd.DataFrame(columns = ["Beta", "Gamma", "R_0"])
Basic_Reproductive_Number_Table.Beta = beta_values
Basic_Reproductive_Number_Table.Gamma = [gamma] * len(beta_values)
Basic_Reproductive_Number_Table.R_0 = R_0

print(Basic_Reproductive_Number_Table)

##    Beta  Gamma   R_0
## 0   0.1    0.1   1.0
## 1   0.3    0.1   3.0
## 2   0.7    0.1   7.0
## 3   0.9    0.1   9.0
## 4   1.2    0.1  12.0

De lo cual se deduce que la primera gráfica sea la única que no muestre una epidemia, ya que se encuentra desde el inicio en un estado estable.

Pregunta 4

Después, con $\beta=1$ varíe el valor de $\gamma$:

$\gamma=0.025$ 60 días
$\gamma=0.2$ 60 días
$\gamma=0.5$ 60 días
$\gamma=1$ 365 días

# Generate Dataframes for multiple Beta Values (Using R for better plot aestetics)

output_Gamma_1 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 1, gamma = 0.025)))

output_Gamma_2 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 1, gamma = 0.2)))

output_Gamma_3 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 1, gamma = 0.5)))

output_Gamma_4 <- as.data.frame(ode(y = initial_state_values, 
                            times = times_1_yr, 
                            func = sir_model,
                            parms = c(beta = 1, gamma = 1)))

output_long_G_1 <- melt(as.data.frame(output_Gamma_1), id = "time") 
output_long_G_2 <- melt(as.data.frame(output_Gamma_2), id = "time")  
output_long_G_3 <- melt(as.data.frame(output_Gamma_3), id = "time")  
output_long_G_4 <- melt(as.data.frame(output_Gamma_4), id = "time")

Gráfica para $\gamma = 0.025$ A un mes

ggplot(data = output_long_G_1,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\gamma = 0.2$ A un mes

ggplot(data = output_long_G_2,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\gamma = 0.5$ A un mes

ggplot(data = output_long_G_3,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

Gráfica para $\gamma = 1$ A un año

ggplot(data = output_long_G_4,                                              
       aes(x = time, y = value, colour = variable, group = variable)) +  
  geom_line() +                                                          
  xlab("Tiempo (días)")+                                                   
  ylab("Número de individuos") +                                             
  labs(colour = "Subconjunto") +
  theme(legend.position = "bottom")

A medida que se incrementa $\gamma$ el día de máximas infecciones ocurre después, al igual que el estado de equilibrio. Esto ocurre ya que $\gamma$ está inversamente relacionado con la latencia de una enfermedad para cesar de ser infecciosa en un organismo, de modo que a mayor valor de $\beta$, menor es su infecciosidad.

Recordamos que: Si $R_0 \in [0, 1)$ La enfermedad la enfermedad desaparecerá con el tiempo, ya que cada caso existente causa, en promedio, menos de una nueva infección.

Si $R_0 = 1$ la enfermedad se mantendrá endémica (estable) en la población, pero no causará una epidemia.

Si $R_0 \in [0, \infty)$ la enfermedad se propagará y puede causar una epidemia, ya que cada caso existente causa, en promedio, más de una nueva infección.

gamma_values = [0.025, 0.2, 0.5, 1]
beta = 1
R_0 = [ beta / gamma for gamma in gamma_values]

Basic_Reproductive_Number_Table = pd.DataFrame(columns = ["Beta", "Gamma", "R_0"])
Basic_Reproductive_Number_Table.Beta = [ beta ] * len(gamma_values)
Basic_Reproductive_Number_Table.Gamma = gamma_values
Basic_Reproductive_Number_Table.R_0 = R_0

print(Basic_Reproductive_Number_Table)

##    Beta  Gamma   R_0
## 0     1  0.025  40.0
## 1     1  0.200   5.0
## 2     1  0.500   2.0
## 3     1  1.000   1.0

Lo que explica que en la última gráfica se aprecie un estado endémico de el sistema

Actividad 1: Modelo SIR

E. Crescio, J. Montalvo, E. Uresti

Noviembre de 2020

El modelo SIR

Gráficos de la evolución del sistema

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Gráfica para \(\beta = 0.1\) A un año

Gráfica para \(\beta = 0.3\) A un año

Gráfica para \(\beta = 0.7\) A un mes

Gráfica para \(\beta = 0.9\) A un mes

Gráfica para \(\beta = 1.2\) A un mes

Pregunta 4

Gráfica para \(\gamma = 0.025\) A un mes

Gráfica para \(\gamma = 0.2\) A un mes

Gráfica para \(\gamma = 0.5\) A un mes

Gráfica para \(\gamma = 1\) A un año