###Distribución uniforme continua##
La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua \(X\) en el intervalo \([A, B]\) es
\[ f(x; A, B)= \begin{cases} \dfrac{1}{B-A}, & A \le x \le B,\\[6pt] 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]
Ejemplo 6.1 Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen conferencias extensas y breves. De hecho, se puede suponer que la duración X de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [0, 4].
## function (x)
## ifelse(x >= A & x <= B, 1/(B - A), 0)## [1] 0.25## [1] 0.25###Distribucion normal###
La densidad de la variable aleatoria normal \(X\), con media \(μ\) y varianza \(σ^2\), es
\[ n(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\, \exp\!\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right],\qquad -\infty<x<\infty. \] Teorema
La media y la varianza de n (x; μ, σ) son \(μ\) y \(σ2\), respectivamente. Por lo tanto, la desviación estándar es \(σ\).
Para evaluar la media primero se calcula:
\[ \operatorname{E}(X-\mu) =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x-\mu}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \,\exp\!\left[-\tfrac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right]\,dx. \] La varianza de la distribución normal es dada por:
\[ \operatorname{E}\big[(X-\mu)^2\big] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \exp\!\left[-\tfrac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right]\,dx. \] ###Areas bajo la curva normal### —
La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad se construye de manera que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas \(x = x_1\) y \(x = x_2\), sea igual a la probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) tome un valor entre \(x = x_1\) y \(x = x_2\). Por consiguiente, para la curva normal de la figura siguiente:
\[ P(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} n(x; \mu, \sigma) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{x_1}^{x_2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} dx \]
Figura 6.6: Área bajo la curva normal estándar entre \(x_1\) y \(x_2\).
El área bajo la curva entre dos ordenadas depende de los valores \(\mu\) y \(\sigma\), como se muestra en la siguiente figura:
Figura 6.7: \(P(x_1 < X < x_2)\) para diferentes curvas normales.
Para facilitar los cálculos se transforma la variable \(X\) a una variable estándar \(Z\):
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
De este modo, si \(X\) cae entre \(x_1\) y \(x_2\), entonces \(Z\) cae entre \(z_1 = \frac{x_1 - \mu}{\sigma}\) y \(z_2 = \frac{x_2 - \mu}{\sigma}\). Así:
\[ P(x_1 < X < x_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{z_1}^{z_2} e^{-\frac{z^2}{2}} dz = P(z_1 < Z < z_2) \]
Figura 6.8: Distribuciones normal original y transformada.
Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que se localiza:
a) a la derecha de \(z =
1.84\)
b) entre \(z = -1.97\)
y \(z = 0.86\)
Solución:
a)
El área a la derecha de \(z = 1.84\)
es:
\[
P(Z > 1.84) = 1 - P(Z < 1.84) = 1 - 0.9671 = 0.0329
\]
b)
El área entre \(z = -1.97\) y \(z = 0.86\) es:
\[
P(-1.97 < Z < 0.86) = P(Z < 0.86) - P(Z < -1.97) = 0.8051 -
0.0244 = 0.7807
\]
Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de \(k\) tal que:
a) \(P(Z > k) =
0.3015\)
b) \(P(k < Z < -0.18) =
0.4197\)
Solución:
a)
Si \(P(Z > k) = 0.3015\), entonces
\(P(Z < k) = 0.6985\).
Buscando en la tabla, \(k = 0.52\).
b)
\(P(k < Z < -0.18) =
0.4197\)
Sabemos que \(P(Z < -0.18) =
0.4286\), entonces:
\[
P(Z < k) = 0.4286 - 0.4197 = 0.0089 \Rightarrow k = -2.37
\]
Dada una variable aleatoria \(X \sim N(50, 10^2)\), calcule \(P(45 < X < 62)\).
Transformamos a variable \(Z\):
\[ z_1 = \frac{45 - 50}{10} = -0.5 \quad z_2 = \frac{62 - 50}{10} = 1.2 \]
Entonces:
\[ P(45 < X < 62) = P(-0.5 < Z < 1.2) \]
De la tabla estándar:
\[ P(Z < 1.2) = 0.8849,\quad P(Z < -0.5) = 0.3085 \]
\[ P(-0.5 < Z < 1.2) = 0.8849 - 0.3085 = 0.5764 \]