Random Item Slope Regression

背景与问题引入

1. 线性模型的数据结构

在心理学研究中，经常使用混合线性模型（Mixed-Effects Models）或类似的思想。假设我们研究 “年龄 (Age, IV)” 对 “外向性 (Extraversion, DV)” 的影响。

我们需要区分两个层面的变异：

1.1 被试层面 (Participant Level)

• 被试截距 (Participant Intercept)：不同人的基础外向性分数不同（有人天生社牛，有人社恐）。
• 被试斜率 (Participant Slope)：年龄增长对不同人的影响可能不同（论文主要讨论被试间设计，不讨论此层面的随机斜率）

1.2 题目层面 (Item Level) —— 本次报告的核心

题目也有其独特的属性，但往往被我们忽略。

• 题目截距 (Item Intercept = 难度/通俗度)：
  • 有些题容易得分（例如：“我喜欢和人说话”）。
  • 有些题难得分（例如：“我喜欢演讲”）。
  • 现状： 这一点传统方法（IRT 或 SEM）处理得很好（通过题目参数或载荷截距）。
• 题目斜率 (Item Slope = 对 IV 的敏感度)：
  • 核心问题：IV 对不同题目的预测力是一样的吗？
  • 举例：随着年龄增长，“喜欢和人说话”这种温和的社交可能变化不大（Slope \(\approx\) 0）；但“喜欢演讲”这种追求刺激的社交可能会急剧下降（Slope < 0）。
  • 现状：这是传统方法假设为固定的地方。

---

2. 未被建模的交互作用方差 (Unmodeled Interaction Variance)

如果存在上述的题目斜率差异（即 IV 与 Items 存在交互作用），但我们在分析时强行忽略它，会发生什么？

set.seed(123)
n_subj <- 50
age <- rnorm(n_subj, mean = 20, sd = 10) # IV

# 假设构念由2个题目测量
# Item 1: 随年龄增长稍微增加 (Slope = 0.05)
# Item 2: 随年龄增长显著减少 (Slope = -0.05)
# 平均效应 (True Effect): 0 (Items 相互抵消)

item1_scores <- 0.05 * age + rnorm(n_subj)
item2_scores <- -0.05 * age + rnorm(n_subj)

demo_data <- data.frame(
  ID = rep(1:n_subj, 2),
  Age = rep(age, 2),
  Score = c(item1_scores, item2_scores),
  Item = rep(c("Item 1 (温和社交)", "Item 2 (刺激社交)"), each = n_subj)
)

# 计算聚合分数 (Aggregation)
agg_data <- demo_data %>%
  group_by(ID, Age) %>%
  summarise(Mean_Score = mean(Score))

# --- 绘图 ---
p1 <- ggplot(demo_data, aes(x = Age, y = Score, color = Item, group = Item)) +
  geom_point(alpha = 0.3) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, size = 1.5) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "真实情况：题目斜率异质性", subtitle = "不同题目对 Age 的反应截然不同") +
  theme(legend.position = "bottom")

p2 <- ggplot(agg_data, aes(x = Age, y = Mean_Score)) +
  geom_point(alpha = 0.3) +
  geom_smooth(method = "lm", color = "black", size = 1.5) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "聚合分析 (Aggregation)", subtitle = "强行平均后，斜率相互抵消，掩盖了真实机制")

p1 + p2

如图所示： 左图中，IV 与 Items 存在明显的交互作用（斜率一正一负）。 右图中，使用聚合（求平均）方法时，这种丰富的交互信息丢失了。这部分未被建模的交互作用方差，在后续统计检验中会被错误地处理。

---

3. 概化理论 (Generalizability Theory) 的悖论

概化理论认为：为了让结论具有推广性，统计上应假设我们使用的题目是从一个无限题库 (infinite pool of items) 中随机抽取的。这意味着题目应当被视为随机效应 (Random Effect)。

在实际数据分析中陷入了一个悖论：

1. 理论上：承认题目是随机采样的，即应该视作随机效应。

2. 建模时：未考虑题目的随机效应，变相假定这些Items对 IV 的反应是固定效应（Fixed Effect）。

异质性(Heterogeneity)要求与同质性 (Homogeneity) 的误解：

有的研究在设计题目表达概念/构念时，为了高外部效度，会从不同角度设计题目，这些题目本身存在异质性

退一步讲，就算题目是同质的，也只代表它们“长得像”（内部相关高），不代表它们对外部变量（IV）的反应（Slope）也是一样的

---

4. 问题出现：现有模型的视而不见

无论是简单的回归（Aggregation）还是复杂的结构方程模型（SEM），都在不同程度上抹杀了这种题目层面的斜率不一致。

4.1 两种忽视的方式

1. 聚合模型 (Aggregation Regression)：
   • 做法：求平均分。
   • 假设：所有题目对构念的贡献相等（权重=1），且对 IV 的反应斜率完全相同。
   • 结果：丢失所有题目特异性信息。
2. 结构方程模型 (Common Factor / SEM)：
   • 做法：潜变量建模。
   • 假设：题目对 IV 的反应必须通过“潜变量”传导。这意味着，如果 Item A 的载荷是 Item B 的2倍，那么 Item A 对 IV 的斜率也必须严格是 Item B 的2倍。
   • 局限：IV 无法直接与单个 Item 产生独特的交互作用。模型会把这部分本该属于“Random Slope”的变异，错误地当作了单纯的残差。

4.2 模型假设对比

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# 1. 进阶数据生成：构造“矛盾”情境
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set.seed(999) # 换一个种子确保效果明显
N <- 300
J <- 5
IV <- rnorm(N, 0, 1)

# A. 生成潜变量 (Factor)
# 假设 IV 对潜变量有强正向影响 (Beta = 0.6)
Latent_F <- 0.6 * IV + rnorm(N, 0, 0.8)

# B. 生成题目 (Items)
# 关键点：所有题目在测量模型上都是“好题”（正向载荷），内部一致性高
# y = 1.0 * F + unique_effect + error
sim_data_wide <- data.frame(ID = 1:N, IV = IV)
sim_data_long <- data.frame()

# 题目 1-4：完全听从潜变量指挥
for(j in 1:4){
  y <- 1.0 * Latent_F + rnorm(N, 0, 1) 
  sim_data_wide[[paste0("y", j)]] <- y
  sim_data_long <- rbind(sim_data_long, data.frame(ID=1:N, IV=IV, Item=paste0("Item", j), Score=y))
}

# 题目 5：叛逆者 (Item Specific Effect)
# 它虽然测量同一个潜变量（有 +1.0 * F），但 IV 对它有额外的直接负面打击 (-1.5 * IV)
# 净效应(Net Slope) ≈ 0.6 (from F) - 1.5 (Direct) = -0.9
y5 <- 1.0 * Latent_F - 1.5 * IV + rnorm(N, 0, 1)
sim_data_wide$y5 <- y5
sim_data_long <- rbind(sim_data_long, data.frame(ID=1:N, IV=IV, Item="Item5", Score=y5))


# ==========================================
# 2. 模型拟合
# ==========================================
library(lavaan)

# --- A. 聚合回归 ---
sim_data_wide$Mean_Score <- rowMeans(sim_data_wide[, paste0("y", 1:5)])
agg_model <- lm(Mean_Score ~ IV, data = sim_data_wide)
agg_intercept <- coef(agg_model)[1]
agg_slope     <- coef(agg_model)[2]

# --- B. SEM (Common Factor) ---
sem_syntax <- '
  F1 =~ y1 + y2 + y3 + y4 + y5
  F1 ~ IV
'
sem_fit <- sem(sem_syntax, data = sim_data_wide, std.lv = TRUE)

# 提取 SEM 隐含的回归线
est <- parameterEstimates(sem_fit)
gamma <- est[est$op == "~" & est$lhs == "F1" & est$rhs == "IV", "est"] # 潜变量斜率
sem_lines <- data.frame()

for(j in 1:5){
  item_name <- paste0("y", j)
  # 截距
  nu <- est[est$op == "~1" & est$lhs == item_name, "est"]
  if(length(nu)==0) nu <- mean(sim_data_wide[[item_name]])
  # 载荷
  lam <- est[est$op == "=~" & est$rhs == item_name, "est"]
  
  # 这里的关键：SEM 强行认为 斜率 = 载荷 * Gamma
  # 因为 y1-y4 都是正相关，Gamma 是正的，且所有题目内部正相关，
  # SEM 会估计出 y5 的载荷也是正的（因为 y5 也受 Latent_F 影响）
  # 于是 SEM 会错误地预测 y5 随着 IV 增加而增加
  implied_slope <- lam * gamma
  
  temp <- data.frame(IV = seq(min(IV), max(IV), length.out=100), Item=paste0("Item", j))
  temp$Score <- nu + implied_slope * temp$IV
  sem_lines <- rbind(sem_lines, temp)
}

# ==========================================
# 3. 绘图对比
# ==========================================
library(ggplot2)
library(patchwork)

common_theme <- theme_bw() + 
  theme(legend.position = "none", plot.title = element_text(face="bold"))

# Plot 1: Aggregation
p_agg <- ggplot(sim_data_long, aes(x = IV, y = Score)) +
  geom_point(color="grey", alpha=0.3) +
  geom_abline(intercept = agg_intercept, slope = agg_slope, color = "#D55E00", size = 2) +
  labs(title = "1. Aggregation", subtitle = "简单平均，彻底掩盖 Item 5") + 
  ylim(-4, 4) + common_theme

# Plot 2: SEM
# 注意看紫色线 (Item 5)
p_sem <- ggplot() +
  geom_point(data = sim_data_long, aes(x = IV, y = Score, color = Item), alpha = 0.1) +
  geom_line(data = sem_lines, aes(x = IV, y = Score, color = Item), size = 1.2) +
  labs(title = "2. SEM (Common Factor)", 
       subtitle = "强制一致性：\n由于 Item 5 属于该构念，SEM 强行预测它\n随 IV 增加而增加 (紫色线向上)。\n这与数据事实(散点向下)完全相反！") +
  ylim(-4, 4) + common_theme

# Plot 3: Real Data / RIS
p_ris <- ggplot(sim_data_long, aes(x = IV, y = Score, color = Item)) +
  geom_point(alpha = 0.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, size = 1.2) +
  labs(title = "3. Real Data (RIS)", 
       subtitle = "真相：\nItem 5 (紫色) 实际上是负相关的。\n这是 SEM 无法捕捉的特异性斜率。") +
  ylim(-4, 4) + common_theme

p_agg + p_sem + p_ris

my_labels <- c("Item 1", "Item 2", "Item 3", "Item 4", "Item 5", "IV", "Factor")

semPaths(object = sem_fit,
         what = "std",
         whatLabels = "std",
         layout = "tree2",  
         edge.label.cex = 1, 
         rotation = 2,
         nodeLabels = my_labels,
)

title("Common Factor Model (SEM) 路径图", adj = 0.5, line = 2)

mtext("IV 到 Item 5 没有直接路径，必须经过 F1", side = 1, line = 0, cex = 1.2)

---

第二部分：理论模型——Random Item Slope Regression (RISR)

1. 模型的数学表达

针对第一部分提出的问题，文章正式提出了 Random Item Slope Regression (RISR) 模型。这是理解一切推断谬误的基石。

1.1 传统模型 vs. RISR模型

传统聚合回归 (Aggregation Model)： 假设题目对 IV 的反应是固定的、一致的。 \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i \]

随机题目斜率回归 (RISR, Equation 4)： 假设题目是从题库中随机抽取的，对 IV 的敏感度各不相同。 \[ y_{ij} = \beta_0 + u_{0i} + u_{0j} + (\beta_1 + \mathbf{u_{1j}})x_i + \epsilon_{ij} \]

其中核心差异在于 \(\mathbf{u_{1j}}\)： * \(u_{1j}\) 代表第 \(j\) 个题目独有的斜率偏离（Random Item Slope）。 * 服从正态分布 \(u_{1j} \sim N(0, \tau_{11})\)。 * \(\tau_{11}\) 衡量了题目间对 IV 反应的异质性程度。

• \(u_{1j}\) (Random Item Slope), \(u_{1j} \sim N(0, \tau_{11})\)：
  • 题目对 IV 反应的特异性
  • 它代表了题目 \(j\) 对 \(x\) 的敏感程度偏离平均斜率 \(\beta_1\) 多少
  • 实际斜率：对于题目 \(j\) 来说，它真实的斜率是 \((\beta_1 + u_{1j})\)
  • Aggregation/SEM 隐含假设：\(u_{1j} = 0\) (即方差 \(\tau_{11} = 0\))
  • RISR 核心假设：\(\tau_{11} > 0\)
• \(u_{0i}\) (Random Participant Intercept), \(u_{0i} \sim N(0, \tau_{00}^{(subj)})\)：
  • 被试的特异性
  • 比如：张三本身就倾向于打高分，他的 \(u_{0i}\) 就是正的
• \(u_{0j}\) (Random Item Intercept), \(u_{0j} \sim N(0, \tau_{00}^{(item)})\)：
  • 题目的难易度/通俗度
  • 比如：题目 1 措辞很诱人，大家都容易得分，它的 \(u_{0j}\) 就是正的
• \(\epsilon_{ij}\) (Residual), \(\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)\)：

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2. 致命的统计后果：SE 低估与 t 值膨胀

为什么忽略 \(u_{1j}\) 会导致严重的假阳性（Type I Error）？根本原因在于\(t\) 检验的机制失效。

2.1 t 值的计算逻辑

在线性回归中，判断显著性的 \(t\) 值计算公式为： \[ t = \frac{\text{Estimate}}{\text{Standard Error}} = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} \]

2.2 SE 的数学推导对比

根据论文附录证明，两种模型对 SE 的估计截然不同：

• 传统模型 (Naive SE)： 认为只要增加被试量 \(N\)，误差就能无限缩小。 \[ SE_{naive} \approx \sqrt{\frac{\sigma^2_{residual}}{N \times J \times \sigma^2_x}} \] > 当 \(N \to \infty\)， \(SE \to 0\)。

• RISR 模型 (True SE)： 引入了题目采样的不确定性（Generalization Error）。 \[ SE_{true}(A10变形) \approx \sqrt{\frac{\sigma^2_{residual}}{N \times J \times \sigma^2_x} + \mathbf{\frac{\tau_{11}}{J}}} \] > 当 \(N \to \infty\)， 第一项趋近于0，但第二项 \(\frac{\tau_{11}}{J}\) 依然存在！

2.3 低估SE的因素

比较 真实模型 SE (RISR) 和 错误模型 SE (Aggregation/Naive) 的比率，比率越大，说明错误模型低估得越严重（即错得越离谱）。

由附录 A 的推导可以构造比率 \(K\)：

\[ \text{Ratio } K = \frac{SE_{True}}{SE_{Naive}} = \sqrt{1 + \frac{I \cdot \tau_{11} \cdot s_x^2}{\sigma^2 + J \cdot \omega_{00}}} \]

• 分子：\(I\) (被试数), \(\tau_{11}\) (斜率变异), \(s_x^2\) (IV方差)
• 分母：\(\sigma^2\) (残差), \(J\) (题目数), \(\omega_{00}\) (被试截距变异)

1. 被试数量 (\(I\)) 越多，低估越严重
2. 题目数量 (\(J\)) 越少，低估越严重
3. 被试截距变异 (\(\omega_{00}\)) 越小，低估越严重
4. 应该是残差越小 (\(\sigma^2\) smaller)，低估才越严重？

残差方差 (\(\sigma^2\)) 越大，低估越严重(❌？) larger underestimation when there is larger residual error variance❌

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3. 模拟验证：大样本悖论 (The Big N Paradox)

这意味着，如果题目本身存在斜率变异（\(\tau_{11} > 0\)），而我们使用了传统模型（忽略它），我们会得到一个被严重低估的 SE。

后果：分母变小 \(\rightarrow\) t 值虚高 \(\rightarrow\) 假阳性（Type I Error）。

而且，样本量 \(N\) 越大，错得越离谱。

图解： 只要看蓝色线（传统做法），当 \(N=3000\) 时，SE 几乎为 0。此时哪怕 \(\hat{\beta}\) 只有微小的 0.01，算出来的 \(t\) 值也会巨大无比，导致必然的显著。这解释了为什么大数据集特别容易出现 Random Item Slope 导致的假阳性。

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4. 为什么常用指标无法诊断？

既然问题这么严重，为什么我们在做 Cronbach’s \(\alpha\) 或 SEM 模型拟合（CFI/RMSEA）时没有发现？

4.1 Cronbach’s \(\alpha\) 的盲区

\(\alpha\) 系数反映的是题目分数的内部一致性。 \[ Var(y_{ij}) = \underbrace{\omega_{00}}_{\text{人与人的巨大差异}} + \tau_{00} + \underbrace{\tau_{11}x_i^2}_{\text{微小的斜率差异}} + \sigma^2 \]

• 现状：被试间的截距差异（\(\omega_{00}\)，即有些人总是分高）通常占据了绝大部分方差。
• 盲区：\(\tau_{11}\)（对 IV 的反应差异）占比很小。\(\alpha\) 主要反映截距的一致性（\(\omega_{00}\)），对斜率层面的异质性（\(\tau_{11}\)）不敏感 (Insensitive)，Random Item Slope 的存在实际上会增加观察到的总编译，可能微弱地增加 \(\alpha\)

4.2 SEM 拟合指数的欺骗性

Common Factor Regression虽然比聚合回归严谨，它本质上是一个Constrained Model，它强迫所有题目通过潜变量产生联系：

1. 残差吸收：SEM 将 Random Slope 的变异（\(u_{1j}x_i\)）视为随机误差（Residuals, \(\epsilon\)）。
2. 拟合指标假阳性：只要这些变异没有破坏整体的协方差结构（通常确实没有，因为它们是关于斜率的，而不是关于截距的），SEM 的拟合指数（Global Fit Indices）就会出现假阴性，即明明模型设定错了，但 CFI 依然 > 0.95。

实证证据 (Real Data)： 论文使用了 \(N=564\) 的真实数据发现，即使 CFI = 0.956, RMSEA = 0.087 这样被认为“可接受”的模型，在使用 RISR 检验后，依然发现了显著的 Random Item Slopes，且推翻了之前的显著性结论。

结论：高信度 (\(\alpha\)) 和高拟合度 (CFI) 不能 作为不存在 Random Item Slope 的证据。

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第三部分：实证证据——模拟与真实数据

在建立了理论模型后，Donnellan 等人通过两步验证了 RISR 的必要性：首先在受控环境下（模拟）证明传统模型会犯错，然后在真实环境（实测数据）中证明这种情况确实存在。

1. 模拟研究 (Simulation Study)

研究者构建了 72 种不同的参数组合，系统改变了样本量 (\(N\))、题目数量 (\(J\)) 和随机斜率的方差大小 (\(\tau_{11}\))。

1.1 核心发现：Type I 错误率膨胀

在模拟中，设定 IV 和 DV 的真实平均关系为 0 (\(\beta_1 = 0\))。因此，任何“显著”的结果都是假阳性（Type I Error）。

图表解读： 1. 红色柱子 (Aggregation) 和 蓝色柱子 (Common Factor)： - 当存在随机题目斜率（\(\tau_{11} > 0\)）时，随着样本量 (\(N\)) 的增加，错误率飙升，甚至接近 100%。 - 警示：这就是前文提到的“大样本悖论”。样本越大，传统模型越“确信”一个错误的结论。 2. 绿色柱子 (RISR)： - 无论样本量多大，错误率始终控制在名义水平（0.05）左右。 - 证明了 RISR 模型能有效校正标准误（SE）。

1.2 只要有一点点变异就够了

模拟显示，即使随机题目斜率的方差非常小（仅占相关误差方差的 0.549%），在大样本下（\(N=1000\)）也足以导致传统模型的统计推断失效。这说明这不是一个边缘问题，而是一个普遍的隐患。

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2. 真实数据分析 (Real World Data)

为了证明这不仅仅是数学游戏，作者收集了 \(N=564\) 的数据，使用了心理学常用的量表（如大五人格、自我实现量表等）和反应时任务。

2.1 案例：年龄与自我实现 (Age & Self-Actualization)

这是一个最具戏剧性的例子。研究者探究“年龄”是否预测“自我实现”得分。

[图片占位符 2] 请在此处插入论文中的 Figure 5 (Self-Actualization Scores Predicted by Age)

结果对比： * 传统聚合回归：发现显著的负相关 (\(p < .001\))。结论：年龄越大，自我实现感越低。 * RISR 模型：结果不显著 (\(p = .066\))。 * 发生了什么？ 观察 Figure 5 底部的小图可以发现，题目之间存在巨大的异质性： * Item 8 (“I fear failure”) 和 Item 14 对年龄非常敏感（强负相关）。 * 其他题目对年龄几乎没有反应，甚至呈正相关。 * 结论：所谓的“显著负相关”完全是由少数几个对年龄敏感的题目（主要关于“恐惧”）驱动的，不能推广到整个“自我实现”构念。

2.2 普遍性

在测试的所有 IV-DV 组合中，随机题目斜率普遍存在。在某些情况下，RISR 估计出的随机斜率方差甚至远大于模拟中设定的水平。这表明我们过去文献中许多“小而显著”的大样本效应，可能只是由于量表中混入了几个对 IV 特别敏感的题目。

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第四部分：总结建议与实战应用

1. 总结讨论 (General Discussion)

1.1 另一种测量哲学

RISR 不仅仅是一个统计修正，它代表了一种不同的测量观 (Measurement Model)： - Common Factor (SEM)：认为题目是潜变量的“纯净”反映，题目特异性是“误差”。 - RISR：认为题目是构念的“样本”。题目本身具有因果力，允许题目与外部变量有独特的交互。我们应该把结论推广到“题库”，而不仅仅是“人”。

1.2 实践建议

1. 警惕大样本中的微小显著效应：当 \(N\) 很大且效应量很小时，必须考虑题目斜率异质性的影响。
2. 作为敏感性分析 (Sensitivity Check)：不一定要完全抛弃传统方法，但应使用 RISR 验证核心结论是否稳健。
3. 不要迷信 Fit Indices：CFI 和 Alpha 系数无法诊断这个问题。

---

2. R 语言实战教程 (How to fit RISR)

如何在自己的研究中实现这个模型？其实非常简单，只需要使用 lme4 包即可。

2.1 数据准备

关键在于数据必须是 长数据格式 (Long Format)。每一行是一个观察值（某人回答某题的分数）。

2.2 代码示范

我们将生成一个模拟数据集，并手把手演示如何由“聚合回归”转向“RISR”。

library(lme4)
library(dplyr)
library(ggplot2)

# --- 第一步：生成模拟数据 (Long Format) ---
set.seed(2025)
n_subj <- 200  # 200名被试
n_item <- 10   # 10个题目
ids <- rep(1:n_subj, each = n_item)
items <- rep(paste0("Item_", 1:n_item), times = n_subj)

# IV: 连续变量 (如 Age)
# 注意：IV 必须是 Participant-Level 的 (每人只有一个值)
IV_data <- data.frame(ID = 1:n_subj, IV = rnorm(n_subj))
data_long <- data.frame(ID = factor(ids), Item = factor(items)) %>%
  left_join(IV_data, by = "ID")

# 设定真实模型：
# Fixed Slope (Beta) = 0.1 (微弱正相关)
# Random Item Slope (Tau_11) = 存在显著异质性
item_slopes <- rnorm(n_item, mean = 0.1, sd = 0.3) # 每个题目有不同的真实斜率
names(item_slopes) <- unique(data_long$Item)

# 生成分数 Y
data_long$Slope_j <- item_slopes[data_long$Item]
data_long$Y <- 0 +  # Intercept
               (0.5 * rnorm(n_subj)[data_long$ID]) + # Random Subj Intercept
               (0.5 * rnorm(n_item)[as.numeric(data_long$Item)]) + # Random Item Intercept
               data_long$Slope_j * data_long$IV +    # Slope effect
               rnorm(nrow(data_long), 0, 1)          # Residual

# --- 第二步：传统做法 (Aggregation) ---
data_agg <- data_long %>%
  group_by(ID, IV) %>%
  summarise(Mean_Y = mean(Y), .groups="drop")

model_agg <- lm(Mean_Y ~ IV, data = data_agg)
print(summary(model_agg)$coefficients)

# --- 第三步：RISR 建模 (Using lme4) ---
# 语法解析：
# Y ~ IV : 固定效应 (Fixed Effect)
# (1 | ID) : 随机被试截距 (每个人基础分不同)
# (1 + IV | Item) : 随机题目效应 (核心！)
#      -> "1" 代表题目难度不同 (Random Item Intercept)
#      -> "IV" 代表题目对IV敏感度不同 (Random Item Slope)

model_risr <- lmer(Y ~ IV + (1 | ID) + (1 + IV | Item), 
                   data = data_long,
                   control = lmerControl(optimizer = "bobyqa")) # 优化器防报错

# --- 第四步：结果对比 ---
cat("\n=== 结果对比 ===\n")
cat("1. 聚合回归 t-value:", summary(model_agg)$coefficients["IV", "t value"], "\n")
cat("2. RISR 模型 t-value:", summary(model_risr)$coefficients["IV", "t value"], "\n")
cat("注意：RISR 的 t 值通常会变小（绝对值），因为 SE 变大了。\n")

# 提取并画出题目斜率 (可选)
# ranef(model_risr)$Item 包含了每个题目的截距和斜率
item_effects <- ranef(model_risr)$Item
item_effects$Item <- rownames(item_effects)
colnames(item_effects)[1:2] <- c("Intercept", "Slope_Deviation")

# 加上固定效应才是总斜率
fixed_slope <- fixef(model_risr)["IV"]
item_effects$Total_Slope <- item_effects$Slope_Deviation + fixed_slope

print(head(item_effects[, c("Item", "Total_Slope")]))

2.3 建模注意事项

1. 收敛问题 (Convergence)：如果模型不收敛，通常是因为模型太复杂而数据不足。可以尝试移除随机项之间的协方差，例如使用 (1 | Item) + (0 + IV | Item)，或者换用 brms (贝叶斯方法)。
2. 标准化：建议对 IV 和 DV 进行标准化（Standardization），有助于模型收敛和系数解释。
3. 自由度问题：lme4 默认不提供 p 值（因为自由度计算有争议）。可以使用 lmerTest 包自动加载 p 值，或者像论文一样关注 t 值（t > 1.96 视为显著）。

3. 结语

“Treat items as random samples, not fixed indicators.”

RISR 并不是要否定过去的所有研究，而是提醒我们在处理异质性题目和大样本数据时，需要更加谦卑地对待统计推断的不确定性。当我们声称发现了一个关于“构念”的真理时，请确保这个真理不是仅由其中一两个题目驱动的。