Propósito de la Prueba

La prueba de Dickey-Fuller (DF) y su extensión aumentada (ADF) se utilizan para determinar si una serie de tiempo contiene una raíz unitaria, es decir, si es no estacionaria y sigue un proceso de camino aleatorio. Esta prueba es fundamental en econometría para evitar el problema de regresión espuria y determinar el orden de integración de las variables antes de realizar análisis de cointegración.

Hipotesis de prueba

Sintaxis en R

library(tseries)
adf.test(x, alternative = "stationary", k = trunc((length(x)-1)^(1/3)))

Estadístico de Prueba

El estadístico Dickey-Fuller aumentado (\(\text{ADF}\)) que se calcula como:

\[\text{ADF} = \frac{\hat{\alpha}}{\text{SE}(\hat{\alpha})}\]

Donde \(\hat{\alpha}\) es el estimador de MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) del parámetro \(\alpha\) en la regresión ADF, y \(\text{SE}(\hat{\alpha})\) es su error estándar.

Criterio de Decisión Basado en el \(p\)-valor

Se utiliza la siguiente regla para decidir si la serie es estacionaria:

• Regla de Decisión:
  • Si \(|\text{ADF estadístico}| > |\text{valor crítico}| \implies\) Se rechaza \(H_0\) (La serie es estacionaria).
  • Si \(|\text{ADF estadístico}| \leq |\text{valor crítico}| \implies\) No se rechaza \(H_0\) (La serie tiene raíz unitaria).

En la práctica, el criterio más común es comparar el \(p\)-valor con el nivel de significancia (\(\alpha\)), que usualmente se fija en \(0.05\):

• \(p\)-valor \(< 0.05\): Rechazar \(H_0\) (La serie es estacionaria).
• \(p\)-valor \(\geq 0.05\): No rechazar \(H_0\) (La serie es no estacionaria).

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba.

Ejemplo de Implementación

library(tseries)

# Crear datos de ejemplo
set.seed(123)
serie_estacionaria <- arima.sim(n = 100, model = list(ar = 0.7))
serie_raiz_unitaria <- cumsum(rnorm(100))

# Aplicar prueba ADF
adf_estacionaria <- adf.test(serie_estacionaria)
adf_raiz_unitaria <- adf.test(serie_raiz_unitaria)

## [1] "Resultado serie ESTACIONARIA:"

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_estacionaria
## Dickey-Fuller = -2.9558, Lag order = 4, p-value = 0.1807
## alternative hypothesis: stationary

## [1] "Resultado serie con RAIZ UNITARIA:"

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_raiz_unitaria
## Dickey-Fuller = -1.8863, Lag order = 4, p-value = 0.6237
## alternative hypothesis: stationary

Propósito de la prueba, es decir ¿Para qué se usa?

El propósito fundamental de esta prueba es resolver el problema que surge al medir relaciones entre variables que poseen una tendencia temporal definida, denominadas variables no estacionarias . El objetivo es discriminar entre relaciones falsas y verdaderas, ya que las regresiones estándar con este tipo de variables suelen arrojar resultados espurios (aparentemente significativos pero falsos) a menos que las variables estén cointegradas . Así, la prueba busca determinar si existe una relación de equilibrio a largo plazo entre las variables, lo que implica que, aunque crezcan o disminuyan en el tiempo, lo hacen de una forma acompasada impidiendo que el error entre ellas crezca indefinidamente . Específicamente, bajo un enfoque multivariado como el que se requiere cuando hay más de dos variables, el propósito es identificar si existe una combinación lineal de las variables, que son integradas de orden 1 (\(I(1)\)), que resulte ser estacionaria o de orden 0 (\(I(0)\)) . Este análisis se basa en estimar los valores de un vector \(\beta\) que generen dicho proceso estocástico estacionario, actuando este vector de cointegración como un “atractor” o punto de equilibrio estructural \(\beta'X_t\) alrededor del cual se mueven los agentes económicos.

Además, esta prueba es indispensable para determinar el “rango de cointegración”, es decir, el número de vectores de cointegración existentes en un sistema de variables. Si un vector \(X_t\) tiene \(n\) componentes, la prueba busca identificar cuántas relaciones de equilibrio existen (hasta \(n-1\)) . Finalmente, confirmar la cointegración es el requisito previo para poder estimar un Modelo de Corrección de Errores (ECM), el cual permite analizar tanto los efectos de largo plazo (donde las estimaciones son superconsistentes) como los ajustes dinámicos de corto plazo, evitando así la pérdida de información valiosa que ocurriría si simplemente se diferenciaran las series .

Hipótesis de la prueba. (explique el porqué de las hipótesis Nula y Alternativa)

El enfoque de Johansen se centra en determinar el rango de la matriz de coeficientes de largo plazo (\(\Pi\)) dentro del Modelo de Corrección de Errores Vectorial (VECM). Este rango, denotado por \(r\), es crucial porque representa el número de relaciones de cointegración (o vectores de cointegración) linealmente independientes que existen entre las variables del sistema. Si tenemos \(n\) variables, el rango \(r\) puede ir desde \(0\) hasta \(n-1\).

Las pruebas de Johansen (del Trazo y del Máximo Valor Propio) se llevan a cabo de forma secuencial. La formulación general de las hipótesis es la siguiente:

Hipótesis Nula (\(f{H_0}\))

\[H_0: \text{El rango de cointegración es a lo sumo } r. \quad (r \le k)\] El test comienza típicamente con la hipótesis más restrictiva, asumiendo ausencia de cointegración (\(k=0\)):

\[{H_0^{(0)}: r = 0}\] Donde \(r\) es el número de vectores de cointegración y \(k\) es el número de relaciones bajo la hipótesis nula.

Hipótesis Alternativa (\({H_A}\))

\[H_A: \text{El rango de cointegración es mayor a } r. \quad (r > k)\] Siguiendo la secuencia, la alternativa a la hipótesis inicial (\(r=0\)) es:

\[{H_A^{(0)}: r > 0}\] Esto significa que existe al menos una relación de cointegración.

Sintaxis de implementación en R, explicando cada uno de los argumentos.

Para implementar el enfoque de Johansen en R, se utiliza comúnmente la función ca.jo() del paquete urca. Esta función realiza las pruebas del Trazo (Trace) y del Máximo Valor Propio (\(\lambda_{max}\)).

La sintaxis básica para la función es la siguiente:

ca.jo(x, K, type, ecdet, spec, season, dumvar)

library(urca)
ca.jo (x, 
       type = c ("eigen", "trace"), 
       ecdet = c ("none", "const", "trend"), 
       K = 2,
       spec = c ("largo plazo", "transitorio"), 
       temporada = NULL, 
       dumvar = NULL)

1. x

El objeto que contiene la serie de tiempo.

Es un objeto de clase matrix o data.frame que contiene las variables en niveles (no diferenciadas) que se presumen ser \(I(1)\) y cointegrar. La metodología de cointegración de Johansen requiere que todas las series sean de orden de integración 1 .

2. K

Retardos (lags) del VECM. Es un número entero que indica el número de retardos (lags) del Vector Autorregresivo (VAR) subyacente que se utiliza para modelar las variables. Nota: En el VECM se especifica \(K-1\) retardos de las primeras diferencias. El valor de \(K\) se determina generalmente mediante criterios de información (como AIC o BIC) en el VAR inicial.

3. type

El estadístico de prueba a calcular. Acepta dos valores principales:

• trace: Calcula la prueba del Trazo (\(\lambda_{trace}\)).
• eigen: Calcula la prueba del Máximo Valor Propio (\(\lambda_{max}\)).

Ambos tests son fundamentales en el enfoque de Johansen y se usan de forma complementaria .

4. ecdet

Especificación de los términos determinísticos. Define la forma en que el intercepto y/o la tendencia entran en la relación de cointegración y en la parte de corto plazo del VECM. Existen cinco casos posibles:

• none: No hay ni intercepto ni tendencia.
• const: Intercepto en la relación de cointegración (el vector \(\beta\)).
• trend: Intercepto y tendencia en la relación de cointegración.
• both: Intercepto en el corto plazo y tendencia en el largo plazo.
• H*: Tendencia cuadrática.

La selección del modelo de tendencia es crucial ya que afecta los valores críticos de las pruebas y la matriz de largo plazo .

5. spec

Especificación del modelo. Define el tipo de modelo de cointegración. Generalmente se usa transitory (transitorio), que es el modelo estándar de Johansen/VECM.

6. season

Variables dummy estacionales. Permite incluir un vector de dummies estacionales en el modelo, lo cual es relevante si las series presentan patrones estacionales.

7. dumvar

Variables dummy exógenas. Permite incluir variables exógenas de intervención o dummies de impulso (por ejemplo, para capturar eventos o outliers) en el modelo de corto plazo, manteniendo el foco en el equilibrio de largo plazo.

Estadístico de prueba (haga referencia en la salida que genera R)

El procedimiento de Johansen se basa en la descomposición de los valores propios (o eigenvalores) de una matriz de largo plazo. Este método utiliza dos estadísticos de máxima verosimilitud (MV) para probar secuencialmente el rango de cointegración (\(r\)): el estadístico del Trazo (\(\lambda_{trace}\)) y el estadístico del Máximo Valor Propio (\(\lambda_{max}\)).

Criterio de decisión (haga referencia en la salida que genera R)

El criterio de decisión en la prueba de Johansen, tanto para el estadístico del Trazo (\(\lambda_{trace}\)) como para el del Máximo Valor Propio (\(\lambda_{max}\)), se basa en comparar el valor del estadístico de prueba calculado con los valores críticos tabulados por Johansen y Osterwald-Lenum (dependiendo del modelo de tendencia elegido).

Mecanismo de decisión

El criterio general de decisión es el siguiente: Comparación: El valor del estadístico de prueba (test statistic o columna test en R) se compara con el valor crítico correspondiente al nivel de significancia elegido (usualmente 10%, 5% o 1%). Regla de Rechazo: \[\text{Si el valor del estadístico de prueba } > \text{Valor Crítico (al nivel } \alpha)\] \[\text{Entonces, se } {RECHAZA} \text{ la Hipótesis Nula } (H_0)\] Regla de No Rechazo: \[\text{Si el valor del estadístico de prueba } \le \text{Valor Crítico (al nivel } \alpha)\] \[\text{Entonces, se } {NO\ RECHAZA} \text{ la Hipótesis Nula } (H_0)\]

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba.

La interpretación de la decisión de la prueba de Johansen está directamente relacionada con la existencia de la relación de equilibrio a largo plazo entre las variables y las implicaciones para el modelado econométrico.

Implementación de un ejemplo.

set.seed(123)

# Número de observaciones
T <- 200

# Error estacionario
u <- rnorm(T, 0, 1)

# Paseo aleatorio X_t
x <- cumsum(rnorm(T))

# Serie Y_t cointegrada con X_t
y <- 2*x + u

# Se convierte a matriz para ca.jo()
dat <- cbind(y, x)
colnames(dat) <- c("Y","X")
plot.ts(dat)

# Aplicando la prueba:

library(urca)
jotest <- ca.jo(dat, type="trace", ecdet="none", K=2)
summary(jotest)

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.38924384 0.01045972
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  2.08  6.50  8.18 11.65
## r = 0  | 99.71 15.66 17.95 23.52
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##           Y.l2      X.l2
## Y.l2  1.000000   1.00000
## X.l2 -1.991159 -73.69818
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            Y.l2         X.l2
## Y.d -0.99498168 0.0005660977
## X.d  0.08469744 0.0002760936

Propósito de la prueba, es decir ¿Para qué se usa?

La prueba de causalidad de Granger es un test estadístico que se emplea para determinar si una serie temporal puede ser útil para pronosticar otra. En esencia, analiza si los valores pasados de una variable X aportan información relevante que mejore la predicción de otra variable Y. Así, el propósito fundamental del test es evaluar la capacidad predictiva entre dos series de tiempo: se examina si una serie “Granger-causa” a la otra en el sentido de aportar información anticipada para su comportamiento futuro.

Hipótesis de la prueba. (explique el porqué de las hipótesis Nula y Alternativa)

Suponemos dos series temporales estacionarias \(X_t\) y \(Y_t\) para probar si \(X\) “Granger-causa” a \(Y\), comparamos dos modelos.

Modelo restringido (sin rezagos de \(X\)):

\[Y_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i Y_{t-i} + \varepsilon_t\] Modelo irrestricto (incluye rezagos de \(X\)):

\[Y_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i Y_{t-i} + \sum_{j=1}^{p} \beta_j X_{t-j} + \eta_t\] Donde \(p\) es el número de rezagos (lags), \(\varepsilon_t\) y \(\eta_t\) son errores.

La idea es: si los coeficientes \(\beta_j\) son significativamente distintos de cero, los valores pasados de \(X\) aportan información adicional para explicar \(Y_t\), más allá de lo que explican los rezagos de \(Y\) por sí solos.

Entonces, definimos:

\[ \begin{aligned} H_0 &: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_p = 0 \\ H_1 &: \text{Al menos uno de } \beta_j \neq 0 \quad (j=1, \dots, p) \end{aligned} \]

Hipótesis de la prueba

• Hipótesis nula (\(H_0\)):

\[H_0 : \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_p = 0\]

Equivalente a decir que los valores rezagados de \(X\) no aportan información adicional para predecir \(Y\). En otras palabras: “\(X\) no Granger-causa a \(Y\)”.

• Hipótesis alternativa (\(H_1\)):

\[H_1 : \exists j \in \{1, \dots, p\} \text{ tal que } \beta_j \neq 0\]

Es decir que al menos un rezago de \(X\) ayuda a predecir significativamente \(Y\). Equivalente a afirmar que “\(X\) Granger-causa a \(Y\)”.

Justificación de por qué esas hipótesis

La hipótesis nula representa la ausencia de relación predictiva: asume que conocer el pasado de \(X\) no mejora la predicción de \(Y\) más allá de lo que ya se sabe con el pasado de \(Y\). Es el punto de partida neutral: si no hay evidencia, nos quedamos con la nula.

La hipótesis alternativa representa la situación de relación predictiva relevante: si al incluir los rezagos de \(X\) mejora el ajuste del modelo (menor error, más poder explicativo), entonces hay evidencia de que \(X\) puede “causar” (en sentido predictivo) \(Y\).

Esa estructura permite un test de hipótesis clásico: se calcula un estadístico (por ejemplo F-test) que compara ambos modelos (restringido vs no restringido). Si la mejora es suficientemente grande (p-valor pequeño), se rechaza \(H_0\) y se acepta \(H_1\) concluyendo que hay causalidad de Granger.

Sintaxis de implementación en R, explicando cada uno de los argumentos.

# Carga de la librería necesaria
library(lmtest)

# Sintaxis general
grangertest(formula, order = 1, data = NULL)

Estadístico de prueba (haga referencia en la salida que genera R)

Estadístico de prueba

Para contrastar la hipótesis nula, la función grangertest() utiliza un estadístico F de Fisher-Snedecor (o test de Wald). Este estadístico evalúa si la reducción en la suma de los errores al cuadrado (SSR) al incluir los rezagos de \(X\) es estadísticamente significativa en comparación con el modelo que solo usa rezagos de \(Y\).

En la salida (output) que genera R, este procedimiento se presenta mediante una Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA).

Referencia en la salida de R

ejecutar la prueba, R muestra una tabla que compara dos modelos:

• Model 1: Corresponde al Modelo Restringido (solo incluye rezagos de la variable dependiente \(Y\)).

• Model 2: Corresponde al Modelo Irrestricto (incluye rezagos de \(Y\) y de \(X\)).

El valor del estadístico se encuentra específicamente en la columna etiquetada como F

Matemáticamente, este valor que R reporta en la columna F se calcula como:

\[F = \frac{(SSR_R - SSR_I)/p}{SSR_I/(n - k - 1)}\]

Donde:

• \(SSR_R\) es la suma de residuos al cuadrado del Modelo 1 (Restringido).
• \(SSR_I\) es la suma de residuos al cuadrado del Modelo 2 (Irrestricto/Completo).
• \(p\) es el número de rezagos (grados de libertad del numerador, columna Df en R).
• \(n - k - 1\) son los grados de libertad del denominador (columna Res.Df en R).

Criterio de decisión (haga referencia en la salida que genera R)

El criterio para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula se basa en el p-value asociado al estadístico F calculado. Se compara este valor con un nivel de significancia \(\alpha\) predeterminado, que usualmente es del 0.05 en trabajos econométricos estándar.

Referencia en la salida de R

En la tabla ANOVA generada por la función grangertest(), el P-value se encuentra en la última columna, encabezada como Pr(>F).

Para tomar la decisión, observamos el valor numérico en esa columna y aplicamos la siguiente regla:

• Si Pr(>F) \(< 0.05\):Existe evidencia estadística suficiente para Rechazar la Hipótesis Nula (\(H_0\)).(En R, esto suele ir acompañado de asteriscos *, ** o *** al lado del número, indicando el nivel de significancia).

• Si Pr(>F) \(\ge 0.05\):No existe evidencia suficiente para rechazar la Hipótesis Nula. Se No Rechaza \(H_0\).

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba.

Una vez comparado el P-value con el nivel de significancia (usualmente 0.05), debemos redactar la conclusión final del estudio. A continuación se detalla qué implica cada escenario:

1. Caso: Rechazo de la Hipótesis Nula (\(p < 0.05\))

Si el P-value es menor al nivel de significancia, rechazamos \(H_0\) y aceptamos la Hipótesis Alternativa (\(H_1\)).

• Conclusión estadística: Existe evidencia suficiente para afirmar que los coeficientes de los rezagos de \(X\) son distintos de cero.

• Interpretación económica: Concluimos que “\(X\) Granger-causa a \(Y\)”. Esto significa que el comportamiento pasado de la variable \(X\) contiene información útil y estadísticamente significativa para predecir el comportamiento futuro de la variable \(Y\), más allá de lo que la propia historia de \(Y\) puede predecir. Existe una precedencia temporal de \(X\) sobre \(Y\).

2. Caso: No rechazo de la Hipótesis Nula (\(p \ge 0.05\))

Si el P-value es mayor o igual al nivel de significancia, no rechazamos \(H_0\).

• Conclusión estadística: No hay evidencia suficiente para decir que los coeficientes de los rezagos de \(X\) sean distintos de cero; estadísticamente se asumen nulos.

• Interpretación económica: Concluimos que “\(X\) NO Granger-causa a \(Y\)”. Esto implica que conocer la historia pasada de \(X\) no mejora la predicción de \(Y\). Los movimientos pasados de \(X\) no anteceden sistemáticamente a los movimientos de \(Y\) en el modelo especificado.

Implementación de un ejemplo.

• Para este ejemplo, utilizaremos el conjunto de datos ChickEgg , precargado en el paquete lmtest. Este conjunto de datos contiene valores para el número de huevos producidos y el número de pollos en EE. UU. entre 1930 y 1983:

#cargar
library(lmtest)

#cargar conjunto de datos ejemplo (Huevos y Gallinas)

data("ChickEgg")

#ver las primeras seis filas del conjunto de datos

head(ChickEgg)

##      chicken  egg
## [1,]  468491 3581
## [2,]  449743 3532
## [3,]  436815 3327
## [4,]  444523 3255
## [5,]  433937 3156
## [6,]  389958 3081

• A continuación, usaremos la función grangertest() para realizar una prueba de causalidad de Granger y comprobar si el número de huevos producidos predice el número futuro de pollos. Ejecutaremos la prueba con tres retardos:

#realizar prueba de causalidad de Granger 
grangertest(chicken ~ egg, order = 3, data = ChickEgg)

## Granger causality test
## 
## Model 1: chicken ~ Lags(chicken, 1:3) + Lags(egg, 1:3)
## Model 2: chicken ~ Lags(chicken, 1:3)
##   Res.Df Df     F   Pr(>F)   
## 1     44                     
## 2     47 -3 5.405 0.002966 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Aquí se explica cómo interpretar el resultado:

• Modelo 1: Este modelo intenta predecir el número de pollos utilizando el número de pollos en los tres años anteriores y el número de huevos en los tres años anteriores como variables predictoras.

• Modelo 2: Este modelo intenta predecir el número de pollos utilizando únicamente el número de pollos en los tres años anteriores como variables predictoras.

• F: Esta es la estadística de la prueba F. Resulta ser 5,405.

• Pr(>F): Este es el valor p que corresponde al estadístico de prueba F. Resulta ser 0,002966.

Dado que el valor p es menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula de la prueba y concluir que conocer el número de huevos es útil para predecir el número futuro de pollos.

prueba de causalidad de Granger a la inversa

Aunque rechazamos la hipótesis nula de la prueba, es posible que se produzca una causalidad inversa. Es decir, es posible que el número de gallinas esté provocando un cambio en el número de huevos.

Para descartar esta posibilidad, necesitamos realizar la prueba de causalidad de Granger a la inversa, utilizando los pollos como variable predictora y los huevos como variable de respuesta :

#realizar prueba de causalidad de Granger en sentido inverso 

grangertest(egg ~ chicken, order = 3, data = ChickEgg)

## Granger causality test
## 
## Model 1: egg ~ Lags(egg, 1:3) + Lags(chicken, 1:3)
## Model 2: egg ~ Lags(egg, 1:3)
##   Res.Df Df      F Pr(>F)
## 1     44                 
## 2     47 -3 0.5916 0.6238

El valor p de la prueba es 0,6238. Dado que no es menor que 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula. Es decir, el número de pollos no predice el número futuro de huevos.

Por tanto, podemos concluir que conocer el número de huevos es útil para predecir el número futuro de pollos.