Autokorelácia rezíduí – stock údaje (EuStockMarkets)

1. Úvod a údaje

V tejto úlohe nadväzujem na predchádzajúce zadania, ale namiesto databázy o dĺžke života používam stock údaje – konkrétne dataset EuStockMarkets, ktorý je súčasťou R.

Databáza obsahuje denné uzatváracie hodnoty štyroch európskych akciových indexov:

• DAX (Nemecko)
  
• SMI (Švajčiarsko)
  
• CAC (Francúzsko)
  
• FTSE (Spojené kráľovstvo)

Budeme modelovať:

• FTSE ako závislú premennú,
  
• DAX, SMI, CAC ako vysvetľujúce premenné.

data("EuStockMarkets")

stocks <- as.data.frame(EuStockMarkets)

# pridáme jednoduchý index času (1, 2, 3, ...)
stocks$Time <- seq_len(nrow(stocks))

head(stocks)

##       DAX    SMI    CAC   FTSE Time
## 1 1628.75 1678.1 1772.8 2443.6    1
## 2 1613.63 1688.5 1750.5 2460.2    2
## 3 1606.51 1678.6 1718.0 2448.2    3
## 4 1621.04 1684.1 1708.1 2470.4    4
## 5 1618.16 1686.6 1723.1 2484.7    5
## 6 1610.61 1671.6 1714.3 2466.8    6

1.1 Úvod do problému, stanovenie hypotéz

Rozhodla som sa modelovať index FTSE v závislosti od indexov DAX, SMI a CAC.

Pracovná hypotéza:

• všetky tri vysvetľujúce premenné (DAX, SMI, CAC) majú štatisticky významný vplyv na FTSE,
  
• očakávame kladné znamienko koeficientov pri DAX, SMI a CAC (rast týchto indexov by mal byť spojený s rastom indexu FTSE).

1.2 Príprava databázy, úprava údajov

Na rozdiel od príkladu s CSV súborom Life_Expectancy_Data.csv sú naše údaje už priamo v R, takže ich nemusíme načítavať z disku. Stačilo:

• zavolať data("EuStockMarkets"),
  
• prekonvertovať na data.frame,
  
• pridať premennú Time ako index času.

Ďalej budeme pracovať s premennými:

• FTSE (závislá),
• DAX, SMI, CAC (vysvetľujúce),
• Time (na vykresľovanie v čase).

---

2. Lineárna regresia v základnom tvare

Odhadujeme rovnicu:

\[ FTSE_t = \beta_0 + \beta_1 DAX_t + \beta_2 SMI_t + \beta_3 CAC_t + e_t. \]

model <- lm(FTSE ~ DAX + SMI + CAC, data = stocks)
summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = FTSE ~ DAX + SMI + CAC, data = stocks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -534.61  -76.61   12.18   84.13  386.73 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 1988.54565   18.75930 106.003   <2e-16 ***
## DAX           -0.02123    0.02578  -0.823     0.41    
## SMI            0.70758    0.01347  52.541   <2e-16 ***
## CAC           -0.34029    0.01988 -17.120   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 121.5 on 1856 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9845, Adjusted R-squared:  0.9845 
## F-statistic: 3.941e+04 on 3 and 1856 DF,  p-value: < 2.2e-16

Komentár:

• Residual standard error – aproximačná chyba modelu,
  
• Multiple R-squared a Adjusted R-squared hovoria, akú časť variability FTSE model vysvetlí,
  
• F-statistika testuje významnosť modelu ako celku,
  
• pri jednotlivých koeficientoch sledujeme odhad, smerodajnú chybu, t-hodnotu a p-hodnotu.

---

3. Autokorelácia rezíduí

V časových radoch je dôležitý predpoklad, že rezíduá sú nezávislé v čase. Často sa však stáva, že chyba v čase t súvisí s chybou v čase t−1 – to je autokorelácia rezíduí.

3.1 Grafická informácia

Najprv si pozrieme graf pozorovaní a vyrovnaných hodnôt v čase.

stocks$fitted <- fitted(model)

ggplot(stocks, aes(x = Time, y = FTSE)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(y = fitted), color = "red", size = 0.8) +
  labs(
    title = "FTSE: empirické hodnoty (modrá) vs. vyrovnané hodnoty (červená)",
    x = "Čas (index pozorovania)",
    y = "FTSE"
  ) +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

Komentár:
Ak vidíme dlhšie úseky, kde sú empirické hodnoty systematicky nad alebo pod vyrovnanou čiarou, môže to naznačovať autokoreláciu rezíduí.

3.2 ACF graf (autokorelačná funkcia rezíduí)

res <- residuals(model)

acf(res, lag.max = 10, main = "Autokorelačná funkcia rezíduí (ACF)")

Na grafe sú:

• na osi x posuny (lagy) 0, 1, 2, …,
  
• na osi y odhad autokorelačného koeficientu,
  
• modré prerušované čiary sú 95 % intervaly spoľahlivosti.

Ak je niektorý stĺpec výrazne mimo pásma, ide o štatisticky významnú autokoreláciu pri danom posune.

---

3.3 Durbin–Watsonov test

dwtest(model)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 0.054306, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

• Nulová hypotéza H₀: neexistuje autokorelácia prvého rádu.
  
• Alternatíva H₁: pozitívna autokorelácia (v našom výstupe alternative = "greater").

Hodnota štatistiky DW:

• je medzi 0 a 4,
• hodnoty blízko 2 – žiadna autokorelácia,
• hodnoty < 2 – pozitívna autokorelácia,
• hodnoty > 2 – negatívna autokorelácia.

V praxi sa často používa pravidlo, že ak je DW približne medzi 1.8 a 2.2,
problém autokorelácie nemusíme riešiť.

Z p-hodnoty v reporte rozhodneme, či zamietame H₀.

---

3.4 Breusch–Godfreyov test (BG test)

Breusch–Godfreyov test je všeobecnejším testom autokorelácie, ktorý:

• umožňuje testovať viac posunov (lagov),
• nevyžaduje striktne rovnaké podmienky ako DW test.

Budeme testovať autokoreláciu 1. rádu:

bgtest(model, order = 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  model
## LM test = 1759.5, df = 1, p-value < 2.2e-16

Interpretácia:

• H₀: žiadna sériová korelácia do 1. rádu,
  
• H₁: existuje sériová korelácia.

Ak p-hodnota < 0.05 → zamietame H₀ → dôkaz autokorelácie rezíduí.

---

4. Koyckov model (dynamizácia)

Aby sme zohľadnili dynamiku v čase, môžeme použiť Koyckov typ modelu, kde vysvetľovaná premenná závisí aj na vlastnej oneskorenej hodnote:

\[ FTSE_t = \alpha_0 + \beta_1 DAX_t + \beta_2 SMI_t + \beta_3 CAC_t + \lambda FTSE_{t-1} + v_t. \]

4.1 Vytvorenie oneskorenej premennej

stocks <- stocks %>%
  arrange(Time) %>%
  mutate(
    FTSE_lag1 = dplyr::lag(FTSE)
  )

head(stocks[, c("FTSE", "FTSE_lag1")], 10)

##      FTSE FTSE_lag1
## 1  2443.6        NA
## 2  2460.2    2443.6
## 3  2448.2    2460.2
## 4  2470.4    2448.2
## 5  2484.7    2470.4
## 6  2466.8    2484.7
## 7  2487.9    2466.8
## 8  2508.4    2487.9
## 9  2510.5    2508.4
## 10 2497.4    2510.5

Prvé pozorovanie má NA – nemá minulú hodnotu, v regresii bude automaticky vynechané.

4.2 Odhad Koyckovho modelu

model_koyck <- lm(FTSE ~ DAX + SMI + CAC + FTSE_lag1, data = stocks)
summary(model_koyck)

## 
## Call:
## lm(formula = FTSE ~ DAX + SMI + CAC + FTSE_lag1, data = stocks)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -165.554  -15.334    0.154   16.131  163.054 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 64.447028  12.462175   5.171 2.57e-07 ***
## DAX         -0.004324   0.006454  -0.670   0.5030    
## SMI          0.025123   0.005302   4.738 2.32e-06 ***
## CAC         -0.010272   0.005354  -1.919   0.0552 .  
## FTSE_lag1    0.968064   0.005808 166.679  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 30.41 on 1854 degrees of freedom
##   (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.999,  Adjusted R-squared:  0.999 
## F-statistic: 4.788e+05 on 4 and 1854 DF,  p-value: < 2.2e-16

Komentár:

• koeficient pri FTSE_lag1 (λ) by mal byť medzi 0 a 1 → zotrvačnosť indexu,
  
• ak je λ blízko 1, efekt minulosti sa presúva veľmi pomaly,
• porovnáme Adjusted R-squared s pôvodným modelom.

4.3 Durbin–Watsonov test pre Koyckov model

dwtest(model_koyck)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_koyck
## DW = 1.7082, p-value = 8.475e-11
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Ak sa hodnota DW priblíži k 2 a p-hodnota už nie je malá, znamená to, že dynamizáciou (pridaním lagovanej FTSE) sa problém autokorelácie alespoň čiastočne zmiernil.

---

5. Newey–West robustné štandardné chyby

Aj pri prítomnosti autokorelácie (a heteroskedasticity) môžeme použiť Newey–West robustné smerodajné odchýlky, ktoré korigujú štatistiky v pôvodnom OLS modeli.

Použijeme ich pre základný model model:

coeftest(model, vcov = NeweyWest(model))

## 
## t test of coefficients:
## 
##                Estimate  Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept) 1988.545651  384.865968  5.1669 2.637e-07 ***
## DAX           -0.021228    0.134613 -0.1577    0.8747    
## SMI            0.707575    0.077318  9.1515 < 2.2e-16 ***
## CAC           -0.340292    0.259867 -1.3095    0.1905    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretácia:

• odhady koeficientov sú tie isté ako v summary(model),
  
• zmenili sa štandardné chyby a tým aj t-hodnoty a p-hodnoty,
  
• ak sú koeficienty významné aj pri Newey–West SE, sú robustnejšie voči problémom s autokoreláciou a heteroskedasticitou.

---

6. Záver

V tejto úlohe som na stock údajoch (EuStockMarkets) spravila:

1. Odhad základného modelu
   \[ FTSE_t = \beta_0 + \beta_1 DAX_t + \beta_2 SMI_t + \beta_3 CAC_t + e_t. \]
2. Skúmala som autokoreláciu rezíduí pomocou:
   • grafu empirických a vyrovnaných hodnôt v čase,
     
   • ACF grafu rezíduí,
     
   • Durbin–Watsonovho testu,
     
   • Breusch–Godfreyovho testu.
     
3. Rozšírila som model o oneskorenú hodnotu FTSE (Koyckov typ modelu) a porovnala som jeho vlastnosti s pôvodným modelom.
   
4. Použila som Newey–West robustné štandardné chyby, ktoré korigujú štatistické testy v prítomnosti autokorelácie (a heteroskedasticity).

Konkrétne slovné závery (či bola autokorelácia prítomná, či sa po dynamizácii zmiernila, či sú koeficienty významné aj pri Newey–West SE) závisia od hodnôt p-hodnôt vo výstupe, ktoré vidíš po spustení tohto kódu.