Tugas Week 10 ~ Essential of Probability
Rafael Yogi S.P.(52250019)
05 December 2025
1 Fundamental Concept: Probability, Sample Spaces, and the Complement Rule
Bagian ini memperkenalkan fondasi berpikir probabilistik. Kita belajar bahwa probabilitas adalah kuantifikasi dari ketidakpastian. Kunci utamanya adalah mendefinisikan Ruang Sampel (\(S\)) dengan tepat sebelum menghitung peluang kejadian tertentu.
1.1 Definisi & Rumus Penting
- Ruang Sampel (\(S\)): Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu eksperimen.
-
Aturan Komplemen: Peluang suatu kejadian \(A\) tidak terjadi (\(A^c\)).
\[P(A^c) = 1 - P(A)\]
1.2 Contoh Permasalahan: Pelemparan Dadu
Kasus: Anda melempar satu dadu yang adil (6 sisi). Berapa peluang munculnya angka bukan 6?
Definisikan Ruang Sampel:
\[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
Kejadian \(A\) (muncul 6) adalah \(\{6\}\), maka
\[P(A) = \frac{1}{6}\]
Menggunakan aturan komplemen:
\[P(\text{Bukan } 6) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833\]
1.3 Visualisasi Interaktif
Grafik di bawah ini membandingkan peluang mendapatkan angka 6 vs angka lainnya. Arahkan kursor untuk melihat detailnya.
2 Probability of Independent and Dependent Events
- Jika objek dikembalikan, kejadian kedua tidak terpengaruh (Independen).
- Jika tidak dikembalikan, komposisi ruang sampel berubah, memengaruhi peluang berikutnya (Dependen).
2.1 Perbandingan Rumus
Aturan Perkalian (Intersection / AND)
-
Independen (Saling Bebas): Kejadian A tidak mengubah B.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
-
Dependen (Bersyarat): Kejadian A mengubah peluang B.
Di mana \(P(B|A)\) adalah peluang B terjadi setelah A terjadi.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\]
2.2 Contoh Permasalahan: Toples Kelereng
Sebuah toples berisi 3 Kelereng Biru dan 2 Kelereng Merah (Total 5). Kita mengambil 2 kelereng berturut-turut. Berapa peluang mendapatkan Dua Kelereng Biru?
Skenario Independen (Dengan Pengembalian): \[P(\text{Biru}_1 \cap \text{Biru}_2) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0.36\]
Skenario Dependen (Tanpa Pengembalian): Pada pengambilan kedua, sisa kelereng biru tinggal 2, dan total kelereng tinggal 4. \[P(\text{Biru}_1 \cap \text{Biru}_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0.30\]
2.3 Visualisasi Perbandingan
Lihat bagaimana metode pengambilan mengubah probabilitas akhir secara signifikan.
3 Union of Events
Konsep ini menangani kata kunci “ATAU” (\(\cup\)). Tantangan utamanya adalah menghindari double counting (menghitung irisan dua kali). Video ini menjelaskan berbagai skenario union events dan bagaimana menerapkannya dalam perhitungan probabilitas.
General Addition Rule
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Catatan: Jika kejadian saling lepas (Mutually Exclusive), maka \(P(A \cap B) = 0\), sehingga rumusnya menjadi \(P(A) + P(B)\).
Jenis-jenis Union Events
- Mutually Exclusive Union: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (karena \(A \cap B = \emptyset\))
- Non-Mutually Exclusive Union: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) (irisan dikurangi sekali)
- Multiple Events: \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\)
3.1 Contoh Permasalahan: Kartu Remi
Dari 52 kartu standar, berapa peluang mengambil Kartu Hati (\(\heartsuit\)) ATAU Kartu Wajah (J, Q, K)?
\(P(\text{Hati}) = \frac{13}{52}\)
\(P(\text{Wajah}) = \frac{12}{52}\)(J, Q, K di 4 jenis kartu)
Irisan: Ada kartu yang merupakan Hati DAN Wajah (J\(\heartsuit\), Q\(\heartsuit\), K\(\heartsuit\)).
\[P(\text{Hati} \cap \text{Wajah}) = \frac{3}{52}\]
Perhitungan Total:
\[P(\text{Hati} \cup \text{Wajah}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} \approx 0.423\]
3.2 Visualisasi Irisan dengan Diagram Venn
Diagram Venn berikut menunjukkan irisan antara kartu Hati dan kartu Wajah untuk menggambarkan konsep \(A \cap B\).
4 Exclusive and Exhaustive
-
Mutually Exclusive (Saling Lepas): Dua kejadian tidak
bisa terjadi bersamaan.
\[A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0\]
-
Exhaustive (Menyeluruh): Gabungan kejadian mencakup
seluruh kemungkinan.
\[P(A \cup B \cup ...) = S \Rightarrow \sum P(A_i) = 1\]
4.1 Contoh Visual: Survei Kepuasan
Bayangkan survei dengan tiga opsi: Tidak Puas, Netral, Puas.
Exclusive: Responden hanya boleh memilih satu opsi (tidak bisa Puas sekaligus Tidak Puas).
Exhaustive: Tidak ada opsi lain (seperti “Sangat Marah” atau “Sangat Bahagia”) di luar tiga pilihan ini dalam kuesioner tersebut.
5 Binomial Experiment
Video ini memperkenalkan jenis eksperimen probabilistik diskrit yang sangat spesifik, yaitu Eksperimen Binomial. Tidak semua eksperimen dapat dihitung menggunakan rumus Binomial; harus memenuhi kriteria ketat.
5.1 Kriteria Eksperimen Binomial
Suatu eksperimen harus memenuhi empat kriteria ketat untuk dianggap Binomial:
- Fixed Number of Trials (\(n\)): Jumlah percobaan harus tetap.
- Two Possible Outcomes: Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil (Sukses/\(p\) atau Gagal/\(q\)).
- Independent Trials: Hasil dari setiap percobaan tidak memengaruhi yang lain.
- Constant Probability (\(p\)): Probabilitas sukses (\(p\)) harus sama untuk setiap percobaan.
5.2 Rumus Probabilitas Binomial
Fungsi Probabilitas Massa (PMF) Binomial
Digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat \(x\) sukses dari \(n\) percobaan:
\[P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}\]
Di mana \(\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}\) adalah koefisien binomial.
Rumus Kumulatif Binomial
Selain PMF, kita juga sering menggunakan CDF (Cumulative Distribution Function):
- Peluang tepat k sukses: \(P(X = k)\)
- Peluang paling banyak k sukses: \(P(X \leq k) = \sum_{x=0}^{k} P(X = x)\)
- Peluang setidaknya k sukses: \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\)
- Peluang antara a dan b sukses: \(P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)\)
5.3 Contoh Permasalahan: Uji Coba Vaksin & Kriteria
Sebuah perusahaan menguji vaksin dengan tingkat efektivitas \(90\%\) (\(p=0.90\)) pada 5 orang (\(n=5\)). Karena memenuhi kriteria BINS (Binary, Independent, Number Fixed, Same Probability), kita dapat menghitung peluang \(x\) sukses.
6 Binomial Distribution
Syarat & Rumus Binomial
Digunakan untuk eksperimen dengan jumlah percobaan tetap (\(n\)) dan hasil biner (Sukses/Gagal). Setiap percobaan harus independen.
\[P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}\]
- \(n\): Jumlah percobaan
- \(x\): Jumlah sukses yang diinginkan
- \(p\): Peluang sukses per percobaan
- \(q\): Peluang gagal (\(1-p\))
Parameter Distribusi Binomial
Distribusi Binomial memiliki parameter penting yang dapat dihitung:
- Mean (Nilai Harapan): \(\mu = n \cdot p\)
- Variance (Variansi): \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot q\)
- Standard Deviation: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}\)
- Mode: Nilai \(x\) yang paling mungkin terjadi
Contoh: Untuk \(n=10\), \(p=0.25\): \(\mu = 10 \times 0.25 = 2.5\), \(\sigma^2 = 10 \times 0.25 \times 0.75 = 1.875\)
Aplikasi Distribusi Binomial
Distribusi Binomial digunakan dalam berbagai bidang:
- Kualitas Produk: Persentase produk cacat dalam sampel
- Medis: Tingkat kesembuhan pasien
- Survei: Persentase responden yang setuju
- Olahraga: Peluang menang dalam seri pertandingan
- Keuangan: Risiko investasi biner (naik/turun)
6.1 Contoh Permasalahan: Ujian Pilihan Ganda (Hoki-hokian)
Seorang siswa menjawab acak 10 soal pilihan ganda. Setiap soal punya 4 pilihan (A, B, C, D), sehingga hanya 1 yang benar.
\(n = 10\)
(1 dari $p = 0.25$4)
Berapa peluang siswa tersebut menjawab tepat 5 soal dengan benar hanya dengan menebak?
\[P(X=5) = \binom{10}{5} (0.25)^5 (0.75)^{5}\]
6.2 Visualisasi Distribusi Probabilitas
Grafik ini menunjukkan seberapa sulit mendapatkan nilai bagus hanya dengan menebak.
7 Daftar Pustaka & Sumber Belajar
7.1 Sumber Daya yang Direferensikan
- Konsep Dasar Probabilitas & Ruang Sampel: Konsep fondasi dijelaskan menggunakan modul UKI (UKI 2020) dan dua sumber Bookdown (DScienceLabsKonsep?; DScienceLabsEssentials?), didukung oleh Buku Ajar Probabilitas (Scribd) 2017).
- Probabilitas Bersyarat dan Teorema Bayes: Rumus dan penerapan Teorema Bayes didukung oleh penjelasan Zenius (Zenius 2023) dan referensi umum (Scribd) 2017).
- Distribusi & Kejadian Khusus: Konsep kejadian independen/dependen dan pengantar distribusi dapat ditemukan pada (Scribd) 2017; UKI 2020; DScienceLabsKonsep?).