1.1 Teori Probabilitas

Teori probabilitas memberikan dasar matematis untuk memahami dan menghitung probabilitas suatu kejadian. Salah satu elemen utama dalam teori probabilitas adalah ruang sampel (sample space), yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dalam sebuah percobaan.

Contoh:

• Dalam pelemparan koin, ruang sampelnya adalah {kepala, ekor}.

• Dalam pelemparan dadu, ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Peristiwa atau kejadian yang kita minati adalah subset dari ruang sampel ini, yang bisa berupa salah satu hasil atau sekumpulan hasil.

1.2 Jenis-Jenis Probabilitas

Probabilitas dapat dibagi menjadi beberapa jenis, tergantung pada cara perhitungannya:

• Probabilitas Klasik: Probabilitas dihitung berdasarkan jumlah hasil yang diinginkan dibandingkan dengan jumlah total hasil yang mungkin. Sebagai contoh, probabilitas munculnya angka 4 pada pelemparan dadu adalah 1/6 karena ada satu sisi yang menunjukkan angka 4 dari total 6 sisi dadu.

• Probabilitas Empiris: Probabilitas ini dihitung berdasarkan data yang diperoleh dari eksperimen atau pengamatan. Misalnya, jika kita melempar koin 100 kali dan kepala muncul 55 kali, maka probabilitas empiris munculnya kepala adalah 55/100.

• Probabilitas Subjektif: Ini adalah perkiraan probabilitas yang diberikan berdasarkan penilaian pribadi atau pengalaman, tanpa data eksperimen yang konkret.

1.3 Penerapan Probabilitas

Probabilitas memiliki banyak aplikasi praktis dalam berbagai bidang kehidupan sehari-hari dan penelitian ilmiah, di antaranya:

• Asuransi: Perusahaan asuransi menggunakan probabilitas untuk menghitung risiko dan menentukan premi asuransi. Misalnya, probabilitas kecelakaan mobil memengaruhi besarnya premi yang harus dibayar oleh pemegang polis.

• Meteorologi: Dalam peramalan cuaca, probabilitas digunakan untuk meramalkan kemungkinan terjadinya hujan, badai, atau fenomena cuaca lainnya berdasarkan data historis dan model matematis.

• Kesehatan dan Epidemiologi: Dalam bidang kesehatan, probabilitas digunakan untuk memperkirakan prevalensi penyakit, mengevaluasi faktor risiko, dan merencanakan intervensi kesehatan masyarakat.

• Keuangan: Dalam analisis risiko investasi, probabilitas digunakan untuk memodelkan fluktuasi pasar, memprediksi harga saham, dan mengevaluasi portofolio investasi.

• Ilmu Sosial dan Kebijakan Publik: Penelitian yang melibatkan survei atau eksperimen sering kali menggunakan probabilitas untuk menarik kesimpulan tentang populasi berdasarkan sampel. Probabilitas juga digunakan dalam analisis kebijakan publik untuk memprediksi dampak dari keputusan yang diambil.

2.1 Probabilitas Sederhana

Probabilitas suatu peristiwa A dapat dihitung dengan rumus berikut:

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin}}\]

Sebagai contoh, jika sebuah koin dilempar, probabilitas mendapatkan “heads” (H) adalah 50% karena ada dua hasil yang mungkin: “heads” atau “tails”. Dengan demikian, probabilitas mendapatkan “heads” adalah:

\[P(H) = \frac{1}{2} = 0,5 = 50\%\]

2.2 Probabilitas Gabungan untuk Peristiwa Independen

Ketika dua peristiwa bersifat independen (hasil dari satu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lainnya), probabilitas gabungan dari kedua peristiwa tersebut dihitung dengan mengalikan probabilitas masing-masing peristiwa.

Untuk dua peristiwa A dan B yang independen, probabilitas gabungan dihitung dengan rumus:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Misalnya, jika kita melempar dua koin berturut-turut, probabilitas untuk mendapatkan “heads” pada kedua lemparan (HH) adalah:

\[P(HH) = P(H) \times P(H) = 0,5 \times 0,5 = 0,25 = 25\%\]

2.3 Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dalam suatu percobaan. Dalam percobaan melempar dua koin, ruang sampel terdiri dari empat kemungkinan hasil:

\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]

Keterangan: - HH: Dua heads - HT: Heads pada lemparan pertama dan tails pada lemparan kedua
- TH: Tails pada lemparan pertama dan heads pada lemparan kedua - TT: Dua tails

Probabilitas masing-masing hasil dihitung dengan mengalikan probabilitas setiap peristiwa. Misalnya, probabilitas untuk mendapatkan “HH” adalah:

\[P(HH) = 0,5 \times 0,5 = 0,25\]

2.4 Probabilitas Setidaknya Satu Tails

Probabilitas untuk mendapatkan setidaknya satu “tails” dalam dua lemparan koin dapat dihitung dengan menjumlahkan probabilitas dari hasil yang mencakup setidaknya satu tails, yaitu “HT”, “TH”, dan “TT”:

\[P(\text{setidaknya satu tails}) = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75 = 75\%\]

Aturan Komplementer

Aturan komplementer menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi adalah 1 dikurangi probabilitas peristiwa tersebut. Secara matematis:

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Sebagai contoh, untuk percobaan melempar dua koin, probabilitas untuk tidak mendapatkan dua tails (TT) adalah:

\[P(\text{bukan TT}) = 1 - P(TT) = 1 - 0,25 = 0,75\]

Aturan Probabilitas Utama

Ada dua aturan utama dalam probabilitas yang harus dipatuhi:

1. Probabilitas berada antara 0 dan 1:
   • Probabilitas suatu peristiwa selalu terletak di antara 0 dan 1
   • Peristiwa dengan probabilitas 0 tidak akan terjadi
   • Probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi
2. Jumlah probabilitas hasil adalah 1:
   • Jumlah dari probabilitas seluruh hasil yang mungkin dalam suatu percobaan harus selalu sama dengan 1
   Sebagai contoh, pada percobaan melempar koin: \[P(H) + P(T) = 0,5 + 0,5 = 1\]

Kesimpulan

Probabilitas sederhana, probabilitas gabungan untuk peristiwa independen, ruang sampel, dan aturan komplementer adalah konsep-konsep dasar yang penting dalam mempelajari probabilitas. Aturan dasar dalam probabilitas, yaitu bahwa probabilitas suatu peristiwa berada dalam rentang 0 hingga 1 dan jumlah total probabilitas dari seluruh hasil yang mungkin adalah 1, merupakan prinsip fundamental dalam teori probabilitas.

3.1 Independent Events

Independent events adalah dua peristiwa yang kemunculannya tidak saling memengaruhi. Dengan kata lain, hasil dari peristiwa pertama tidak mengubah probabilitas peristiwa kedua.

Secara matematis, untuk dua peristiwa independen A dan B, probabilitas terjadinya keduanya secara bersamaan adalah:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Contoh Kasus Independent Events

Pertanyaan: Jika sebuah dadu (6 sisi) dilempar dan sebuah koin dibalik, berapa probabilitas muncul angka 5 dan heads?

Langkah 1: Probabilitas masing-masing peristiwa

Peluang muncul angka 5 pada dadu: \[P(\text{rolling a 5}) = \frac{1}{6}\]

Peluang mendapatkan heads pada koin: \[P(H) = \frac{1}{2}\]

Langkah 2: Karena peristiwa independen, kalikan kedua probabilitas tersebut \[P(\text{5 dan heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\]

Interpretasi: Probabilitas terjadinya kedua peristiwa secara bersamaan adalah 1/12, setara dengan 0,0833 atau 8,33%.

3.2 Dependent Events

Dependent events adalah dua peristiwa di mana terjadinya peristiwa pertama mempengaruhi probabilitas peristiwa kedua. Kondisi yang membuat peristiwa menjadi dependent adalah tanpa pengembalian (without replacement) karena jumlah total item berubah setelah pengambilan pertama.

Secara matematis: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]

Contoh Kasus 1: Mengambil Satu Green lalu Satu Blue (Tanpa Pengembalian)

Dalam kotak terdapat: - 7 green marbles - 3 blue marbles
- Total = 10 marbles

Pertanyaan: Berapa probabilitas mengambil green kemudian blue, tanpa pengembalian?

Langkah 1: Probabilitas mengambil green pertama \[P(G_1) = \frac{7}{10} = 0.7\]

Langkah 2: Setelah 1 green diambil, marmer tersisa 9 buah (3 di antaranya blue) \[P(B_2|G_1) = \frac{3}{9} = 0.33\]

Langkah 3: Kalikan kedua probabilitas \[P(G_1 \cap B_2) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{30} = 0.233\]

Interpretasi: Probabilitas mengambil green lalu blue tanpa pengembalian adalah 0,233 atau 23,3%.

Contoh Kasus 2: Mengambil Dua Green (Tanpa Pengembalian)

Langkah 1: Probabilitas mengambil green pertama \[P(G_1) = \frac{7}{10}\]

Langkah 2: Setelah 1 green diambil, tersisa 6 green dari total 9 marmer \[P(G_2|G_1) = \frac{6}{9}\]

Langkah 3: Probabilitas dua green berturut-turut \[P(G_1 \cap G_2) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{7}{15} = 0.4667\]

Interpretasi: Peluang mengambil dua green berturut-turut tanpa pengembalian adalah 46,67%.

Ringkasan Konsep

Independent Events - Hasil peristiwa pertama tidak memengaruhi peristiwa kedua - Rumus: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Dependent Events - Hasil peristiwa pertama mengubah probabilitas peristiwa kedua - Terjadi ketika tanpa pengembalian - Rumus: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]

Kesimpulan

Materi ini membedakan dua jenis hubungan antar-peristiwa dalam probabilitas. Pada independent events, peristiwa berjalan tanpa saling ketergantungan. Sebaliknya, dependent events memperlihatkan perubahan probabilitas akibat terjadinya peristiwa sebelumnya. Pemahaman perbedaan ini sangat penting karena penggunaan formula yang tepat bergantung pada apakah peristiwa independen atau dependen. Contoh-contoh ini menunjukkan aplikasi nyata melalui percobaan seperti pelemparan dadu, pembalikan koin, dan pengambilan marmer tanpa pengembalian.

4.1 Sample Space (Ruang Sampel)

Ruang sampel merupakan himpunan seluruh hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan statistik.

Sebagai contoh, ketika melempar sebuah dadu, terdapat enam kemungkinan hasil, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Himpunan inilah yang menjadi ruang sampel untuk pelemparan satu dadu.

Apabila dua dadu dilempar secara bersamaan, ruang sampelnya menjadi lebih besar. Karena setiap dadu memiliki enam sisi, maka total kemungkinan hasilnya adalah 6 × 6 = 36. Dengan demikian, terdapat 36 kombinasi yang mungkin terjadi dari dua dadu tersebut.

4.2 Probabilitas Sederhana

Probabilitas suatu peristiwa dihitung menggunakan rumus:

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin}}\]

Sebagai contoh, probabilitas memperoleh dua angka “4” saat melempar dua dadu dapat dihitung sebagai berikut. Hanya terdapat satu kombinasi yang menghasilkan dua angka “4”, sementara ruang sampelnya terdiri atas 36 kemungkinan. Maka:

\[P(\text{dua 4}) = \frac{1}{36}\]

4.3 Probabilitas Union dari Dua Peristiwa

Probabilitas union menggambarkan peluang terjadinya salah satu dari dua peristiwa. Secara matematis, probabilitas union dari dua peristiwa A dan B adalah:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Pada rumus ini, \(P(A \cup B)\) merupakan probabilitas terjadinya peristiwa A atau B, sementara \(P(A)\) dan \(P(B)\) merupakan probabilitas masing-masing peristiwa. Adapun \(P(A \cap B)\) menunjukkan probabilitas terjadinya kedua peristiwa secara bersamaan.

Contoh 1: Probabilitas Mendapatkan Dua Angka Genap

Untuk menentukan probabilitas munculnya dua angka genap pada dua lemparan dadu, dicari terlebih dahulu seluruh kombinasi yang menghasilkan dua angka genap. Berdasarkan ruang sampel, terdapat 9 kombinasi yang memenuhi kriteria tersebut. Maka:

\[P(\text{dua angka genap}) = \frac{9}{36} = 0.25\]

Contoh 2: Probabilitas Mendapatkan Setidaknya Satu Angka “2”

Untuk menentukan probabilitas munculnya setidaknya satu angka “2”, dihitung seluruh kombinasi yang memuat angka “2” pada salah satu dadu. Berdasarkan ruang sampel, terdapat 11 hasil yang memenuhi. Maka:

\[P(\text{setidaknya satu 2}) = \frac{11}{36} \approx 0.3056\]

4.4 Probabilitas Union dari Dua Peristiwa dengan Operator “OR”

Kata “OR” pada soal probabilitas menunjukkan bahwa yang dihitung adalah union dari dua peristiwa. Sebagai contoh, hitung probabilitas terjadinya dua angka genap atau setidaknya satu angka “2”. Dengan menggunakan rumus union:

Diketahui: - \(P(\text{dua angka genap}) = \frac{9}{36}\) - \(P(\text{setidaknya satu 2}) = \frac{11}{36}\) - \(P(\text{dua angka genap dan setidaknya satu 2}) = \frac{5}{36}\)

Maka: \[P(\text{dua angka genap atau setidaknya satu 2}) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = 0.4167\]

4.5 Visualisasi dengan Diagram Venn

Pemahaman mengenai probabilitas union dapat diperjelas melalui diagram Venn. Pada diagram tersebut:

• Area berwarna hijau menggambarkan peristiwa dua angka genap
• Area berwarna biru menggambarkan peristiwa munculnya setidaknya satu angka “2”
• Area yang saling tumpang tindih menunjukkan terjadinya kedua peristiwa secara bersamaan (intersection)

Karena area intersection terhitung dua kali saat menjumlahkan \(P(A)\) dan \(P(B)\), maka bagian tersebut harus dikurangi. Inilah alasan mengapa rumus union menggunakan pengurangan \(P(A \cap B)\).

Kesimpulan

Probabilitas union dari dua peristiwa diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas masing-masing peristiwa, kemudian mengurangi probabilitas terjadinya keduanya secara bersamaan untuk menghindari penghitungan ganda. Untuk setiap soal yang menggunakan operator “OR”, rumus yang digunakan adalah:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Dengan memahami konsep ini serta penerapannya, berbagai persoalan probabilitas dalam ruang sampel yang kompleks dapat diselesaikan dengan lebih sistematis.

5.1 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel merupakan himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Misalnya, pada percobaan melempar satu dadu enam sisi, ruang sampelnya terdiri dari enam kemungkinan hasil: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

Jika dua dadu dilempar secara bersamaan, ruang sampelnya berjumlah 36 hasil yang mungkin. Hal ini karena masing-masing dadu memiliki enam sisi sehingga setiap kombinasi dua angka dari dua dadu membentuk ruang sampel tersebut.

5.2 Peristiwa Saling Eksklusif (Mutually Exclusive Events)

Peristiwa saling eksklusif adalah peristiwa yang tidak memiliki hasil yang sama atau tidak berbagi elemen hasil apa pun. Artinya, dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Oleh karena itu, probabilitas keduanya terjadi pada saat yang sama bernilai nol.

Contoh:

Misalkan terdapat dua peristiwa:

• Peristiwa A: Mendapatkan angka setidaknya 1-5 pada dua dadu
• Peristiwa B: Jumlah angka dari dua dadu kurang dari 4

Terdapat 11 hasil yang memenuhi kriteria peristiwa A sehingga probabilitasnya adalah:

\[P(A) = \frac{11}{36}\]

Untuk peristiwa B, terdapat 3 hasil yang memenuhi kriteria jumlah kurang dari 4 sehingga probabilitasnya:

\[P(B) = \frac{3}{36}\]

Karena tidak terdapat hasil yang sama antara kedua peristiwa tersebut, maka A dan B merupakan peristiwa saling eksklusif, sehingga:

\[P(A \cap B) = 0\]

5.3 Peristiwa Lengkap (Exhaustive Events)

Peristiwa lengkap merupakan peristiwa-peristiwa yang bersama-sama mencakup seluruh hasil yang mungkin dalam ruang sampel. Jika digambarkan melalui diagram Venn, seluruh area ruang sampel terwakili oleh peristiwa tersebut tanpa ada bagian yang tersisa.

Contoh:

Misalkan terdapat dua peristiwa:

• Peristiwa A: Mendapatkan angka setidaknya 1-6 pada dua dadu
• Peristiwa B: Jumlah angka dari dua dadu kurang dari 11

Peristiwa A memiliki 11 hasil yang memenuhi kriteria, sehingga probabilitasnya:

\[P(A) = \frac{11}{36}\]

Peristiwa B memiliki 33 hasil yang memenuhi kriteria jumlah kurang dari 11, sehingga:

\[P(B) = \frac{33}{36}\]

Karena kedua peristiwa tersebut bersama-sama mencakup seluruh ruang sampel (36 hasil), maka A dan B adalah peristiwa lengkap. Dengan demikian, probabilitas union keduanya adalah:

\[P(A \cup B) = 1\]

5.4 Hubungan antara Peristiwa Saling Eksklusif dan Lengkap

Peristiwa saling eksklusif dan peristiwa lengkap dapat muncul secara bersamaan. Misalnya, jika peristiwa A adalah jumlah angka dua dadu yang genap, dan peristiwa B adalah jumlah angka dua dadu yang ganjil, kedua peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan sehingga bersifat saling eksklusif. Namun, keduanya secara kolektif mencakup seluruh ruang sampel, sehingga juga merupakan peristiwa lengkap.

Contoh:

• Peristiwa A: Jumlah angka dua dadu adalah genap (18 hasil)
• Peristiwa B: Jumlah angka dua dadu adalah ganjil (18 hasil)

Keduanya tidak tumpang tindih sehingga saling eksklusif. Karena jumlah hasil dari kedua peristiwa mencakup seluruh ruang sampel (36 hasil), maka A dan B juga merupakan peristiwa lengkap.

Kesimpulan

• Peristiwa saling eksklusif adalah peristiwa yang tidak memiliki hasil yang sama, sehingga probabilitas terjadinya kedua peristiwa secara bersamaan bernilai nol.

• Peristiwa lengkap adalah peristiwa yang bersama-sama mencakup seluruh hasil dalam ruang sampel, sehingga probabilitas union-nya selalu bernilai 1.

• Suatu pasangan peristiwa dapat bersifat saling eksklusif sekaligus lengkap apabila kedua peristiwa tersebut tidak tumpang tindih tetapi bersama-sama merepresentasikan seluruh ruang sampel.

6.1 Setting Binomial

Sebuah eksperimen dikatakan memiliki setting binomial apabila memenuhi empat kondisi berikut:

• Jumlah percobaan (n) tetap
  Jumlah percobaan yang dilakukan harus ditentukan sebelumnya.

• Terdapat dua hasil yang mungkin untuk setiap percobaan
  Pada setiap percobaan hanya ada dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal.

• Probabilitas sukses (p) konstan untuk setiap percobaan
  Artinya, peluang sukses harus tetap sama pada setiap percobaan.

• Setiap percobaan bersifat independen
  Hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.

Jika suatu eksperimen memenuhi keempat kondisi tersebut, maka eksperimen tersebut dapat disebut sebagai eksperimen binomial.

6.2 Contoh Soal Binomial

Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak tiga kali. Pertanyaannya adalah: berapa probabilitas mendapatkan satu kepala, dan apakah ini merupakan eksperimen binomial?

Dengan probabilitas kepala = 0,5 dan ekor = 0,5, probabilitas masing-masing hasil dihitung dengan mengalikan probabilitas tiap kejadian. Misalnya untuk hasil H T T:

\[P(HTT) = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125\]

Karena terdapat tiga hasil yang memenuhi syarat, total probabilitas mendapatkan satu kepala adalah:

\[P(\text{satu kepala}) = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375\]

Pemeriksaan Binomial

Selanjutnya, kita memeriksa apakah eksperimen ini memenuhi syarat sebagai eksperimen binomial:

Karena seluruh kondisi terpenuhi, eksperimen ini merupakan eksperimen binomial.

6.3 Contoh Soal Lanjutan

Misalkan terdapat 10 bola dalam sebuah kotak, terdiri dari 3 bola merah, 2 bola hijau, dan 5 bola biru. Jika dipilih 5 bola dengan pengembalian, berapa probabilitas memilih tepat 2 bola hijau?

Pemeriksaan Binomial Untuk menentukan apakah percobaan ini merupakan eksperimen binomial, kita memeriksa kondisi berikut:

Probabilitas Dasar

P(Sukses) = P(Hijau) = 2/10 = 0.2

P(Gagal) = P(Bukan Hijau) = 8/10 = 0.8

Menggunakan Rumus Binomial

Untuk menghitung probabilitas memilih tepat dua bola hijau, dapat digunakan rumus binomial:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

Dengan:

• \(n = 5\) (jumlah percobaan)

• \(k = 2\) (jumlah sukses yang diinginkan)

• \(p = 0,2\) (probabilitas sukses)

• \(1 - p = 0,8\) (probabilitas gagal)

Substitusi nilai ke dalam rumus:

\[P(X = 2) = \binom{5}{2} (0,2)^2 (0,8)^3 = 10 \times 0,04 \times 0,512 = 0,2048\]

Jadi, probabilitas memilih tepat dua bola hijau adalah 0,2048.

7.1 Rumus Binomial

Rumus binomial digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya k sukses dalam n percobaan, dengan probabilitas sukses p pada setiap percobaan. Rumusnya adalah:

\[P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

Dengan keterangan: - \(k\) adalah jumlah sukses yang diinginkan - \(n\) adalah jumlah percobaan - \(p\) adalah probabilitas sukses pada setiap percobaan

7.2 Contoh Kasus Binomial

Misalkan koin dilempar dua kali, dan ingin dihitung probabilitas mendapatkan 1 kepala (sukses). Dalam hal ini: - \(n = 2\) (dua lemparan koin) - \(p = 0.5\) (peluang mendapatkan kepala sebesar 50%)

Menggunakan rumus binomial, probabilitas untuk setiap nilai k (0, 1, dan 2) adalah:

\[P(0) = \binom{2}{0} (0.5)^0 (0.5)^2 = 0.25\] \[P(1) = \binom{2}{1} (0.5)^1 (0.5)^1 = 0.50\] \[P(2) = \binom{2}{2} (0.5)^2 (0.5)^0 = 0.25\]

Dengan demikian, probabilitas mendapatkan: - 0 kepala adalah 0.25 - 1 kepala adalah 0.50 - 2 kepala adalah 0.25

7.3 Visualisasi Distribusi Binomial

Visualisasi Dasar (n=2, p=0.5)

Pengaruh Nilai p terhadap Bentuk Distribusi

Perbandingan Tiga Bentuk Distribusi Binomial

5. Pengaruh Nilai p pada Bentuk Distribusi

Distribusi binomial sangat dipengaruhi oleh nilai p sebagai probabilitas sukses pada setiap percobaan.

• Jika p = 0.5, distribusi bersifat simetris
• Jika p < 0.5, distribusi condong ke kanan (right-skewed), menunjukkan lebih banyak kegagalan daripada sukses
• Jika p > 0.5, distribusi condong ke kiri (left-skewed), menunjukkan lebih banyak sukses daripada kegagalan

Contoh: - Jika \(p = 0.1\) dan \(n = 10\), distribusi akan terpusat pada nilai rendah (lebih banyak kegagalan) - Jika \(p = 0.8\) dan \(n = 10\), distribusi terpusat pada nilai tinggi (lebih banyak sukses)

6. Pendekatan Normal untuk Distribusi Binomial

Saat nilai n semakin besar, distribusi binomial cenderung mendekati distribusi normal. Untuk menggunakan pendekatan normal, harus dipenuhi dua kondisi berikut:

\[n \times p \geq 10\] \[n \times (1-p) \geq 10\]

Kedua syarat ini memastikan bahwa pendekatan normal dapat digunakan secara aman untuk analisis dan perhitungan probabilitas pada distribusi binomial.

Contoh Pengecekan:

Ringkasan Visual Perkembangan ke Distribusi Normal

Kesimpulan

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah sukses dalam percobaan berulang. Rumus binomial memungkinkan perhitungan probabilitas sukses pada setiap percobaan, dan parameter seperti rata-rata, varians, dan standar deviasi dapat dihitung secara langsung. Bentuk distribusi sangat ditentukan oleh nilai p, yang mempengaruhi apakah distribusi bersifat simetris atau condong ke salah satu sisi. Ketika nilai n besar dan memenuhi dua kondisi tertentu, distribusi binomial dapat didekati dengan distribusi normal.