Tugas Week 10 ~ Essential of Probability

Foto Diri Saya dengan Latar Neon

1 Fundamental Concept: Probability, Sample Spaces, and the Complement Rule

Ringkasan: Bagian ini memperkenalkan fondasi berpikir probabilistik. Kita belajar bahwa probabilitas adalah kuantifikasi dari ketidakpastian. Kunci utamanya adalah mendefinisikan Ruang Sampel (\(S\)) dengan tepat sebelum menghitung peluang kejadian tertentu.

1.1 Definisi & Rumus Penting

Ruang Sampel & Komplemen

  • Ruang Sampel (\(S\)): Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu eksperimen.
  • Aturan Komplemen: Peluang suatu kejadian \(A\) tidak terjadi (\(A^c\) atau \(A'\)).
    \[P(A^c) = 1 - P(A)\]

1.2 Contoh Permasalahan: Pelemparan Dadu

Kasus: Anda melempar satu dadu yang adil (6 sisi). Berapa peluang munculnya angka bukan 6?

  1. Definisikan Ruang Sampel:

    \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]

  2. Kejadian \(A\) (muncul 6) adalah \(\{6\}\), maka

    \[P(A) = \frac{1}{6}\]

  3. Menggunakan aturan komplemen:

    \[P(\text{Bukan } 6) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833\]

1.3 Visualisasi Interaktif

Grafik di bawah ini membandingkan peluang mendapatkan angka 6 vs angka lainnya. Arahkan kursor untuk melihat detailnya.

dice_data <- data.frame(
  Sisi = factor(1:6),
  Probabilitas = rep(1/6, 6),
  Kategori = c(rep("Bukan 6", 5), "Angka 6")
)

fig1 <- plot_ly(dice_data, x = ~Sisi, y = ~Probabilitas, type = 'bar',
               color = ~Kategori, colors = c(col_blue, col_red),
               hoverinfo = 'text',
               text = ~paste("Sisi:", Sisi, "<br>Peluang:", round(Probabilitas, 3), 
                             "<br>Kategori:", Kategori)) %>%
  layout(title = "Distribusi Probabilitas Dadu Adil",
         yaxis = list(title = "Probabilitas", range = c(0, 0.25)),
         xaxis = list(title = "Mata Dadu"),
         legend = list(title = list(text = "Kategori")),
         paper_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         plot_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         font = list(color = '#bdc3c7'),
         # *** PENGATURAN UKURAN SPESIFIK ***
         width = 750,
         height = 500
         )

fig1

2 Probability of Independent and Dependent Events

Poin Kunci: Perbedaan utama terletak pada konsep “Pengembalian” (Replacement).
  • Jika objek dikembalikan, kejadian kedua tidak terpengaruh (Independen).
  • Jika tidak dikembalikan, komposisi ruang sampel berubah, memengaruhi peluang berikutnya (Dependen).

2.1 Perbandingan Rumus

Aturan Perkalian (Intersection / AND)

  1. Independen (Saling Bebas): Kejadian A tidak mengubah B.

    \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

  2. Dependen (Bersyarat): Kejadian A mengubah peluang B.

    \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\]

    Di mana \(P(B|A)\) adalah peluang B terjadi setelah A terjadi.

2.2 Contoh Permasalahan: Toples Kelereng

Sebuah toples berisi 3 Kelereng Biru dan 2 Kelereng Merah (Total 5). Kita mengambil 2 kelereng berturut-turut. Berapa peluang mendapatkan Dua Kelereng Biru?

  1. Skenario Independen (Dengan Pengembalian):

\[P(\text{Biru}_1 \cap \text{Biru}_2) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0.36\]

  1. Skenario Dependen (Tanpa Pengembalian): Pada pengambilan kedua, sisa kelereng biru tinggal 2, dan total kelereng tinggal 4.

\[P(\text{Biru}_1 \cap \text{Biru}_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0.30\]

2.3 Visualisasi Perbandingan

Lihat bagaimana metode pengambilan mengubah probabilitas akhir secara signifikan.

marble_data <- data.frame(
  Skenario = c("Independen (Dikembalikan)", "Dependen (Tidak Dikembalikan)"),
  Peluang = c(0.36, 0.30)
)

fig2 <- plot_ly(marble_data, x = ~Skenario, y = ~Peluang, type = 'bar',
                marker = list(color = c(col_blue, col_red)),
                hoverinfo = "text",
                text = ~paste("Skenario:", Skenario, "<br>Peluang Akhir:", Peluang)) %>%
  layout(title = "Dampak Dependensi pada Peluang (2 Kelereng Biru)",
         yaxis = list(title = "Probabilitas", range = c(0, 0.5)),
         paper_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         plot_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         font = list(color = '#bdc3c7'),
         # *** PENGATURAN UKURAN SPESIFIK ***
         width = 750,
         height = 500
         )
fig2

3 Union of Events

</div</div

Konsep ini menangani kata kunci “ATAU” (\(\cup\)). Tantangan utamanya adalah menghindari double counting (menghitung irisan dua kali).

General Addition Rule

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Catatan: Jika kejadian saling lepas (Mutually Exclusive), maka \(P(A \cap B) = 0\), sehingga rumusnya menjadi \(P(A) + P(B)\).

3.1 Contoh Permasalahan: Kartu Remi

Dari 52 kartu standar, berapa peluang mengambil Kartu Hati (\(\heartsuit\)) ATAU Kartu Wajah (J, Q, K)?

  • \(P(\text{Hati}) = \frac{13}{52}\)

  • \(P(\text{Wajah}) = \frac{12}{52}\)(J, Q, K di 4 jenis kartu)

  • Irisan: Ada kartu yang merupakan Hati DAN Wajah (J\(\heartsuit\), Q\(\heartsuit\), K\(\heartsuit\)).

    \[P(\text{Hati} \cap \text{Wajah}) = \frac{3}{52}\]

  • Perhitungan Total:

    \[P(\text{Hati} \cup \text{Wajah}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} \approx 0.423\] ## Visualisasi Komponen

Grafik ini memecah komponen untuk menunjukkan area yang unik dan area irisan.

# Asumsikan col_red, col_blue telah didefinisikan sebelumnya
col_red    <- "#ff6b6b"
col_blue   <- "#1e90ff" 

card_data <- data.frame(
  Komponen = c("Hati Saja (Non-Wajah)", "Wajah Saja (Non-Hati)", "Irisan (Wajah Hati)", "Kartu Lainnya"),
  Jumlah = c(10, 9, 3, 30) # 13-3, 12-3, 3, 52-22
)

fig3 <- plot_ly(card_data, labels = ~Komponen, values = ~Jumlah, type = 'pie', hole = 0.5,
                textinfo = 'label+value',
                marker = list(colors = c(col_red, col_blue, "#8e44ad", "#34495e"))) %>%
  layout(title = "Komposisi Kartu (Total 52)",
         showlegend = FALSE,
         paper_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         plot_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         font = list(color = '#bdc3c7'),
         # *** PENGATURAN UKURAN SPESIFIK ***
         width = 750,
         height = 500
         )
fig3

4 Exclusive and Exhaustive

Dua istilah yang sering membingungkan namun penting dalam mendefinisikan ruang sampel:
  • Mutually Exclusive (Saling Lepas): Dua kejadian tidak bisa terjadi bersamaan.

    \[A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0\]

  • Exhaustive (Menyeluruh): Gabungan kejadian mencakup seluruh kemungkinan.

    \[P(A \cup B \cup ...) = S \Rightarrow \sum P(A_i) = 1\]

4.1 Contoh Visual: Survei Kepuasan

Bayangkan survei dengan tiga opsi: Tidak Puas, Netral, Puas.

  • Exclusive: Responden hanya boleh memilih satu opsi (tidak bisa Puas sekaligus Tidak Puas).

  • Exhaustive: Tidak ada opsi lain (seperti “Sangat Marah” atau “Sangat Bahagia”) di luar tiga pilihan ini dalam kuesioner tersebut.

survey_data <- data.frame(
  Kategori = c("Tidak Puas", "Netral", "Puas"),
  Count = c(15, 25, 60)
)

fig4 <- plot_ly(survey_data, labels = ~Kategori, values = ~Count, type = 'pie', 
                textinfo = 'percent',
                marker = list(colors = c(col_red, "#95a5a6", col_blue))) %>%
  layout(title = "Contoh Mutually Exclusive & Exhaustive (Total = 100%)",
         paper_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         plot_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         font = list(color = '#bdc3c7'),
         # *** PENGATURAN UKURAN SPESIFIK ***
         width = 750,
         height = 500
         )
fig4

5 Binomial Experiment

Video ini memperkenalkan jenis eksperimen probabilistik diskrit yang sangat spesifik, yaitu Eksperimen Binomial. Tidak semua eksperimen dapat dihitung menggunakan rumus Binomial; harus memenuhi kriteria ketat.

5.1 Kriteria Eksperimen Binomial

Suatu eksperimen harus memenuhi empat kriteria ketat untuk dianggap Binomial:

  1. Fixed Number of Trials (\(n\)): Jumlah percobaan harus tetap.
  2. Two Possible Outcomes: Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil (Sukses/\(p\) atau Gagal/\(q\)).
  3. Independent Trials: Hasil dari setiap percobaan tidak memengaruhi yang lain.
  4. Constant Probability (\(p\)): Probabilitas sukses (\(p\)) harus sama untuk setiap percobaan.

5.2 Rumus Probabilitas Binomial

Fungsi Probabilitas Massa (PMF) Binomial

Digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat \(x\) sukses dari \(n\) percobaan:

\[P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}\]

Di mana\(\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}\) adalah koefisien binomial.

5.3 Contoh Permasalahan: Uji Coba Vaksin & Kriteria

Sebuah perusahaan menguji vaksin dengan tingkat efektivitas \(90\%\) (\(p=0.90\)) pada 5 orang (\(n=5\)). Karena memenuhi kriteria BINS (Binary, Independent, Number Fixed, Same Probability), kita dapat menghitung peluang \(x\) sukses.

6 Binomial Distribution

Syarat & Rumus Binomial

Digunakan untuk eksperimen dengan jumlah percobaan tetap (\(n\)) dan hasil biner (Sukses/Gagal). Setiap percobaan harus independen.

\[P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}\]

  • \(n\): Jumlah percobaan
  • \(x\): Jumlah sukses yang diinginkan
  • \(p\): Peluang sukses per percobaan
  • \(q\): Peluang gagal (\(1-p\))

6.1 Contoh Permasalahan: Ujian Pilihan Ganda (Hoki-hokian)

Seorang siswa menjawab acak 10 soal pilihan ganda. Setiap soal punya 4 pilihan (A, B, C, D), sehingga hanya 1 yang benar.

  • \(n = 10\)

  • (1 dari $p = 0.25$4)

  • Berapa peluang siswa tersebut menjawab tepat 5 soal dengan benar hanya dengan menebak?

\[P(X=5) = \binom{10}{5} (0.25)^5 (0.75)^{5}\]

6.2 Visualisasi Distribusi Probabilitas

Grafik ini menunjukkan seberapa sulit mendapatkan nilai bagus hanya dengan menebak.

n <- 10
p <- 0.25
x_vals <- 0:10
# Menghitung probabilitas binomial
probs <- dbinom(x_vals, size = n, prob = p) 

binom_data <- data.frame(
  Jumlah_Benar = factor(x_vals),
  Probabilitas = probs
)

# Menentukan warna: Highlight x=5
colors_bar <- rep(col_blue, 11)
colors_bar[6] <- col_red # Index ke-6 adalah x=5 (karena mulai dari 0)

fig6 <- plot_ly(binom_data, x = ~Jumlah_Benar, y = ~Probabilitas, type = 'bar',
                marker = list(color = colors_bar),
                hoverinfo = 'text',
                text = ~paste("Benar:", Jumlah_Benar, "<br>Peluang:", round(Probabilitas, 4)*100, "%")) %>%
  layout(title = paste("Distribusi Menebak 10 Soal (p=0.25)"),
         xaxis = list(title = "Jumlah Jawaban Benar (x)"),
         yaxis = list(title = "Probabilitas P(X=x)"),
         paper_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         plot_bgcolor='rgba(0,0,0,0)',
         font = list(color = '#bdc3c7'),
         annotations = list(
           list(x = 5, y = probs[6], text = "Target (x=5)", showarrow = T, arrowhead = 2, ax = 0, ay = -40)
         ),
         # *** PENGATURAN UKURAN SPESIFIK ***
         width = 750,
         height = 500
         )

fig6

Daftar Pustaka

Untuk pendalaman materi, berikut adalah beberapa sumber yang mendukung konsep-konsep di atas :

  • Probabilitas Fundamental & Ruang Sampel
    • Buku Teks: A First Course in Probability (Sheldon Ross). Klasik untuk memahami dasar-dasar hitungan (kombinasi, permutasi) dan teorema fundamental.
    • Sumber Online: Khan Academy: Modul Basic Theoretical Probability (Menjelaskan Aturan Komplemen dan Ruang Sampel dengan visual yang mudah).
  • Independent, Dependent, & Union of Events
    • Buku Teks: Elementary Statistics (Mario F. Triola). Menyediakan banyak contoh visual mengenai kelereng/kartu untuk membedakan kejadian dengan/tanpa pengembalian.
    • Sumber Online: Introductory Statistics (OpenStax). Sumber daya gratis yang mencakup aturan penjumlahan umum dan probabilitas bersyarat.
  • Distribusi Binomial
    • Buku Teks: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (Jay L. Devore). Ideal untuk pemahaman mendalam tentang kriteria BINS (\(n\), \(p\), \(q\)).
    • Sumber Online: StatTrek - Binomial Distribution (Situs yang menyediakan kalkulator dan penjelasan langkah demi langkah mengenai rumus PMF Binomial).