2.1 Fundamental Concept

Probabilitas adalah peluang suatu kejadian terjadi, dihitung dengan membagi jumlah hasil menguntungkan dengan jumlah semua hasil yang mungkin. Probabilitas juga adalah cabang matematika yang mempelajari peluang terjadinya suatu peristiwa dalam kondisi ketidakpastian. Dalam statistika, probabilitas menjadi fondasi utama untuk inferensi, pemodelan data, dan pengambilan keputusan berbasis bukti.

Rumus probabilitas : \[ P(event) = \frac{number\ of\ favorable\ outcomes}{total\ number\ of\ possible\ outcomes} \] Contoh Dasar : Pelemparan Koin

Untuk satu kali pelemparan koin:

• Hasil yang menguntungkan: Muncul sisi angka (heads) = 1 hasil
  
• Jumlah kemungkinan hasil: Angka (heads) atau gambar (tails) = 2 hasil
  
• Peluang:
  \[ P(\text{heads}) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\% \]

Dengan cara yang serupa : \[ P(\text{tails}) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\% \]

Beberapa Kejadian : Dua Kali Melempar Koin :

Saat melempar koin dua kali, peluang mendapatkan dua sisi angka (two heads) adalah:

\[ P(2\ \text{heads}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 = 25\% \]

Perkalian ini berlaku karena kedua kejadian tersebut merupakan kejadian independen.

Ruang sampel

Ruang sampel adalah keseluruhan himpunan kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

Untuk dua lemparan koin, ruang sampel lengkapnya meliputi:

• 0 sisi kepala (TT)

• 1 sisi kepala (HT atau TH)

• 2 sisi kepala (HH)

Diagram Ruang Sampel

Hasil lengkap dari dua lemparan koin:

• HH (Kepala, Kepala)

• HT (Kepala, Ekor)

• TH (Ekor, Kepala)

• TT (Ekor, Ekor)

Total kemungkinan hasil: 4

Setiap hasil memiliki peluang:

\[ 0.5 \times 0.5 = 0.25 \]

Perhitungan Probabilitas

library(knitr)

tabel_koin <- data.frame(
  "Jumlah Kepala" = c(
    "2 Kepala",
    "1 Kepala, 1 Ekor",
    "1 Ekor, 1 Kepala",
    "2 Ekor"
  ),
  "Urutan" = c("HH", "HT", "TH", "TT"),
  "Probabilitas" = c(
    "$0.5 \\times 0.5 = 0.25$",
    "$0.5 \\times 0.5 = 0.25$",
    "$0.5 \\times 0.5 = 0.25$",
    "$0.5 \\times 0.5 = 0.25$"
  ),
  check.names = FALSE
)

kable(tabel_koin, escape = FALSE, align = c("l", "c", "c"))

Contoh: Peluang Mendapatkan Setidaknya Satu Gambar

Untuk mencari \(P(\text{setidaknya satu gambar})\):

1. Identifikasi hasil yang memiliki setidaknya satu gambar: HT, TH, TT
2. Jumlahkan peluangnya:
   \[ 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 \]

Aturan Peluang

Semua permasalahan peluang harus memenuhi dua kondisi:

1. Aturan Rentang (Range Rule): \(0 \le P(\text{kejadian}) \le 1\)
   • \(P = 0\) : Kejadian tidak pernah terjadi
     
   • \(P = 1\) : Kejadian selalu terjadi
     
   • \(P = 0.5\) : Kejadian terjadi 50% dari waktu
2. Aturan Jumlah (Sum Rule): Total peluang dalam satu ruang sampel harus sama dengan 1
   • Satu koin: \(0.5 + 0.5 = 1\)
     
   • Dua koin:
     \[ 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1 \]

Aturan Komplemen (The Complement Rule)

Aturan komplemen menyatakan bahwa peluang suatu kejadian tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi peluang kejadian itu terjadi.

Formula:
\[ P(\text{not } A) = 1 - P(A) \]

Atau ditulis sebagai:
\[ P(A') = 1 - P(A) \]

Contoh: Tidak Mendapatkan Dua Gambar

Menggunakan aturan komplemen untuk mencari \(P(\text{not 2 tails})\):

\[ P(\text{not 2 tails}) = 1 - P(2\ \text{tails}) = 1 - 0.25 = 0.75 \]

Metode alternatif: jumlahkan peluang yang relevan
\[ P(\text{not 2 tails}) = P(HH) + P(HT) + P(TH) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 \]

Rumus Penting

1. Peluang Dasar:
   \[ P(A) = \frac{\text{hasil yang menguntungkan}}{\text{total kemungkinan}} \]

2. Kejadian Majemuk:
   \[ P(A\ \text{dan}\ B) = P(A) \times P(B) \quad \text{(untuk kejadian independen)} \]

3. Aturan Komplemen:
   \[ P(A') = 1 - P(A) \]

2.2 Independet and Dependent

Peristiwa independen adalah peristiwa di mana terjadinya satu peristiwa tidak memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.

Karakteristik Utama

• Hasil dari satu kejadian tidak mempengaruhi hasil kejadian lainnya
  
• Peluang tetap konstan meskipun ada kejadian lain
  
• Contoh: Melempar dadu dan melempar koin

Rumus Peluang

Untuk dua kejadian independen A dan B:
\[ P(A\ \text{dan}\ B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh: Melempar Dadu dan Melempar Koin

Masalah:
Berapa peluang mendapatkan angka 5 pada dadu dan angka (heads) pada koin?

Solusi:

1. Peluang mendapatkan angka 5:
   \[ P(5) = \frac{1}{6} \]

2. Peluang mendapatkan heads:
   \[ P(\text{heads}) = \frac{1}{2} \]

3. Peluang gabungannya:
   \[ P(5\ \text{dan heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = 0.0833 \]

Peristiwa Dependen

Peristiwa dependen adalah peristiwa yang hasilnya saling mempengaruhi.
Artinya, peluang peristiwa kedua dapat berubah setelah peristiwa pertama terjadi.

Ciri-Ciri Utama

• Hasil satu peristiwa mempengaruhi peristiwa lainnya
  
• Peluang berubah setelah peristiwa sebelumnya
  
• Umumnya terjadi pada proses tanpa pengembalian (without replacement)

Rumus Peluang

Untuk peristiwa dependen A dan B:

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B \text{ setelah A}) \]

Contoh: Mengambil Kelereng Tanpa Pengembalian

Misalkan sebuah kotak berisi 10 kelereng (7 hijau, 3 biru).

Masalah:
Berapa peluang mengambil hijau lalu biru, tanpa pengembalian?

Langkah-langkah:

1. Peluang mengambil hijau:

\[ P(\text{hijau}) = \frac{7}{10} \]

2. Setelah hijau diambil, sisa 9 kelereng (6 hijau, 3 biru).
   Peluang mengambil biru:

\[ P(\text{biru setelah hijau}) = \frac{3}{9} \]

3.Probabilitas gabungan:

\[ \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} = 0.233 \]

Contoh 2: Dua Kelereng Hijau

Masalah:

Peluang terambilnya dua kelereng hijau tanpa pengembalian.

Solusi:

1. Peluang mengambil hijau pada pengambilan pertama:

\[ P(\text{green}) = \frac{7}{10} \]

2. Peluang mengambil hijau pada pengambilan kedua (setelah hijau diambil):

\[ P(\text{green after green}) = \frac{6}{9} \]

3. Peluang gabungan:

\[ P(\text{dua hijau}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0.4667 \]

Ringkasan Perbedaan Utama

library(knitr)

tabel_independen <- data.frame(
  Aspek = c(
    "Definisi",
    "Probabilitas",
    "Rumus",
    "Replacement",
    "Contoh"
  ),
  "Kejadian_Independen" = c(
    "Satu kejadian tidak mempengaruhi yang lain",
    "Tetap konstan",
    "$P(A) \\times P(B)$",
    "Tidak berlaku",
    "Lempar dadu + lempar koin"
  ),
  "Kejadian_Dependen" = c(
    "Satu kejadian mempengaruhi kejadian lainnya",
    "Berubah setelah setiap kejadian",
    "$P(A) \\times P(B\\ \\text{setelah}\\ A)$",
    "Tanpa penggantian = dependen",
    "Mengambil kelereng tanpa penggantian"
  )
)

kable(
  tabel_independen,
  escape = FALSE,
  col.names = c("Definisi", "Kejadian Independen", "Kejadian Dependen"),
  align = c("l", "c", "c")
)

2.3 Union Of Events

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah keseluruhan himpunan hasil dalam suatu eksperimen statistik, yaitu seluruh kemungkinan outcome yang dapat terjadi sebelum kita menentukan peristiwa-peristiwa seperti union of events (A ∪ B).

Contoh:

• Dadu 6-sisi tunggal: 6 kemungkinan
  \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)

• Dua dadu 6-sisi:
  \(6 \times 6 = 36\) kemungkinan

Rumus Probabilitas Sederhana

Probabilitas adalah peluang bahwa sebuah kejadian akan terjadi, dihitung dengan rumus:

\[ \text{Probabilitas} = \frac{\text{Jumlah kejadian yang diinginkan}} {\text{Jumlah seluruh kemungkinan}} \]

Contoh: Peluang mendapatkan dua angka 4 saat melempar dua dadu:
\[ \frac{1}{36} \]

Contoh Peluang Dadu

Irisan Kejadian (Intersection of Events)

Irisan kejadian menggambarkan hasil di mana kedua kejadian terjadi secara bersamaan.

Contoh: Peluang mendapatkan dua angka genap dan minimal salah satu angkanya adalah angka dua:

• Hasil yang tumpang tindih: 5

• Peluang: \(\frac{5}{36}\)

Penting: Rumus kejadian saling bebas tidak dapat digunakan karena kedua kejadian memiliki hasil yang saling tumpang tindih.

Rumus Gabungan Kejadian (Union of Events)

Gabungan kejadian menghitung peluang bahwa kejadian A atau kejadian B terjadi.

Rumus Gabungan (Union Formula)

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Indikator penting: Cari kata “atau” pada soal peluang.

Contoh Lengkap Gabungan Kejadian

Pertanyaan:
Berapa peluang mendapatkan dua angka genap atau minimal salah satu angkanya adalah angka dua?

Penyelesaian:

• \(P(\text{dua angka genap}) = \frac{9}{36}\)

• \(P(\text{minimal satu angka dua}) = \frac{11}{36}\)

• \(P(\text{keduanya}) = \frac{5}{36}\)

\[ P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = 0.4167 \]

Visualisasi Diagram Venn

library(VennDiagram)
library(grid)

# Data sesuai materi
A <- 9    # dua angka genap
B <- 11   # minimal satu angka dua
AB <- 5   # irisan A dan B

# Membuat diagram venn
venn_plot <- draw.pairwise.venn(
  area1 = A,
  area2 = B,
  cross.area = AB,
  category = c("Dua Angka Genap", "Minimal Satu Angka Dua"),
  fill = c("skyblue", "lightgreen"),
  alpha = c(0.5, 0.5),
  lty = "blank",
  cex = 1.6,
  cat.cex = 1.4,
  cat.pos = c(-20, 20),
  cat.dist = c(0.05, 0.05)
)

# Tampilkan
grid.draw(venn_plot)

Istilah pengurangan pada rumus gabungan digunakan untuk menghilangkan hasil yang terhitung ganda:

• Lingkaran A (dua angka genap): 25% dari seluruh ruang sampel
  
• Lingkaran B (minimal satu angka dua): 31% dari seluruh ruang sampel
  
• Irisan (kedua kejadian): 13.89% dari seluruh ruang sampel
  
• Total gabungan: 41.67% dari seluruh ruang sampel

Pengurangan ini mencegah penghitungan ganda pada hasil yang memenuhi kedua kondisi.

2.4 Exclusive and Exhaustive

Peristiwa lengkap adalah peristiwa yang memuat semua kemungkinan hasil dalam ruang sampel. Secara keseluruhan, peristiwa-peristiwa tersebut mencakup setiap kemungkinan.

Contoh: Melempar Dua Dadu

Kejadian A: Mendapatkan minimal satu angka 6 - Terdapat 11 outcome yang memungkinkan. - Probabilitas: \[ P(A) = \frac{11}{36} \]

library(VennDiagram)
library(grid)

# Data sesuai materi
A_exh <- 11   # minimal satu angka 6
B_exh <- 33   # jumlah < 11
AB_exh <- 8   # overlap A dan B

# Diagram exhaustive (ada overlap, dan union = seluruh sample space)
venn_exhaustive <- draw.pairwise.venn(
  area1 = A_exh,
  area2 = B_exh,
  cross.area = AB_exh,
  category = c("Minimal Satu Angka 6", "Jumlah < 11"),
  fill = c("#87CEEB", "#98FB98"),
  alpha = c(0.5, 0.5),
  lty = "blank",
  cex = 1.4,
  cat.cex = 1.3,
  cat.pos = c(-20, 20),
  cat.dist = c(0.05, 0.05)
)

grid.draw(venn_exhaustive)

Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 11 - Terdapat 33 outcome yang memungkinkan. - Probabilitas: \[ P(B) = \frac{33}{36} \]

A_me <- 18   # jumlah genap
B_me <- 18   # jumlah ganjil
AB_me <- 0   # tidak ada overlap

venn_mutual <- draw.pairwise.venn(
  area1 = A_me,
  area2 = B_me,
  cross.area = AB_me,
  category = c("Jumlah Genap", "Jumlah Ganjil"),
  fill = c("#FFA07A", "#20B2AA"),
  alpha = c(0.5, 0.5),
  lty = "blank",
  cex = 1.4,
  cat.cex = 1.3,
  cat.pos = c(-20, 20),
  cat.dist = c(0.05, 0.05)
)

grid.draw(venn_mutual)

Hasil: Kedua kejadian ini bersifat exhaustive, karena setiap outcome pada ruang sampel tercakup oleh minimal satu dari kedua kejadian tersebut.

Verifikasi Matematis

Rumus union untuk kejadian yang exhaustive :

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1 \]

Menggunakan contoh exhaustive sebelumnya:

• Probabilitas kejadian A: \[ P(A) = \frac{11}{36} \]

• Probabilitas kejadian B: \[ P(B) = \frac{33}{36} \]

• Probabilitas irisan kedua kejadian (overlap): \[ P(A \cap B) = \frac{8}{36} \]

Maka:

\[ P(A \cup B) = \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = \frac{36}{36} = 1 \]

Kejadian yang Bersifat Mutually Exclusive dan Exhaustive

Kejadian dapat secara bersamaan bersifat mutually exclusive dan exhaustive apabila:

• Tidak memiliki overlap (mutually exclusive)
  
• Mencakup seluruh kemungkinan di ruang sampel (exhaustive)

Contoh: Melempar Dua Dadu

Kejadian A: Jumlah mata dadu genap - 18 kejadian \[ P(A) = \frac{18}{36} \]

Kejadian B: Jumlah mata dadu ganjil - 18 kejadian \[ P(B) = \frac{18}{36} \]

Verifikasi

1. Mutually Exclusive Tidak ada kejadian yang jumlahnya genap dan ganjil sekaligus, sehingga: \[ P(A \cap B) = 0 \]

2. Exhaustive Menggabungkan semua kejadian (tanpa tumpang tindih):

\[ P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{18}{36} - 0 = \frac{36}{36} = 1 \]

Tabel Ringkasan

library(knitr)

tabel_kejadian <- data.frame(
  "JenisKejadian" = c(
    "Mutually Exclusive",
    "Exhaustive",
    "Keduanya"
  ),
  "Overlap" = c(
    "Tidak ada",
    "Bisa overlap",
    "Tidak ada"
  ),
  "PAdanB" = c(
    "0",
    "Nilai apa saja",
    "0"
  ),
  "PAatauB" = c(
    "P(A) + P(B)",
    "Selalu 1",
    "1"
  ),
  "Contoh" = c(
    "Minimal satu angka 5 vs. Jumlah < 4",
    "Minimal satu angka 6 vs. Jumlah < 11",
    "Jumlah genap vs. Jumlah ganjil"
  )
)

kable(
  tabel_kejadian, 
  escape = FALSE, 
  col.names = c("Jenis Kejadian", "Overlap", "P(A dan B)", "P(A atau B)", "Contoh"),
  align = c("l")
)

2.5 Binomial Experiment

Tata cara binomial merujuk pada percobaan dengan tepat dua kemungkinan hasil (berhasil atau gagal) yang diulang beberapa kali.

Empat Kondisi untuk Percobaan Binomial

Semua empat kondisi berikut harus dipenuhi agar suatu percobaan dapat dianggap sebagai binomial:

library(knitr)

tabel_kondisi <- data.frame(
  Kondisi = c(
    "Percobaan tetap",
    "Dua kemungkinan hasil",
    "Probabilitas konstan",
    "Percobaan independen"
  ),
  Deskripsi = c(
    "Jumlah percobaan \\(n\\) harus tetap (fixed).",
    "Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil: sukses atau gagal.",
    "Probabilitas sukses \\(P\\) harus tetap pada setiap percobaan.",
    "Setiap percobaan harus independen — hasil satu percobaan tidak memengaruhi yang lain."
  )
)

kable(tabel_kondisi, escape = FALSE, align = c("l", "l"))

Contoh Lempar Koin

Masalah:
Lempar sebuah koin sebanyak 3 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 1 kali gambar (head)?

Proses Penyelesaian

1. Identifikasi semua kemungkinan yang menghasilkan tepat 1 head:

• Head pada lemparan pertama, tail pada lemparan kedua dan ketiga: HTT
  
• Tail pada lemparan pertama, head pada lemparan kedua, tail pada lemparan ketiga: THT
  
• Tail pada lemparan pertama dan kedua, head pada lemparan ketiga: TTH

2. Hitung peluang masing-masing urutan

Rumus peluang setiap urutan:

\[ P(\text{urutan}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

Perhitungan:

\[ P(HTT) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

\[ P(THT) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

\[ P(TTH) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

Total peluang tepat 1 head:

\[ P(\text{tepat 1 head}) = 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \]

3. Menjumlahkan semua peluang

Total peluang mendapatkan tepat 1 head adalah:

\[ P = 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \]

Verifikasi: Mengapa ini termasuk percobaan binomial?

Percobaan ini termasuk eksperimen binomial karena memenuhi syarat:

• ✓ Jumlah percobaan tetap:
  \[ n = 3 \]

• Dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan: head (sukses) atau tail (gagal)

• Peluang sukses tetap pada setiap lemparan:
  \[ P(\text{head}) = 0.5 \]

• Percobaan saling bebas (independent): satu lemparan tidak memengaruhi lemparan lainnya

Rumus Binomial

Rumus binomial memberikan cara cepat untuk menghitung peluang dalam percobaan binomial.

Rumus umum:

\[ P(k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1 - p)^{n-k} \]

Dengan:

• \(n\) = jumlah percobaan
  
• \(k\) = jumlah keberhasilan (successes)
  
• \(p\) = peluang sukses
  
• \(\binom{n}{k}\) = kombinasi (“n choose k”)

Contoh Kelereng (Marble Example)

Permasalahan:
Sebuah kotak berisi 10 kelereng (3 pink, 2 hijau, 5 biru). Diambil 5 kelereng dengan pengembalian.
Berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?

Verifikasi syarat-syarat binomial:

• ✓ Jumlah percobaan tetap: \(n = 5\)
• ✓ Dua kemungkinan hasil: hijau (sukses) atau tidak hijau (gagal)
• ✓ Probabilitas konstan:
  \[ P(\text{hijau}) = \frac{2}{10} = 0.2 \quad (\text{dengan pengembalian}) \]
• ✓ Percobaan independen: pengembalian membuat setiap percobaan tidak saling mempengaruhi

Menggunakan rumus binomial:

Diketahui: \[ n = 5,\quad k = 2,\quad p = 0.2 \]

\[ P(2) = \binom{5}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^3 \]

\[ P(2) = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048 \]

Contoh Kelereng (Marble Example)

Permasalahan:
Sebuah kotak berisi 10 kelereng (3 pink, 2 hijau, 5 biru). Diambil 5 kelereng dengan pengembalian.
Berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?

Verifikasi syarat-syarat binomial:

• Jumlah percobaan tetap: \(n = 5\)
• Dua kemungkinan hasil: hijau (sukses) atau tidak hijau (gagal)
• Probabilitas konstan:
  \[ P(\text{hijau}) = \frac{2}{10} = 0.2 \quad (\text{dengan pengembalian}) \]
• Percobaan independen: pengembalian membuat setiap percobaan tidak saling mempengaruhi

Menggunakan rumus binomial:

Diketahui: \[ n = 5,\quad k = 2,\quad p = 0.2 \]

\[ P(2) = \binom{5}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^3 \]

\[ P(2) = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048 \]

Poin-Poin Penting

• “Bi” pada binomial berarti dua — selalu ada dua kemungkinan hasil
  
• Dengan pengembalian (with replacement) menjaga probabilitas tetap konstan dan percobaan tetap independen
  
• Rumus binomial berlaku hanya jika keempat syaratnya terpenuhi
  
• \[ \binom{n}{k} \] menghitung jumlah cara untuk mendapatkan k keberhasilan dalam n percobaan

2.6 Binomial Distribution

Rumus Binomial Rumus binomial digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan:

\[ P(k \text{ keberhasilan}) = \binom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n-k} \]

Dengan:

• k = jumlah keberhasilan
  
• n = jumlah percobaan
  
• p = probabilitas keberhasilan pada satu percobaan

Contoh: Lempar Koin

Untuk melempar koin dua kali (n = 2) dengan keberhasilan didefinisikan sebagai munculnya sisi gambar (heads) (p = 0.5):

Nilai-nilai kemungkinan untuk k adalah 0, 1, atau 2
(karena kita tidak bisa mendapatkan lebih dari 2 heads dalam 2 lemparan koin)

Probabilitas dihitung menggunakan rumus:

• \(P(0 \text{ heads}) = 0.25\)
• \(P(1 \text{ head}) = 0.50\)
• \(P(2 \text{ heads}) = 0.25\)

# Membuat tabel parameter
library(knitr)

tabel <- data.frame(
  Parameter = c("Mean (μ)", "Variance (σ²)", "Standard Deviation (σ)"),
  Formula = c(
    "$\\mu = np$",
    "$\\sigma^2 = np(1 - p)$",
    "$\\sigma = \\sqrt{np(1 - p)}$"
  )
)

kable(tabel, escape = FALSE, align = c("l", "l"))

Bentuk & Sifat Distribusi

• Pengaruh n (Jumlah Percobaan)

Seiring n meningkat, distribusi binomial:

• Mulai menyerupai distribusi normal
• Menjadi lebih simetris
• Untuk \(n = 10\), distribusi sudah mendekati normal

Perkiraan Normal Syarat Pendekatan Normal

Distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal jika memenuhi:

1. \(np \ge 10\)
   
2. \(n(1 - p) \ge 10\)

Mengapa Ini Berfungsi?

• Distribusi yang miring (skewed) membutuhkan nilai \(n\) yang lebih besar agar mendekati normal.

• Distribusi simetris (ketika \(p = 0.5\)) mendekati normal lebih cepat.

• Rata-rata \(\mu = np\) selalu menjadi pusat distribusi tempat data cenderung berkelompok.

• Jika \(n\) meningkat → Distribusi semakin mendekati normal.

• Jika \(p = 0.5\) → Distribusi simetris, paling cepat mendekati normal.

• Jika \(p \ne 0.5\) → Distribusi miring, memerlukan \(n\) yang lebih besar agar pendekatan normal valid.