2.1.1 Ciri-ciri percobaan acak:

• Semua outcome yang mungkin dapat didaftar secara lengkap
• Outcome mana yang akan terjadi tidak dapat diprediksi dengan pasti sebelum percobaan dilakukan
• Percobaan dapat diulang dalam kondisi yang sama

2.1.2 Contoh percobaan acak:

• Melempar dadu enam sisi
• Mengocok dan mengambil kartu dari setumpuk kartu
• Memilih bola dari keranjang tanpa melihat
• Mengamati hasil pengukuran dengan adanya error acak

Dalam setiap contoh tersebut, kita mengetahui semua kemungkinan hasil yang bisa terjadi, namun tidak dapat memastikan hasil mana yang akan muncul dalam satu percobaan tertentu.

2.1.3 Contoh Probabilitas dalam Lemparan Koin

1. Satu Kali Lemparan Koin

Langkah 1: Identifikasi Ruang Sampel (semua kemungkinan hasil) \[S = \{H, T\}\]

• \(S\) = Sample Space
• \(H\) = Head (gambar), \(T\) = Tail (angka)
• \(n(S)\) = 2 (total kemungkinan)

Langkah 2: Tentukan Kejadian yang diinginkan \[E = \{H\}\]

• \(E\) = Event (head muncul)
• \(n(E)\) = 1 (satu outcome yang diinginkan)

Langkah 3: Hitung Probabilitas

\[P(H) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{2} = 0,5\]

• \(P(H)\) = Peluang head
• Rumus: \(\frac{\text{kejadian diinginkan}}{\text{total kemungkinan}}\)

Hasil: Probabilitas muncul head = \(0,5\) atau \(50\%\)

2. Dua Kali Lemparan Koin - HEAD di Kedua Lemparan

Langkah 1: Identifikasi Ruang Sampel (semua kemungkinan hasil) \[S = \{(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)\}\]

• \(S\) = Sample Space
• \((H,H)\) = Head di lemparan 1 dan Head di lemparan 2
• \((H,T)\) = Head di lemparan 1 dan Tail di lemparan 2
• \((T,H)\) = Tail di lemparan 1 dan Head di lemparan 2
• \((T,T)\) = Tail di lemparan 1 dan Tail di lemparan 2
• \(n(S)\) = 4 (total kemungkinan)

Langkah 2: Tentukan Kejadian yang diinginkan \[E = \{(H,H)\}\]

• \(E\) = Event (head muncul di kedua lemparan)
• \(n(E)\) = 1 (satu outcome yang diinginkan)

Langkah 3: Hitung Probabilitas \[P(H,H) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} = 0,25\]

• \(P(H,H)\) = Peluang head muncul di kedua lemparan
• Rumus: \(\frac{\text{kejadian diinginkan}}{\text{total kemungkinan}}\)

Hasil: Probabilitas muncul head di kedua lemparan = \(0,25\) atau \(25\%\)

2.2.1 Contoh Ruang Sampel

1. Peluang Minimal Satu Tail

Pertanyaan:
Jika sebuah koin dilempar dua kali, berapa peluang munculnya minimal satu tail (setidaknya satu sisi angka)?

Langkah 1: Identifikasi Semua Kemungkinan (Ruang Sampel)
\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]
Masing-masing hasil memiliki peluang yang sama = \(\frac{1}{4}\)

Langkah 2: Identifikasi Kejadian yang Diinginkan
\[A = \{HT, TH, TT\}\]
(hasil yang mengandung minimal satu tail)

Langkah 3: Hitung Probabilitas
Dijumlahkan karena kejadian \(HT\), \(TH\), dan \(TT\) saling terpisah (tidak bisa terjadi bersamaan).
\[P(A) = P(HT) + P(TH) + P(TT) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75\]

Hasil:
Peluang muncul minimal satu tail = \(75\%\)

2. Peluang Tepat Satu Head

Pertanyaan:
Jika sebuah koin dilempar dua kali, berapa peluang munculnya tepat satu head (satu gambar saja)?

Langkah 1: Identifikasi Semua Kemungkinan
\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]
Masing-masing = \(\frac{1}{4}\)

Langkah 2: Identifikasi Kejadian yang Diinginkan
\[B = \{HT, TH\}\]
(hasil dengan tepat satu head)

Langkah 3: Hitung Probabilitas
Dijumlahkan karena \(HT\) dan \(TH\) adalah kejadian terpisah.
\[P(B) = P(HT) + P(TH) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0,5\]

Hasil:
Peluang muncul tepat satu head = \(50\%\)

3. Peluang Tidak Ada Head

Pertanyaan:
Jika sebuah koin dilempar dua kali, berapa peluang tidak muncul head sama sekali?

Langkah 1: Identifikasi Semua Kemungkinan
\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]
Masing-masing = \(\frac{1}{4}\)

Langkah 2: Identifikasi Kejadian yang Diinginkan
\[C = \{TT\}\]
(hanya hasil \(TT\) yang tidak mengandung head)

Langkah 3: Hitung Probabilitas
Tidak perlu dijumlah karena hanya ada satu hasil yang memenuhi.
\[P(C) = P(TT) = \frac{1}{4} = 0,25\]

Hasil:
Peluang tidak ada head = \(25\%\)

Ruang sampel dapat diklasifikasikan menjadi:

• Diskrit: outcome yang terhitung (seperti hasil lemparan dadu)
• Kontinu: outcome yang tak-terhitung (seperti pengukuran tinggi badan)

2.2.2 Kejadian / Events

Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, yaitu kumpulan beberapa outcome dari percobaan acak. Kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti \(A\), \(B\), \(C\).

2.2.3 Jenis-jenis kejadian:

1. Kejadian Sederhana: kejadian yang hanya terdiri dari satu outcome \[A = \{3\}\] (mata dadu muncul angka 3)

2. Kejadian Majemuk: kejadian yang terdiri dari beberapa outcome \[B = \{2, 4, 6\}\] (mata dadu genap) \[C = \{1, 3, 5\}\] (mata dadu ganjil)

3. Kejadian Mustahil: kejadian yang tidak mengandung outcome apapun \[D = \{\emptyset\}\]

4. Kejadian Pasti: kejadian yang mengandung semua outcome dalam ruang sampel \[E = S\]

2.2.4 Probabilitas Komplemen

Konsep Komplemen:
Komplemen dari suatu kejadian adalah kejadian TIDAK TERJADINYA kejadian tersebut. Jika A adalah suatu kejadian, maka komplemennya ditulis \(A^c\) atau \(A'\).

Rumus Probabilitas Komplemen: \[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Penjelasan Simbol: - \(P(A)\) = probabilitas kejadian \(A\) terjadi - \(P(A^c)\) = probabilitas kejadian \(A\) TIDAK terjadi - \(1\) = total probabilitas (100%)

Contoh Perhitungan:

Situasi: Peluang hujan besok adalah 0.3

• Kejadian A: Hujan besok → \(P(A) = 0.3\)
• Kejadian Komplemen \(A^c\): Tidak hujan besok

Probabilitas Tidak Hujan: \[P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7\]

Cara Berpikir:
Jika peluang hujan adalah 30%, maka peluang tidak hujan pasti 70%, karena total harus 100%.

Manfaat Konsep Komplemen:

Konsep ini sangat berguna ketika lebih mudah menghitung peluang suatu kejadian TIDAK terjadi daripada menghitung peluang kejadian tersebut terjadi.

Contoh: Dalam pengambilan 5 kartu dari deck 52 kartu, berapa probabilitas mendapatkan setidaknya satu As?

• Pendekatan komplemen: \[P(\text{setidaknya satu As}) = 1 - P(\text{tidak ada As})\] \[P(\text{tidak ada As}) = \frac{C(48,5)}{C(52,5)}\] \[P(\text{setidaknya satu As}) = 1 - \frac{C(48,5)}{C(52,5)}\]

3.1.1 Ciri-ciri Probabilitas Teoritis:

• Berdasarkan model ideal: Mengasumsikan kondisi perfect (misal: koin benar-benar seimbang, dadu sempurna)
• Nilai tetap: Untuk model yang sama, hasil perhitungannya selalu sama
• Tanpa eksperimen: Tidak membutuhkan percobaan nyata
• Contoh: \(P(head) = 0.5\) untuk koin yang fair (seimbang)

3.1.2 Contoh Perhitungan Teoritis:

Contoh 1: Pelemparan Dadu
Berapa peluang mendapatkan angka lebih besar dari 4?

• Analisis: Dadu memiliki 6 sisi (1,2,3,4,5,6)
• Angka > 4: Hanya 5 dan 6 → 2 kemungkinan
• Total kemungkinan: 6
• Perhitungan: \[P(angka > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333\]

Penjelasan: Dari 6 kemungkinan hasil, hanya 2 yang kita inginkan (5 dan 6), jadi peluangnya 2/6 = 1/3.

Contoh 2: Pengambilan Kartu
Berapa peluang mendapatkan kartu As dari setumpuk 52 kartu?

• Analisis: Satu deck memiliki 4 kartu As (As Sekop, As Hati, As Keriting, As Wajik)
• Jumlah As: 4 kartu
• Total kartu: 52 kartu
• Perhitungan: \[P(As) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769\]

Penjelasan: Dari 52 kartu, ada 4 kartu As, jadi peluangnya 4/52 = 1/13.

Kesimpulan: Probabilitas teoritis menghitung “seharusnya” berapa peluang suatu kejangan berdasarkan logika matematis, bukan berdasarkan percobaan nyata.

3.2.0.1 Ciri-ciri Probabilitas Empiris:

• Berdasarkan data nyata: Dihitung dari hasil pengamatan aktual
• Nilai dapat berubah: Semakin banyak data yang dikumpulkan, nilai probabilitasnya bisa berubah
• Memerlukan eksperimen: Harus melakukan pengamatan atau percobaan sungguhan
• Contoh: Frekuensi relatif head dalam 1000 lemparan koin nyata

3.2.0.2 Contoh Perhitungan Empiris:

Contoh 1: Pelemparan Koin 1000 Kali
Kita melempar koin sebanyak 1000 kali dan mencatat hasilnya:

• Head muncul: 480 kali
• Total lemparan: 1000 kali
• Perhitungan: \[P_{empiris}(head) = \frac{480}{1000} = 0.48\]

Penjelasan: Dari 1000 lemparan nyata, head muncul 480 kali, jadi peluang empiris head adalah 480/1000 = 0.48 atau 48%.

Contoh 2: Survey Opini
Kita melakukan survey terhadap 500 responden:

• Setuju: 350 orang
• Total responden: 500 orang
• Perhitungan: \[P_{empiris}(setuju) = \frac{350}{500} = 0.70\]

Penjelasan: Dari 500 orang yang disurvey, 350 orang setuju, jadi peluang empiris seseorang setuju adalah 350/500 = 0.70 atau 70%.

Perbedaan dengan Probabilitas Teoritis:

• Teoritis: Koin fair seharusnya \(P(head) = 0.5\) (berdasarkan teori)
• Empiris: Koin nyata mungkin \(P(head) = 0.48\) (berdasarkan percobaan)

Kesimpulan: Probabilitas empiris menjawab “berapa peluang berdasarkan data nyata yang sudah terjadi”, bukan “seharusnya” berapa peluangnya.

4.1.1 Contoh Perhitungan Kejadian Independen:

Situasi: Melempar dadu dan koin secara bersamaan

Penjelasan:
Hasil dari dadu tidak mempengaruhi hasil koin, dan sebaliknya. Walaupun seseorang memperoleh angka 6 dari dadu, hal itu tidak mengubah peluang munculnya head pada koin. Peluang head tetap 0.5.

Pertanyaan:
Jika seseorang mengocok dadu enam sisi dan melempar koin, berapa peluang muncul angka 5 pada dadu dan head pada koin?

Langkah 1: Hitung probabilitas masing-masing kejadian

Peluang angka 5 dari dadu: - Hasil yang diinginkan: 1 (angka 5) - Total kemungkinan: 6 - \(P(5) = \frac{1}{6}\)

Peluang head dari koin: - Hasil yang diinginkan: 1 (head) - Total kemungkinan: 2 - \(P(head) = \frac{1}{2}\)

Langkah 2: Gunakan rumus kejadian independen \[P(5 \cap head) = P(5) \times P(head) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx 0.0833\]

Hasil:
Peluang muncul angka 5 pada dadu dan head pada koin = \(\frac{1}{12}\) atau 8.33%

4.2.1 Contoh Perhitungan Kejadian Dependent:

Situasi: Mengambil kelereng dari kotak tanpa pengembalian

Setup: Kotak berisi 10 kelereng: - 7 kelereng hijau - 3 kelereng biru

Probabilitas awal: - \(P(hijau) = \frac{7}{10} = 0.7\) - \(P(biru) = \frac{3}{10} = 0.3\)

Contoh 1: Hijau kemudian Biru

Pertanyaan:
Jika dua kelereng diambil secara acak tanpa pengembalian, berapa peluang memperoleh kelereng hijau terlebih dahulu, kemudian kelereng biru?

Langkah 1: Hitung probabilitas pengambilan pertama - \(P(hijau_1) = \frac{7}{10}\)

Langkah 2: Hitung probabilitas pengambilan kedua SETELAH hijau diambil - Kelereng tersisa: 9 total - Kelereng biru tetap: 3 - \(P(biru_2|hijau_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

Langkah 3: Gunakan rumus kejadian dependen \[P(hijau_1 \cap biru_2) = P(hijau_1) \times P(biru_2|hijau_1) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{30} \approx 0.233\]

Hasil:
Peluang hijau kemudian biru = \(\frac{7}{30}\) atau 23.3%

Contoh 2: Dua Hijau Berturut-turut

Pertanyaan:
Berapa peluang mengambil dua kelereng hijau secara berurutan tanpa pengembalian?

Langkah 1: Hitung probabilitas pengambilan pertama - \(P(hijau_1) = \frac{7}{10}\)

Langkah 2: Hitung probabilitas pengambilan kedua SETELAH hijau pertama diambil - Kelereng hijau tersisa: 6 - Total kelereng tersisa: 9 - \(P(hijau_2|hijau_1) = \frac{6}{9}\)

Langkah 3: Gunakan rumus kejadian dependen \[P(hijau_1 \cap hijau_2) = P(hijau_1) \times P(hijau_2|hijau_1) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{7}{15} \approx 0.4667\]

Hasil:
Peluang dua hijau berturut-turut = \(\frac{7}{15}\) atau 46.67%

Perbedaan Kunci antara Independen dan Dependen:
- Independen: \(P(B|A) = P(B)\) (probabilitas B tidak terpengaruh oleh A) - Dependen: \(P(B|A) \neq P(B)\) (probabilitas B berubah setelah A terjadi)

4.3.1 Contoh Penerapan Probabilitas Bersyarat

1. Contoh Data Siswa Ekstrakurikuler

Dalam sebuah kelas terdapat 50 siswa: - 30 siswa mengikuti olahraga (\(O\)) - 25 siswa mengikuti seni (\(S\)) - 15 siswa mengikuti keduanya (\(O \cap S\))

Pertanyaan 1:
Jika dipilih siswa yang mengikuti olahraga, berapa probabilitas dia juga mengikuti seni?

Penyelesaian: \[P(S|O) = \frac{P(S \cap O)}{P(O)} = \frac{15/50}{30/50} = \frac{15}{30} = 0.5\]

Pertanyaan 2:
Jika dipilih siswa yang mengikuti seni, berapa probabilitas dia juga mengikuti olahraga?

Penyelesaian: \[P(O|S) = \frac{P(O \cap S)}{P(S)} = \frac{15/50}{25/50} = \frac{15}{25} = 0.6\]

2. Contoh Kartu Remi

Dari setumpuk kartu remi (52 kartu), satu kartu diambil secara acak.

Pertanyaan 1:
Jika kartu yang terambil adalah kartu merah, berapa probabilitas kartu tersebut Heart?

Penyelesaian: \[P(H|M) = \frac{P(H \cap M)}{P(M)} = \frac{13/52}{26/52} = \frac{13}{26} = 0.5\]

Pertanyaan 2:
Jika kartu yang terambil adalah King, berapa probabilitas kartu tersebut Heart?

Penyelesaian: \[P(H|K) = \frac{P(H \cap K)}{P(K)} = \frac{1/52}{4/52} = \frac{1}{4} = 0.25\]

5.1.1 Konsep Dasar Union of Events

1. Sample Space (Ruang Sampel)
Sample space adalah seluruh kumpulan hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan statistik.

Contoh:
- Satu dadu: \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) → 6 kemungkinan - Dua dadu: \(S = \{(1,1), (1,2), ..., (6,6)\}\) → 36 kemungkinan

2. Simple Probability (Peluang Sederhana)
Peluang = jumlah hasil yang diinginkan ÷ jumlah total hasil dalam sample space

Contoh:
- Peluang dua angka 4: \(\frac{1}{36}\) (hanya (4,4)) - Peluang dua angka genap: \(\frac{9}{36}\) (ada 9 kombinasi) - Peluang minimal satu angka 2: \(\frac{11}{36}\) (ada 11 kombinasi)

5.1.2 Rumus Union:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Dikurang Karena ketika menjumlah \(P(A) + P(B)\), area irisan \(A \cap B\) terhitung dua kali, jadi perlu dikurangi sekali.

5.1.3 Contoh Perhitungan Union:

Ketika: Melempar dua dadu

Kejadian A: Dua angka genap → \(P(A) = \frac{9}{36}\) Kejadian B: Minimal satu angka 2 → \(P(B) = \frac{11}{36}\) Irisan: Dua angka genap DAN minimal satu angka 2 → \(P(A \cap B) = \frac{5}{36}\)

Pertanyaan: Berapa peluang dua angka genap ATAU minimal satu angka 2?

Perhitungan: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \[P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = 0.4167\]

Hasil: Peluang = \(\frac{15}{36}\) atau 41.67%

5.1.4 Visualisasi dengan Diagram Venn tentang pelemparan dua dadu:

Diagram Venn ini menunjukkan hubungan antara dua kejadian dalam pelemparan dua dadu:

• Ada 2 kejadian:

  • A: Dua dadu genap (9 kemungkinan)
  • B: Minimal satu dadu angka 2 (11 kemungkinan)

• Yang overlap: 5 kemungkinan (dua dadu genap DAN ada angka 2)

• Total yang termasuk: 9 + 11 - 5 = 15 kemungkinan dari 36

• Artinya: Dari 36 kemungkinan lemparan dua dadu, ada 15 hasil yang memenuhi “dua dadu genap ATAU minimal satu angka 2”

Peluangnya = 15/36 = 41.67%

5.2.1 Rumus Intersection:

Untuk kejadian independen: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Untuk kejadian dependen: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]

5.2.2 Contoh Perhitungan Intersection:

Contoh 1 (Independen):
Melempar dua dadu. Peluang dua angka 6: \[P(6 \cap 6) = P(6) \times P(6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\]

Contoh 2 (Dependen):
Mengambil 2 kartu As tanpa pengembalian: \[P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{221}\]

5.2.3 Kesalahan Umum pada Soal Gabungan ‘AND’ (Intersection)

Kesalahan yang Sering Terjadi:

Menggunakan rumus kejadian independen untuk kejadian yang sebenarnya tidak independen.

Contoh Kesalahan: \[P(\text{dua angka genap}) \times P(\text{minimal satu angka 2}) = \frac{9}{36} \times \frac{11}{36} \quad \text{→ SALAH}\]

Mengapa Ini Salah?

• Kedua kejadian tidak independen - hasil dari satu kejadian mempengaruhi peluang kejadian lainnya
• Perkalian tersebut memasukkan hasil yang tidak relevan dan tidak memperhitungkan ketergantungan antara kejadian

Cara yang Benar:

Lihat langsung pada sample space dan cari irisan (intersection) dari kedua kejadian tersebut.

Hasil yang Benar:

Dari sample space terlihat bahwa kedua kejadian beririsan pada lima hasil berbeda, sehingga: \[P(\text{dua angka genap DAN minimal satu angka 2}) = \frac{5}{36}\]

5.3.1 Additive Rule (Aturan Penjumlahan)

Aturan penjumlahan digunakan ketika kita ingin menghitung peluang kejadian A ATAU kejadian B terjadi.

Rumus Dasar: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Dikurangi \(P(A \cap B)\) Karena ketika kita menjumlahkan \(P(A) + P(B)\), bagian yang tumpang tindih (irisan) terhitung dua kali. Jadi perlu dikurangi sekali.

Kasus Khusus 1: Kejadian Saling Lepas
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Contoh:
- Peluang mata dadu 2 ATAU 5:
\(P(2) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}\)
(Tidak ada tumpang tindih karena tidak mungkin dapat 2 dan 5 bersamaan)

Kasus Khusus 2: Kejadian Independen
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)\]

Contoh:
- Peluang hujan hari ini ATAU besok (asumsi independen):
\(P(hari1) + P(hari2) - P(hari1) \times P(hari2)\)

Rumus tambahan untuk Tiga Kejadian: \[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]

Logikanya:

• Tambah semua peluang individu
  
• Kurangi semua irisan berpasangan (karena terhitung berlebihan)
  
• Tambah kembali irisan ketiganya (karena terkurangi terlalu banyak)

5.3.2 Multiplicative Rule (Aturan Perkalian)

Aturan perkalian digunakan ketika kita ingin menghitung peluang kejadian A DAN kejadian B terjadi bersamaan.

Rumus Dasar: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]

Artinya:
Peluang A dan B terjadi = Peluang A terjadi × Peluang B terjadi setelah A terjadi

Kasus Khusus: Kejadian Independen
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Contoh:
- Peluang dadu angka 6 DAN koin head:
\(P(6) \times P(H) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\)

Contoh Dependen:
- Peluang kartu pertama As DAN kartu kedua As (tanpa pengembalian):
\(P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51}\)

Extended untuk Tiga Kejadian Dependen: \[P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)\]

Contoh:
- Peluang mengambil 3 kartu As berturut-turut tanpa pengembalian:
\(P(A_1) \times P(A_2|A_1) \times P(A_3|A_1 \cap A_2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50}\)

Tips:

• Lihat kata kunci: “ATAU” → Additive Rule
  
• Lihat kata kunci: “DAN” → Multiplicative Rule

6.1.1 Contoh: Lempar Dua Dadu

Situasi: Kita melempar dua dadu sekaligus.

Kejadian A: Mendapatkan minimal satu angka 5 Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 4

Langkah 1: Hitung Peluang Kejadian A - Cari semua kemungkinan yang mengandung angka 5: - Dadu pertama 5, dadu kedua bebas: (5,1), (5,2), …, (5,6) → 6 hasil - Dadu kedua 5, dadu pertama bebas: (1,5), (2,5), …, (6,5) → 6 hasil
- Tapi (5,5) terhitung dua kali, jadi total = 6 + 6 - 1 = 11 hasil - \(P(A) = \frac{11}{36}\)

Langkah 2: Hitung Peluang Kejadian B - Cari semua kemungkinan jumlah < 4: - Jumlah 2: (1,1) → 1 hasil - Jumlah 3: (1,2), (2,1) → 2 hasil - Total = 3 hasil - \(P(B) = \frac{3}{36}\)

Langkah 3: Cek Apakah Saling Lepas - Apakah ada hasil yang memenuhi A dan B sekaligus? - Kejadian A butuh ada angka 5 - Kejadian B butuh jumlah < 4 (maksimal angka 3) - Tidak mungkin ada angka 5 dan jumlah < 4 bersamaan! - Jadi \(P(A ∩ B) = 0\)

Kesimpulan: A dan B saling lepas

6.2.1 Contoh: Lempar Dua Dadu Lagi

Situasi: Masih dengan dua dadu.

Kejadian A: Mendapatkan minimal satu angka 6 Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 11

Langkah 1: Hitung Peluang Kejadian A - Sama seperti sebelumnya: 11 hasil yang mengandung angka 6 - \(P(A) = \frac{11}{36}\)

Langkah 2: Hitung Peluang Kejadian B
- Cari semua kemungkinan jumlah < 11: - Total semua kemungkinan = 36 - Yang jumlah ≥ 11: (5,6), (6,5), (6,6) → 3 hasil - Jadi jumlah < 11 = 36 - 3 = 33 hasil - \(P(B) = \frac{33}{36}\)

Langkah 3: Hitung Irisan A dan B - Hasil yang mengandung angka 6 DAN jumlah < 11: - (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6) → 8 hasil - \(P(A ∩ B) = \frac{8}{36}\)

Langkah 4: Cek Apakah Menyeluruh - \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)\) - \(= \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = \frac{36}{36} = 1\) - Peluang gabungan = 100% → tidak ada hasil yang terlewat

Kesimpulan: A dan B menyeluruh

6.3.1 Contoh Sempurna: Genap vs Ganjil

Situasi: Jumlah dua dadu

Kejadian A: Jumlah genap Kejadian B: Jumlah ganjil

Langkah 1: Hitung Masing-masing

• Jumlah genap: 18 hasil → \(P(A) = \frac{18}{36}\)
• Jumlah ganjil: 18 hasil → \(P(B) = \frac{18}{36}\)

Langkah 2: Cek Saling Lepas

• Apakah mungkin jumlah genap DAN ganjil sekaligus?
• Tidak mungkin! Suatu jumlah pasti genap ATAU ganjil
• \(P(A ∩ B) = 0\) ✓

Langkah 3: Cek Menyeluruh

• \(P(A ∪ B) = \frac{18}{36} + \frac{18}{36} - 0 = \frac{36}{36} = 1\) ✓
• Semua kemungkinan tercakup

Kesimpulan: A dan B saling lepas dan menyeluruh

7.4.1 Rumus Rumus:

\(\binom{n}{k}\) = “Banyaknya cara”

• Baca: “n choose k”
  
• Artinya: Berapa banyak cara mendapatkan \(k\) success dari \(n\) percobaan
  
• Rumus: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

\(p^k\) = “Peluang success”

• Peluang success terjadi \(k\) kali
  
• Contoh: Jika \(p = 0.5\) dan \(k = 3\) → \(0.5^3 = 0.125\)

\((1-p)^{n-k}\) = “Peluang failure”

• Peluang failure terjadi \((n-k)\) kali
  
• Contoh: Jika \(p = 0.5\), \(n = 5\), \(k = 3\) → \(0.5^2 = 0.25\)

7.4.2 Contoh Pakai Rumus:

Situasi: Lempar koin 5 kali, berapa peluang tepat 3 head?

Data: - \(n = 5\), \(k = 3\), \(p = 0.5\)

Hitung:

1. \(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10\) (ada 10 cara dapat 3 head)
2. \(p^k = 0.5^3 = 0.125\)
3. \((1-p)^{n-k} = 0.5^2 = 0.25\)

Hasil: \(P(X=3) = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125\)

7.4.3 Hubungan Keduanya:

Binomial Experiment = “Apa yang kita lakukan”
- Syarat-syarat percobaan

Binomial Formula = “Bagaimana menghitungnya”
- Rumus untuk menghitung peluang

9.4.0.1 Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\))

Efek Perubahan \(n\) pada Bentuk Distribusi:

\(n\) Kecil (misal \(n = 5\)):

• Distribusi terlihat “kaku” dan terputus-putus
• Hanya ada beberapa nilai \(k\) yang mungkin
• Bentuk belum menyerupai distribusi normal

\(n\) Sedang (misal \(n = 20\)):

• Pola distribusi mulai halus
• Jika \(p = 0.5\), mulai terlihat bentuk lonceng
• Masih terlihat sebagai distribusi diskrit

\(n\) Besar (misal \(n = 100\)):

• Distribusi menjadi sangat halus
• Mendekati bentuk distribusi normal
• Dapat diaproksimasi dengan distribusi kontinu

9.4.0.2 Interaksi yang Kompleks antara \(n\) dan \(p\)

Skenario 1: \(p = 0.5\) dengan berbagai \(n\)

• Untuk \(n\) berapapun, distribusi tetap simetris
• Semakin besar \(n\), semakin smooth kurvanya

Skenario 2: \(p\) ekstrim dengan \(n\) kecil

• Distribusi sangat miring
• Hanya beberapa nilai \(k\) yang memiliki probabilitas signifikan

Skenario 3: \(p\) ekstrim dengan \(n\) besar

• Meskipun \(p\) ekstrim, dengan \(n\) besar distribusi mulai simetris
• Mean tetap di \(n \times p\), tetapi spread-nya lebih simetris

10.3.1 1. Hitung Parameter

\[\mu = n \times p\] \[\sigma = \sqrt{n \times p \times (1-p)}\]

10.3.2 2. Koreksi Kontinuitas

Karena beralih dari diskrit ke kontinu: