2.1.1 Rumus Peluang

Peluang suatu kejadian \(A\) terjadi, dilambangkan sebagai \(P(A)\), dirumuskan sebagai berikut:

\[ P(A) = \frac{ \text{Jumlah hasil yang diinginkan } \; (n(A)) }{ \text{Total jumlah hasil yang mungkin } \; (n(\Omega)) } \]

2.2.1 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel (\(\Omega\) atau \(S\)) adalah himpunan atau daftar lengkap dari semua hasil yang mungkin yang dapat terjadi dari suatu percobaan.

2.2.2 Diagram Ruang Sampel (Pohon Peluang)

Pohon Peluang (Tree Diagram) adalah metode visual untuk mencantumkan semua hasil yang mungkin secara terstruktur. Dengan mengikuti setiap jalur dari awal hingga akhir, kita mendapatkan semua hasil yang membentuk ruang sampel. Untuk percobaan multi-langkah yang independen (misalnya, melempar koin dua kali), peluang setiap hasil dalam ruang sampel dihitung dengan mengalikan peluang setiap langkah.

2.3.1 Aturan Peluang Wajib

Semua peluang harus memenuhi dua kondisi utama:

1. Rentang Peluang: Peluang suatu kejadian \(A\) harus selalu bernilai di antara 0 dan 1 (inklusif). \[ 0 \leq P(A) \leq 1 \] \(P(A)=0\) berarti kejadian mustahil, dan \(P(A)=1\) berarti kejadian pasti terjadi.

2. Total Peluang: Jumlah peluang dari semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel harus selalu sama dengan 1.

2.3.2 Aturan Komplemen

Aturan Komplemen adalah alat yang efisien untuk menyederhanakan perhitungan peluang. Aturan ini menyatakan bahwa peluang bahwa suatu kejadian tidak terjadi (\(\bar{A}\)) sama dengan 1 dikurangi peluang bahwa kejadian itu akan terjadi (\(A\)).

\[ P(\bar{A}) = \text{1} - \text{P(A)} \]

3.1.1 Rumus Peluang Gabungan

Untuk menghitung peluang dua kejadian independen (\(A\) dan \(B\)) terjadi bersamaan, digunakan aturan perkalian.

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B) \]

3.1.2 Contoh Aplikasi

Diberikan sebuah dadu bersisi 6 dan sebuah koin. Berapakah peluang mendapatkan angka 5 pada dadu dan sisi kepala pada koin? Peluang mendapatkan angka 5 adalah \(1/6\), dan peluang mendapatkan kepala adalah \(1/2\). Karena keduanya independen, peluang gabungan adalah \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\).

3.2.1 Rumus Peluang Gabungan

Untuk menghitung peluang dua kejadian dependen (\(A\) dan \(B\)) terjadi secara berurutan, digunakan konsep peluang bersyarat.

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B \mid A) \]

Keterangan: \(P(B \mid A)\) adalah peluang kejadian \(B\) terjadi, diberikan bahwa kejadian \(A\) telah terjadi.

3.2.2 Contoh Aplikasi

Misalnya, terdapat sebuah kotak berisi 10 kelereng (7 hijau dan 3 biru). Dua kelereng diambil secara acak tanpa pengembalian. Untuk menghitung peluang mengambil kelereng hijau, kemudian biru:

1. Peluang Hijau Pertama (\(P(H_1)\)): \(\frac{7}{10}\).
2. Peluang Biru Kedua (\(P(B_2 \mid H_1)\)): Karena 1 kelereng hijau sudah diambil, tersisa 9 kelereng total, namun jumlah kelereng biru tetap 3. Jadi, \(P(B_2 \mid H_1) = \frac{3}{9}\).

Peluang gabungan adalah \(P(H_1) \times P(B_2 \mid H_1) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}\), atau disederhanakan menjadi \(\frac{7}{30}\).

3.2.3 Kesimpulan

Inti pembeda antara kedua jenis kejadian ini adalah apakah peristiwa pertama mengubah kondisi yang ada (populasi atau peluang) untuk peristiwa yang terjadi selanjutnya. Kejadian independen memiliki peluang yang tetap, sementara kejadian dependen memiliki peluang yang berubah berdasarkan hasil sebelumnya.

4.1.1 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel adalah seluruh rangkaian hasil (outcome) yang mungkin dari sebuah eksperimen statistik.

• Contoh 1: Melempar Satu Dadu 6 Sisi
  • Hasil yang mungkin: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Jumlah hasil: 6.
• Contoh 2: Melempar Dua Dadu 6 Sisi
  • Setiap dadu memiliki 6 hasil, sehingga total hasil yang mungkin adalah \(6 \times 6 = 36\) hasil.

4.1.2 Peluang Sederhana (Simple Probability)

Peluang adalah kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Dihitung dengan rumus:

\[\text{Peluang} = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan (favorable outcomes)}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin (total possible outcomes)}}\]

• Contoh: Peluang melempar dua angka 4
  • Hasil yang menguntungkan: 1 (hanya pasangan (4, 4)).
  • Total hasil: 36.
  • \(P(\text{dua angka 4}) = 1/36\).

4.2.1 Pentingnya Ruang Sampel

Dalam kasus di mana peristiwa memiliki hasil yang tumpang tindih, menggunakan rumus peristiwa independen (\(P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\)) akan menghasilkan jawaban yang salah. Cara yang paling akurat adalah dengan mengidentifikasi irisan hasil langsung dari ruang sampel.

4.2.2 Contoh Perhitungan Irisan

Pertanyaan: Berapa peluang melempar dua angka genap dan setidaknya satu angka 2 (pada dua dadu)?

1. Peristiwa A (Dua angka genap): Ada 9 hasil. \(P(A) = 9/36\).
2. Peristiwa B (Setidaknya satu angka 2): Ada 11 hasil. \(P(B) = 11/36\).
3. Irisan A dan B (\(A \cap B\)): Hasil yang tumpang tindih dari kedua peristiwa tersebut adalah 5.
   • \(P(A \text{ dan } B) = 5/36\).

4.3.1 Rumus Peluang Gabungan (Aturan Penjumlahan Peluang)

Peluang gabungan peristiwa A dan B dihitung dengan rumus:

\[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\]

4.3.2 Mengapa Ada Pengurangan ( \(P(A \cap B)\)) ?

Tujuan Pengurangan \(P(A \cap B)\)Pengurangan \(P(A \cap B)\) dilakukan karena ketika \(P(A)\) dan \(P(B)\) dijumlahkan, hasil yang tumpang tindih (irisan) dihitung dua kali. Term pengurangan ini menghilangkan perhitungan duplikat tersebut. Konsep ini paling baik diilustrasikan dengan Diagram Venn

library(ggplot2)
library(ggforce)

## Warning: package 'ggforce' was built under R version 4.5.2

data_circles_union <- data.frame(
  x = c(2, 4),   # Jarak lingkaran diperlebar
  y = c(2, 2),
  r = c(1.8, 1.8),
  label = c("A", "B")
)

ggplot() +
  geom_circle(data = data_circles_union,
              aes(x0 = x, y0 = y, r = r, fill = label),
              alpha = 0.35, color = "black", linewidth = 1.2) +
  
  geom_text(data = data_circles_union,
            aes(x = x, y = y, label = paste("Kejadian", label)),
            size = 6, fontface = "bold") +
  
  geom_text(aes(x = 3, y = 2, label = "A ∩ B"),
            size = 5, fontface = "bold") +
  
  labs(title = "P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)") +
  
  coord_fixed(xlim = c(0, 6), ylim = c(0, 4)) +
  theme_void() +
  theme(
    legend.position = "none",
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 18)
  )

4.3.3 Penerapan Rumus Gabungan

Pertanyaan: Berapa peluang melempar dua angka genap atau setidaknya satu angka 2?

1. \(P(A \text{ atau } B) = P(\text{dua angka genap}) + P(\text{setidaknya satu angka 2}) - P(\text{irisan kedua peristiwa})\)
2. \(P(A \cup B) = 9/36 + 11/36 - 5/36\)
3. \(P(A \cup B) = 15/36\) (atau sekitar 0.4167)

5.1.1 Rumus Irisan (Intersection)

Karena tidak ada tumpang tindih, peluang irisan (kejadian \(A\) dan \(B\)) selalu nol.

\[ P(A \cap B) = 0 \]

5.1.2 Rumus Gabungan (Addition Rule)

Apabila kejadian \(A\) dan \(B\) saling eksklusif, perhitungan peluang gabungan (kejadian \(A\) atau \(B\)) menjadi sederhana karena kita tidak perlu mengurangi peluang irisan.

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Contoh Konkret: Dalam percobaan melempar satu dadu bersisi enam, * \(A\) = Kejadian mendapatkan angka ganjil \(\{1, 3, 5\}\). * \(B\) = Kejadian mendapatkan angka genap \(\{2, 4, 6\}\). \(A\) dan \(B\) adalah saling eksklusif karena mustahil mendapatkan angka ganjil dan genap secara bersamaan dalam satu lemparan. \(P(A) = 3/6\) dan \(P(B) = 3/6\). Peluang mendapatkan ganjil atau genap adalah \(P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1\).

5.2.1 Rumus Gabungan (Union)

Gabungan dari semua kejadian komprehensif adalah keseluruhan ruang sampel.

\[ E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n = \Omega \]

5.2.2 Total Peluang

Karena gabungan dari semua kejadian komprehensif mencakup semua hasil yang mungkin, maka jumlah peluangnya harus sama dengan 1.

\[ P(E_1) + P(E_2) + \dots + P(E_n) = 1 \]

Contoh Konkret: Dalam percobaan melempar satu dadu bersisi enam, * \(E_1\) = Kejadian mendapatkan angka kurang dari 4 \(\{1, 2, 3\}\). * \(E_2\) = Kejadian mendapatkan angka 4 atau lebih \(\{4, 5, 6\}\). Gabungan \(E_1 \cup E_2\) menghasilkan \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), yang mencakup seluruh ruang sampel. Maka, \(E_1\) dan \(E_2\) adalah komprehensif.

6.2.1 Rumus Utama

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

6.2.2 Penjelasan Komponen Rumus

1. Koefisien Binomial (Kombinasi): Bagian \(\binom{n}{k}\) dihitung menggunakan rumus kombinasi. Koefisien ini mewakili jumlah cara yang mungkin di mana \(k\) kali sukses dapat didistribusikan di antara \(n\) percobaan.

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Peluang Urutan Tertentu: Bagian \(p^k (1-p)^{n-k}\) menghitung peluang terjadinya satu urutan sukses yang spesifik (yaitu, \(k\) sukses dan \(n-k\) gagal).

6.2.3 Contoh Aplikasi

Untuk menentukan peluang tepat 3 dari 5 lemparan koin menghasilkan sisi kepala (Sukses), kita tetapkan \(n=5\), \(k=3\), dan \(p=0.5\).

\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3} \]

6.3.1 Nilai Harapan (Rata-Rata / Mean)

Nilai harapan (\(\mu\)), yang mewakili rata-rata jumlah sukses yang diharapkan dalam jangka panjang, dihitung dengan mengalikan jumlah percobaan dengan peluang sukses.

\[ \text{Nilai Harapan } (\mu) = n \times p \]

6.3.2 Variansi dan Simpangan Baku (Variance and Standard Deviation)

Variansi (\(\sigma^2\)) mengukur seberapa tersebar hasil-hasil yang mungkin dari nilai harapan. Simpangan baku (\(\sigma\)) adalah akar kuadrat dari variansi, memberikan ukuran penyebaran dalam unit yang sama dengan variabelnya.

\[ \text{Variansi } (\sigma^2) = n \times p \times (1-p) \]

\[ \text{Simpangan Baku } (\sigma) = \sqrt{n \times p \times (1-p)} \]

Karakteristik ini sangat penting dalam analisis data, memungkinkan kita untuk memahami pusat dan variabilitas dari hasil eksperimen binomial tanpa harus menghitung setiap peluang secara individu.

7.1.1 Formula Probabilitas Binomial

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

7.1.2 Distribusi Probabilitas

Dengan menghitung \(P(X=k)\) untuk setiap nilai \(k\) yang mungkin (dari 0 hingga \(n\)), kita dapat membuat tabel yang mencakup seluruh distribusi probabilitas. Ketika peluang-peluang ini diplot, hasilnya adalah Histogram Distribusi Binomial, yang menunjukkan bentuk distribusi tersebut.

7.2.1 Nilai Harapan (Mean)

Nilai harapan (\(\mu\)) adalah rata-rata jumlah sukses yang paling mungkin terjadi. Ini memberikan ukuran pusat dari distribusi.

\[ \text{Nilai Harapan } (\mu) = n \times p \]

7.2.2 Variansi dan Simpangan Baku

Variansi (\(\sigma^2\)) dan Simpangan Baku (\(\sigma\)) mengukur penyebaran atau variabilitas data di sekitar nilai harapan.

\[ \text{Variansi } (\sigma^2) = n \times p \times (1-p) \]

\[ \text{Simpangan Baku } (\sigma) = \sqrt{n \times p \times (1-p)} \]

7.3.1 Pengaruh Peluang Sukses (\(\mathbf{p}\))

1. Jika \(p = 0.5\): Distribusi akan simetris sempurna, menyerupai lonceng (Normal).
2. Jika \(p < 0.5\): Distribusi akan miring ke kanan (positively skewed), karena sebagian besar hasil akan berupa kegagalan.
3. Jika \(p > 0.5\): Distribusi akan miring ke kiri (negatively skewed), karena sebagian besar hasil akan berupa keberhasilan.

7.3.2 Pengaruh Jumlah Percobaan (\(\mathbf{n}\))

Meskipun \(p\) tetap, seiring dengan peningkatan jumlah percobaan (\(n\)), bentuk distribusi cenderung menjadi lebih simetris dan mendekati bentuk kurva Normal, bahkan jika \(p\) tidak sama dengan 0.5.