1. Konsep Probabilitas Dasar

Definisi:Probabilitas (peluang) suatu peristiwa didefinisikan sebagai rasio antara jumlah hasil yang menguntungkan (favorable outcomes) dibagi dengan jumlah total hasil yang mungkin (total possible outcomes).

Rentang Nilai: Probabilitas suatu peristiwa pasti berada di antara 0 dan 1 (inklusif).

• Probabilitas 0 berarti peristiwa tidak akan pernah terjadi.

• Probabilitas 1 berarti peristiwa pasti akan terjadi.

Aturan Penjumlahan: Jumlah probabilitas dari semua hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen harus sama dengan 1.

2. Ruang Sampel (Sample Space)

Definisi: Ruang sampel adalah seluruh rangkaian hasil yang mungkin dari suatu eksperimen.

Contoh: Jika Anda melempar dua koin, ruang sampel (total 4 hasil) adalah: HH (Head-Head), HT (Head-Tail), TH (Tail-Head), dan TT (Tail-Tail).

3. Aturan Komplemen (The Complement Rule)

Definisi: Aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi adalah sama dengan 1 dikurangi probabilitas peristiwa itu terjadi.

Formula: \(P(A^c) = 1 - P(A)\), di mana \(P(A^c)\) adalah probabilitas peristiwa A tidak terjadi.

Contoh Penerapan: Untuk mencari probabilitas tidak mendapatkan dua tails saat melempar dua koin, Anda dapat menghitung: \(1 - P(TT)\). Karena \(P(TT) = 0.25\), maka \(1 - 0.25 = 0.75\).

Referensi

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri (2024)

• Probabilitas dan Statistika,Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, dan Sharon L. Myers

1. Peristiwa Independen (Independent Events)

Definisi: Peristiwa independen adalah dua peristiwa atau lebih di mana terjadinya peristiwa yang satu tidak memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa yang lain.

• Prinsip Kunci: Probabilitas peristiwa kedua tetap konstan terlepas dari hasil peristiwa pertama.

• Contoh Klasik: Melempar dadu dan melempar koin. Hasil dadu (misalnya, mendapat 6) sama sekali tidak mengubah probabilitas koin mendarat di Kepala (H) (yaitu tetap 0.5).

Kaidah Perkalian untuk Peristiwa Independen

Untuk menghitung probabilitas bahwa dua peristiwa independen \(A\) dan \(B\) akan terjadi bersamaan (\(P(A \text{ dan } B)\)), digunakan rumus perkalian sederhana:

\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\]

Contoh Perhitungan:

Pertanyaan: Berapa peluang melempar dadu mendapatkan 5 dan melempar koin mendapatkan Kepala (H)?

• \(P(\text{Dadu 5}) = 1/6\)

• \(P(\text{Koin H}) = 1/2\)

• \(P(\text{Dadu 5 dan Koin H}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\)

2. Peristiwa Dependen (Dependent Events)

Definisi: Peristiwa dependen adalah dua peristiwa atau lebih di mana terjadinya peristiwa yang pertama secara langsung memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa yang kedua.

• Prinsip Kunci: Probabilitas peristiwa kedua berubah karena peristiwa pertama telah mengurangi jumlah total hasil yang mungkin (ruang sampel) atau jumlah hasil menguntungkan.

• Istilah Terkait: Kejadian dependen sering muncul dalam konteks “pengambilan tanpa pengembalian” (without replacement), yang berarti objek yang diambil tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel sebelum pengambilan berikutnya.

Kaidah Perkalian untuk Peristiwa Dependen (Probabilitas Bersyarat)

Untuk menghitung probabilitas bahwa dua peristiwa dependen \(A\) dan \(B\) terjadi bersamaan, digunakan probabilitas bersyarat, yang ditulis:

\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A)\]

\(P(B|A)\) dibaca sebagai “probabilitas \(B\) terjadi setelah peristiwa \(A\) telah terjadi.”

Contoh Perhitungan (Pengambilan Kelereng Tanpa Pengembalian):

• Skenario Awal: Dalam kotak ada 10 kelereng (7 Hijau dan 3 Biru).

• Pertanyaan: Berapa peluang mengambil kelereng Hijau kemudian mengambil kelereng Biru, tanpa pengembalian?

• Langkah 1 (Peristiwa A: Mengambil Hijau):\[P(\text{Hijau pertama}) = \frac{7}{10}\]

• Langkah 2 (Peristiwa B|A: Mengambil Biru kedua, setelah Hijau diambil):

• Total kelereng yang tersisa: 9

• Jumlah kelereng Biru yang tersisa: 3 (tidak berubah)\[P(\text{Biru kedua}|\text{Hijau pertama}) = \frac{3}{9}\]

• Probabilitas Gabungan:

\[P(\text{Hijau lalu Biru}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \approx 0.2333\]

• Perubahan ruang sampel (dari 10 menjadi 9) setelah pengambilan pertama adalah bukti utama bahwa peristiwa ini bersifat dependen.

Referensi

• Probability and Statistics for Engineers and Scientists,Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, et al.

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri.

1. Peristiwa Gabungan (Union of Events)

Definisi: Gabungan peristiwa \(A\) dan \(B\), ditulis \(P(A \text{ atau } B)\) atau \(P(A \cup B)\), adalah probabilitas bahwa peristiwa \(A\) terjadi, atau peristiwa \(B\) terjadi, atau kedua peristiwa tersebut terjadi bersamaan.

Kata Kunci: Anda akan mengetahui bahwa Anda berurusan dengan gabungan peristiwa ketika soal probabilitas menggunakan kata “atau” (OR).

2. Aturan Penjumlahan Umum (General Addition Rule)

Untuk menghitung probabilitas gabungan dua peristiwa \(A\) dan \(B\), Anda tidak bisa sekadar menjumlahkan \(P(A) + P(B)\), karena hal ini dapat menyebabkan penghitungan ganda (double counting) untuk hasil yang terjadi di kedua peristiwa.

Rumus untuk gabungan peristiwa adalah:\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Keterangan Formula:

• \(P(A)\) = Probabilitas peristiwa \(A\).

• \(P(B)\) = Probabilitas peristiwa \(B\).

• \(P(A \cap B)\) = Probabilitas Irisan (Intersection) peristiwa \(A\) dan \(B\). Ini adalah probabilitas bahwa \(A\) dan \(B\) terjadi bersamaan.

• Tujuan Pengurangan: Suku minus \(P(A \cap B)\) ada di rumus untuk menghilangkan duplikasi penghitungan, karena hasil yang termasuk dalam irisan telah dihitung dua kali (sekali di \(P(A)\) dan sekali lagi di \(P(B)\))

Contoh Penerapan (Pelemparan Dua Dadu)

Pertanyaan: Berapa probabilitas melempar dua dadu mendapatkan dua angka genap (\(A\)) ATAU mendapatkan setidaknya satu angka 2 (\(B\))?

1. Hitung \(P(A)\) (Dua angka Genap):

• Hasil yang menguntungkan (Genap, Genap): (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6).

• Total hasil = 9.

• \(P(A) = 9/36\)

2. Hitung \(P(B)\) (Setidaknya satu angka 2):

• Hasil yang menguntungkan: 11 hasil (misalnya: (2,1), (1,2), (2,6), (6,2), dll.).

• \(P(B) = 11/36\)

3. Hitung \(P(A \cap B)\) (Irisan: Genap DAN Setidaknya satu 2):

• Hasil yang menguntungkan (hasil yang memenuhi \(A\) dan \(B\)): (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (6,2).

• Total irisan = 5.

• \(P(A \cap B) = 5/36\)

4. Terapkan Aturan Penjumlahan:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

\[P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} \approx 0.4167\]

3. Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive Events) [Implisit]

Definisi: Peristiwa \(A\) dan \(B\) dikatakan saling lepas (mutually exclusive) jika tidak mungkin terjadi pada waktu yang sama. Artinya, tidak ada irisan antara keduanya.

Formula Kasus Saling Lepas: Jika \(A\) dan \(B\) saling lepas, maka \(P(A \cap B) = 0\). Oleh karena itu, rumusnya menjadi lebih sederhana

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Referensi

• Probability and Statistics for Engineers and Scientists,Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, dan Keying Ye.

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri.

1. Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive Events)

Definisi: Dua kejadian \(A\) dan \(B\) adalah saling lepas jika irisan (intersection) dari kedua kejadian tersebut adalah himpunan kosong (\(A \cap B = \emptyset\)).

Probabilitas: Probabilitas terjadinya kedua kejadian secara bersamaan adalah nol: \(P(A \text{ dan } B) = P(A \cap B) = 0\).

Contoh: Dalam pelemparan koin, kejadian muncul Angka dan kejadian muncul Gambar adalah saling lepas karena keduanya tidak mungkin muncul dalam satu kali lemparan yang sama.

2. Kejadian Komprehensif/Mencakup (Exhaustive Events)

Definisi: Sekumpulan kejadian \(A_1, A_2, A_3, \dots\) adalah komprehensif jika gabungan (union) dari semua kejadian tersebut mencakup seluruh ruang sampel \(S\): \(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots = S\).

Probabilitas: Probabilitas bahwa salah satu kejadian akan terjadi adalah 1 atau 100%: \(P(A_1 \text{ atau } A_2 \text{ atau } \dots) = P(S) = 1\).

Contoh: Dalam pelemparan dadu, kejadian muncul Bilangan Genap ({2, 4, 6}) dan kejadian muncul Bilangan Ganjil ({1, 3, 5}) adalah komprehensif karena hasil lemparan dadu pasti salah satunya (ganjil atau genap).

Referensi

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri

1. Pengaturan Binomial (Binomial Setting)

Suatu percobaan dapat disebut eksperimen binomial jika memenuhi empat kondisi berikut secara ketat:

1. Jumlah Percobaan Tetap (\(n\)): Percobaan harus diulang dengan jumlah yang pasti dan tetap (misalnya, melempar koin 3 kali).

2. Dua Hasil yang Mungkin (Binary): Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang dapat dikategorikan sebagai Sukses atau Gagal.

3. Probabilitas Sukses Konstan (\(p\)): Probabilitas terjadinya Sukses (\(p\)) harus tetap sama untuk setiap percobaan. Ini biasanya terjadi ketika percobaan dilakukan dengan pengembalian (with replacement).

4. Percobaan Independen: Hasil dari satu percobaan tidak boleh memengaruhi hasil dari percobaan lainnya.

2. Rumus Binomial

Setelah kondisi Binomial terpenuhi, Anda dapat menggunakan Rumus Binomial sebagai jalan pintas untuk menghitung probabilitas mendapatkan sejumlah sukses (\(k\)) yang tepat dalam \(n\) kali percobaan:

\[P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

Keterangan:

• \(P(k)\) adalah probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses.

• \(n\) adalah jumlah percobaan (trials).

• \(k\) adalah jumlah sukses yang diinginkan.

• \(p\) adalah probabilitas sukses dalam satu kali percobaan.

• \((1-p)\) adalah probabilitas gagal dalam satu kali percobaan.

• \(\binom{n}{k}\) adalah koefisien binomial (sering disebut n choose k atau Kombinasi), yang menghitung jumlah cara untuk mendapatkan \(k\) sukses dari \(n\) percobaan.

Rumus ini menyederhanakan proses perhitungan yang jika dilakukan secara manual harus menjumlahkan probabilitas dari setiap kemungkinan urutan sukses dan gagal (seperti yang ditunjukkan pada contoh pelemparan koin dan pengambilan kelereng.

Referensi

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri

• Statistika dan Probabilitas,Leksmono Suryo Putranto

1. Visualisasi Distribusi Binomial

Visualisasi Distribusi Binomial dilakukan menggunakan Diagram Batang (Bar Chart) di mana:

• Sumbu-X: Menunjukkan jumlah sukses yang mungkin (\(k\)).

• Sumbu-Y: Menunjukkan probabilitas terjadinya sukses tersebut.

2. Pengaruh Parameter terhadap Bentuk Distribusi

Bentuk distribusi ini dipengaruhi oleh dua parameter utama: \(n\) dan \(p\).

• Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\)):

• Ketika jumlah percobaan (\(n\)) ditingkatkan, bentuk Distribusi Binomial mulai mendekati Distribusi Normal (Normal Distribution).

• Distribusi Binomial dianggap mendekati Normal secara memadai jika memenuhi panduan kasar \(n \times p \ge 10\) dan \(n \times (1-p) \ge 10\).

• Pengaruh Probabilitas Sukses (\(p\)):

• Jika \(p = 0.5\) (probabilitas sukses dan gagal setara), distribusi akan simetris.

• Jika \(p < 0.5\), distribusi akan menceng ke kanan (skewed to the right), yang berarti probabilitas lebih tinggi pada jumlah sukses yang lebih sedikit.

• Jika \(p > 0.5\), distribusi akan menceng ke kiri (skewed to the left), yang berarti probabilitas lebih tinggi pada jumlah sukses yang lebih banyak.

3. Parameter Penting

• ata-rata (\(\mu\)): \(\mu = n \times p\)

• Varian (\(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = n \times p \times (1-p)\)

• Simpangan Baku (\(\sigma\)): \(\sigma = \sqrt{n \times p \times (1-p)}\) Nilai data dalam distribusi akan selalu berkelompok di sekitar nilai rata-rata \(\mu\).

Referensi

• Buku Ajar Statistik dan Probabilitas Dasar,Rini Yanti, Ilis Suryani, Ilyananda Putri

• Statistika dan Probabilitas,Leksmono Suryo Putranto