1.1 Probabilitas

menjelaskan sebagai kemungkinan suatu peristiwa (event) terjadi. Probabilitas dihitung sebagai perbandingan antara jumlah hasil “menguntungkan” dan jumlah semua kemungkinan hasil (ruang sampel).

rumus: \[P(A) = \frac{\text{jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{jumlah total hasil kemungkinan}}\] Probabilitas setiap hasil di ruang sampel bisa dihitung (terutama jika semua hasil sama mungkin). \[P(\text{A∩B}) = P(\text{A}) \times P(\text{B})\] rumus ini digunakan jika keduanya menggunakan peristiwa yang independen.

1.2 Rang Sampel

adalah kumpulan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Contoh : melempar koin — ruang sampelnya adalah {Heads, Tails}.Mereka juga menunjukkan diagram ruang sampel untuk percobaan melempar koin beberapa kali.Diagram Ruang Sampelmenggunakan diagram pohon (tree diagram) untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil ketika melempar koin lebih dari sekali.

Aturan Probabilitas yang memenuhi 2 kodisi:

-Nilai probabilitas selalu antara 0 dan 1 (inklusive):

• 0 → peristiwa tidak akan pernah terjadi

• 1 → peristiwa pasti terjadi

• 0,5 → peristiwa terjadi 50% dari waktu

-Jumlah probabilitas dari semua hasil di ruang sampel harus sama dengan 1.

1.3 Aturan Pelengkap

Komplemen dari suatu peristiwa A (dilambangkan sebagai A^C) adalah semua hasil di ruang sampel yang bukan bagian dari A.

Rumusnya:

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Artinya, jika peluang A tidak terjadi = 1 dikurangi peluang A terjadi.

Contoh : menghitung probabilitas komplement. Misalnya dengan diagram koin dua kali, menghitung “paling tidak satu kepala” bisa lebih mudah dihitung dengan aturan komplemen. Daripada menjumlah probabilitas semua hasil yang memiliki “paling tidak satu kepala”, bisa hitung dulu probabilitas tidak ada kepala sekalipun (yakni TT), lalu dikurangkan dari 1.

2.1 Peristiwa Mandiri

Peristiwa independen adalah ketika dua kejadian tidak saling memengaruhi — artinya, hasil satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lain. Misalnya, melempar sebuah koin bersamaan dengan melempar dadu: lemparan koin tidak mengubah hasil dadu, dan sebaliknya. Karena tidak ada pengaruh, peluang kedua peristiwa itu terjadi bersama bisa dihitung dengan rumus: \[ 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) × 𝑃 ( 𝐵 ) \]

2.2 Peristiwa Tergantung

Sedangkan peristiwa dependen adalah ketika satu kejadian memengaruhi kejadian lainnya. Contoh klasiknya adalah menarik kartu dari tumpukan tanpa mengembalikannya: setelah kartu pertama diambil, jumlah kartu tersisa berubah, sehingga peluang kartu kedua berbeda dibanding awal. Untuk menghitung peluang dua peristiwa dependen terjadi bersamaan, kita pakai probabilitas bersyarat, yaitu: \[ 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) × 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) \]

di mana P(B∣A) artinya peluang terjadinya B jika A sudah terjadi.

Memahami perbedaan antara independen dan dependen itu sangat penting supaya kita pakai rumus probabilitas yang tepat. Kalau salah milih rumus, hasil perhitungan bisa salah jauh. Konsep Dasar: Union vs Intersection

3.1 Probabilitas Gabungan Kejadian

adalah ukuran peluang bahwa setidaknya satu dari beberapa kejadian terjadi. Misalnya dua kejadian A dan B, “union” berarti kita memperhitungkan kemungkinan bahwa A terjadi, atau B terjadi, atau bahkan keduanya sekaligus.

rumus UNION:

\[P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\] Jika A dan B tidak bisa terjadi bersamaan (disebut mutually exclusive), A∩B tidak memiliki hasil, sehingga

P(A∩B)=0.

3.2 Ruang Sampel, sering dilambangkan dengan 𝑆 atau Ω

adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil yang bisa muncul pada sebuah percobaan acak. Dalam probabilitas, setiap hasil tunggal dari percobaan disebut titik sampel, dan himpunan semua titik sampel itu membentuk sample space. Misalnya, jika kita melempar sebuah dadu, maka sample space-nya adalah

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

karena keenam angka itu adalah semua kemungkinan hasil yang bisa muncul.

3.3 Probabilitas Sederhana

cara paling dasar untuk menghitung peluang sebuah peristiwa terjadi dalam suatu eksperimen acak yaitu ketika semua hasil dalam ruang sampel dianggap sama kemungkinan terjadi.Contohnya: jika kita melempar sebuah dadu enam sisi, dan kita ingin tahu probabilitas munculnya angka “4”, maka kita gunakan simple probability. Karena dadu itu “adil” (setiap sisi sama peluangnya), maka semua hasil {1,2,3,4,5,6} dianggap sama kemungkinan.

rumus :

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

keterangan:

• P(A) = probabilitas terjadinya peristiwa 𝐴

• n(A) = jumlah hasil yang “menguntungkan”

• n(S) = jumlah semua kemungkinan hasil

4.1 Peristiwa yang Saling eksklusif (kejadian saling lepas)

adalah dua atau lebih kejadian yang tidak bisa terjadi secara bersamaan dalam satu percobaan.

Jika dua peristiwa 𝐴 A dan 𝐵 B saling eksklusif (mutually exclusive), artinya keduanya tidak bisa terjadi bersamaan. Maka \[ 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 0 \] P(A∩B)=0

Untuk union (gabungan) peristiwa 𝐴 A atau 𝐵 B jika saling eksklusif rumus: \[P(A∪B)=P(A)+P(B)\]

4.2 Exhaustive Event (peristiwa menyeluruh)

adalah himpunan peristiwa dalam suatu percobaan acak yang jika digabungkan mencakup seluruh kemungkinan hasil dari percobaan tersebut. Maka ketika percobaan dilakukan, pasti satu dari peristiwa-peristiwa dalam himpunan itu terjadi.

rumus:

\[ ∑P(Ei​)=1 \]

5.1 Binomial Setting

adalah suatu kondisi atau situasi percobaan dalam statistika di mana sebuah percobaan dilakukan berulang kali dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil.

percobaan dikatakan binomial jika memenuhi 4 kondisi:

• Jumlah percobaan (n) harus tetap

• Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu:

  • Sukses

  • Gagal

• Peluang (p) untuk sukses harus tetap pada setiap percobaan

jika kondisi-kondisi di atas terpenuhi, maka kita bisa menggunakan distribusi binomial untuk menghitung probabilitas berbagai kemungkinan hasil.

5.2 Binomial Formula

adalah rumus matematika yang digunakan untuk menghitung probabilitas dari mendapatkan sejumlah “sukses” tertentu ketika kita melakukan suatu percobaan berulang kali di mana setiap percobaan hanya punya dua hasil (sukses atau gagal), peluang sukses tetap, dan tiap percobaan saling independen.

rumus:

\[P(k) = \binom{n}{k} \; p^{k} \; (1 - p)^{\,n - k}\]

6.1 Distribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah cara untuk menghitung dan menampilkan probabilitas mendapatkan sejumlah keberhasilan (\(k\)) tertentu dari total percobaan (\(n\)), di mana probabilitas sukses (\(p\)) selalu sama dalam setiap percobaan.

Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\))Ketika jumlah percobaan (\(n\)) diperbesar, bentuk grafik distribusi binomial secara bertahap akan semakin menyerupai Distribusi Normal (kurva berbentuk lonceng yang simetris).

Pengaruh Probabilitas Sukses (\(p\)) Nilai \(p\) sangat menentukan kemiringan (skewness) dari distribusi:

Parameter penting Distribusi Binomial memiliki tiga ukuran utama yang mudah dihitung:

• Rata-rata (\(\mu\)): \(\mu = n \times p\)

• Variansi (\(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = n p (1 - p)\)

• Deviasi Standar (\(\sigma\)): \(\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}\)

Aturan Perkiraan Normal Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat memperkirakan Distribusi Binomial menggunakan Distribusi Normal jika kedua kondisi berikut terpenuhi:

• \(n \times p \ge 10\)

• \(n \times (1 - p) \ge 10\)

Ini menunjukkan bahwa selama \(n\) cukup besar dan \(p\) tidak terlalu ekstrem (sangat dekat dengan 0 atau 1), kita bisa menggunakan sifat-sifat distribusi normal untuk analisis data binomial.