Tugas Week 10 ~ Essential of Probability
Introduction
Probabilitas merupakan salah satu cabang penting dalam matematika yang digunakan untuk mempelajari dan mengukur ketidakpastian. Banyak fenomena dalam kehidupan tidak dapat diprediksi secara pasti, seperti hasil pelemparan koin, kondisi cuaca, perilaku konsumen, hingga variasi biologis. Melalui probabilitas, kejadian-kejadian acak tersebut dapat dianalisis secara sistematis untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi.
Menurut Grinstead & Snell (2012), probabilitas menyediakan kerangka matematis yang memungkinkan kita memahami pola ketidakpastian melalui konsep ruang sampel, kejadian, serta aturan peluang. Teori ini tidak hanya membahas peluang sederhana, tetapi juga konsep lanjutan seperti variabel acak, distribusi probabilitas, dan ekspektasi. Dengan demikian, probabilitas menjadi fondasi utama dalam statistika dan analisis data.
Blitzstein dan Hwang (2014) menjelaskan bahwa probabilitas membantu menjembatani data dengan proses pengambilan keputusan. Dalam berbagai bidang seperti sains data, ekonomi, kesehatan, dan teknik, probabilitas digunakan untuk memodelkan fenomena acak, membuat prediksi, serta mengukur tingkat ketidakpastian dari suatu estimasi. Hal ini menunjukkan bahwa probabilitas bukan hanya konsep teoritis, tetapi juga alat praktis untuk menghadapi ketidakpastian di dunia nyata.
Secara keseluruhan, probabilitas menjadi dasar bagi banyak metode statistik modern, termasuk inferensi, pemodelan prediktif, machine learning, dan analisis risiko. Oleh karena itu, pemahaman yang baik mengenai teori probabilitas sangat penting, terutama bagi mereka yang berkecimpung dalam bidang akademik maupun praktik profesional yang berkaitan dengan data dan pengambilan keputusan.
1 Fundamental Concept
KLIK GAMBAR UNTUK MENONTON VIDEONYA
1.1 Probability
Probabilitas adalah ukuran numerik dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) dalam percobaan acak.
Probabilitas ditulis sebagai:
\[0≤P(A)≤1\]
- P(A) = 0 (tidak mungkin terjadi)
- P(A) = 1 (pasti terjadi)
- Semakin dekat ke 1 (semakin mungkin)
Rumus Dasar:
\[P(A) = \frac{n_A}{n_S}\]Keterangan:
- \(n(A)\) = jumlah kejadian yang memenuhi syarat
- \(n(S)\) = total kemungkinan pada sample space
Misal:
Budi melempar dadu 1 kali. A = “keluar angka ≤ 3”, Hitunglah P(A)!
Jawab:
Sample space:
\[n_S = \{1,2,3,4,5,6\}\]Event A: \[n_A = \{1,2,3\}\]
P(A): \[P(A) = \frac{n_A}{n_S} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
1.2 Sample Space
Sample Space (S) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak.
Event adalah bagian dari sample space, yaitu himpunan hasil yang memenuhi suatu kondisi/peristiwa. Event A = angka genap → \(A=\{2,4,6\}.\)
- Lempar Koin \[S = \{Kepala, Ekor\}\]
- Lempar Dadu \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
- Dua kali lempar koin \[S = \{KK, KE, EK, EE\}\]
1.3 Complement Rule
Dalam probabilitas, ada konsep penting namanya Complement. Complement dari suatu kejadian adalah semua hasil yang di luar kejadian itu. Complement bisa ditulis \(A^c\).
Rumus:
\[P(A^c)=1−P(A)\]Soal:
Sebuah kotak berisi 10 bola, yaitu 4 bola berwarna merah dan 6 bola berwarna biru. Satu bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna merah!
Jawab:
Diketahui: \[n(S) = 10, \qquad n(\text{merah}) = 4, \qquad n(\text{biru}) = 6\]
- Peluang terambil bola merah: \[P(\text{merah}) = \frac{n(\text{merah})}{n(S)} = \frac{4}{10} = 0.4\]
- Peluang tidak terambil bola merah: \[P(\text{merah}^c) = 1 - P(\text{merah})\] \[P(\text{merah}^c) = 1 - 0.4 = 0.6\]
2 Independent & Dependent
KLIK GAMBAR UNTUK MENONTON VIDEONYA
2.1 Independent Events
Dua kejadian \(A\) dan \(B\) disebut independent (saling bebas) jika terjadinya A tidak mempengaruhi peluang terjadinya B, dan sebaliknya.
Secara matematis:
\(P(B∣A)=P(B)\) dan \(P(A∣B)=P(A)\)
Atau:
\[P(A\cap B) = P(A) \times P(B)\] (jika A dan B independent)
Example 1
Misal:
Budi melempar sebuah dadu(A) dan sebuah koin(B) secara bersamaan. Dadu menunjukkan angka 6 dan koin menunjukkan Head. Tentukan apakah kejadian tersebut termasuk independent events dan tentukan probabilitasnya!
Jawab:
Ya, kejadian tersebut termasuk independent events karena keduanya tidak saling berkaitan, hasil dadu tidak mungkin mengubah hasil lempar koin. Barangnya beda, mekanismenya pun beda.
- A = 6 \[P(A)=\frac{1}{6}\]
- B = Head \[P(B)=\frac{1}{2}\]
\[P(A\cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}\]
Jadi, probabilitas kejadian tersebut adalah \(\frac{1}{12}\)
Catatan
Independence adalah sifat atribut model, bukan sesuatu yang selalu benar. Selalu tanya: apakah percobaan kedua dipengaruhi oleh hasil percobaan pertama? Jika ya, maka bukan independent.
2.2 Dependent Events
Dua kejadian disebut dependent jika hasil atau terjadinya salah satu kejadian memengaruhi peluang kejadian lainnya. Artinya, peluang kejadian B berubah ketika A sudah terjadi.
Biasanya terjadi saat:
- Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement)
- Kejadian saling berkaitan secara logika atau kondisi
- Kejadian yang satu mengubah ruang sampel kejadian yang lain
Rumus:
\[P(A\cap B) = P(A)\,P(B\mid A)\]
Keterangan:
- P(A) = peluang kejadian A
- P(B A) = peluang kejadian B jika A terjadi
- P(A B) = peluang A dan B muncul secara bersamaan
Example
Soal:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah (A) dan 3 bola biru (B). Seseorang mengambil satu bola secara acak tanpa pengembalian (no replacement), lalu mengambil bola kedua. Tentukan peluang bahwa kedua bola yang diambil adalah bola merah!
A = bola pertama yang diambil adalah merah
B = bola kedua yang diambil adalah merah
Jawab:
- Jumlah total bola:
\[n = 5 + 3 = 8\]
- Hitung peluang bola pertama merah \[P(A) = \frac{5}{8}\]
- Hitung peluang bola kedua merah, dengan syarat bola pertama merah
Jika bola pertama merah telah diambil, sisa bola merah = 4 dan total bola sisa = 7.
\[P(B \mid A) = \frac{4}{7}\]
- Gunakan rumus dependent events \[P(A \cap B) = P(A)\, P(B \mid A)\]
\[P(A \cap B) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7}\]
\[P(A \cap B) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\]
Jadi, peluang kedua bola yang diambil adalah bola merah adalah \(\frac{5}{14}\). Kedua kejadian ini adalah dependent events karena pengambilan bola pertama mengubah komposisi bola untuk pengambilan kedua.
3 Union of Events
KLIK GAMBAR UNTUK MENONTON VIDEONYA
3.1 Review: Sample Space
Sample Space (S) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak.
Event adalah bagian dari sample space, yaitu himpunan hasil yang memenuhi suatu kondisi/peristiwa. Event A = angka genap → \(A=\{2,4,6\}.\)
- Lempar Koin
\[S = \{Kepala, Ekor\}\]
- Lempar dadu \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
3.2 Review: Simple Probability
Probabilitas adalah ukuran numerik dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) dalam percobaan acak.
Probabilitas ditulis sebagai:
\[0≤P(A)≤1\]
- P(A) = 0 (tidak mungkin terjadi)
- P(A) = 1 (pasti terjadi)
- Semakin dekat ke 1 (semakin mungkin)
Rumus Dasar:
\[P(A) = \frac{n_A}{n_S}\]Misal:
Melempar dadu 1 kali. A = keluar angka ≤ 3. Hitung P(A)!
Jawab:
Sample space: \[S=\{1,2,3,4,5,6\}\]
Event A: \[A=\{1,2,3\}\]
Probabilitas: \[P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
3.3 The Probability of the Union of Events
Union \((A ∪ B)\) adalah kejadian ketika A terjadi, atau B terjadi, atau keduanya terjadi bersamaan. \(A ∪ B\) dibaca: “A union B” atau “A gabung B”. Dalam grafik (Venn Diagram), \(A ∪ B\) adalah seluruh area yang berada di dalam lingkaran A atau B (termasuk yang overlap).
Rumus:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Soal:
Dalam kelas 40 murid, 25 mengikuti ekstrakurikuler musik, 18 mengikuti olahraga, dan 10 mengikuti kedua kegiatan. Tentukan peluang seorang murid acak mengikuti setidaknya satu kegiatan!
Jawab:
Diketahui: \(P(\text{musik})=\frac{25}{40},\quad P(\text{olahraga})=\frac{18}{40},\quad\)
\[P(A \cap B)=P(\text{musik}\cap\text{olahraga})=\frac{10}{40}.\]
Masukkan ke rumus
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \[P(A \cup B) =P(\text{musik})+P(\text{olahraga})-P(\text{musik}\cap\text{olahraga})\] \[\frac{25}{40}+\frac{18}{40}-\frac{10}{40}=\frac{33}{40}=0.825.\]
Diagram Union of Events
library(ggplot2)
# Data area
area1 <- 25
area2 <- 18
cross.area <- 10
# Fungsi radius dari luas
r_from_area <- function(area){
sqrt(area / pi)
}
r1 <- r_from_area(area1)
r2 <- r_from_area(area2)
# Fungsi membuat lingkaran
circle <- function(center = c(0,0), r = 1, n = 300){
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = n)
data.frame(
x = center[1] + r * cos(theta),
y = center[2] + r * sin(theta)
)
}
# Posisi lingkaran
x1 <- 0
x2 <- 2
y1 <- 0
y2 <- 0
circle_A <- circle(c(x1, y1), r1)
circle_B <- circle(c(x2, y2), r2)
text_A <- c(x = x1 - 0.9, y = y1)
text_B <- c(x = x2 + 0.9, y = y2)
text_overlap <- c(x = (x1 + x2)/2, y = -0.3)
text_label_A <- c(x = x1, y = r1 + 0.6)
text_label_B <- c(x = x2, y = r2 + 0.6)
# Plot diagram Venn
ggplot() +
geom_polygon(data = circle_A, aes(x, y),
fill = "#A8E6CF80", color = "#56C596", linewidth = 1.3) +
geom_polygon(data = circle_B, aes(x, y),
fill = "#89CFF080", color = "#3B82C4", linewidth = 1.3) +
# Label lingkaran
annotate("text", x = text_label_A[1], y = text_label_A[2], label = "A",
size = 6, fontface = "bold", color = "#056F00") +
annotate("text", x = text_label_B[1], y = text_label_B[2], label = "B",
size = 6, fontface = "bold", color = "#0B3D91") +
annotate("text", x = text_A[1], y = text_A[2], label = area1 - cross.area,
size = 6, fontface = "bold", color = "#056F00") +
annotate("text", x = text_B[1], y = text_B[2], label = area2 - cross.area,
size = 6, fontface = "bold", color = "#0B3D91") +
annotate("text", x = text_overlap[1], y = text_overlap[2], label = cross.area,
size = 6, fontface = "bold", color = "black") +
labs(title = "Exhaustive Events") +
theme_void() +
theme(plot.title = element_text(size = 16, face = "bold", hjust = 0.5)) +
coord_fixed()
Interpretasi:
- Lingkaran hijau (Musik): Mewakili semua murid yang mengikuti ekstrakurikuler musik, jumlahnya ada 25 murid.
- Lingkaran biru (Olahraga): Mewakili semua murid yang mengikuti ekstrakurikuler olahraga, jumlahnya ada 18 murid.
- Irisan hijau-biru (Musik ∪ Olahraga): Bagian tengah (tumpang tindih) mewakili murid yang mengikuti musik dan olahraga sekaligus berjumlah 10 murid.
- Union (Musik ∪ Olahraga): Seluruh area kedua lingkaran (musik saja + olahraga saja + keduanya). Mewakili murid yang mengikuti setidaknya satu kegiatan berjumlah 33 siswa.
4 Exclusive and Exhaustive
KLIK GAMBAR UNTUK MENONTON VIDEONYA
4.1 Mutually Exclusive Events
Dua (atau lebih) event disebut mutually exclusive (saling eksklusif / disjoint) jika tidak bisa terjadi bersama secara bersamaan — artinya tidak ada hasil (outcome) yang berada di kedua event tersebut.
Dalam notasi himpunan: jika event A dan B, maka
\[A∩B=∅ ⇒ P(A∩B)=0\]
Artinya irisan A dan B kosong — tidak ada anggota yang sama.
Jika A dan B saling eksklusif, maka:
\[P(A∪B)=P(A)+P(B)\]
(Jika lebih dari dua kejadian dan semuanya saling eksklusif, jumlahkan semua peluangnya.)
Example Misalkan di kelas ada 30 siswa, dan guru akan memilih 1 siswa saja untuk menerima penghargaan “Siswa Terajin”.
Didefinisikan dua kejadian:
A = “Siswa yang terpilih adalah perempuan”
B = “Siswa yang terpilih adalah laki-laki”
Misal 18 siswa perempuan → A = 18
Misal 12 siswa laki-laki → B = 12
P(A) = 18/30 = 3/5
P(B) = 12/30 = 2/5
P(A ∩ B) = 0
A dan B adalah mutually exclusive events karena tidak mungkin satu siswa menjadi laki-laki dan perempuan sekaligus. Mereka tidak bisa terjadi bersamaan ketika kita hanya memilih 1 siswa.
Diagram Venn: Mutually Exclusive
library(ggplot2)
# Data
df1 <- data.frame(x = 1, y = 0)
df2 <- data.frame(x = 3, y = 0)
# Fungsi untuk gambar lingkaran
circle <- function(center = c(0,0), r = 1){
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 300)
data.frame(
x = center[1] + r * cos(theta),
y = center[2] + r * sin(theta)
)
}
# Lingkaran A dan B
circle_A <- circle(c(1,0), 1)
circle_B <- circle(c(3,0), 1)
# Plot
ggplot() +
geom_polygon(data = circle_A, aes(x, y),
fill = "#BFD7EA80", color = "#BFD7EA", linewidth = 1.3) +
geom_polygon(data = circle_B, aes(x, y),
fill = "#F7DAD980", color = "#F7DAD9", linewidth = 1.3) +
annotate("text", x = 1, y = 1.2, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 3, y = 1.2, label = "B", size = 6, fontface = "bold") +
labs(title = "Mutually Exclusive Events") +
theme_void() +
theme(
plot.title = element_text(size = 16, face = "bold", hjust = 0.5)
) +
coord_fixed()
Interpretasi:
- Lingkaran A: Mewakili seluruh hasil yang termasuk dalam kejadian A.
- Lingkaran B: Mewakili seluruh hasil yang termasuk dalam kejadian B.
- Tidak ada irisan \((A ∩ B)\) karena mutually exclusive, dua kejadian tidak punya anggota bersama. Tidak mungkin satu hasil termasuk A dan B pada waktu yang sama.
4.2 Exhaustive Events
Sekumpulan event disebut exhaustive jika bersama-sama mencakup seluruh kemungkinan hasil dari percobaan — artinya setidaknya satu dari event tersebut pasti terjadi.
Dalam notasi himpunan: jika E₁, E₂, …, Eₙ adalah event exhaustive, maka
\[E₁ ∪ E₂ ∪ ⋯∪ Eₙ = S\]
di mana S = sample space (ruang semua kemungkinan hasil), artinya setiap kemungkinan hasil termasuk di setidaknya satu event di antara E₁…Eₙ.
Catatan
Event yang exhaustive tidak harus mutually exclusive. Mereka dapat overlap.
Ada dua jenis:
- Exhaustive + Mutually Exclusive
Rumus:
\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1\]
- Exhaustive + Overlapping
Rumus:
\[P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\]
Lempar dadu:
- A = bilangan genap \(\{2,4,6\}\)
- B = bilangan ganjil \(\{1,3,5\}\)
\[A ∩ B = ∅\]
\[A ∪ B = S → exhaustive\]
Example 2 Exhaustive + Overlapping
- A = angka ≤ 4 → \(\frac{4}{6}\)
- B = angka ≥ 3 → \(\frac{4}{6}\)
- Shared = {3,4} → \(\frac{2}{6}\)
P(A∪B)=\[\frac{4}{6}+\frac{4}{6}-\frac{2}{6}=\frac{6}{6}=1\]
4.3 Union of Exhaustive Events
Gabungan dari kejadian-kejadian yang bersama-sama sudah mencakup semua hasil yang mungkin. Karena mereka exhaustive → gabungannya pasti sama dengan seluruh S, sehingga:
\[P(A1 ∪A2 ∪⋯∪An)=1\]Misal:
Wasit melempar sebuah koin, di mana koin memiliki ruang sampel \(S = \{H, T\}\)
\(A = \{H\}\)
\(B = \{T\}\)
A dan B adalah Mutually Exclusive (H dan T tidak mungkin muncul bersamaan). Exhaustive (semua kemungkinan tercakup)
Union: \[A∪B=\{H,T\}=S\]
Diagram Venn: Exhaustive Events
library(ggplot2)
# Fungsi untuk menggambar lingkaran
circle <- function(center = c(0,0), r = 1){
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 300)
data.frame(
x = center[1] + r * cos(theta),
y = center[2] + r * sin(theta)
)
}
# Membuat lingkaran A dan B
circle_A <- circle(c(1, 0), 1)
circle_B <- circle(c(2.2, 0), 1)
# Plot diagram Venn
ggplot() +
geom_polygon(data = circle_A, aes(x, y),
fill = "#BFD7EA80", color = "#BFD7EA", linewidth = 1.3) +
geom_polygon(data = circle_B, aes(x, y),
fill = "#F7DAD980", color = "#F7DAD9", linewidth = 1.3) +
annotate("text", x = 1, y = 1.2, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 2.2, y = 1.2, label = "B", size = 6, fontface = "bold") +
labs(title = "Exhaustive Events") +
theme_void() +
theme(
plot.title = element_text(size = 16, face = "bold", hjust = 0.5)
) +
coord_fixed()
Interpretasi:
- Daerah A: kejadian yang hanya termasuk A.
- Daerah B: kejadian yang hanya termasuk B.
- Daerah Daerah overlap (A ∩ B): kejadian yang masuk ke kedua kategori sekaligus.
- Tidak ada area di luar A ∪ B karena A dan B Exhaustive
5 Binomial Experiment
KLIK UNTUK MENONTON VIDEONYA
5.1 Binomial Probability Distribution
Binomial Experiment adalah Binomial Experiment adalah sebuah percobaan atau proses yang memenuhi 4 syarat sehingga hasilnya bisa dianalisis menggunakan distribusi binomial.
Contoh situasi binomial:
- Melempar koin → (muncul kepala / ekor)
- Menebak benar / salah
- Soal pilihan ganda → benar / salah
- Mesin produksi → barang bagus / cacat
5.2 Binomial Setting
Sebuah kasus disebut binomial jika memenuhi 4 syarat:
- Fixed trials: jumlah percobaan n sudah ditentukan.
- Only two outcomes: sukses atau gagal.
- Independent: tiap percobaan tidak saling mempengaruhi.
- Success probability constant: peluang sukses p selalu sama.
Jika semua terpenuhi, maka boleh pakai rumus binomial.
Seorang karyawan mengambil 20 barang secara acak.
Cek syarat:
- Dua hasil: cacat/tidak ✔
- \(n= 20\) ✔
- Probabilitas cacat p sama untuk tiap item ✔ (misal 0,03)
- Independen ✔
Keempat syarat tersebut terpenuhi maka, termasuk binomial experiment.
5.3 Binomial Formula
Rumus:
\[P(X = k) = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}\]
Di mana:
- \(n\) = jumlah percobaan
- \(k\) = jumlah sukses yang dicari
- \(p\) = peluang sukses
- \((1-p)\) = peluang gagal
- \({n \choose k}\) = kombinasi
\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Suatu produk elektronik memiliki peluang cacat p = 0.1. Dari 5 barang (n = 5), berapa peluang tepat 2 barang cacat?
Diketahui:
- \(n\)=5
- \(k\)=2
- \(p\)=0.1
- \(q=1−p\)=0.9
Rumus:
\[P(X = k) = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{\,n-k}\]
Substitusi: \[P(X = 2) = {5 \choose 2} (0.1)^{2} (0.9)^{3}\]
Hitung kombinasi: \[{5 \choose 2} = \frac{5!}{2!3!} = 10\]
Hitung satu-persatu: \[(0.1)^2 = 0.01\] \[(0.9)^3 = 0.729\]
Kalikan semuanya: \[P(X = 2) = 10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.0729\]
Jadi, peluang 2 barang cacat adalah 0.0729 atau 7,29%.
6 Binomial Distribution
KLIK UNTUK MENONTON VIDEONYA
6.1 Reviewing Binomial Formula
Binomial Distribution adalah distribusi peluang dari jumlah sukses dalam n percobaan independen, di mana tiap percobaan hanya punya dua hasil: sukses atau gagal, dan probabilitas sukses adalah \(p\) yang konstan.
Rumus:
\[P(X = k) = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}\]
Di mana:
- \(n\) = jumlah percobaan
- \(k\) = jumlah sukses yang dicari
- \(p\) = peluang sukses
- \((1-p)\) = peluang gagal
- \({n \choose k}\) = kombinasi
\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
6.2 Creating Binomial Distribution from Data
Langkah-langkah:
1 Tentukan n — jumlah percobaan per unit / per trial.
2 Estimasi p dari data — misalnya dari frekuensi sukses dibagi total percobaan.
3 Gunakan rumus binomial untuk tiap \(k=0,1,2,…,n\), hitung \(P(X=k)\).
4 Buat tabel distribusi: kolom \(k\), kolom \(P(X=k)\).
5 (Opsional) Bandingkan dengan data aktual — bisa untuk uji goodness-of-fit atau analisis.
Kegunaan:
- Memberi model matematis dari data empiris.
- Bisa mengevaluasi kemungkinan hasil tertentu jika percobaan dilakukan ulang.
- Digunakan untuk prediksi, simulasi, dan inferensi.
Tabel dan Histogram Binomial Distribution
# Parameter
n <- 10
p <- 0.36
# Hitung distribusi binomial
k <- 0:n
prob <- dbinom(k, n, p)
# Buat data frame
df <- data.frame(
k = k,
Probability = round(prob, 5)
)
# Load library
library(knitr)
library(kableExtra)
kable(df, "html", align = "c") %>%
kable_styling(
full_width = TRUE,
position = "center",
bootstrap_options = c("striped", "hover", "responsive")
) %>%
row_spec(0, background = "#C8E6C9", bold = TRUE, font_size = 16) %>%
row_spec(1:nrow(df), background = "#F2F2F2", font_size = 14) %>%
column_spec(1:ncol(df), border_right = TRUE, border_left = TRUE) %>%
kable_classic(full_width = TRUE, html_font = "Arial") | k | Probability |
|---|---|
| 0 | 0.01153 |
| 1 | 0.06485 |
| 2 | 0.16416 |
| 3 | 0.24623 |
| 4 | 0.24239 |
| 5 | 0.16361 |
| 6 | 0.07669 |
| 7 | 0.02465 |
| 8 | 0.00520 |
| 9 | 0.00065 |
| 10 | 0.00004 |
# Load library
library(ggplot2)
# Parameter
n <- 10
p <- 0.36
# Hitung distribusi binomial
k <- 0:n
prob <- dbinom(k, n, p)
df <- data.frame(k = k, Probability = prob)
# Buat histogram / bar plot
ggplot(df, aes(x = factor(k), y = Probability)) +
geom_bar(stat = "identity", fill = "#A8D5BA", color = "#6FBF8F", width = 0.7) +
labs(title = "Distribusi Binomial",
x = "Jumlah Kejadian (k)",
y = "Probabilitas") +
theme_minimal(base_size = 14) +
theme(
plot.title = element_text(color = "#2E7D32", face = "bold", hjust = 0.5),
axis.title = element_text(face = "bold"),
panel.grid.major = element_line(color = "#D0E8D0"),
panel.grid.minor = element_blank()
)
Interpretasi:
<
- Histogram ini skewed left (condong ke kiri) karena p = 0.36 < 0.5. Artinya, lebih besar kemungkinan mendapatkan jumlah keberhasilan sedikit daripada jumlah besar.
- Dari histogram, bar tertinggi muncul di sekitar k = 3 atau 4, yang berarti ini jumlah keberhasilan paling mungkin terjadi.
- Semakin jauh dari puncak ke kanan, probabilitas semakin kecil.
6.3 Parameters of Binomial Distribution
Distribusi binomial ditentukan oleh dua parameter utama:
- \(n\): jumlah percobaan (trial)
- \(p\): probabilitas sukses tiap percobaan
Mean: \[μ=np\]
Variance: \[σ2=np(1−p)\]
Simpangan baku: \[\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}\]
Artinya:
- Jika \(n\) atau \(p\) besar, mean berpindah tinggi.
- Varians tergantung \(np(1−p)\), maksimum saat \(p\)=0.5.
6.4 Manipulating The Value of \(p\)
Mengubah \(p\) mempengaruhi bentuk distribusi:
- Jika \(p=0.5\) maka distribusi simetris (rata di tengah).
- Jika \(p<0.5\) maka distribusi miring ke kanan (lebih banyak gagal).
- Jika \(p>0.5\) maka distribusi miring ke kiri (lebih banyak sukses).
Jadi \(p\) sangat mempengaruhi di mana puncak distribusi berada.
6.5 Manipulating The Value of \(n\)
Mengubah \(n\) (jumlah percobaan) mempengaruhi:
- Halus/tajamnya distribusi: n kecil → distribusi “kasar”, n besar → distribusi “halus”.
- Variance & simpangan baku: semakin besar n, biasanya varians & simpangan baku juga meningkat, selama \(p\) tetap.
- Kemungkinan nilai banyak: n besar → banyak kemungkinan nilai \(k\) → distribusi lebih menyebar.
Dengan \(n\) besar + \(p\) ekstrem (misalnya ≈ 0.5) → distribusi makin “mendekati kurva halus”.
6.6 Guidelines for Assuming a Normal Approximation
Distribusi binomial bisa didekati dengan distribusi normal jika:
- \(np≥5\)
Harus dipastikan bahwa jumlah success yang diharapkan cukup besar.
- Kalau np kecil, maka peluang condong ke kiri (skew).
- Kalau np besar, maka bentuk distribusi mendekati simetris.
- \((1−p)≥5\)
Ini memastikan bahwa jumlah failure yang diharapkan juga besar.
- Kalau \(n(1 − p)\) kecil, maka condong ke kanan.
- Kalau keduanya besar, maka bentuk semakin simetris.
Jadi, kalau dua-duanya terpenuhi maka aman, distribusi binomial cukup simetris sehingga normal dapat digunakan.
Misal:
- \(n=40\)
- \(p=0.2\)
Cek syarat:
\(np=40(0.2)=8≥5\) (memenuhi)
\(n(1−p)=40(0.8)=32≥5\) (memenuhi)
Maka boleh pakai normal approximation.
Penutup
Memahami probabilitas memberikan kita kemampuan untuk menghadapi situasi yang penuh ketidakpastian dengan cara yang lebih terukur dan objektif. Dengan menguasai prinsip-prinsip fundamental yang telah dibahas, mulai dari konsep ruang sampel, kejadian, hingga distribusi binomial, kita memiliki landasan yang kuat untuk melakukan analisis terhadap berbagai permasalahan secara metodis dan mengambil keputusan yang lebih tepat.
Di luar ranah akademis, penerapan probabilitas sangat luas dalam keseharian kita. Dari mengestimasi kemungkinan suatu peristiwa terjadi, mengukur tingkat risiko, sampai menentukan strategi terbaik dalam situasi yang melibatkan ketidakpastian—semua ini menunjukkan betapa pentingnya pemahaman probabilitas dalam konteks praktis.
Referensi
Richard. (2013). Modul probabilitas. Repository Universitas Kristen Indonesia. http://repository.uki.ac.id/6122/1/Probabilitas.pdf
Testbook.com. (2024). Understanding Exhaustive Events in Probability. Diakses dari https://testbook.com/maths/exhaustive-events
DataCamp. (2024). Binomial Distribution: A Complete Guide with Examples. Diakses dari https://www.datacamp.com/tutorial/binomial-distribution
Hayati, Nur. (2017). Probabilitas dan Statistika. Diakses dari https://anyflip.com/moibw/vrqh/basic