Essential of Probability

Tugas ~ Week 10

Logo

1 Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, probabilitas memiliki peran penting untuk perkembangan ilmu statistika modern. Kita sering menghadapi berbagai kejadian yang tidak pasti, seperti memprediksi cuaca yang akan datang, kondisi ekonomi, hasil produksi, maupun dalam pengambilan sebuah keputusan. Untuk mengukur situasi tersebut, diperlukan teori probabilitas dalam memberikan kerangka matematis.

Selain itu, Probabilitas penting untuk berbagai bidang seperti sains, ekonomi, teknik, kesehatan, hingga pada kecerdasan buatan. Dalam analisa data modern, probabilitas digunakan untuk membangun model prediktif, memahami pola acak yang ada, dan menguji hipotesis.

Dalam analisis berikut, terdapat beberapa point penting yang dibahas untuk memahami konsep probabilitas dengan lebih baik. Berikut adalah poin-poin pentingnya:

  • Fundamental Concepts
  • Independent and Dependent
  • Union of Events
  • Exclusive and Exhaustive
  • Binomial Experiment
  • Binomial Distribution

2 Konsep Fundamental

Video ini menjelaskan tiga konsep fundamental dalam probabilitas yaitu definisi dasar, ruang sampel, dan aturan komplemen.

2.1 Definisi Dasar Probabilitas

Probabilitas didefinisikan sebagai peluang terjadinya suatu peristiwa. Rumus dasarnya adalah \[ P = \frac{Banyak\,Hasil\,Yang\,Diinginkan}{Jumlah\,Total\,Kemungkinan} \]

Contoh Sederhana: Melempar satu koin. Hasil yang diinginkan (Kepala) 1 Total hasil mungkin (Kepala, Ekor) adalah 2 \[ P(H)=\frac{1}{2}=0.5 \] Dengan nilai peluang 0.5 dapat diubah ke persentase menjadi 50%

2.2 Ruang Sampel (Sample Space)

himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Contoh: Melempar Koin 2 Kali Kita dapat menggambarkan ruang sampel menggunakan diagram pohon atau daftar manual. Hasil yang mungkin terjadi (dimana H=Head, T=Tail)

  • HH (Head, Head)
  • HT (Head, Tail)
  • TH (Tail, Head)
  • TT (Tail, Tail)

Total ada 4 hasil yang mungkin. Karena setiap kejadian koin adalah independen (peluang 0.5), maka probabilitas setiap hasil spesifik (misal HT) adalah: \[ P(H)\times P(T)=0.5\times 0.5=0.25 \]

2.3 Aturan Dasar & Aturan Komplemen (Complement Rule)

Ada dua kondisi wajib dalam probabilitas 1. Nilai probabilitas selalu antara 0 dan 1 (0 < P(A) < 1). 2. Jumlah total probabilitas dari semua hasil yang mungkin adalah 1.

Jadi aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian tidak terjadi adalah 1 dikurangi probabilitas kejadian itu terjadi.

\[ P(A')=1-P(A) \]

Contoh Penerapan:Jika kita melempar 2 koin, berapa peluang tidak mendapatkan dua ekor (TT)?

  1. Peluang mendapatkan dua ekor (P(TT) = 0.25
  2. Peluang tidak mendapatkan dua ekor = 1 - 0.25 = 0.75

Cara ini dapat lebih cepat membantu kita daripada menjumlahkan peluang kejadian lainnya (HH + HT + TH).

3 Independent and Dependent

Berdasarkan video di atas, probabilitas dua peristiwa majemuk dibedakan menjadi dua kategori utama berdasarkan pengaruh antar peristiwanya:

3.1 Kejadian Independen (Saling Bebas)

Kejadian independen terjadi ketika hasil dari satu peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas peristiwa lainnya. Contoh Kasus: Melempar dadu dan koin secara bersamaan. Peluang munculnya sisi “Kepala” pada koin tetap 0.5 (atau 1/2) terlepas dari apakah dadu menunjukkan angka 1, 5, atau 6. Hasil dadu tidak mengubah peluang koin, begitu pula sebaliknya. Perhitungan: Jika ingin mencari peluang mendapatkan angka 5 pada dadu dan sisi “Kepala” pada koin \[ P(A\,dan\,B)=P(A)\times P(B) \]

3.2 Kejadian Dependen (Tak Bebas)

Kejadian dependen terjadi ketika hasil dari peristiwa pertama mempengaruhi probabilitas peristiwa berikutnya. Hal ini sangat umum terjadi pada kasus pengambilan sampel tanpa pengembalian (without replacement).

Kesalahan Umum: Banyak mahasiswa salah menghitung dengan tetap mengalikan peluang awal tanpa menyadari bahwa jumlah total sampel (penyebut) telah berubah setelah pengambilan pertama.

Contoh Kasus: Mengambil kelereng dari kotak berisi 10 kelereng(7 Hijau, 3 Biru) tanpa mengembalikan kelereng yang sudah diambil. Pengambilan 1 (kelereng Hijau): Peluangnya adalah 7/10

Pengambilan 2 (kelereng biru): Karena 1 kelereng hijau sudah diambil dan tidak dikembalikan, sisa kelereng di kotak tinggal 9, jadi peluang kelereng biru 3/9. \[ P(A\,dan\,B)=P(A)\times P(B|A) \]

4 Union of Events

Probabilitas gabungan (Union of Events), yaitu menghitung peluang ketika ada dua kejadian atau lebih yang terjadi, dihubungkan dengan kata kunci “ATAU” (or).

4.1 Definisi Dasar Probabilitas (Review)

peluang atau kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Secara formal, probabilitas kejadian A dihitung sebagai:

\[ P(A)= \frac{Banyak\,Hasil\,Yang\,Diinginkan}{Jumlah\,Total\,Kemungkinan} \]

Ruang Sampel (n(S)): Merujuk pada keseluruhan himpunan hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Contoh Dadu: Ketika melempar dua dadu bersisi 6, total ruang sampel (n(S)) adalah 6 x 6 = 36 hasil yang mungkin.

4.2 Probabilitas Gabungan (Union of Events)

Probabilitas gabungan (dilambangkan P(A U B)) digunakan untuk menghitung peluang terjadinya kejadian A ATAU kejadian B, atau bahkan keduanya.

Rumus Umum Penjumlahan (General Addition Rule) ketika dua kejadian, A dan B, memiliki kemungkinan terjadi bersamaan (yaitu memiliki irisan), kita harus menggunakan rumus umum untuk menghindari penghitungan ganda yaitu

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \] Penjelasan komponen rumus: Terdapat Kasus Khusus yaitu Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive)Jika kejadian A dan B tidak mungkin terjadi bersamaan (misalnya, melempar dadu dan mendapatkan angka ganjil ATAU mendapatkan angka 6), maka irisan mereka adalah nol \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

5 Exclusive and Exhaustive

The video explains the important concepts of Mutually Exclusive Events and Exhaustive Events.

5.1 Mutually Exclusive Events

Dua peristiwa dapat disebut saling eksklusif jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan. Misalnya, saat melempar dadu, angka 3 dan 5 tidak dapat muncul pada saat yang sama. Oleh karena itu, probabilitas kedua peristiwa tersebut terjadi adalah nol: \[ P(A\cap B)=0 \] Karena tidak ada tumpang tindih antara kedua peristiwa tersebut, rumus untuk probabilitas gabungan dari dua peristiwa yang saling eksklusif adalah: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

5.2 Exhaustive Events

Sebuah acara dapat dikatakan lengkap jika seluruh kombinasi acara mencakup semua kemungkinan hasil dalam ruang sampel. Artinya, tidak ada hasil yang terlewatkan dari acara mana pun. Misalnya, saat melempar dadu tunggal, acara munculnya angka ganjil dan angka genap merupakan acara lengkap karena mencakup semua kemungkinan hasil.

Berbeda dengan acara yang saling eksklusif, jika kedua acara tersebut lengkap, maka probabilitas gabungan kedua acara tersebut adalah 1. \[ P(A\cup B)=1 \]

Namun, peristiwa yang saling eksklusif tidak selalu saling eksklusif karena peristiwa dapat tumpang tindih tetapi tetap mencakup seluruh ruang sampel.

Kesimpulan: Video ini menjelaskan bahwa peristiwa yang saling eksklusif tidak dapat terjadi secara bersamaan, sementara peristiwa komplementer mencakup semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel. Jika peristiwa saling eksklusif dan secara kolektif mencakup seluruh ruang sampel, probabilitas gabungannya dapat dihitung dengan mudah, dan probabilitas totalnya = 1. Hal ini penting untuk analisis probabilitas yang akurat dan saat menghitung probabilitas menggunakan diagram Venn untuk visualisasi.

6 Binomial Experiment

Experiment Binomial memiliki definisi percobaan yang dilakukan berulang-ulang, di mana setiap pengulangan hanya memiliki dua hasil kemungkinan yaitu: sukses atau gagal, dan peluang sukses (p) tetap di setiap pengulangan. Tujuan percobaan binomial adalah untuk menghitung peluang mendapatkan tepat k sukses dari banyak n pengulangan.

Rumus dari Experiment Binomial: \[ P(k)= \binom{n}{k}\cdot P^{k}\cdot (1-p)^{n-k} \]

Ada 4 syarat yang harus dipenuhi untuk menyatakan Binominal Experiment yaitu:

  • Jumlah percobaan n tetap n sudah ditentukan sebelum percobaan dimulai. Contoh: lempar koin 10 kali berarti n = 10.
  • Setiap percobaan hanya punya dua kemungkinan hasil Hasil tersebut harus bersifat dichotomous:
    • Sukses (misalnya kepala, barang berkualitas, jawaban benar)
    • Gagal (misalnya ekor, barang cacat, jawaban salah)
  • Probabilitas sukses p tetap
    • p = peluang sukses
    • q = 1 − p = peluang gagal
    • p tidak boleh berubah di setiap ulangan
  • Antar-ulangan independen. Hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lainnya.

Contoh : Lempar Koin

Berapa peluang mendapatkan 1 kepala dari 3 kali pelemparan? Diketahui: n = 3 k = 1 p = 0.5 Menggunakan rumus binomial: \[ P(X=1)=\binom{3}{1}(0.5)^{1}(0.5)^{3-1} \] sehingga diperoleh nilai peluang: \[ P=3\times 0.125=0.375 \] Sehingga untuk mendapatkan 1 kepala memiliki peluang dengan persentase sebesar 37.5%

Kapan diterapkan? Banyak situasi nyata yang cocok untuk dimodelkan sebagai eksperimen binomial. Misalnya, saat melempar koin berulang kali, memeriksa cacat pada serangkaian produk, menghitung berapa banyak siswa yang lulus ujian, dan sebagainya. Jika Anda tidak mengenali situasi tersebut sebagai binomial, sulit untuk menghitung probabilitas “jumlah keberhasilan” secara akurat; sementara dengan memahami distribusi binomial, kita dapat memprediksi secara lebih sistematis.

Kesimpulan: Video ini memberikan penjelasan lengkap tentang bagaimana eksperimen binomial dan rumus binomial bekerja dalam statistik. Video ini menjelaskan bahwa ada empat kondisi penting dalam eksperimen binomial, dan rumus binomial memungkinkan kita menghitung probabilitas keberhasilan dari sejumlah percobaan. Distribusi binomial sangat berguna dalam analisis data dan prediksi probabilitas di berbagai bidang: ekonomi, penelitian sosial, pengendalian kualitas, kesehatan, dan sebagainya.

7 Binomial Distribution

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung peluang mendapatkan jumlah sukses tertentu dari sejumlah percobaan yang dilakukan berulang.

sebuah percobaan disebut “Binomial Experiment” jika memenuhi 4 syarat berikut:

  • Jumlah percobaan (n) sudah ditentukan sejak awal. Contoh: kamu mau melempar koin 10 kali → itu fixed, tidak berubah.
  • Setiap percobaan hanya punya dua hasil saja:
    • sukses (misal: kepala)
    • gagal (misal: ekor)
  • Setiap percobaan bersifat independen. Artinya, hasil lemparan pertama tidak mempengaruhi lemparan berikutnya.
  • Probabilitas sukses (p) selalu sama setiap percobaan. Misal peluang mendapat kepala = 0.5, maka dari lemparan pertama sampai lemparan ke-10 tetap 0.5. atau singkatnya:

Rumus Distribusi Binomial: \[ P(k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} \] Keterangan:

  • n = Jumlah percobaan
  • k = Jumlah sukses yang diinginkan
  • p = probabilitas sukses
  • q = 1 - k adalah probabilitas gagal

Untuk lebih jelas, dapat menggunakan visualisasi bar chart seperti berikut ini.

n = 10
p = 0.5
k = 0:n
prob = dbinom(k, size = n, prob = p) 

probabilitas = data.frame(k, size = n, prob = prob)

ggplot(probabilitas, aes(x = k, y = prob)) +
  geom_col(fill = "skyblue", width = 0.5) +
  labs(title = paste("Binomial Distribution (n =", n, ", p =", p, ")"),
       x = "Jumlah Keberhasilan (k)",
       y = "Probabilitas P(k)")

Dalam grafik diatas, dapat diketahui bahwa distribusi tersebut memiliki nilai n = 10, p = 0.5 dan dapat diketahui bahwa ditribusi tersebut adalah distribusi normal.

# Calculate the probability for each k
n <- 10
p <- 0.8
k <- 0:n
prob = dbinom(k, size = n, prob = p) 

# Creating data to be plotted using ggplot
probabilitas = data.frame(k = k, prob = prob)

ggplot(probabilitas, aes(x = k, y = prob)) +
  geom_col(fill = "skyblue", width = 0.5) +
  labs(title = paste("Binomial Distribution (n =", n, ", p =", p, ")"),
       x = "Jumlah Keberhasilan (k)",
       y = "Probabilitas P(k)")

Sementara untuk grafik diatas memiliki nilai p = 0.8, n = 10, sehingga dapat disimpulkan bahwa grafik tersebut mendapatkan peluang 80% lebih tinggi dan membuat grafik miring ke kiri. Untuk mendapatkan grafik yang normal maka harus meningkatkan nilai n nya.

Definisi dari Wikipedia: Distribusi binomial adalah probabilitas diskrit yang menggambarkan: jumlah sukses dalam n percobaan Bernoulli yang independen, di mana masing-masing percobaan punya peluang sukses p. Sifat penting dari Distribusi Binomial yaitu: Rumus mean μ = n . p dan rumus Probabilitas: \[ \sigma^{2}=n\cdot p\cdot(1-p) \]

Penjelasan tambahan dari Wikipedia: Distribusi binomial muncul ketika kita mengulang percobaan Bernoulli. Banyak aplikasi di dunia nyata: survei, statistik industri, biologi, dan pengujian