1.1. Definisi Probabilitas Sederhana

Probabilitas didefinisikan sebagai peluang suatu peristiwa akan terjadi. Secara matematis, probabilitas dihitung menggunakan rumus dasar berikut:\[\text{Probabilitas} = \frac{\text{Jumlah total hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin}}\]Contoh Kasus: Melempar Koin Sekali

• Hasil yang menguntungkan (misalnya, mendapat Head/Kepala) = 1.

• Hasil yang mungkin (Head atau Tail/Ekor) = 2.

• Probabilitas mendapat Head = \(1/2\) atau 0,5 (50%)

1.2. Konsep Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel mengacu pada keseluruhan rangkaian hasil yang mungkin dari suatu eksperimen. Contoh Kasus: Melempar Koin Dua Kali

Untuk menentukan probabilitas saat melempar koin dua kali, kita bisa membuat diagram ruang sampel.

## Warning in read.table(file = file, header = header, sep = sep, quote = quote, :
## incomplete final line found by readTableHeader on
## 'C:/Users/refan/Downloads/DataTugas.csv'

• Total hasil yang mungkin adalah 4.

• Probabilitas Gabungan: Probabilitas hasil seperti HH dihitung dengan mengalikan probabilitas setiap peristiwa (0,5 \(\times\) 0,5 = 0,25). Ini berlaku untuk peristiwa independen.

• Menghitung Probabilitas “Setidaknya Satu Tail” (Minimal satu Ekor): Cukup jumlahkan probabilitas dari hasil yang mengandung minimal satu ‘T’ (HT, TH, TT). Hasilnya adalah \(0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75\) .

1.3. Aturan Dasar Probabilitas

Semua masalah probabilitas harus memenuhi dua kondisi wajib:

1. Nilai antara 0 dan 1: Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi selalu memiliki nilai antara 0 dan 1 (inklusif).

• Probabilitas 0: Peristiwa tidak akan pernah terjadi.

• Probabilitas 1: Peristiwa pasti akan terjadi.

• Probabilitas 0,5: Peristiwa diperkirakan terjadi 50% dari waktu.

2. Total Probabilitas Sama dengan 1: Jumlah probabilitas dari semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel harus selalu sama dengan 1.

1.4. Aturan Komplemen (The Complement Rule)

Aturan Komplemen menyediakan cara untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi. Formula: Probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi probabilitas peristiwa itu terjadi. \[P(A') = 1 - P(A)\] Di mana \(P(A')\) adalah probabilitas bahwa peristiwa \(A\) tidak terjadi.

Contoh Penggunaan: Probabilitas Tidak Mendapatkan Dua Tail (TT)

Menggunakan contoh melempar koin dua kali:

• \(P(\text{TT})\) (Probabilitas mendapatkan dua Tail) = 0,25.

• \(P(\text{bukan TT}) = 1 - P(\text{TT})\).

• \(P(\text{bukan TT}) = 1 - 0,25 = 0,75\).

Hasil ini memberikan jawaban yang sama dengan menjumlahkan probabilitas dari HH, HT, dan TH (0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75), menunjukkan bahwa berbagai metode dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah probabilitas.

2.1. Kejadian Independen (Independent Events)

Kejadian independen adalah ketika hasil dari satu kejadian tidak memengaruhi probabilitas kejadian lainnya.

→Definisi Sederhana: Apa pun yang terjadi pada kejadian pertama, peluang kejadian kedua tetap sama.

→Contoh: Melempar dadu dan melempar koin. Jika Anda mendapatkan angka 6 pada dadu, ini tidak akan mengubah peluang koin mendarat pada sisi Heads (yang selalu 1/2).

→Formula Probabilitas:Untuk menghitung probabilitas dua kejadian independen A dan B terjadi bersamaan, Anda cukup mengalikan probabilitas masing-masing kejadian:

\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\]

Contoh Soal & Perhitungan:Berapa probabilitas melempar dadu 6 sisi mendapatkan angka 5 dan melempar koin mendapatkan Heads?

1. \(P(5) = 1/6\)

2. \(P(\text{Heads}) = 1/2\)

3. \(P(5 \text{ dan Heads}) = 1/6 \times 1/2 = 1/12\).

2.2. Kejadian Dependen (Dependent Events)

Kejadian dependen adalah ketika hasil dari satu kejadian memengaruhi probabilitas kejadian berikutnya [02:29].

• Definisi Sederhana: Peluang kejadian kedua akan berubah berdasarkan apa yang terjadi pada kejadian pertama.

• Kondisi Umum: Kejadian dependen sering terjadi dalam kasus “mengambil item tanpa pengembalian” (without replacement) [03:24]. Karena item yang diambil tidak dikembalikan, jumlah total item dan/atau jumlah item spesifik akan berkurang, sehingga mengubah probabilitas untuk pengambilan selanjutnya.

• Formula Probabilitas:Untuk menghitung probabilitas dua kejadian dependen A dan B terjadi bersamaan, Anda mengalikan probabilitas kejadian A dengan probabilitas kejadian B setelah kejadian A telah terjadi:

\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B \text{ setelah } A)\]

• Contoh Soal & Perhitungan:Sebuah kotak berisi 10 kelereng (7 hijau, 3 biru) [02:38]. Berapa probabilitas mengambil satu kelereng hijau, kemudian satu kelereng biru, tanpa pengembalian?

  1. Kejadian 1 (Mengambil Hijau): \(P(\text{Hijau pertama}) = 7/10\)

  2. Kejadian 2 (Mengambil Biru): Karena 1 kelereng sudah diambil, total kelereng yang tersisa adalah 9, kelereng biru yang tersisa adalah 3, \(P(\text{Biru kedua}) = 3/9\)

  3. \(P(\text{Hijau dan Biru}) = 7/10 \times 3/9 = 7/30\)

Kesimpulan:

• Independen: Hasil A \(\rightarrow\) Tidak mempengaruhi \(P(B)\). Formula: \(P(A) \times P(B)\).

• Dependen: Hasil A \(\rightarrow\) Mempengaruhi \(P(B)\). Formula: \(P(A) \times P(B \text{ setelah } A)\).

3.1. Konsep Dasar yang Diulas

1. Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel adalah seluruh himpunan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen statistika.

• Contoh 1: Pelemparan satu dadu 6 sisi, ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 hasil).

• Contoh 2: Pelemparan dua dadu 6 sisi, ruang sampelnya adalah 6 x 6 = 36 hasil yang mungkin.

2. Peluang Sederhana (Simple Probability)

Peluang adalah kemungkinan suatu kejadian akan terjadi.

• Rumus: Peluang = (Jumlah Hasil yang Menguntungkan) / (Total Jumlah Hasil yang Mungkin dalam Ruang Sampel).

• Contoh: Peluang mendapatkan dua angka 4 saat melempar dua dadu adalah 1/36 (karena hanya ada satu hasil {4, 4} dari 36 hasil total).

3.2. Irisan Dua Kejadian (Intersection of Events)

Sebelum masuk ke gabungan, video menjelaskan Irisan Dua Kejadian (dilambangkan sebagai \(A \text{ dan } B\) atau \(A \cap B\)).

• Irisan adalah himpunan hasil yang dimiliki oleh kedua kejadian secara bersamaan (hasil yang tumpang tindih).

• Contoh: Peluang mendapatkan dua angka genap (\(A\)) dan setidaknya satu angka 2 (\(B\)). Kita harus mencari hasil yang memenuhi kedua kriteria tersebut dari ruang sampel. Dalam contoh ini, ada 5 hasil yang tumpang tindih, sehingga \(P(A \cap B) = 5/36\).

3.3. Peluang Gabungan Dua Kejadian (The Union of Events)

Gabungan Dua Kejadian (dilambangkan sebagai \(A \text{ atau } B\) atau \(A \cup B\)) adalah peluang terjadinya Kejadian A, Kejadian B, atau kedua kejadian tersebut.

Rumus Utama

Untuk menghitung peluang gabungan dua kejadian, digunakan rumus berikut:

\[\mathbf{P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B)}\]\[\text{atau}\]\[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\]

Penjelasan Mengapa Harus Dikurangi (\(-\mathbf{P(A \cap B)}\))

Istilah \(-\mathbf{P(A \cap B)}\) harus dikurangkan karena ketika Anda menjumlahkan \(P(A)\) dan \(P(B)\), hasil-hasil yang ada dalam Irisan (\(A \cap B\)) telah dihitung dua kali sekali di \(P(A)\) dan sekali di \(P(B)\). Pengurangan ini berfungsi untuk menghilangkan hitungan ganda tersebut agar hasilnya akurat.

Visualisasi Konsep ini paling baik divisualisasikan menggunakan Diagram Venn.

• Kotak luar mewakili Ruang Sampel.

• Lingkaran \(A\) dan Lingkaran \(B\) mewakili dua kejadian.

• Area tumpang tindih di tengah adalah Irisan (\(A \cap B\)) yang harus dikurangi.

Contoh Penerapan Rumus

Menggunakan contoh pelemparan dua dadu:

1. \(A\): Peluang mendapatkan dua angka genap. \(\mathbf{P(A) = 9/36}\).

2. \(B\): Peluang mendapatkan setidaknya satu angka 2. \(\mathbf{P(B) = 11/36}\).

3. \(A \cap B\): Peluang irisan (dua angka genap dan setidaknya satu angka 2). \(\mathbf{P(A \cap B) = 5/36}\).

Peluang Gabungan (\(A\) atau \(B\)) dihitung:

\[P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36}\]

Hasil akhirnya adalah \(\mathbf{15/36}\) atau sekitar 0.4167 .

4.1. Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive Events)

Peristiwa saling lepas (disebut juga terpisah) adalah dua peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Konsep Dasar

• Definisi: Peristiwa A dan Peristiwa B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki hasil bersama (tidak ada irisan).

• Dalam Diagram Venn: Dua lingkaran yang mewakili peristiwa A dan B digambar sepenuhnya terpisah satu sama lain. * Secara Matematis: Irisan dari A dan B adalah himpunan kosong (\(A \cap B = \emptyset\)). Ini berarti probabilitas terjadinya A dan B adalah nol: \(P(A \text{ dan } B) = 0\).

Rumus Penjumlahan (Addition Rule)

Karena tidak ada hasil yang tumpang tindih, probabilitas terjadinya A atau B (gabungan) adalah penjumlahan langsung dari probabilitas masing-masing:

\[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}\]

Contoh Sederhana

Saat melempar satu buah dadu bersisi enam:

• Peristiwa A: Mendapatkan angka ganjil (1, 3, 5).

• Peristiwa B: Mendapatkan angka genap (2, 4, 6).

• Tidak mungkin mendapatkan angka ganjil dan genap dalam satu kali lemparan, sehingga A dan B adalah peristiwa saling lepas.

4.2. Peristiwa Lengkap (Exhaustive Events)

Peristiwa lengkap adalah seperangkat peristiwa yang mencakup semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel (sample space).

Konsep Dasar

• Definisi: Sekumpulan peristiwa dikatakan lengkap jika setidaknya satu dari peristiwa tersebut pasti akan terjadi.

• Dalam Diagram Venn: Gabungan (union) dari semua peristiwa yang lengkap tersebut akan mengisi seluruh kotak yang mewakili ruang sampel.

• Secara Matematis: Gabungan dari semua peristiwa sama dengan Ruang Sampel (S). Misalnya, untuk dua peristiwa A dan B, \(A \cup B = S\).

Rumus Probabilitas

Probabilitas gabungan dari semua peristiwa yang lengkap adalah 1, karena salah satu peristiwa tersebut dijamin akan terjadi:

\[\mathbf{P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = 1}\]

Contoh Sederhana

Saat melempar satu buah koin:

• Peristiwa A: Mendapatkan Kepala.

• Peristiwa B: Mendapatkan Ekor.

• Salah satu pasti terjadi, dan gabungan keduanya (Kepala atau Ekor) mencakup semua hasil yang mungkin. Jadi, A dan B adalah peristiwa lengkap.

Peristiwa Saling Lepas dan Lengkap (Mutually Exclusive and Exhaustive)

Beberapa peristiwa dapat bersifat saling lepas sekaligus lengkap.

Karakteristik:

Jika sekumpulan peristiwa bersifat saling lepas dan lengkap, itu berarti:

1. Tidak ada hasil yang tumpang tindih di antara mereka.

2. Tidak ada hasil di ruang sampel yang tertinggal oleh mereka.

3. Penjumlahan probabilitas mereka pasti sama dengan 1.

\[\mathbf{P(A) + P(B) + P(C) + ... = 1}\]

Contoh Gabungan:

Kembali pada contoh dadu:

• Peristiwa A (Ganjil) dan B (Genap) adalah Saling Lepas (tidak ada irisan) dan Lengkap (gabungannya mencakup 1, 2, 3, 4, 5, 6).

5.1. Konsep Dasar Eksperimen Binomial

Distribusi probabilitas binomial mengacu pada kemungkinan terjadinya keberhasilan atau kegagalan dalam suatu eksperimen yang diulang berkali-kali [00:11].

“Bi” dalam binomial secara harfiah berarti dua, merujuk pada dua hasil yang mungkin: Keberhasilan (Success) atau Kegagalan (Failure) [00:29].

5.2. Empat Kondisi Pengaturan Binomial (Binomial Setting)

Suatu percobaan harus memenuhi keempat kondisi berikut agar dapat dikategorikan sebagai Eksperimen Binomial:

Kondisi                                   Penjelasan
1. Tetap ($n$ fixed)                      Jumlah percobaan ($n$) harus  tetap (fixed).

2. Dua Hasil (Two Outcomes)               Hanya ada dua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan: Keberhasilan atau Kegagalan.

3. Probabilitas Konstan ($P$ constant)    Probabilitas keberhasilan ($P$) harus konstan untuk setiap percobaan.

4. Independen (Independent)               Setiap percobaan harus independen; hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.

5.3. Rumus Probabilitas Binomial

Setelah memastikan bahwa suatu eksperimen adalah binomial, Anda dapat menggunakan rumus ini untuk menghitung probabilitas dengan cepat:

\[P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Simbol:

• \(P(X=k)\) = Probabilitas mendapatkan tepat \(k\) kali sukses.

• \(n\) = Jumlah percobaan.

• \(k\) = Jumlah keberhasilan yang diinginkan.

• \(p\) = Probabilitas keberhasilan untuk satu percobaan.

• \({n \choose k}\) = Formula kombinasi \(n \choose k\) , yang menghitung jumlah cara untuk mendapatkan \(k\) sukses dari \(n\) percobaan.

• \((1-p)\) = Probabilitas kegagalan.\((n-k)\)Jumlah kegagalan.

Contoh Penerapan Rumus

Video ini memberikan contoh mengambil 5 kelereng dengan pengembalian dari kotak berisi 10 kelereng (2 hijau, 8 bukan hijau), dengan tujuan mencari probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau.

Langkah 1: Tentukan nilai-nilai binomial

• \(n\) (Jumlah percobaan) = 5

• \(k\) (Jumlah sukses) = 2

• \(p\) (Probabilitas sukses) = \(2/10 = 0.2\)

• \((1-p)\) (Probabilitas gagal) = \(8/10 = 0.8\)

Langkah 2: Masukkan nilai ke dalam rumus

\[P(X=2) = {5 \choose 2} \cdot (0.2)^2 \cdot (1-0.2)^{5-2}\]

Langkah 3: Hitung hasilnya

• \({5 \choose 2} = 10\) (Jumlah cara untuk mendapatkan 2 sukses dari 5 percobaan)

• \(P(X=2) = 10 \cdot (0.04) \cdot (0.512)\)

• \(P(X=2) = 0.2048\)

Hasil perhitungan menggunakan rumus binomial ini sama dengan perhitungan manual, namun jauh lebih efisien.

6.1. Tinjauan Rumus Binomial

Video ini dimulai dengan meninjau kembali Rumus Binomial, yang digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan sejumlah sukses tertentu (\(k\)) dalam sejumlah percobaan (\(n\)):

• \(k\): Jumlah sukses (misalnya, jumlah heads saat melempar koin).

• \(n\): Jumlah percobaan (misalnya, total lemparan koin).

• \(p\): Probabilitas sukses (misalnya, 0.5 untuk mendapatkan heads).

Contoh: Melempar koin 2 kali (\(n=2\), \(p=0.5\)).

Probabilitas untuk setiap jumlah sukses (\(k\)) adalah:

• \(P(k=0 \text{ sukses}) = 0.25\)

• \(P(k=1 \text{ sukses}) = 0.50\)

• \(P(k=2 \text{ sukses}) = 0.25\)

6.2. Visualisasi Distribusi

Distribusi Binomial dapat divisualisasikan menggunakan Diagram Batang (Bar Chart) [01:27], di mana:

• Sumbu-X menunjukkan jumlah sukses (\(k\)).

• Sumbu-Y menunjukkan probabilitas sukses untuk setiap nilai \(k\).

6.3. Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\))

Ketika jumlah percobaan (\(n\)) ditingkatkan (misalnya, dari 2 menjadi 10 kali lemparan koin), bentuk Distribusi Binomial mulai menyerupai Distribusi Normal.

Pada kasus \(n=10\) dan \(p=0.5\), pusat (mean) distribusi berada di sekitar 5.

6.4. Parameter Distribusi Binomial

Jika suatu variabel \(X\) mengikuti Distribusi Binomial, Anda dapat menghitung parameter utamanya:

Rata-rata (Mean, \(\mu\)):

\[\mu = n \times p\]

Variansi (Variance):

\[\text{Variance} = n \times p \times (1 - p)\]

Standar Deviasi (Standard Deviation, \(\sigma\)):

\[\sigma = \sqrt{n \times p \times (1 - p)}\]

6.5. Pengaruh Probabilitas Sukses (\(p\)) terhadap Bentuk Distribusi

Nilai \(p\) mengontrol bentuk distribusi:

• \(p = 0.5\) : Bentuk distribusi terlihat seimbang di sekitar mean

• \(p < 0.5\) : Probabilitas lebih tinggi di nilai \(k\) yang kecil (mendekati nol)

• \(p > o.5\) : Probabilitas lebih tinggi di nilai \(k\) yang besar, mendekati mean (\(\mu\))

Secara umum, data akan selalu mengelompok di sekitar nilai rata-rata (\(\mu = n \times p\))

6.6. Aturan Pendekatan Normal (Normal Approximation)

Untuk Distribusi Binomial yang menceng (\(p \neq 0.5\)), satu-satunya cara untuk membuatnya tidak menceng adalah dengan meningkatkan nilai \(n\) secara signifikan [05:05].

Kita dapat mengasumsikan Distribusi Binomial mendekati Distribusi Normal (Pendekatan Normal) jika dua kondisi berikut terpenuhi [05:42]:

1. \[n \times p \ge 10\]

2. \[n \times (1 - p) \ge 10\]

Kesimpulan:

Secara ringkas, nilai \(p\) menentukan bentuk (simetris atau menceng), dan nilai \(n\) menentukan seberapa dekat distribusi tersebut menyerupai Distribusi Normal. Semakin besar \(n\), semakin mendekati Distribusi Normal.

Mean \(\mu = np\)

Variansi \(\sigma^2 = np(1-p)\)

Standar Deviasi \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)