Exercise Week 10
Essential of Probability
November 30, 2025
1 Pendahuluan
Probabilitas merupakan fondasi penting dalam penalaran statistik karena menyediakan cara berpikir yang terstruktur untuk menghadapi ketidakpastian. Melalui konsep ini, kita tidak hanya sekadar menebak atau mengandalkan intuisi ketika menilai kemungkinan suatu peristiwa, tetapi dapat menggunakan ukuran matematis yang jelas. Dengan probabilitas, kita mampu memperkirakan peluang suatu hasil, membaca pola-pola yang muncul dari data, serta memahami berbagai fenomena acak yang timbul baik dari proses alam maupun eksperimen yang dirancang. Penguasaan konsep probabilitas yang kuat menjadi sangat penting karena mendasari analisis data yang valid, penelitian ilmiah yang dapat dipertanggung jawabkan, dan pengambilan keputusan berbasis bukti.
2 Prinsip-Prinsip Dasar dalam Teori Probabilitas
Bagian ini merangkum prinsip-prinsip utama dalam teori probabilitas :
- Konsep Dasar Probabilitas
Meliputi pemahaman ruang sampel (semua kemungkinan hasil), kejadian (subset dari ruang sampel), dan aturan komplemen. Konsep ini menjadi fondasi utama sebelum melanjutkan ke analisis yang lebih kompleks.
- Peristiwa Independen vs Dependen
Membedakan kejadian yang tidak saling mempengaruhi (independen) dengan yang saling terkait (dependen). Pemahaman ini crucial untuk pembuatan model probabilitas yang akurat.
- Gabungan Kejadian
Membahas peluang terjadinya satu atau lebih kejadian, yang sangat aplikatif dalam analisis risiko dan evaluasi berbagai skenario.
- Peristiwa Eksklusif dan Lengkap
-Eksklusif: kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan
-Lengkap: kumpulan kejadian yang mencakup semua kemungkinan dalam ruang sampel
- Eksperimen dan Distribusi Binomial
Konsep untuk menganalisis percobaan berulang dengan dua hasil (sukses/gagal). Sangat relevan dalam penelitian ilmiah, quality control, dan survei.
3 Konsep Dasar
3.1 Pengertian Probabilitas
Probabilitas secara umum adalah peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara lebih lengkap, ini adalah nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian secara acak, dihitung dengan rumus:
\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil dalam Kejadian A (Favorable Outcomes)}}{\text{Jumlah Total Hasil dalam Ruang Sampel (Total Possible Outcomes)}}\]
Contoh sederhana:
Melempar sebuah koin memiliki 2 kemungkinan: head (H) atau tail (T).
Peluang mendapatkan head adalah:
\[P(H) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%\]
3.2 Peluang Dua Kejadian
Jika sebuah koin dilempar dua kali, peluang mendapatkan dua head adalah: \[P(HH) = P(H) \times P(H) = 0.5 \times 0.5 = 0.25\] Hal ini dapat dilakukan karena kedua lemparan koin adalah independent event (hasil lemparan pertama tidak memengaruhi lemparan kedua).
3.3 Ruang Sampel
Ruang sampel adalah kumpulan seluruh hasil yang mungkin.
Untuk dua kali lemparan koin, ruang sampelnya adalah:
HH
HT
TH
TT
Ada 4 kemungkinan hasil.
Dengan menggunakan ruang sampel, kita bisa menghitung peluang setiap kejadian.
Semua hasil memiliki peluang 0,25 atau 25%.
3.4 Contoh: Peluang Mendapatkan Minimal Satu Tail
Kita pilih semua hasil yang mengandung huruf T:
HT
TH
TT
Total peluangnya: \[0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75\]
3.5 Sifat-sifat Probabilitas
Nilai peluang berada antara 0 dan 1
0 = mustahil
1 = pasti
0,5 = kemungkinan 50%
Jumlah seluruh peluang pada ruang sampel = 1 \[P(H) + P(T) = 0.5 + 0.5 = 1\]
3.6 Aturan Komplemen
Aturan ini menyatakan: \[P(A') = 1 - P(A)\] Artinya, peluang suatu kejadian tidak terjadi adalah 1 dikurangi peluang kejadian tersebut.
Contoh:Peluang tidak mendapatkan dua tail (TT): \[P(\text{bukan } TT) = 1 - P(TT) = 1 - 0.25 = 0.75\]
3.7 Interpretasi
Probabilitas mengukur kemungkinan suatu kejadian acak, bernilai 0-1. Dihitung dari perbandingan hasil yang diinginkan dengan total hasil dalam ruang sampel.
Contoh pelemparan koin menunjukkan sifat dasar: peluang seragam tiap hasil (0.25), perkalian untuk kejadian independen, dan aturan komplemen (1-P(A)) untuk kejadian tidak terjadi. Ruang sampel menjadi dasar semua perhitungan peluang.
4 Peristiwa Indenpenden dan Dependen
4.1 Pengertian Peristiwa Independent
Peristiwa independen adalah dua peristiwa yang kejadiannya satu sama lain tidak saling memengaruhi probabilitasnya. Artinya, hasil dari satu peristiwa tidak mengubah kemungkinan terjadinya peristiwa lain.
Peristiwa independen memiliki ciri-ciri, yaitu:
Probabilitas tidak berubah: Terjadinya satu peristiwa tidak memberikan pengaruh pada peluang terjadinya peristiwa lain.
Bentuk matematis: Dua kejadian, A dan B, dikatakan independen jika probabilitas gabungannya sama dengan perkalian probabilitas masing-masing, atau \(P(A \cap B) = P(A) \, P(B)\)
Probabilitas bersyarat: Jika dua kejadian independen, maka probabilitas bersyaratnya sama dengan probabilitas marginalnya, yaitu \(P(A \mid B) = P(A)\) dan \(P(B \mid A) = P(B)\)
Contoh Pada Saat Melempar sebuah dadu dan koin secara bersamaan
Dadu memiliki 6 kemungkinan.
Koin memiliki 2 kemungkinan.
Hasil dadu tidak memengaruhi hasil koin.
contoh soal:
Peluang roll angka 5 dan mendapatkan heads
P(5) = \[\frac{1}{6}\]
P(heads) = \[\frac{1}{2}\]
Pada soal ini, menggunakan rumus peluang untuk peristiwa independen
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\] Penyelesaiiannya: \[P(5 \cap \text{heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\]
4.2 Pengertian Peristiwa Dependen
Peristiwa dependen adalah dua kejadian di mana kejadian pertama memengaruhi peluang kejadian berikutnya. Biasanya terjadi pada situasi tanpa pengembalian (without replacement).
Peristiwa Dependen memiliki ciri-ciri, yaitu:
Kejadian pertama mengubah komposisi atau kondisi ruang sampel.
Peluang kejadian kedua berubah dari peluang awal.
Kejadian saling berhubungan dan berurutan.
Contoh Soal
Kotak berisi 10 kelereng:
7 kelereng hijau
3 kelereng biru
Jika kita mengambil kelereng tanpa mengembalikan, maka jumlah dan komposisi kelereng berubah.
Pada soal di atas kita dapat menggunakan rumus \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\] Penyelesaianya:
- Mengambil hijau lalu biru (tanpa pengembalian)
\[P(\text{hijau pertama}) = \frac{7}{10}\] Setelah 1 hijau diambil:
Total = 9 kelereng
Biru = 3
\[P(\text{biru kedua}) = \frac{3}{9}\] P(hijau lalu biru) \[\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{30}\]
- Mengambil dua hijau (tanpa pengembalian)
\[P(\text{hijau pertama}) = \frac{7}{10}\]
Setelah 1 hijau diambil:
Sisa hijau = 6
Total = 9 \[P(\text{hijau kedua}) = \frac{6}{9}\] P(dua hijau) \[P(\text{dua hijau}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{7}{15}\]
4.3 Interpretasi
Peristiwa Independen:
Kejadian tidak memengaruhi satu sama lain.
Peluang dihitung dengan perkalian langsung.
Rumus: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Peristiwa Dependen:
Kejadian saling memengaruhi.
Peluang ke-2 berubah setelah ke-1 terjadi.
Rumus: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\]
5 Gabungan Kejadian
5.1 Pengertian Gabungan Kejadian
Gabungan kejadian adalah suatu kejadian baru yang mencakup semua hasil yang ada dalam setidaknya salah satu dari kejadian yang digabungkan. Ini terjadi ketika salah satu kejadian A atau kejadian B (atau keduanya secara bersamaan) terjadi.
5.2 Konsep Dasar
Ruang Sampel: Seluruh kemungkinan hasil dalam suatu percobaan statistik.
contoh:
Satu dadu 6 sisi, yaitu ruang sampel: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dua dadu total kemungkinan = 6 × 6 = 36 hasil, dapat divisualisasikan sebagai pasangan (dadu 1, dadu 2), misalnya (3,5) atau (6,6).
Memahami ruang sampel penting karena semua perhitungan peluang didasarkan pada jumlah total kemungkinan dalam ruang sampel tersebut.
Peluang Dasar: Peluang suatu kejadian dihitung dengan rumus: \[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil dalam Kejadian A (Favorable Outcomes)}}{\text{Jumlah Total Hasil dalam Ruang Sampel (Total Possible Outcomes)}}\]
Contoh: Peluang muncul dua angka 4 ketika melempar dua dadu, yaitu hanya 1 hasil yang cocok, dari 36 kemungkinan: \[P(\text{dua 4}) = \frac{1}{36}\]
5.3 Peluang Kejadian Majemuk
Irisan Kejadian: Ketika diminta dua kondisi sekaligus, misalnya:
“dua angka genap dan minimal satu angka 2”,
kita mencari hasil yang berada pada kedua kejadian tersebut sekaligus.
Dari ruang sampel, ada 5 kombinasi yang memenuhi kedua kondisi.
\[P = \frac{5}{36}\]
Gabungan Kejadian: Digunakan ketika pertanyaan memakai kata “atau”.
Contoh:
“dua angka genap atau minimal satu angka 2”
Rumus peluang gabungan kejadian adalah:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Keterangan:
\(P(A) + P(B)\): Menghitung semua hasil dari A dan B, tetapi ada hasil yang dihitung dua kali (irisan A dan B).
\(P(A \cap B)\): Dikurangi untuk menghindari penghitungan ganda.
5.4 Contoh Soal Gabungan Kejadian
soal: Peluang mendapatkan dua angka genap atau minimal satu angka 2 saat melempar 2 dadu.
\(P(A)\) = Peluang mendapat dua angka genap
Dalam ruang sampel, ada 9 kombinasi berisi dua angka genap.
\[P(A) = \frac{9}{36}\]
\(P(B)\) = Peluang mendapat minimal satu angka 2
Ada 11 kombinasi yang memuat angka 2 di salah satu (atau kedua) dadu.
\[P(B) = \frac{11}{36}\]
\(P(A \cap B)\) = Peluang dua angka genap dan minimal satu angka 2
\[P(A \cap B) = \frac{5}{36}\]
maka:
\[P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36}
= \frac{15}{36}\]
5.5 Visualisasi
library(ggplot2)
library(ggvenn)
# Data yang BENAR - merepresentasikan outcome yang overlap
venn_data_correct <- list(
"Dua Angka Genap" = 1:9, # 9 outcome (1-9 mewakili outcome A)
"Minimal Satu Angka 2" = 5:15 # 11 outcome (5-15 mewakili outcome B)
# Irisan = outcome 5,6,7,8,9 (5 outcome)
)
# Plot Venn Diagram yang benar
ggvenn(venn_data_correct,
fill_color = c("lightblue", "lightgreen"),
stroke_size = 0.5,
set_name_size = 4)
Interpretasi visualisasi
Diagram Venn menunjukkan dua himpunan beririsan. Lingkaran kiri (A) = “Dua Angka Genap” (9 outcome), lingkaran kanan (B) = “Minimal Satu Angka 2” (11 outcome). Irisan \((A \cap B)\) = 5 outcome.
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) Rumus diperlukan karena tanpa pengurangan, irisan terhitung ganda. Pengurangan 5 outcome menghasilkan 15 outcome unik \(\frac{15}{36}\).
Visualisasi membuktikan prinsip gabungan: setiap outcome dihitung sekali tanpa duplikasi.
5.6 Interpretasi
Peluang gabungan kejadian mengukur kemungkinan terjadinya kejadian A atau B menggunakan rumus \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), dimana pengurangan \(P(A \cap B)\) diperlukan untuk menghindari penghitungan ganda pada outcome yang sama. Sebagai contoh, dalam pelemparan dua dadu, \(P(A) = \frac{9}{36}\), \(P(B) = \frac{11}{36}\), dan \(P(A \cap B) = \frac{5}{36}\), menghasilkan \(P(A \cup B) = \frac{15}{36}\) setelah dikurangi outcome yang tumpang tindih. Diagram Venn memperjelas konsep ini dengan menunjukkan overlap antar kejadian yang menyebabkan perlunya koreksi penghitungan.
6 Peristiwa Saling Lepas dan Peristiwa menyeluruh
6.1 Pengertian Peristiwa Saling Lepas
Peristiwa Saling Lepas adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan. Artinya, tidak ada outcome dalam ruang sampel yang muncul di kedua kejadian sekaligus.
Secara matematis:
\[P(A \cap B) = 0\]
Mempunyai ciri-ciri:
Tidak memiliki irisan pada diagram Venn.
Jika A terjadi, B pasti tidak terjadi, dan sebaliknya.
6.2 Ruang Sampel
Ruang sampel adalah seluruh kemungkinan hasil dalam suatu percobaan statistik.
Ruang sampel ini menjadi dasar untuk membahas dua konsep utama, yaitu Mutually Exclusive Events dan
Exhaustive Events
6.3 Contoh soal
Event A: muncul setidaknya satu angka 5
Dadu pertama = 5
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5),(5,6)Dadu kedua = 5
(tapi dadu pertama ≠ 5, agar tidak menghitung ganda)
(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)
Semua outcome digabungkan:
A={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}
jumlah semua nya ada 11 outcome
\[P(A) = \frac{11}{36}\]
Event B: jumlah dua dadu <4
Kombinasi yang mungkin: (1,1), (1,2), (2,1)
Jumlah outcome: 3
\[P(B) = \frac{3}{36}\]
Untuk memeriksa apakah kedua kejadian tersebut saling lepas, dapat dilihat apakah ada outcome yang memenuhi syarat keduanya sekaligus. Tidak ada outcome yang mengandung “setidaknya satu angka 5” dan pada saat yang sama memiliki jumlah <4. Dengan demikian, tidak terdapat irisan antara kedua kejadian tersebut. \[A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0\] Kesimpulannya, A dan B merupakan mutually exclusive events, karena kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
6.5 Contoh Soal
soal masih sama seperti di atas pada pelemparan dua dadu enam sisi
Event A: muncul setidaknya satu angka 6
Dadu pertama = 6
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)Dadu kedua = 6
(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)
Semua outcome digabungkan:
A={(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}
jumlah semua nya ada 11 outcome
\[P(A) = \frac{11}{36}\]
Event B: jumlah dua dadu <11
B={(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5),
(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),
(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4)}
jumlah semua nya ada 33 outcome \[P(B) = \frac{33}{36}\]
Selanjutnya, untuk menganalisis apakah kedua kejadian tersebut bersifat exhaustive, kita dapat memeriksa bagian overlap antara A dan B. A dan B memiliki irisan pada 8 outcome, sehingga: \[P(A \cap B) = \frac{8}{36}\]
Menggunakan aturan penjumlahan probabilitas: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \[ P(A \cup B) = \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = \frac{36}{36} = 1 \]
Artinya, A dan B merupakan exhaustive events, karena gabungan keduanya mencakup seluruh 36 outcome dalam ruang sampel.
6.7 Interpretasi
Kejadian Saling Lepas adalah dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan \(P(A \cap B) = 0\), seperti “muncul angka 5” dan “jumlah dadu <4”. Kejadian Menutupi Ruang Sampel terjadi ketika gabungan kejadian mencakup semua kemungkinan outcome \(P(A \cup B) = 1\). Keduanya bisa berlaku bersamaan, contohnya “jumlah dadu genap” dan “jumlah dadu ganjil” yang sekaligus saling lepas dan menutupi seluruh ruang sampel.
7 Percobaan Binomial
7.1 Pengertian
Distribusi binomial mengukur penyebaran data dalam \(n\) kali percobaan, di mana setiap pengulangan (percobaan) bersifat independen dan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal, dengan peluang keberhasilan (\(p\)) yang konstan untuk setiap percobaan.
Agar suatu percobaan bisa disebut sebagai percobaan binomial, ada empat syarat yang harus dipenuhi:
Jumlah Percobaan Tetap (\(n\)): Eksperimen terdiri dari jumlah pengulangan yang tetap.
Dua Hasil yang Mungkin: Setiap percobaan hanya menghasilkan salah satu dari dua hasil: “sukses” atau “gagal”.
Peluang Sukses Konstan (\(p\)): Probabilitas keberhasilan (\(p\)) tetap sama untuk setiap percobaan. Karena itu, percobaan seperti mengambil marble dengan pengembalian termasuk binomial (peluang tetap), sedangkan tanpa pengembalian tidak.
Peluang kegagalan dilambangkan dengan \(q\), di mana \(q=1-p\).Percobaan Independen: Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil dari percobaan lainnya.
Jika keempat syarat ini terpenuhi, barulah kita dapat menggunakan rumus binomial.
7.2 Rumus Binomial
Untuk menghitung peluang tanpa menuliskan seluruh susunan, digunakan rumus: \[P(k) = \binom{n}{k} \, p^{k} (1 - p)^{\,n-k}\] Keterangan:
\(n\) = jumlah percobaan
\(k\) = jumlah sukses
\(p\) = peluang sukses
\(\binom{n}{k}\)= kombinasi “n choose k”, banyaknya cara memilih k sukses dari n percobaan
7.3 Contoh Soal 1 Melempar Koin Sebanyak 3 Kali
Setiap kali koin dilempar, hanya ada dua kemungkinan:
Head (H) → kita anggap sebagai sukses
Tail (T) → kita anggap sebagai gagal
Karena koin dilempar tiga kali, berarti kita punya tiga percobaan yang dilakukan secara berurutan.
Diminta mencari peluang tepat satu head, bukan lebih dan bukan kurang
susunan mana saja yang memenuhi hal itu:
H T T → head muncul di lemparan pertama
T H T → head muncul di lemparan kedua
T T H → head muncul di lemparan ketiga
Dari sini terlihat bahwa ada tiga susunan berbeda yang menghasilkan tepat satu head. Perbedaan ketiga susunan itu terletak pada urutan munculnya head.
Peluang setiap susunan dapat dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing hasil
Karena peluang head adalah 0,5 dan tail juga 0,5.
Maka peluang satu susunan
\[P(HTT) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\]
Dan karena ketiga susunan (H T T, T H T, dan T T H) memiliki susunan head dan tail yang sama banyaknya, maka masing-masing juga memiliki peluang 0,125.
Menjumlahkan peluang
Ketiga susunan tersebut sama-sama valid dan saling terpisah, cukup menjumlahkan peluangnya: \[0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375\]
Jadi, peluang untuk mendapatkan tepat satu head dalam tiga kali lemparan koin adalah 0,375 atau 37,5%.
Semua syarat binomial terpenuhi, sehingga percobaan ini merupakan percobaan binomial.
7.4 Contoh Soal 2 Mengambil 5 Marble Dengan Pengembalian
Di dalam kotak terdapat:
3 pink
2 green
5 blue
Berapa peluang memperoleh tepat dua marble hijau dari lima kali percobaan dengan pengembalian?
Karena setiap marble dikembalikan sebelum mengambil berikutnya:
peluang sukses (mendapat marble hijau)
\[P(\text{hijau}) = \frac{2}{10} = 0.2\]
Sementara peluang gagal (tidak mendapatkan marble hijau) \[P(\text{tidak hijau}) = \frac{8}{10} = 0.8\] Karena setiap marble dikembalikan, maka peluang ini tetap sama pada setiap percobaan, sehingga memenuhi syarat binomial.
Dalam lima percobaan, diperlukan dua kejadian sukses (dua kali memperoleh marble hijau) dan tiga kejadian gagal (tiga kali memperoleh marble non-hijau). Terdapat 10 susunan kemungkinan yang memenuhi pola dua sukses dan tiga gagal, peluang satu susunan dihitung dengan mengalikan peluang setiap kejadian: \[0.2 \times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.02048\]
Dengan menjumlahkan peluang seluruh susunan tersebut,diperoleh peluang total 0,2048. Maka total peluang mendapatkan tepat dua marble hijau adalah: \[10 \times 0.02048 = 0.2048\]
Jadi, peluangnya adalah 0,2048 atau sekitar 20,48%.
Jika ingin menyelesaikan contoh soal menggunakan rumus awal
\(n\) = 5
\(k\) = 2
\(p\) = 0.2
\(1 - p\) = 0.8
Masukkan rumus: \[P(k) = \binom{n}{k} \, p^{k} (1 - p)^{\,n-k}\] Masukkan angka: \[P(2) = \binom{5}{2} (0.2)^2 (0.8)^{5-2}\]
Sederhanakan: \[P(2) = \binom{5}{2} (0.2)^2 (0.8)^3\]
Hitung bagian-bagian kecilnya: \[P(2) = 10 \times 0.04 \times 0.512\]
\[P(2) = 0.2048\]
7.5 Interpretasi
Distribusi binomial cocok untuk situasi “sukses atau gagal” yang berulang.
Empat syarat binomial wajib dipenuhi sebelum menggunakan rumusnya.
Rumus binomial sangat memudahkan untuk menghitung peluang tanpa menuliskan semua kemungkinan satu per satu.
Dengan memahami konsep ini, kita bisa menyelesaikan berbagai masalah peluang yang melibatkan percobaan berulang dengan lebih cepat dan tepat.
8 Distribusi Binomial
8.1 Pengertian Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret untuk sejumlah percobaan independen yang memiliki dua kemungkinan hasil (sukses atau gagal), dengan probabilitas sukses tetap untuk setiap percobaan.
Agar suatu percobaan bisa disebut sebagai distribusi binomial, ada empat syarat yang harus dipenuhi:
Percobaan: Serangkaian percobaan yang dilakukan sebanyak n kali.
Hasil: Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, seperti “berhasil” atau “gagal”, “lulus” atau “tidak lulus”.
Probabilitas: Probabilitas keberhasilan (\(p\)) pada setiap percobaan adalah tetap dan independen satu sama lain. Probabilitas kegagalan (\(q\)) adalah \(1-p\).
Variabel acak: Variabel acak binomial (\(x\)) merepresentasikan jumlah keberhasilan dari n percobaan.
8.2 Rumus Distribusi Binomial
Untuk mencari peluang memperoleh k sukses dari n percobaan, digunakan rumus: \[P(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{\,n - k}\] Keterangan:
\(n\) = jumlah percobaan
\(k\) = jumlah sukses yang diinginkan
\(p\) = peluang sukses
\(1 - p\) = peluang gagal
\(\binom{n}{k}\) = kombinasi “n dan k”
Selain peluang, distribusi binomial juga memiliki parameter:
Mean: \[\mu = np\]
Varian: \[\sigma^2 = np(1-p)\]
Standar deviasi: \[\sigma = \sqrt{np(1-p)}\]
8.3 Contoh Soal
Melempar koin dua kali. “Sukses” = muncul kepala.
Diketahui:
\(n\) = 2
\(k\) = 0.5
\(p\) = 0, 1, 2
Peluang 0 kepala \[P(0) = \binom{2}{0} (0.5)^0 (0.5)^2\]
\[P(0) = 1 \times 1 \times 0.25 = 0.25\]
Peluang 1 kepala \[P(1) = \binom{2}{1} (0.5)^1 (0.5)^1\] \[P(1) = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.50\]
Peluang 2 kepala \[P(2) = \binom{2}{2} (0.5)^2 (0.5)^0\] \[P(2) = 1 \times 0.25 \times 1 = 0.25\] Hasil akhir:
Peluang 0 kepala = 0.25
Peluang 1 kepala = 0.50
Peluang 2 kepala = 0.25
8.4 Visualisasi
library(ggplot2)
# Data peluang
df <- data.frame(
kepala = factor(c("0", "1", "2")),
peluang = c(0.25, 0.50, 0.25)
)
# Plot dengan nama warna langsung
ggplot(df, aes(x = kepala, y = peluang, fill = kepala)) +
geom_col(width = 0.6) +
scale_fill_manual(values = c(
"0" = "lightgreen",
"1" = "lightblue",
"2" = "lightpink"
)) +
labs(
title = "Peluang Jumlah Kepala dalam 2 Kali Lempar Koin",
x = "Jumlah Kepala",
y = "Peluang"
) +
theme_minimal(base_size = 14) +
theme(
legend.position = "none",
plot.title = element_text(face = "bold")
)
Interpretasi Visual:
Grafik batang menunjukkan distribusi binomial yang simetris untuk lemparan koin 2 kali. Peluang tertinggi ada di 1 kepala (0.50), sedangkan 0 dan 2 kepala memiliki peluang sama (0.25). Visualisasi ini membuktikan perhitungan rumus binomial dengan pola simetris khas ketika p = 0.5.
8.5 Interpretasi
Distribusi binomial mengukur peluang sejumlah sukses dalam percobaan berulang dengan dua hasil tetap (sukses/gagal) dan probabilitas konstan. Pada contoh lempar koin, pola simetris muncul karena p = 0.5, dimana peluang 1 kepala paling tinggi (0.50) sedangkan 0 dan 2 kepala sama (0.25). Ini menunjukkan dalam binomial seimbang, hasil moderat lebih mungkin daripada hasil ekstrem.
9 Referensi
Revou. (n.d.). Kosakata probabilitas. Retrieved from
https://www.revou.co/kosakata/probabilitas
Statistics by Jim. (n.d.). Independent events. Retrieved from
https://statisticsbyjim.com/probability/independent-events/
ScienceDirect. (n.d.). Union of events. Retrieved from
https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/union-of-event
Physics & Maths Tutor. (n.d.). Exhaustive and mutually exclusive events. Retrieved from
https://pmt.physicsandmathstutor.com/download/Maths/GCSE/Notes/Probability/c.%20Exhausative%20and%20Mutually%20Exclusive%20Events.pdf
PapaCambridge. (n.d.). Mutually exclusive, exhaustive and independent events. Retrieved from
https://notes.papacambridge.com/directories/CAIE/CAIE-notes/upload/mutually%20exclusive,%20exhaustive%20and%20independent%20events.pdf
Quipper. (n.d.). Apa itu distribusi binomial? Formula dan contoh. Retrieved from
https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/distribusi-binomial/
Outlier Articles. (n.d.). Binomial probability: Meaning, formula, calculation & examples. Retrieved from
https://articles-outlier-org.translate.goog/binomial-probability-meaning
Scribd. (n.d.). Rumus Distribusi Binomial. Retrieved from
https://www.scribd.com/document/892790338/Distribusi-Binomial