1 Pendahuluan

Probabilitas merupakan fondasi utama dalam statistik karena memberikan cara berpikir yang terstruktur untuk menghadapi ketidakpastian. Dalam berbagai situasi, mulai dari analisis data, eksperimen ilmiah, sampai pengambilan keputusan sehari-hari—kita sering dihadapkan pada hasil yang tidak pasti. Probabilitas hadir sebagai alat yang memungkinkan kita untuk mengukur ketidakpastian tersebut, bukan sekadar menebak atau mengandalkan intuisi semata.

Dengan memahami konsep probabilitas, seseorang dapat:

  • Menilai seberapa mungkin suatu peristiwa terjadi.
  • Membedakan pola acak dari pola yang bermakna dalam data.
  • Menyusun prediksi yang lebih baik berdasarkan informasi yang tersedia.
  • Mengambil keputusan yang lebih rasional dan berbasis bukti.

2 Persiapan Materi

Untuk membangun pemahaman yang kuat, materi probabilitas biasanya dimulai dari prinsip-prinsip dasar yang saling berkaitan dan menjadi fondasi bagi teknik statistik yang lebih kompleks. Bagian ini menguraikan konsep-konsep utama tersebut:

  • Konsep Dasar Probabilitas: Konsep dasar probabilitas mencakup ruang sampel sebagai kumpulan semua kemungkinan hasil, kejadian sebagai bagian dari ruang sampel, serta aturan komplemen yang menjelaskan hubungan antara suatu kejadian dan kebalikannya.
  • Peristiwa Independen dan Dependen: Peristiwa independen adalah kejadian yang tidak saling memengaruhi, sedangkan peristiwa dependen adalah kejadian yang peluangnya berubah ketika kejadian lain terjadi.
  • Gabungan Kejadian: Gabungan kejadian membahas peluang bahwa minimal satu dari beberapa kejadian terjadi, termasuk bagaimana kejadian tersebut bisa saling tumpang tindih.
  • Peristiwa Eksklusif dan Lengkap: Peristiwa eksklusif adalah kejadian yang tidak dapat muncul secara bersamaan, sementara peristiwa lengkap mencakup seluruh kemungkinan yang ada dalam ruang sampel.
  • Eksperimen Binomial dan Distribusi Binomial: Eksperimen binomial melibatkan percobaan berulang dengan dua kemungkinan hasil, dan distribusi binomial digunakan untuk menghitung peluang jumlah keberhasilan dalam percobaan tersebut.

Setiap topik dilengkapi dengan materi visual dan video pendukung yang membantu memperjelas konsep serta memudahkan proses memahami keseluruhan materi. Dengan mempelajari komponen-komponen ini secara menyeluruh, pemahaman dasar yang kuat dapat terbentuk sehingga siap untuk melanjutkan ke pembahasan statistik yang lebih kompleks, seperti distribusi peluang lanjutan, inferensi statistik, maupun pemodelan data.

2.1 Konsep Dasar Probabilitas

2.1.1 Konsep Probabilitas

Probabilitas adalah cara untuk mengukur peluang terjadinya suatu peristiwa. Semakin besar nilai probabilitas, semakin besar pula kemungkinan peristiwa tersebut terjadi. Nilai probabilitas selalu berada pada rentang 0 hingga 1, dengan interpretasi sebagai berikut:

  • 0 → peristiwa mustahil terjadi
  • 1 → peristiwa pasti terjadi

2.1.2 Ruang Sampel

Ruang Sampel (Sample Space) adalah kumpulan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak. Menentukan ruang sampel adalah langkah pertama dalam analisis probabilitas.

Contoh Dasar

  • Melempar koin

    \[S = \{\text{Kepala (H)}, \text{Ekor (T)}\}\]

  • Melempar dadu

    \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]

Jika kejadian yang diamati adalah munculnya sisi kepala pada pelemparan koin, maka kejadian tersebut dapat dituliskan sebagai:

\[E = \{H\}\]

Contoh ini sesuai dengan ilustrasi pada video, bahwa perhitungan peluang selalu dimulai dari memetakan seluruh hasil yang mungkin terjadi.

2.1.3 Peluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian E pada percobaan acak dapat dihitung dengan rumus:

\[P(E) = \frac{\text{jumlah hasil yang diinginkan}}{\text{jumlah seluruh hasil yang mungkin}}\]

Kejadian adalah subset dari ruang sampel, yaitu himpunan hasil tertentu yang menjadi fokus analisis.

Contoh 1: Melempar Koin Sekali

Sebagai contoh, ketika melempar satu koin, kemungkinan muncul kepala (H) adalah 1 dari 2 kemungkinan (H atau T), sehingga peluang munculnya kepala adalah:

\[P(H) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%\]

Artinya, terdapat 1 hasil yang diinginkan (H) dari 2 kemungkinan hasil. Nilai ini sama dengan 0,5 atau 50%.

Contoh 2: Melempar Dadu Sekali

Ruang sampel pada satu kali pelemparan dadu adalah:

\[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]

Kejadian yang diamati adalah munculnya angka 4, sehingga kejadian dapat dituliskan sebagai:

\[E = \{4\}\]

Jumlah hasil yang diinginkan = 1
Jumlah seluruh hasil yang mungkin = 6

Sehingga peluang munculnya angka 4 adalah:

\[P(4) = \frac{1}{6}\]

Karena hanya ada 1 hasil yang diinginkan (angka 4) dari total 6 kemungkinan angka, peluangnya adalah 1/6 atau sekitar 16,67%.

2.1.4 Ruang Sampel untuk Dua Kali Pelemparan Koin

Saat koin dilempar dua kali, setiap lemparan tidak memengaruhi lemparan lainnya. Karena itu, hasilnya dianggap independen. Ruang sampel (semua hasil yang mungkin) adalah:

\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]

Peluang muncul setidaknya satu sisi ekor (T) saat koin dilempar dua kali dapat ditemukan dengan menjumlahkan hasil yang memiliki minimal satu T.

\[P(\text{setidaknya 1 T}) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75\] Artinya, peluang muncul minimal satu ekor adalah 75%.

2.1.5 Aturan Komplemen

Dalam probabilitas, komplemen dari suatu kejadian A, ditulis Aᶜ, adalah kejadian ketika A tidak terjadi. Karena A dan Aᶜ mencakup seluruh ruang sampel dan saling lepas, maka berlaku:

\[P(A) + P(A^c) = 1\]

Sehingga aturan komplemen dituliskan sebagai:

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Makna Aturan Komplemen:
Peluang bahwa suatu kejadian tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi peluang bahwa kejadian itu terjadi.

Contoh:
Jika peluang hujan adalah \(P(A)=0.3\), maka peluang tidak hujan adalah:

\[P(A^c) = 1 - 0.3 = 0.7\]

2.1.6 Dua Aturan Penting dalam Probabilitas

  1. Nilai probabilitas selalu berada pada interval 0 hingga 1.

  2. Jumlah seluruh probabilitas dalam ruang sampel harus sama dengan 1.

Kedua aturan ini memastikan bahwa perhitungan probabilitas konsisten dan logis.

2.2 Peristiwa Independen dan Dependen (Mandiri dan Bergantung)

2.2.1 Pendahuluan

Dalam probabilitas, memahami perbedaan antara independent events dan dependent events sangat penting untuk menentukan bagaimana peluang dua kejadian dihitung secara bersamaan. Kejadian independen terjadi ketika hasil dari satu peristiwa tidak memengaruhi hasil peristiwa lainnya, misalnya melempar koin dan dadu secara bersamaan. Sebaliknya, kejadian dependen terjadi ketika hasil satu peristiwa memengaruhi hasil peristiwa lain, contohnya mengambil dua bola berturut-turut dari kotak tanpa pengembalian. Pemahaman konsep ini penting agar perhitungan peluang dapat dilakukan secara akurat dan logis.

Kejadian Independen

Pengertian

Kejadian independen adalah dua peristiwa yang tidak saling memengaruhi. Artinya, hasil dari peristiwa pertama tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa kedua.

Contoh nyata:

  • Melempar dadu
  • Melempar koin

Misalnya, hasil lemparan dadu tidak memengaruhi apakah koin akan menghasilkan heads atau tails.

Rumus Kejadian Independen

Jika \(A\) dan \(B\) adalah kejadian independen, maka:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Rumus ini berlaku karena kedua kejadian berdiri sendiri tanpa saling memengaruhi.

Contoh Soal: Dadu & Koin

Seseorang melempar dadu bersisi 6 dan koin.
Tentukan peluang untuk:

  1. Mendapat angka 5 pada dadu
  2. Mendapat heads pada koin

Langkah 1 — Tentukan peluang masing-masing kejadian

Kejadian Probabilitas
Angka 5 pada dadu 1/6
Heads pada koin 1/2

Langkah 2 — Kalikan kedua peluang

\[P(5 \text{ dan heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx 0.0833\]

Langkah 3 — Interpretasi Hasil

  • Peluang muncul angka 5 pada dadu sekaligus heads pada koin adalah 8,33%.
  • Artinya, dari 12 percobaan ideal, rata-rata 1 kali akan menghasilkan kombinasi ini.

Kejadian Dependen

Pengertian

Kejadian dependen adalah dua peristiwa di mana kejadian pertama memengaruhi peluang kejadian kedua. Hal ini biasanya terjadi pada pengambilan tanpa pengembalian (without replacement). Ketika sebuah objek diambil tanpa dikembalikan, kondisi total objek berubah, sehingga peluang peristiwa berikutnya juga berubah.

Contoh Kasus

Sebuah kotak berisi 10 kelereng:

  • 7 hijau
  • 3 biru

Peluang awal:
\[P(\text{Hijau}) = \frac{7}{10}, \quad P(\text{biru}) = \frac{3}{10}\]

Saat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, peluang pada pengambilan kedua tidak lagi sama seperti sebelumnya.

Rumus Kejadian Dependen

Rumus probabilitas bersyarat:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\]

Keterangan:
- \(P(B|A)\) berarti peluang B setelah A terjadi.

Rumus ini berbeda dengan kejadian independen karena peluang B tergantung pada hasil A.

Contoh 1: Mengambil Hijau, lalu Biru (Tanpa Replacement)

Langkah 1 — Peluang mengambil kelereng hijau pertama \[P(\text{Hijau}) = \frac{7}{10}\]

Langkah 2 — Kondisi berubah
Setelah satu kelereng hijau diambil:

  • total kelereng = 9
  • kelereng biru = 3

\[P(\text{Biru | Hijau}) = \frac{3}{9}\]

Langkah 3 — Kalikan kedua peluang \[P = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \approx 0.23333\]

Contoh 2: Mengambil Dua Hijau Berturut-Turut (Tanpa Replacement)

Langkah 1 — Peluang hijau pertama \[P(\text{Hijau pertama}) = \frac{7}{10}\]

Langkah 2 — Setelah satu hijau diambil
Sisa kelereng:

  • 6 hijau
  • total 9

\[P(\text{Hijau kedua}) = \frac{6}{9}\]

Langkah 3 — Kalikan dua peluang
\[P = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0.46667\]

Interpretasi:

Heatmap ini menunjukkan peluang munculnya kombinasi dua warna kelereng ketika diambil tanpa pengembalian. Warna yang lebih gelap berarti peluangnya lebih besar, sedangkan warna yang lebih terang berarti peluangnya lebih kecil.

Kotak Hijau → Hijau (0.467) adalah yang paling gelap, sehingga kombinasi ini paling mungkin terjadi. Dua kotak dengan nilai 0.233 (Hijau → Biru dan Biru → Biru) memiliki warna sedang, artinya peluangnya menengah. Sementara itu, kotak Biru → Hijau (0.067) adalah yang paling terang, sehingga kombinasi ini jarang terjadi.

Secara keseluruhan, heatmap memperlihatkan bahwa warna kelereng pertama sangat memengaruhi peluang warna kelereng kedua ketika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian.

2.2.2 Ringkasan

Jenis Kejadian Karakteristik Rumus
Independent Events Kejadian tidak saling memengaruhi \(P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\)
Dependent Events Kejadian dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya \(P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A)\)

Catatan:

  • Independent → kondisi tidak berubah
  • Dependent → kondisi berubah setelah peristiwa pertama
  • Perhatikan apakah objek dikembalikan atau tidak

2.2.3 Kesimpulan

Konsep independent dan dependent events adalah dasar dalam menghitung probabilitas gabungan.

  • Independent events → gunakan rumus perkalian sederhana.
  • Dependent events → perhitungkan perubahan kondisi setelah peristiwa pertama.

Pemahaman yang benar atas kedua konsep ini akan membantu dalam memecahkan berbagai masalah probabilitas yang melibatkan dua atau lebih kejadian.

2.3 Gabungan Kejadian

2.3.1 Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah kejadian yang dibentuk dari menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Operasi himpunan yang digunakan:

  1. Gabungan (Union, ∪)
  2. Irisan (Intersection, ∩)
  3. Komplemen (Complement, A⁻ atau Aᶜ)
  4. Selisih (Difference, A − B)

2.3.2 Union of Events (Gabungan Kejadian)

Definisi

Union of events atau gabungan kejadian (A ∪ B) adalah probabilitas terjadinya salah satu atau kedua kejadian. Jika A dan B adalah dua kejadian, maka: \[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)\]

P(A ∩ B) adalah probabilitas kedua kejadian terjadi bersamaan. Rumus ini menghindari perhitungan ganda pada peristiwa yang sama.

2.3.3 Contoh dan Penjelasan

Misalkan percobaan melemparkan dadu sekali. Ruang sampelnya adalah: \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\] Misalkan:

  • \(A\) adalah kejadian munculnya mata dadu genap, maka
    \[A = \{2, 4, 6\}\]
  • \(B\) adalah kejadian munculnya mata dadu prima, maka
    \[B = \{2, 3, 5\}\]

Interpretasi:

Misalkan kita melemparkan sebuah dadu sekali, sehingga ruang sampelnya adalah:

\[S = \{1,2,3,4,5,6\}\]

Dua kejadian didefinisikan sebagai berikut:

  • Kejadian A: muncul mata dadu genap
    \[A = \{2,4,6\}\]

  • Kejadian B: muncul mata dadu prima
    \[B = \{2,3,5\}\]

Diagram Venn menunjukkan pembagian elemen-elemen tersebut sebagai:

  • 2 elemen hanya berada pada A (genap saja): {4, 6}
  • 1 elemen berada pada irisan A ∩ B: {2}
  • 2 elemen hanya berada pada B (prima saja): {3, 5}

Angka 2–1–2 yang ditampilkan pada diagram adalah jumlah elemen pada setiap bagian, bukan nilai dadu.

Dari sini terlihat bahwa A dan B tidak saling lepas, karena berbagi satu elemen yang sama (2).
Gabungan kedua kejadian mencakup semua angka yang memenuhi salah satu syarat, yaitu:

\[A \cup B = \{2,3,4,5,6\}\]

Diagram ini memudahkan visualisasi untuk membedakan elemen yang hanya milik A, hanya milik B, dan yang milik keduanya.

1. Gabungan (Union) Dua Kejadian

Gabungan dua kejadian \(A\) dan \(B\), misalkan kita beri nama \(P\), adalah:

\[P = A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}\]

Kejadian \(P\) adalah kejadian munculnya mata dadu genap atau prima.

Jadi, gabungan kejadian \(A\) dan \(B\) ditulis \(A \cup B\), yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian \(A\) atau kejadian \(B\), atau keduanya.

2. Irisan (Intersection) Dua Kejadian

Irisan dua kejadian \(A\) dan \(B\), misalkan kita beri nama \(Q\), adalah:

\[Q = A \cap B = \{2\}\]

Kejadian \(Q\) adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan prima.

Jadi, irisan kejadian \(A\) dan \(B\) ditulis \(A \cap B\), yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian \(A\) dan \(B\) secara bersama-sama.

Rumus probabilitas: \[P(A \cap B) = \frac{\text{jumlah hasil di A dan B}}{\text{jumlah seluruh hasil}}\]

3. Komplemen Kejadian

Komplemen kejadian \(A\) dalam ruang sampel \(S\) adalah kejadian semua unsur di \(S\) yang bukan \(A\).

Misalkan komplemen kejadian \(A\) adalah \(A^c\), maka:

\[A^c = \{1, 3, 5\}\]

Artinya, \(A^c\) mencakup semua hasil yang tidak termasuk dalam \(A\).

4. Selisih (Difference) Kejadian

Selisih kejadian \(A\) dan \(B\), ditulis \(A - B\), adalah kejadian semua unsur yang ada di \(A\) tetapi tidak ada di \(B\).

Dapat ditulis sebagai:

\[A - B = \{ x \mid x \in A, x \notin B \}\]

5. Perkalian dari dua buah kejadian.

Misalkan kejadian A dan B. Perkalian silang dari A ke B ditulis A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan a € A dan b € B dapat ditulis:

A x B = {(a, b)|a € A, b € B}

2.3.4 Tips Penting

  • Union = peluang salah satu atau kedua peristiwa
  • Hindari menghitung hasil yang sama dua kali
  • Untuk independen: \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
  • Untuk dependent: \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)

2.4 Peristiwa Eksklusif dan Lengkap

2.4.1 Pengertian

1. Mutually Exclusive Events (Kejadian Saling Lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika tidak ada hasil yang sama antara keduanya, artinya kalau satu peristiwa terjadi maka peristiwa yang lain pasti tidak terjadi, misalnya kalau saat ini kita sedang mandi pasti kita tidak sedang tidur.

\[P(A \cap B) = 0\]

Contoh sederhana:

  • Melempar dua dadu
  • A = jumlah dadu genap
  • B = jumlah dadu ganjil

Hasil dari A dan B tidak pernah sama, sehingga keduanya saling lepas.

Catatan: Jika dua kejadian saling lepas, peluang terjadinya salah satu atau keduanya bisa dihitung langsung:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

2. Exhaustive Events (Kejadian Menyeluruh)

Sekumpulan kejadian dikatakan exhaustive jika gabungan (union) semua kejadian menutupi seluruh ruang sampel — artinya, ketika percobaan dilakukan, pasti satu dari kejadian‑kejadian itu terjadi. Misal mata uang logam dilemparkan, maka yang bisa tampak diatas hanya permukaan Pertama (A) atau permukaan (B), tidak mungkin permukaan ketiga sebab permukaan mata uang itu hanya dua.

\[P(A \cup B) = 1\]

Contoh sederhana:

  • Melempar dua dadu
  • A = jumlah genap
  • B = jumlah ganjil

Semua kemungkinan hasil dadu termasuk dalam A atau B → menyeluruh.

Catatan: Kejadian bisa saling lepas dan menyeluruh sekaligus, seperti contoh di atas.

2.4.2 Rumus Penting

  1. Mutually Exclusive Events:
    \[P(A \cap B) = 0\]

  2. Exhaustive Events:
    \[P(A \cup B) = 1\]

  3. Union untuk non-saling lepas:
    \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

  4. Intersection (independen):
    \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

2.4.3 Contoh Soal

Contoh 1: Dua Dadu

Kejadian Hasil Jumlah Outcome Probabilitas
Jumlah genap (A) 2,4,6,… 18 18/36 = 0.5
Jumlah ganjil (B) 1,3,5,… 18 18/36 = 0.5
Irisan A ∩ B - 0 0
Union A ∪ B Semua outcome 36 1
  • Cek Saling Lepas: P(A ∩ B) = 0 → A dan B tidak bisa terjadi bersamaan → Mutually Exclusive
  • Cek Menyeluruh: P(A ∪ B) = 1 → Semua kemungkinan tercakup → Exhaustive

Contoh 2: Dua Dadu

Kejadian Hasil Jumlah Outcome Probabilitas
A = muncul angka ≥5 5,6 pada salah satu dadu 11 11/36 ≈ 0.3056
B = jumlah dadu < 4 1,2 3 3/36 ≈ 0.0833
Irisan A ∩ B - 0 0
Union A ∪ B Semua outcome yang termasuk A atau B 14 14/36 ≈ 0.3889
  • Cek Saling Lepas: P(A ∩ B) = 0 → A dan B tidak bisa terjadi bersamaan → Mutually Exclusive
  • Cek Menyeluruh: P(A ∪ B) = 14/36 < 1 → Belum mencakup semua outcome → Belum Exhaustive

Catatan: Jika union tidak mencapai 1, maka kejadian tidak menyeluruh.

2.4.4 Penjelasan Naratif

Kejadian saling lepas membantu kita memahami bahwa beberapa peristiwa tidak mungkin terjadi bersamaan. Contohnya, ketika kita melempar dua dadu, hasil genap dan ganjil tidak bisa sama dalam satu lemparan.

Sementara itu, kejadian menyeluruh memastikan bahwa semua kemungkinan hasil tercakup, sehingga peluang total selalu 1. Misalnya, genap atau ganjil menutupi seluruh ruang sampel 36 outcome dari dua dadu.

Jika kita menggabungkan keduanya, kita dapat melihat bagaimana rumus union bekerja:

  • Untuk saling lepas, cukup jumlahkan P(A) + P(B)
  • Untuk tidak saling lepas, kurangi irisannya P(A ∩ B) agar tidak menghitung ganda

Pemahaman ini penting untuk menyelesaikan soal probabilitas gabungan dengan benar.

2.5 Percobaan Binomial

2.5.1 Definisi

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah keberhasilan dalam suatu percobaan yang diulang beberapa kali, dari dua kejadian yang berkomplementer seperti : sukses– gagal, baik– buruk, siang- malam

Catatan: Prefix “bi” artinya dua, contoh:

  • bicycle → 2 roda
  • binocular → 2 lensa.

Dalam distribusi binomial, “dua” berarti dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.

2.5.2 Syarat Binomial Setting

Agar sebuah percobaan disebut binomial experiment, harus memenuhi empat syarat:

  1. Jumlah percobaan (trials) n tetap
  2. Hanya ada dua kemungkinan hasil untuk tiap percobaan: sukses atau gagal
  3. Probabilitas sukses tetap di setiap percobaan
  4. Percobaan independen: hasil satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lain

Selalu cek keempat syarat sebelum menggunakan rumus binomial

Contoh Soal 1: Koin

Soal: Flip koin 3 kali. Hitung probabilitas tepat 1 kepala. Apakah ini percobaan binomial?

  1. n = 3 (3 kali flip → jumlah percobaan tetap)
  2. Dua hasil: kepala = sukses, ekor = gagal
  3. Probabilitas sukses tetap: p = 0.5
  4. Percobaan independen

Daftar kemungkinan tepat 1 kepala:

  1. H T T
  2. T H T
  3. T T H

Probabilitas tiap urutan: \(0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125\)

Jumlah semua probabilitas: \(0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375\)

\[P(X=1) = 0.375\]

Interpretasi: Plot tersebut menunjukkan peluang munculnya 0, 1, 2, dan 3 kepala dalam tiga kali pelemparan koin, di mana setiap batang menggambarkan besar probabilitas masing-masing hasil. Terlihat bahwa nilai probabilitas tertinggi berada pada X = 1 dan X = 2, yang berarti mendapatkan satu atau dua kepala adalah hasil yang paling mungkin terjadi. Sebaliknya, probabilitas munculnya 0 kepala atau 3 kepala lebih kecil, sehingga kedua hasil tersebut relatif jarang. Pola ini muncul karena distribusi binomial cenderung memusat di tengah ketika peluang sukses (kepala) bernilai 0.5, sehingga hasil yang “seimbang” lebih sering terjadi dibandingkan hasil yang ekstrem.

Contoh Soal 2: Marbles

Soal: Kotak berisi 10 marbles: 3 pink, 2 hijau, 5 biru. Ambil 5 marbles dengan pengembalian (replacement). Hitung probabilitas tepat 2 hijau. Apakah ini percobaan binomial?

Cek binomial setting:

  1. n = 5 (jumlah pengambilan tetap)
  2. Dua hasil: hijau = sukses, bukan hijau = gagal
  3. Probabilitas sukses tetap: P(sukses) = 2/10 = 0.2
  4. Percobaan independen karena pengambilan dengan replacement

Perhitungan Manual

  • Probabilitas sukses (hijau): 0.2
  • Probabilitas gagal (bukan hijau): 0.8

Misal salah satu urutan: S S F F F

\[ 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.8 = 0.02048 \]

Terdapat 10 urutan berbeda → semua sama probabilitasnya

\[ P(X=2) = 10 \cdot 0.02048 = 0.2048 \]

2.5.3 Rumus Binomial

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k}\]

Keterangan:

  • n = jumlah percobaan
  • k = jumlah keberhasilan yang diinginkan
  • p = probabilitas sukses

Catatan: Rumus ini hanya berlaku jika percobaan memenuhi binomial setting.

Contoh Pakai Rumus

Soal marbles sebelumnya:

  • n = 5
  • k = 2
  • p = 0.2

\[P(X=2) = \binom{5}{2} (0.2)^2 (0.8)^3\]

\[\binom{5}{2} = 10 \quad \Rightarrow \quad P(X=2) = 10 \cdot 0.04 \cdot 0.512 = 0.2048\]

2.6 Distribusi Binomial

2.6.1 Definisi

Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit untuk menghitung jumlah keberhasilan (success) dalam sejumlah percobaan independen identik (trials), di mana setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yaitu sukses atau gagal.

Catatan: Distribusi Binomial hanya berlaku jika percobaan:

  1. Jumlah percobaan tetap (\(n\))
  2. Hanya dua hasil: sukses atau gagal
  3. Probabilitas sukses (\(p\)) tetap di setiap percobaan
  4. Percobaan saling independen

Variabel acak binomial (X): jumlah keberhasilan dalam n percobaan.

Contoh:

  • Melempar koin 5 kali → X = jumlah kepala → X = 0,1,2,3,4,5
  • Melempar dadu 3 kali → X = jumlah angka ≥5 → X = 0,1,2,3

2.6.2 Rumus Distribusi Binomial

Jika \(X \sim \mathrm{Bin}(n, p)\), maka peluang mendapat tepat k keberhasilan:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\]

Dari n percobaan independen, kita ingin mengetahui peluang persis k percobaan yang berhasil (sukses), di mana setiap percobaan memiliki peluang sukses p

Keterangan:

  • \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
  • \(p^k\) = probabilitas sukses sebanyak k kali
  • \((1-p)^{n-k}\) = probabilitas gagal sebanyak n-k kali

2.6.3 Ekspektasi & Variansi

  • Ekspektasi / Mean: \(E(X) = n \cdot p\)
  • Variansi: \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)
  • Standar deviasi: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)

Catatan: Ekspektasi menunjukkan nilai rata-rata keberhasilan, sedangkan variansi dan standar deviasi menunjukkan penyebaran hasil.

2.6.4 Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1

Melempar koin 5 kali (p=0.5). Hitung peluang mendapat tepat 3 kepala:

\[P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 0.3125\]

Contoh 2

Ujian 10 soal pilihan ganda (p = 0.25). Peluang tidak ada jawaban benar:

\[P(X=0) = \binom{10}{0} (0.25)^0 (0.75)^{10} \approx 0.0563\]

Contoh 3

Melempar dadu 4 kali. Peluang muncul angka genap tepat 2 kali:

\[P(X=2) = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^2 = \frac{3}{8}\]

3 Pembahasan Hasil

Probabilitas Kejadian Tunggal

  • Probabilitas satu kejadian (misal muncul kepala pada koin) menunjukkan seberapa mungkin kejadian itu terjadi.
  • Contoh: P(H) = 0.5 → dari setiap 2 kali pelemparan, rata-rata 1 kali akan muncul kepala.

Kejadian Independen dan Dependen

  • Independen: hasil satu kejadian tidak memengaruhi yang lain.
    Contoh: P(dadu = 5 dan koin = H) = 1/6 × 1/2 = 1/12 ≈ 8,33%
  • Dependen: hasil satu kejadian memengaruhi yang lain.
    Contoh: Mengambil 2 kelereng berturut-turut tanpa pengembalian: P(Hijau pertama dan Biru kedua) = 7/10 × 3/9 = 7/30 ≈ 23,33%

Union dan Intersection

  • Union (A ∪ B) → peluang salah satu atau kedua kejadian terjadi.
  • Intersection (A ∩ B) → peluang kedua kejadian terjadi bersamaan.
  • Contoh dadu: A = {2,4,6}, B = {2,3,5}
    • A ∪ B = {2,3,4,5,6} → P(A ∪ B) = 5/6 ≈ 0.8333
    • A ∩ B = {2} → P(A ∩ B) = 1/6 ≈ 0.1667

4 Interpretasi dan Insight

Memahami Saling Lepas dan Menyeluruh

  • Mutually Exclusive (Saling Lepas): P(A ∩ B) = 0 → kejadian tidak bisa terjadi bersamaan.
  • Exhaustive (Menyeluruh): P(A ∪ B) = 1 → semua kemungkinan tercakup.

Insight: jika gabungan kejadian < 1, berarti ada hasil lain yang belum tercover.

Insight dari Distribusi Binomial

  • Distribusi binomial membantu memprediksi jumlah keberhasilan dalam percobaan berulang.
  • Contoh: Flip koin 3 kali, peluang tepat 1 kepala = 0.375. Artinya, dari 8 percobaan ideal, 3 percobaan akan menghasilkan tepat 1 kepala.

Insight: peluang ekstrem (0 atau n keberhasilan) biasanya lebih kecil dibandingkan nilai tengah.

Analisis Perbandingan

Jenis Kejadian Interpretasi
Independen Kejadian tidak saling memengaruhi
Dependen Kejadian kedua bergantung pada kejadian pertama

5 Kesimpulan

  • Probabilitas adalah alat untuk mengukur ketidakpastian.
  • Kejadian independen dihitung dengan perkalian sederhana.
  • Kejadian dependen memerlukan probabilitas bersyarat.
  • Union dan intersection membantu menghitung peluang gabungan.
  • Distribusi binomial berguna untuk percobaan berulang dengan dua hasil.
  • Mutually exclusive dan exhaustive membantu memahami struktur ruang sampel.

6 Referensi

dSciencelabs. (n.d.). Konsep dasar probabilitas. Retrieved from https://bookdown.org/dsciencelabs/statistika_dasar/_book/Konsep_Dasar_Probabilitas.html

IAIN Gorontalo. (n.d.). Artikel di TJMPI. Retrieved from https://journal.iaingorontalo.ac.id/index.php/tjmpi/article/view/1135/867

Pengantar probabilitas dan teori peluang. (n.d.). Retrieved from https://kupdf.net/download/pengantar-probabilitas-dan-teori-peluang_59bf16b408bbc51717686efa_pdf

Universitas Pembangunan Jaya. (n.d.). Slide CIV-110 – Pertemuan 7. Retrieved from https://ocw.upj.ac.id/files/Slide-CIV-110-pertemuan-7.pdf

Yibi, Z. (2022). STAT 234: Probability—Lecture 2: Probability axioms and rules (Slide kuliah). Department of Statistics, University of Chicago. https://www.stat.uchicago.edu/~yibi/teaching/stat234/2022/L02.pdf