2.1 Probabilitas Sederhana

Probabilitas (\(P\)) adalah peluang suatu peristiwa terjadi. Nilai probabilitas selalu berada di antara 0 dan 1.

Rumus Utama Probabilitas: \[P(\text{A}) = \frac{\text{Jumlah total hasil yang menguntungkan (favorable outcomes)}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin (possible outcomes)}}\] Contoh: Jika melempar satu koin, probabilitas mendapatkan sisi Kepala (Head) adalah:\[P(\text{Kepala}) = \frac{1 \text{ (hasil yang diinginkan)}}{2 \text{ (total hasil: Kepala atau Ekor)}} = 0.5 \text{ atau } 50\%\]

2.2 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Contoh: Jika melempar koin sebanyak dua kali, total 4 hasil yang mungkin dalam ruang sampel adalah:\[\text{Ruang Sampel}=\{\text{HH,HT,TH,TT}\}\] keterangan :

• HH = Kepala-Kepala
• HT = Kepala-Ekor
• TH = Ekor-Kepala
• TT = Ekor-Ekor

2.3 Aturan Komplemen (The Complement Rule)

Aturan Komplemen digunakan untuk mencari probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi (\(P(A')\)).

Rumus Aturan Komplemen: \[P(\text{A'}) = 1 - P(\text{A})\] Dimana:

• \(P(A')\) adalah probabilitas peristiwa A tidak terjadi (disebut juga “komplemen dari A”).

• \(P(A)\) adalah probabilitas peristiwa A terjadi.

Contoh: Jika probabilitas mendapatkan dua ekor (\(P(\text{TT})\)) adalah 0.25, maka probabilitas tidak mendapatkan dua ekor (\(P(\text{TT}')\)) adalah \(1 - 0.25 = 0.75\).

3.1 Peristiwa Independen (Independent Events)

Peristiwa Independen terjadi ketika terjadinya satu peristiwa tidak memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.

Contoh: Melempar dadu dan melempar koin. Hasil dadu tidak memengaruhi hasil koin.

Rumus Probabilitas Gabungan Peristiwa Independen:Probabilitas peristiwa A dan peristiwa B terjadi bersama-sama adalah perkalian probabilitas masing-masing peristiwa.\[P(\text{A dan B}) = P(\text{A}) \times P(\text{B})\]

3.2 Peristiwa Dependen (Dependent Events)

Peristiwa Dependen terjadi ketika terjadinya satu peristiwa memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. Hal ini sering terjadi dalam percobaan yang dilakukan tanpa pengembalian (without replacement).

Contoh: Mengambil dua kelereng dari kotak tanpa mengembalikan kelereng pertama. Pengambilan pertama akan mengurangi jumlah total kelereng dan mungkin mengubah proporsi warna, sehingga memengaruhi probabilitas pengambilan kedua .

Rumus Probabilitas Gabungan Peristiwa Dependen (Probabilitas Bersyarat): Probabilitas peristiwa A dan peristiwa B terjadi bersama-sama adalah probabilitas peristiwa A dikalikan dengan probabilitas peristiwa B setelah A terjadi. \[P(\text{A dan B}) = P(\text{A}) \times P(\text{B} | \text{A})\]\(P(\text{B} | \text{A})\) dibaca sebagai “Probabilitas B, asalkan A telah terjadi.”

4.1 The Probability of the Union of Events

menghitung probabilitas bahwa peristiwa A ATAU peristiwa B akan terjadi.

A. Kapan Digunakan

• Anda tahu sedang berhadapan dengan Gabungan Peristiwa ketika pertanyaan probabilitas mencakup kata kunci “ATAU” (OR).

• Gabungan Peristiwa (\(P(\text{A} \cup \text{B})\)) menghitung peluang terjadinya salah satu peristiwa.

B. Rumus Utama (Aturan Penjumlahan Umum)

Rumus Utama (General Addition Rule)

Rumus untuk menghitung probabilitas Gabungan Kejadian A dan B adalah:\[\mathbf{P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B)}\]Atau dalam notasi himpunan:\[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\] Keterangan Rumus:

• \(\mathbf{P(A \cup B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A atau kejadian B.

• \(\mathbf{P(A)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A.\(\mathbf{P(B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian B.

• \(\mathbf{P(A \cap B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A dan kejadian B secara bersamaan (Irisan/Intersection).

C. Contoh Akhir (Sesuai Video)

Pertanyaan: Berapa probabilitas melempar dua dadu dan mendapatkan dua bilangan genap ATAU setidaknya satu angka 2?

• \(P(\text{Dua Genap}) = 9/36\)

• \(P(\text{Setidaknya Satu 2}) = 11/36\)

• \(P(\text{Dua Genap dan Setidaknya Satu 2}) = 5/36\) (Irisan/Overlap)

Perhitungan:\[P(\text{A atau B}) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36}\]

4.2 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel adalah keseluruhan rangkaian hasil (entire set of outcomes) dalam suatu eksperimen statistik. Karakteristik: Ruang Sampel berisi semua hasil yang mungkin.

Contoh:

• Melempar satu dadu bersisi 6: Ada 6 hasil yang mungkin (1, 2, 3, 4, 5, 6).

• Melempar dua dadu bersisi 6: Ada \(6 \times 6 = 36\) hasil yang mungkin (total outcomes).

4.3 Simple Probability

• Probabilitas adalah peluang suatu peristiwa akan terjadi (the chance that an event will occur).

• Rumus: Probabilitas Sederhana dihitung dengan membagi jumlah hasil yang diinginkan dengan total hasil yang mungkin \[P(\text{A}) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Menguntungkan}}{\text{Jumlah Total Hasil yang Mungkin}}\]

• Contoh: Probabilitas melempar dua dadu dan mendapatkan dua angka 4 adalah 1/36, karena hanya ada satu hasil yang menguntungkan dari total 36 hasil di ruang sampel.

5.1 Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive Events)

Peristiwa Saling Lepas (atau disjoint) adalah dua peristiwa atau lebih yang tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Artinya, tidak ada hasil (outcome) yang dimiliki bersama oleh kedua peristiwa tersebut.

Rumus Utama Probabilitas Irisan (Intersection): Probabilitas peristiwa A dan B terjadi bersama-sama adalah nol.\[P(\text{A dan B}) = P(\text{A} \cap \text{B}) = 0\]

Probabilitas Gabungan (Union) Sederhana: Karena tidak ada irisan yang perlu dikurangkan (seperti pada Aturan Penjumlahan Umum), rumusnya menjadi penjumlahan langsung.\[P(\text{A atau B}) = P(\text{A}) + P(\text{B})\].

5.2 Peristiwa Lengkap (Exhaustive Events)

Peristiwa Lengkap (atau Collectively Exhaustive) adalah sekumpulan peristiwa dalam suatu percobaan yang mencakup semua kemungkinan hasil dalam ruang sampel. Artinya, salah satu dari peristiwa tersebut pasti akan terjadi.

Rumus Utam Probabilitas Gabungan (Union): Jumlah probabilitas dari semua peristiwa lengkap harus sama dengan 1 (mencakup seluruh ruang sampel).\[\sum_{i} P(E_i) = P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \dots) = 1\]

5.3 Partisi Ruang Sampel

Kondisi yang paling spesifik adalah ketika sekumpulan peristiwa bersifat Saling Lepas (Mutually Exclusive) sekaligus Lengkap (Exhaustive). Kumpulan peristiwa tersebut dikatakan membentuk Partisi dari Ruang Sampel, karena:

• Mereka tidak tumpang tindih satu sama lain.

• Mereka mencakup seluruh area (probabilitas) ruang sampel.

6.1 Konsep Dasar Binomial

Kata “Binomial” (awalan bi berarti dua) merujuk pada setiap percobaan yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu:

• Sukses (Success)

• Gagal (Failure)

6.2 Kondisi Eksperimen Binomial (Binomial Setting)

Suatu percobaan hanya dapat disebut Eksperimen Binomial jika memenuhi empat kondisi berikut (BINS):

• Banyak percobaan (Banyaknya percobaan, \(n\)) harus tetap (Fixed number of trials).

• Independen: Setiap percobaan harus independen, artinya hasil satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan berikutnya.

• Nilai peluang sukses (Peluang sukses, \(P\)) harus konstan untuk setiap percobaan.

• Sukses/Gagal: Hanya ada dua hasil yang mungkin: sukses atau gagal.

6.3 Formula Probabilitas Binomial

Formula ini digunakan untuk mencari probabilitas mendapatkan tepat \(k\) kali sukses dari total \(n\) percobaan yang independen.

Rumus Utama:\[\mathbf{P(k) = \binom{n}{k} \cdot P^k \cdot (1-P)^{n-k}}\] Penjelasannya :

1. \(\mathbf{P(k)}\) : Hasil perhitungan peluang untuk mendapatkan tepat \(k\) sukses.

2. \(\mathbf{\binom{n}{k}}\) : Menghitung jumlah total urutan yang mungkin (Contoh: {SGG, GSG, GGS}).

3. \(\mathbf{P^k}\) : Menghitung peluang terjadinya \(k\) kali sukses.

4. \(\mathbf{(1-P)^{n-k}}\) : Menghitung peluang terjadinya \(n-k\) kali gagal.

7.1 Rumus dan Visualisasi Dasar

Langkah Awal: Menggunakan Rumus Binomial untuk menghitung probabilitas (\(P(k)\)) untuk setiap jumlah sukses (\(k\)) yang mungkin.\[P(k) = \mathbf{\binom{n}{k}} P^k (1-P)^{n-k}\] Visualisasi: Distribusi Binomial ditampilkan sebagai diagram batang (bar chart) dengan:

• Sumbu-X: Jumlah Sukses (\(k\)).

• Sumbu-Y: Probabilitas Sukses (\(P(k)\)).

7.2 Parameter Distribusi Binomial

Jika variabel \(X\) mengikuti Distribusi Binomial, parameter pusat dan penyebarannya dapat dihitung langsung:

library(knitr)

# Membuat Data Frame yang berisi teks, notasi, dan rumus
tabel_rumus_teori <- data.frame(
  Parameter = c("Rata-rata (Mean)", "Varians", "Deviasi Standar"),
  # Menggunakan notasi LaTeX untuk Notasi dan Rumus
  Notasi = c("$\\mu$", "$\\sigma^2$", "$\\sigma$"),
  Rumus = c("$$\\mu = n \\cdot p$$", 
            "$$\\sigma^2 = n \\cdot p \\cdot (1-p)$$", 
            "$$\\sigma = \\sqrt{n \\cdot p \\cdot (1-p)}$$")
)

# Menampilkan Tabel
# escape = FALSE diperlukan agar rumus LaTeX ter-render dengan benar
kable(tabel_rumus_teori, 
      caption = "Rumus Parameter Distribusi Binomial", 
      align = 'lcc',
      escape = FALSE)

7.3 Pengaruh \(n\) dan \(P\) pada Bentuk Distribusi

Bentuk Distribusi Binomial ditentukan oleh kedua parameternya (\(n\) dan \(P\)).

A. Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\))

• Mendekati Normal: Seiring dengan bertambahnya nilai \(n\) (jumlah percobaan), Distribusi Binomial mulai menyerupai Distribusi Normal (Normal Distribution).

B. Pengaruh Probabilitas Sukses (\(P\))

Nilai \(P\) mengontrol bentuk kemiringan (skewness) distribusi:

• \(P = 0.5\): Distribusi bersifat Simetris (symmetrical distribution).

• \(P < 0.5\): Distribusi Miring ke Kanan (skewed to the right). Probabilitas lebih tinggi di sekitar nilai \(k\) yang kecil (mendekati 0) karena tingkat sukses rendah.

• \(P > 0.5\): Distribusi Miring ke Kiri (skewed to the left). Probabilitas lebih tinggi di sekitar nilai \(k\) yang besar (mendekati \(n\)) karena tingkat sukses tinggi.

7.4 Pedoman Aproksimasi Normal (Normal Approximation Guideline)

Distribusi Binomial dapat diasumsikan mendekati Distribusi Normal jika kedua kondisi berikut terpenuhi: - \[n \cdot p \ge 10\] - \[n \cdot (1-p) \ge 10\]