Probabilitas adalah peluang terjadinya suatau peristiwa. Bisa di rumuskan seperti ini.\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil dalam Kejadian A (Favorable Outcomes)}}{\text{Jumlah Total Hasil dalam Ruang Sampel (Total Possible Outcomes)}}\]

Rumus probability yaitu jumlah hasil yang menguntungkan dibagi dengan jumlah total hasil yang mungkin terjadi.

Contoh sederhan yang digunakan adalah pelemparan koin, di mana probabilitas mendapatkan sisi Kepala adalah 1 (hasil yang diinginkan) dari 2 (total hasil yang mungkin), yaitu 0.5 atau 50%. Untuk dua kejadian independen yang terjadi bersamaan (misalnya, melempar koin dua kali), probabilitas gabungannya ditemukan dengan mengalikan probabilitas masing-masing kejadian. \[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\]

Probabilitas mendapatkan Gambar pada lemparan pertama (\(G_1\)) dan Gambar pada lemparan kedua (\(G_2\)).

\(P(G_1 \text{ dan } G_2)\)

\(P(G_1) = 0.5\)

\(P(G_2) = 0.5\)

\(P(G_1 \text{ dan } G_2) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \text{ atau } 25\%\)

Ruang sampel itu mengacu pada seluruh himpunan pada hasil yang mungkin. jadi sempel yang ada di vidio tersebut semua kemungkinan jumlah gambar yang dapat di amati dari dua kali leparan koin, yaitu di hitung sebagai berikut: \[S = \{ 0, 1, 2\}\]

Di vidio itu menunjukkan cara membuat diagram ruang sampel untuk pelemparan koin dua kali. Di vidio juga iya menuntukan hasil yang mungkin adalah HH (Kepala-Kepala), HT (Kepala-Ekor), TH (Ekor-Kepala), dan TT (Ekor-Ekor), sehingga total terdapat empat hasil yang mungkin.

Probabilitas untuk setiap pada hasil kemudian dihitung dengan mengalikan probabilitas setiap lemparan (0.5 x 0.5 = 0.25). di vidio itu ada pertanyaan “Berapa probabilitas mendapatkan setidaknya satu Tail (Ekor) jika koin dilempar 2 kali?” jadi kita menjumlahkan probabilitas hasil-hasil tersebut yaitu;

\[P(\text{Setidaknya satu T}) = P(\text{HT}) + P(\text{TH}) + P(\text{TT})\]

\[P(\text{Setidaknya satu T}) = 0.25 + 0.25 + 0.25\] \[P(\text{Setidaknya satu T}) = 0.75\]

Probability memiliki 2 kondisi wajib yaitu:

Kondisi 1: Nilai Probabilitas Probabilitas suatu kejadian terjadi (\(P(A)\)) harus selalu memiliki nilai antara 0 dan 1, termasuk 0 dan 1.

• P(A) = 0 berarti kejadian tersebut tidak akan pernah terjadi (mustahil).
• P(A) = 1 berarti kejadian tersebut pasti akan terjadi (terjadi 100% dari waktu).
• P(A) = 0.5 berarti kejadian tersebut diperkirakan terjadi 50% dari waktu.

Kondisi 2: Jumlah Total Probabilitas Jumlah probabilitas dari semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel harus selalu berjumlah 1.

Misalnya, jika Anda melempar koin, probabilitas mendapatkan Kepala (\(P(H) = 0.5\)) ditambah probabilitas mendapatkan Ekor (\(P(T) = 0.5\)) adalah \(0.5 + 0.5 = 1\).

Aturan Komplemen adalah aturan yang di gunakan untuk mencari probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi.

Rumusnya menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian tidak terjadi (\(P(A^c)\)) sama dengan 1 dikurangi probabilitas kejadian itu terjadi (\(P(A)\)) \[P(A^c) = 1 - P(A)\]

• \(P(A^c)\): Probabilitas kejadian A tidak terjadi.
• \(P(A)\): Probabilitas kejadian A terjadi.

Kejadian independen adalah dua kejadian atau lebih di mana terjadinya satu kejadian tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain.

Contoh yang Diberikan Di Vidio Tersebut:

• Melempar dadu dan melempar koin.
• Hasil lemparan dadu (misalnya, mendapat angka 6) tidak akan memengaruhi peluang koin mendarat pada “Kepala” atau “Ekor”. Peluang mendapatkan “Kepala” tetap \(0.5\)

Di vidio tersebut memberikan rumus peluang kejadian independen, yaitu untuk menghitung peluang di mana dua kejadian independen (\(A\) dan \(B\)) terjadi bersamaan, Anda cukup mengalikan peluang masing-masing kejadian. \[\mathbf{P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)}\]

Kejadian dependen adalah kebalikannya dari kejadian independen, yaitu di mana terjadinya satu kejadian memengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain. Ini juga sering terjadi pada kasus tanpa pengembalian (without replacement).

Contoh yang Diberikan Di Vidio Tersebut:

• Mengambil dua kelereng dari kotak yang berisi 10 kelereng (7 hijau dan 3 biru) tanpa mengembalikan kelereng pertama.
• Peluang terambilnya kelereng kedua akan berubah, karena jumlah total kelereng di dalam kotak sudah berkurang 1 setelah pengambilan pertama.

Di vidio tersebut memberikan Rumus Peluang Kejadian Dependen: Untuk menghitung peluang di mana dua kejadian dependen (\(A\) dan \(B\)) terjadi secara berurutan, Anda mengalikan peluang kejadian pertama (\(P(A)\)) dengan peluang kejadian kedua setelah kejadian pertama terjadi (\(P(B|A)\)). \[\mathbf{P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A)}\]

Keterangan: \(P(B|A)\) adalah Peluang bersyarat (Conditional Probability), yaitu peluang terjadinya \(B\) setelah \(A\) terjadi.

Ruang Sampel adalah keseluruhan himpunan hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan statistik.

Contoh dari vidio yaitu:

• Contoh 1 Dadu: Hasilnya adalah \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), total 6 hasil.
• Contoh 2 Dadu: Hasilnya adalah semua pasangan mata dadu yang mungkin, total 36 hasil (\(6 \times 6\)).

Peluang terjadinya suatu kejadian sama dengan total jumlah hasil yang menguntungkan (favorable outcomes) dibagi dengan total jumlah hasil yang mungkin (ruang sampel).

Rumus Probabilitas Sederhana: \[\text{Probabilitas} = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Menguntungkan}}{\text{Jumlah Total Hasil yang Mungkin}}\]

Rumus Probabilitas Gabungan Kejadiannya

Probabilitas gabungan kejadian (dilambangkan dengan kata kunci “atau” dalam pertanyaan peluang) menghitung peluang terjadinya Kejadian A ATAU Kejadian B.

Rumus Utama Probability

• Rumus untuk menghitung probabilitas Gabungan Kejadian A dan B adalah; \[\mathbf{P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B)}\]
• Atau dalam notasi himpunan: \[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\] Keterangan Rumus:
• \(\mathbf{P(A \cup B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A atau kejadian B.
• \(\mathbf{P(A)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A.
• \(\mathbf{P(B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian B.
• \(\mathbf{P(A \cap B)}\): Probabilitas terjadinya kejadian A dan kejadian B secara bersamaan (Irisan/Intersection).

Kejadian Saling Lepas adalah dua kejadian atau lebih yang tidak dapat terjadi secara bersamaan. Dengan kata lain, mereka tidak memiliki hasil atau elemen yang sama (tidak ada irisan) dalam ruang sampel.

Konsepnya

• Jika Kejadian \(A\) terjadi, maka Kejadian \(B\) tidak mungkin terjadi, dan sebaliknya.
• Pada Diagram Venn, area Kejadian \(A\) dan Kejadian \(B\) terpisah sepenuhnya.

Contoh Sederhananya yaitu;

Saat melempar satu koin, hasil munculnya Angka (Kejadian A) dan hasil munculnya Gambar (Kejadian B) adalah kejadian saling lepas, karena koin tidak mungkin menunjukkan Angka dan Gambar pada waktu yang sama.

Rumus Kejadian Saling Lepas

• Irisan (Intersection) \[P(A \cap B) = 0\]

• Gabungan (Union) \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

• Jika kejadiannya bernilai \(n\) \[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)\]

Kejadian Menyeluruh adalah sekumpulan kejadian (dua atau lebih) yang, ketika digabungkan, akan mencakup seluruh ruang sampel (\(S\)) atau semua kemungkinan hasil dari suatu eksperimen.

Konsepnya

• Setidaknya salah satu dari kejadian dalam himpunan tersebut pasti akan terjadi.
• Gabungan (union) dari semua kejadian tersebut harus sama dengan Ruang Sampel \(S\).

Contoh Sederhananya yaitu;

Saat melempar dadu, jika Kejadian \(A\) adalah munculnya mata dadu ganjil (\(\{1, 3, 5\}\)) dan Kejadian \(B\) adalah munculnya mata dadu genap (\(\{2, 4, 6\}\)). Gabungan dari \(A\) dan \(B\) adalah \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), yang merupakan seluruh ruang sampel (\(S\)). Jadi, \(A\) dan \(B\) adalah kejadian menyeluruh.

Rumus Kejadian Menyeluruh

• Gabungan (Union) \[P(E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n) = 1\]

• Dalam Himpunan \[E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n = S\]

Ketika sekumpulan kejadian bersifat Saling Lepas DAN Menyeluruh secara bersamaan, ini berarti:

• Mereka tidak memiliki irisan satu sama lain (\(P(E_i \cap E_j) = 0\)).
• Gabungan mereka mencakup seluruh ruang sampel (\(P(E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n) = 1\)).

Ini sering disebut sebagai Partisi dari Ruang Sampel.

JIka kejadian-kejadian tersebut saling lepas, kita bisa menggunakan Aturan Penjumlahan. karena mereka menyeluruh, dan totalnya adalah 1.

\[\text{Jika } E_1, E_2, \dots, E_n \text{ adalah kejadian yang Saling Lepas dan Menyeluruh, maka rumusnya:}\] \[P(E_1) + P(E_2) + \dots + P(E_n) = 1\]

Probabilitas Binomial adalah mengacu pada probabilitas suatu hasil yang didefinisikan sebagai sukses atau gagal dalam suatu eksperimen yang diulang berkali-kali.

Kata kunci: Awalan “Bi” berarti dua, yang merujuk pada dua kemungkinan hasil dalam setiap percobaan, yaitu:

• Sukses
• Gagal

Untuk dapat disebut sebagai Eksperimen Binomial dan menggunakan Rumus Binomial, suatu eksperimen harus memenuhi empat (4) kondisi yang secara bersamaan.

• Jumlah Percobaan (\(n\)) harus Tetap (Fixed): Jumlah pengulangan eksperimen harus sudah ditentukan.
• Hanya Ada Dua Kemungkinan Hasil: Setiap percobaan hanya menghasilkan sukses atau gagal.
• Probabilitas Sukses (\(p\)) harus Konstan: Probabilitas terjadinya sukses harus sama untuk setiap percobaan.
• Setiap Percobaan harus Independen: Hasil dari satu percobaan tidak boleh memengaruhi hasil dari percobaan lainnya.

Formula ini digunakan untuk mencari probabilitas mendapatkan tepat \(k\) kali sukses dari total \(n\) percobaan yang independen.

Rumus Utama:

\[\mathbf{P(k) = \binom{n}{k} \cdot P^k \cdot (1-P)^{n-k}}\]

Keterangan Rumus :

• \(\mathbf{P(k)}\) : Hasil perhitungan peluang untuk mendapatkan tepat \(k\) sukses.

• \(\mathbf{\binom{n}{k}}\) : Menghitung jumlah total urutan yang mungkin (Contoh: {SGG, GSG, GGS}).

• \(\mathbf{P^k}\) : Menghitung peluang terjadinya \(k\) kali sukses.

• \(\mathbf{(1-P)^{n-k}}\) : Menghitung peluang terjadinya \(n-k\) kali gagal.

Menggunakan Rumus Binomial untuk menghitung probabilitas (\(P(k)\)) untuk setiap jumlah sukses (\(k\)) yang mungkin. \[P(k) = \mathbf{\binom{n}{k}} P^k (1-P)^{n-k}\] Keterangan Rumus :

• \(\mathbf{P(k)}\) : Hasil perhitungan peluang untuk mendapatkan tepat \(k\) sukses.

• \(\mathbf{\binom{n}{k}}\) : Menghitung jumlah total urutan yang mungkin (Contoh: {SGG, GSG, GGS}).

• \(\mathbf{P^k}\) : Menghitung peluang terjadinya \(k\) kali sukses.

• \(\mathbf{(1-P)^{n-k}}\) : Menghitung peluang terjadinya \(n-k\) kali gagal.

Jika variabel acak \(X\) mengikuti Distribusi Binomial, rata-rata (\(\mu\)), varians (\(\text{Var}\)), dan simpangan baku (\(\sigma\)) dapat dihitung langsung dari \(n\) dan \(p\).

library(knitr)

# Data untuk tabel
Parameter <- c("Rata-rata (Mean, $\\mu$)", "Varians (Var)", "Simpangan Baku (Standard Deviation, $\\sigma$)")
Rumus <- c("$$\\mu = n \\cdot p$$", "$$\\text{Var} = n \\cdot p \\cdot (1-p)$$", "$$\\sigma = \\sqrt{n \\cdot p \\cdot (1-p)}$$")
Makna_Kontekstual <- c(
  "Nilai yang Diharapkan (Expected Value): Ini adalah rata-rata atau pusat di mana sebagian besar data (keberhasilan) akan berkelompok.",
  "Ukuran sebaran data. Semakin besar varians, semakin lebar distribusi data.",
  "Ukuran sebaran dari rata-rata, dalam satuan yang sama dengan jumlah keberhasilan ($k$). "
)

# Gabungkan data menjadi sebuah data frame
tabel_distribusi_binomial <- data.frame(Parameter, Rumus, Makna_Kontekstual)

# Buat tabel 
kable(tabel_distribusi_binomial, 
      format = "markdown", # Bisa juga 'html' atau 'latex' tergantung output yang diinginkan
      col.names = c("Parameter", "Rumus", "Makna dalam Konteks"),
      caption = "**Parameter Kunci Distribusi Binomial**",
      escape = FALSE)

• Pengaruh \(p\) (Probabilitas Keberhasilan) pada Bentuk Distribusi

Nilai \(\mathbf{p}\) adalah faktor utama yang mengendalikan bentuk (shape) Distribusi Binomial. Data akan selalu berkelompok di sekitar nilai rata-rata \(\mu = n \cdot p\).

library(knitr)

# Data untuk tabelnya
Nilai_p <- c("$p = 0.5$", "$p < 0.5$", "$p > 0.5$")
Bentuk_Distribusi <- c("Simetris", "Menceng ke Kanan (Right-Skewed)", "Menceng ke Kiri (Left-Skewed)")
Alasan_Kontekstual <- c(
  "Karena peluang sukses dan gagal sama besar (50%), distribusi akan seimbang (mirip lonceng). Rata-rata ($\\mu$) berada tepat di tengah ($n/2$).",
  "Peluang sukses rendah (misal $p=0.1$). Ini berarti kita berharap mendapatkan sedikit keberhasilan (nilai $k$ rendah), sehingga probabilitas menumpuk di sisi kiri (dekat 0).",
  "Peluang sukses tinggi (misal $p=0.8$). Ini berarti kita berharap mendapatkan banyak keberhasilan (nilai $k$ tinggi), sehingga probabilitas menumpuk di sisi kanan (dekat $n$). "
)

# Gabungkan data menjadi sebuah data frame
tabel_bentuk_distribusi <- data.frame(Nilai_p, Bentuk_Distribusi, Alasan_Kontekstual)

# Buat tabel 
kable(tabel_bentuk_distribusi, 
      format = "markdown", # Bisa juga 'html' atau 'latex'
      col.names = c("Nilai $p$", "Bentuk Distribusi", "Alasan (Sesuai Video)"),
      caption = "**Bentuk Distribusi Binomial berdasarkan Peluang Sukses ($p$)**",
      escape = FALSE)

• Pengaruh \(n\) (Jumlah Percobaan) dan Aproksimasi Normal

Jumlah percobaan \(\mathbf{n}\) menentukan sejauh mana Distribusi Binomial menyerupai Distribusi Normal (Kurva Lonceng).

Seiring dengan bertambahnya nilai \(n\), Distribusi Binomial terlepas dari bentuknya yang menceng, akan di mulai menjadi lebih halus dan mendekati bentuk Distribusi Normal.

Kita dapat menganggap Distribusi Binomial dapat didekati menggunakan Distribusi Normal jika kedua kondisi berikut terpenuhi. Jika \(n\) sangat besar, perhitungan dengan rumus Binomial menjadi rumit, sehingga aproksimasi ini penting.

• Rumusnya

\[\mathbf{n \cdot p \ge 10}\]

\[\mathbf{n \cdot (1-p) \ge 10}\]

Jika kedua hasil perhitungan di atas mencapai atau melebihi 10, distribusi tersebut dianggap cukup Normal untuk menggunakan prosedur perhitungan Distribusi Normal.