2.1.1 Konsep Ruang Sampel

konsep ruang sampel dan probabilitas dalam pelemparan koin, termasuk cara menghitung kemungkinan hasil dari beberapa pelemparan.

• Dari diagram ruang sampel, kita dapat menentukan semua hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan koin dan mencatatnya sebagai kombinasi seperti HT dan TT.
• cara menghitung probabilitas untuk setiap hasil dengan mengalikan probabilitas masing-masing peristiwa.
• Memberikan contoh sederhana dengan melempar koin untuk menunjukkan bagaimana probabilitas dua hasil (kepala dan ekor) menambah hingga 1.

2.1.2 Aturan Komplemen dalam Probabilitas

tentang aturan komplemen dalam probabilitas, yang menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi probabilitas. Aturan komplemen yang menyatakan hubungan antara probabilitas kejadian dan kejadian yang tidak terjadi.

Contoh Eksperimen Aturan Komplemen

Melempar satu koin standar sebanyak dua kali. Ruang Sampel (\(S\)): Semua hasil yang mungkin adalah 4 kombinasi yang masing-masing memiliki probabilitas \(1/4\) atau \(0.25\). \[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]

1. Penerapan Aturan Komplemen

Kejadian A: Mendapatkan dua sisi Angka/Ekor (\(TT\)).

• \(P(A) = 1/4 = 0.25\)

Kejadian \(\mathbf{A^c}\) (Komplemen): Kejadian TIDAK mendapatkan dua sisi Angka/Ekor (\(TT\)).

• ni berarti mendapatkan setidaknya satu sisi Gambar/Kepala (\(H\)).
• \(A^c = \{HH, HT, TH\}\)

2. Perhitungan dengan Aturan Komplemen: \[P(\text{tidak } TT) = P(A^c) = 1 - P(A)\] \[P(A^c) = 1 - 0.25 = 0.75\]

2.1.3 Visualisasi

# Pastikan Anda telah menginstal paket 'ggplot2'
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# --- 1. Data Ruang Sampel ---
outcomes <- c("HH", "HT", "TH", "TT") # HH=2 Kepala, HT=Kepala-Ekor, TH=Ekor-Kepala, TT=2 Ekor
probabilitas <- c(0.25, 0.25, 0.25, 0.25)
# Tentukan kelompok: 'A' adalah kejadian yang kita hitung, 'A^c' adalah komplemennya.
kelompok <- c("A^c (Bukan TT)", "A^c (Bukan TT)", "A^c (Bukan TT)", "A (Kejadian TT)")

data_koin <- data.frame(
  Hasil = factor(outcomes, levels = outcomes),
  Probabilitas = probabilitas,
  Kelompok = kelompok
)

# --- 2. Pembuatan Visualisasi (Plot Batang) ---
ggplot(data_koin, aes(x = Hasil, y = Probabilitas, fill = Kelompok)) +
  # Plot Batang
  geom_bar(stat = "identity", color = "black") +
  
  # Tambahkan label probabilitas pada setiap batang
  geom_text(aes(label = Probabilitas), vjust = -0.5, size = 4, fontface = "bold") +
  
  # Anotasi Garis untuk P(A^c) = 0.75 (meliputi 3 batang pertama)
  geom_segment(x = 0.5, xend = 3.5, y = 0.85, yend = 0.85, 
               color = "#0072B2", linetype = "solid", linewidth = 1.2) +
  
  # Tambahkan Teks Aturan Komplemen
  annotate("text", x = 2, y = 0.9, 
           label = "P(Tidak TT) = 1 - P(TT) = 1 - 0.25 = 0.75", 
           size = 4.5, fontface = "bold", color = "#0072B2") +
  
  # Judul dan Label
  labs(
    title = "Visualisasi Aturan Komplemen: Pelemparan Dua Koin",
    subtitle = "Kejadian A: Mendapatkan Dua Ekor (TT)",
    x = "Hasil yang Mungkin (Ruang Sampel)",
    y = "Probabilitas"
  ) +
  
  # Pengaturan Sumbu Y dan Warna
  scale_y_continuous(limits = c(0, 1.0)) +
  scale_fill_manual(values = c("A (Kejadian TT)" = "#D55E00", "A^c (Bukan TT)" = "#56B4E9")) +
  
  # Pengaturan Tema
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
    legend.position = "bottom",
    legend.title = element_blank()
  )

interpretasi Visualisasi

Visualisasi ini memberikan interpretasi yang jelas tentang Ruang Sampel dan Aturan Komplemen:

1. Ruang Sampel (Total Probabilitas): Total tinggi dari semua batang (HH, HT, TH, dan TT) selalu berjumlah 1.0. Ini menegaskan bahwa salah satu dari empat hasil tersebut pasti terjadi.

2. Kejadian A (Warna Merah): Batang \(TT\) (probabilitas 0.25) adalah Kejadian A, yaitu kejadian yang kita ketahui probabilitasnya.

3. Kejadian \(A^c\) (Warna Biru): Tiga batang lainnya (\(HH, HT, TH\)) adalah komplemen dari A. Secara visual, ini mewakili semua kemungkinan lain yang tidak termasuk A.

4. Aturan Komplemen: Garis horizontal putus-putus dan anotasi di atas grafik menunjukkan bahwa probabilitas total dari komplemen (\(P(A^c)\)) adalah \(0.75\). Nilai ini diperoleh dengan cara:

Tujuan utama dari Aturan Komplemen adalah untuk menyederhanakan perhitungan probabilitas di mana menghitung “apa yang tidak kita inginkan” lebih mudah daripada menjumlahkan semua hasil yang kita inginkan. Visualisasi ini menunjukkan bahwa \(P(A)\) dan \(P(A^c)\) adalah dua segmen yang saling melengkapi dan bersama-sama membentuk probabilitas total 1.0.

3.1.1 visualisasi Independent

# Pastikan Anda telah menginstal paket 'ggplot2'
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# --- Data Probabilitas Independen ---
kejadian_independen <- c("P(A): Dadu 5 (1/6)", 
                         "P(B): Koin Heads (1/2)", 
                         "P(A dan B): Gabungan (1/12)")
nilai_prob_independen <- c(1/6, 1/2, 1/12)
data_independen <- data.frame(
  Kejadian = factor(kejadian_independen, levels = kejadian_independen),
  Probabilitas = nilai_prob_independen
)

# --- Visualisasi ---
ggplot(data_independen, aes(x = Kejadian, y = Probabilitas, fill = Kejadian)) +
  geom_bar(stat = "identity", color = "black") +
  geom_text(aes(label = round(Probabilitas, 4)), 
            vjust = -0.5, size = 4, fontface = "bold") +
  labs(
    title = "Probabilitas Kejadian Independen",
    subtitle = "P(Dadu 5 dan Koin Heads)",
    x = "Kejadian",
    y = "Probabilitas"
  ) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, max(nilai_prob_independen) * 1.1)) +
  scale_fill_manual(values = c("#0072B2", "#D55E00", "#56B4E9")) +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"), legend.position = "none")

Interpretasi Independen

1. P(Dadu 5) (0.1667) dan P(Koin Heads) (0.5000) memiliki nilai probabilitas yang relatif tinggi.

2. Namun, probabilitas gabungan keduanya, P(A dan B) (0.0833), jauh lebih kecil.

3. Interpretasi: Kejadian independen selalu menghasilkan probabilitas gabungan yang lebih kecil daripada probabilitas masing-masing kejadian. Hal ini karena Anda harus mencapai dua hasil yang tidak saling berhubungan sekaligus. Kedua percobaan (melempar dadu dan melempar koin) tidak saling memengaruhi, sehingga probabilitasnya hanya dikalikan.

3.1.2 Rumus Peluang Kejadian Saling Bebas(Independent Events)

Untuk menghitung peluang dua kejadian \(A\) dan \(B\) yang terjadi bersamaan dan saling bebas, digunakan rumus perkalian peluang:\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B)\] Dimana:

• \(P(A \text{ dan } B)\)adalah peluang terjadinya kejadian \(A\) dan \(B\).

• \(P(A)\) adalah peluang terjadinya kejadian\(A\).

• \(P(B)\) adalah peluang terjadinya kejadian \(B\).

3.1.3 Kejadian Saling Bergantung (Dependent Events)

Interpretasi Konsep: Kejadian saling bergantung adalah kebalikan dari kejadian saling bebas, di mana terjadinya satu kejadian MEMENGARUHI peluang terjadinya kejadian lain.

• Definisi: Kejadian saling bergantung umumnya terlihat ketika mengambil item yang TIDAK DIKEMBALIKAN (without replacement).Pengambilan pertama mengubah total jumlah objek dan/atau jumlah objek yang tersisa, sehingga mengubah peluang pengambilan kedua

• Contoh: Mengambil dua kelereng tanpa pengembalian dari kotak berisi 10 kelereng (7 Hijau, 3 Biru).

• Kejadian A: Mengambil kelereng Hijau pada pengambilan pertama. \(P(A) = 7/10\).

• Kejadian B|A: Mengambil kelereng Hijau lagi pada pengambilan kedua, setelah kelereng Hijau pertama diambil (sekarang tersisa 6 Hijau dari total 9). \(P(B | A) = 6/9\).

• \(P(A \text{ dan } B) = (7/10) \times (6/9) = 42/90 \approx 0.4667\)

3.1.4 Visualisasi Dependent

# --- Data Probabilitas Dependen ---
kejadian_dependen <- c("P(A): Hijaul 1 (7/10)", 
                       "P(B|A): Hijau 2 | Hijau 1 (6/9)", 
                       "P(A dan B): Gabungan (42/90)")
nilai_prob_dependen <- c(7/10, 6/9, 42/90)
data_dependen <- data.frame(
  Kejadian = factor(kejadian_dependen, levels = kejadian_dependen),
  Probabilitas = nilai_prob_dependen
)

# --- Visualisasi ---
ggplot(data_dependen, aes(x = Kejadian, y = Probabilitas, fill = Kejadian)) +
  geom_bar(stat = "identity", color = "black") +
  geom_text(aes(label = round(Probabilitas, 4)), 
            vjust = -0.5, size = 4, fontface = "bold") +
  labs(
    title = "Probabilitas Kejadian Dependen",
    subtitle = "P(Hijau 1 dan Hijau 2) Tanpa Pengembalian",
    x = "Kejadian",
    y = "Probabilitas"
  ) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, max(nilai_prob_dependen) * 1.1)) +
  scale_fill_manual(values = c("#E69F00", "#56B4E9", "#009E73")) +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"), legend.position = "none")

Interpretasi Dependen 1. P(Hijau 1) (0.7000) adalah probabilitas awal yang tinggi.

2. P(Hijau 2 | Hijau 1) (0.6667) sedikit menurun. Penurunan ini adalah kunci dari dependensi, karena pengambilan kelereng pertama (Hijau) mengurangi jumlah kelereng Hijau dan total kelereng di dalam kotak.

3. P(Gabungan) (0.4667) adalah probabilitas yang cukup besar.

4. Interpretasi Visualisasi ini menunjukkan bahwa probabilitas bersyarat (\(P(B|A)\)) telah berubah dari probabilitas awal (\(P(B)\) jika pengembalian dilakukan, yaitu \(3/10\) jika ingin biru, atau \(7/10\) jika ingin hijau lagi). Perubahan ini menunjukkan hubungan sebab-akibat antara Pengambilan 1 dan Pengambilan 2, yang menjadi ciri khas dari kejadian dependen.

3.1.5 Rumus Peluang Kejadian Saling Bergantung Untuk menghitung peluang dua kejadian \(A\) dan \(B\)

yang terjadi secara berurutan dan saling bergantung, digunakan rumus peluang bersyarat:\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B \mid A)\]

Dimana: - \(P(A \text{ dan } B)\) adalah peluang terjadinya kejadian \(A\) dan \(B\).

• \(P(A)\) adalah peluang terjadinya kejadian \(A\).

• \(P(B \mid A)\) adalah peluang terjadinya kejadian \(B\) setelah kejadian \(A\) telah terjadi

4.1.1 Rumus Probabilitas Gabungan (Union)Interpretasi spesifik ini diwujudkan dengan menggunakan rumus berikut:

\[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\] Simbol Interpretasi (Keterangan)

• \(\mathbf{P(A \cup B)}\)Peluang GabunganPeluang terjadinya Kejadian A atau Kejadian B, atau kedua-duanya.
• \(\mathbf{P(A)}\) Peluang Kejadian A Peluang terjadinya Kejadian A.
• \(\mathbf{P(B)}\) Peluang Kejadian B Peluang terjadinya Kejadian B.
• \(\mathbf{P(A \cap B)}\) Peluang Irisan (Intersection)Peluang terjadinya Kejadian A dan Kejadian B secara bersamaan Tanda MinusKoreksi Penghitungan GandaDigunakan untuk mengurangi peluang irisan (\(P(A \cap B)\)) karena hasil-hasil dalam irisan telah dihitung dua kali, yaitu sekali dalam \(P(A)\) dan sekali lagi dalam \(P(B)\)

Hukum-hukum dalam Peluang Beberapa hukum dasar dalam peluang yang sering digunakan adalah:

• Hukum Penjumlahan (Addition Rule): Jika dua peristiwa A dan B tidak saling bergantung atau saling eksklusif (yaitu, keduanya tidak bisa terjadi pada waktu yang sama),maka peluang terjadinya A atau B adalah:

  P(A∪B)=P(A)+P(B)

4.1.2 Penerapan Spesifik (Contoh Dadu)

menggunakan contoh pelemparan dua dadu bersisi 6 dengan total 36 hasil yang mungkin (sample space) untuk mengilustrasikan rumus tersebut.

Tentukan Peluang Masing-Masing Kejadian Peluang A (Dua angka genap): Jumlah hasil yang diinginkan: 9 \[\mathbf{P(A)} = \frac{9}{36}\] Peluang B (Minimal satu angka dua): Jumlah hasil yang diinginkan: 11 \[\mathbf{P(B)} = \frac{11}{36}\] Tentukan Peluang Irisan (\(\mathbf{A \cap B}\)) Peluang Irisan (Dua angka genap DAN minimal satu angka dua): Irisan adalah hasil yang dimiliki oleh A dan B: 5 \[\mathbf{P(A \cap B)} = \frac{5}{36}\] Hitung Peluang Gabungan (\(\mathbf{A \cup B}\)) Masukkan nilai-nilai ke dalam rumus: \[\mathbf{P(A \cup B)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \[\mathbf{P(A \cup B)} = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36}\] \[\mathbf{P(A \cup B)} = \frac{20 - 5}{36} = \frac{15}{36}\] Kesimpulan: Peluang mendapatkan dua angka genap atau minimal satu angka dua adalah 15/36 (sekitar 0.4167)

Rumus Probabilitas Gabungan (Union) Interpretasi spesifik ini diwujudkan dengan menggunakan rumus berikut: \[\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\]

4.1.3 Visualisasi Penyatuan Peristiwa

# Pastikan Anda telah menginstal paket 'ggplot2'
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# --- Data Probabilitas dari Eksperimen Dua Dadu ---
kejadian <- c("P(A): Dua Genap", 
              "P(B): Setidaknya Satu Dua", 
              "P(A ∩ B): Irisan", 
              "P(A ∪ B): Gabungan")

# Nilai probabilitas
nilai_prob <- c(9/36, 11/36, 5/36, 15/36)

# Data frame untuk visualisasi
data_prob <- data.frame(
  Kejadian = factor(kejadian, levels = kejadian),
  Probabilitas = nilai_prob
)

# --- Visualisasi (Plot Batang) ---
ggplot(data_prob, aes(x = Kejadian, y = Probabilitas, fill = Kejadian)) +
  # Plot Batang
  geom_bar(stat = "identity", color = "black") +
  
  # Tambahkan label probabilitas
  geom_text(aes(label = round(Probabilitas, 4)), 
            vjust = -0.5, 
            size = 4,
            fontface = "bold") +
  
  # Tambahkan panah dan teks untuk menyoroti Aturan Penjumlahan
  annotate("text", x = 2.5, y = 0.5, 
           label = "P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A ∪ B)", 
           size = 5, fontface = "italic") +
  
  # Judul dan Label
  labs(
    title = "Probabilitas Gabungan Kejadian (Addition Rule)",
    subtitle = "Eksperimen: Pelemparan Dua Dadu (N=36)",
    x = "Komponen Probabilitas",
    y = "Nilai Probabilitas (P)"
  ) +
  
  # Pengaturan Sumbu Y
  scale_y_continuous(limits = c(0, max(nilai_prob) * 1.2), breaks = seq(0, 0.5, 0.1)) +
  
  # Pengaturan Tema
  theme_bw() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
    legend.position = "none" # Hilangkan legenda karena batang sudah berlabel
  )

Interpretasi Visualisasi menunjukkan empat komponen utama dalam Aturan Penjumlahan Probabilitas:

1. P(A) dan P(B): Batang pertama dan kedua menunjukkan probabilitas dari masing-masing kejadian secara individual. Jika kita hanya menjumlahkan \(P(A) + P(B)\) (yaitu \(0.2500 + 0.3056 = 0.5556\)), kita akan mendapatkan nilai yang lebih besar dari probabilitas gabungan yang sebenarnya.

2. P(A \(\cap\) B) - Irisan: Batang ketiga menunjukkan probabilitas irisan (\(\approx 0.1389\)). Nilai ini adalah bagian yang dihitung ganda ketika \(P(A)\) dan \(P(B)\) dijumlahkan.

3. P(A \(\cup\) B) - Gabungan: Batang terakhir menunjukkan hasil akhir (\(\approx 0.4167\)). Batang ini lebih pendek dari jumlah \(P(A) + P(B)\) karena ia mencerminkan nilai setelah irisan dikurangi.

5.1.1 Interpretasi Tambahan:

Kejadian Komprehensif (Exhaustive) Rumus Spesifik Jika sekumpulan kejadian, misalnya A dan B, adalah komprehensif (yaitu gabungan mereka mencakup seluruh Ruang Sampel \(S\)), maka peluang gabungannya adalah satu (peluang total):\[\mathbf{P(A \cup B) = 1}\] Penjabaran Spesifik Simbol Interpretasi Keterangan Dijabarkan

\(\mathbf{P(A \cup B) = 1}\) Peluang Gabungan MaksimalPeluang bahwa salah satu dari Kejadian A atau Kejadian B pasti akan terjadi, karena mereka mencakup semua hasil yang mungkin

Contoh: Peluang mendapatkan ganjil (\(A\)) atau genap (\(B\)) dari pelemparan dadu. Gabungan keduanya (\(A \cup B\)) adalah seluruh ruang sampel.

5.1.2 Visualisasi

Conoth : Pelemparan sebuah dadu standar bersisi enam.

Definisi Kejadian Ruang Sampel (\(S\)): Semua hasil yang mungkin: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

1. Kejadian A (Saling Lepas): Mendapatkan angka genap (\(A = \{2, 4, 6\}\)).

• \(P(A) = 3/6 = 0.5\)

2. Kejadian B (Saling Lepas): Mendapatkan angka ganjil (\(B = \{1, 3, 5\}\)).

\(P(B) = 3/6 = 0.5\)

Konsep yang Terilustrasi

• Kejadian Saling Lepas: Jika Kejadian A terjadi, Kejadian B tidak mungkin terjadi, dan sebaliknya. Tidak ada anggota yang sama di antara A dan B (\(A \cap B = \emptyset\)). Oleh karena itu, \(P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B)\).

• Kejadian Lengkap (Exhaustive): Gabungan dari Kejadian A dan B mencakup seluruh ruang sampel (\(A \cup B = S\)). Oleh karena itu, \(P(A \text{ atau } B) = 1.0\).

# Pastikan Anda telah menginstal paket 'ggplot2'
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# --- Data Probabilitas Dadu ---
kejadian <- c("P(A) Angka Genap", "P(B) Angka Ganjil", "P(S) Total Ruang Sampel")
probabilitas <- c(0.5, 0.5, 1.0)
tipe <- c("Saling Lepas (A)", "Saling Lepas (B)", "A atau B (Lengkap)")

data_probabilitas <- data.frame(
  Kejadian = factor(kejadian, levels = kejadian),
  Probabilitas = probabilitas,
  Tipe = tipe
)

# --- Visualisasi (Plot Batang) ---
ggplot(data_probabilitas, aes(x = Kejadian, y = Probabilitas, fill = Tipe)) +
  # Plot Batang
  geom_bar(stat = "identity", color = "black") +
  
  # Tambahkan garis horizontal di y=1.0 untuk menunjukkan batas total probabilitas
  geom_hline(yintercept = 1.0, linetype = "dashed", color = "red", linewidth = 1) +
  
  # Tambahkan label probabilitas
  geom_text(aes(label = Probabilitas), vjust = -0.5, size = 5) +
  
  # Judul dan Label
  labs(
    title = "Probabilitas Kejadian Saling Lepas dan Lengkap (Dadu)",
    subtitle = "P(Genap) + P(Ganjil) = P(Total)",
    x = "Kejadian",
    y = "Probabilitas"
  ) +
  
  # Pengaturan Sumbu Y
  scale_y_continuous(limits = c(0, 1.1), breaks = seq(0, 1.0, 0.1)) +
  
  # Pengaturan Warna
  scale_fill_manual(values = c("Saling Lepas (A)" = "#0072B2", 
                               "Saling Lepas (B)" = "#D55E00",
                               "A atau B (Lengkap)" = "#009E73")) +
  
  # Pengaturan Tema
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5)
  )

Interpretasi Visualisasi

Visualisasi menunjukkan tiga batang utama:

1. P(A) Angka Genap: Menunjukkan probabilitas 0.5.

2. P(B) Angka Ganjil: Menunjukkan probabilitas 0.5.

3. P(S) Total Ruang Sampel: Menunjukkan probabilitas 1.0.

• Saling Lepas (Mutually Exclusive): Karena batang P(A) dan P(B) adalah dua kolom terpisah tanpa tumpang tindih, ini secara visual merepresentasikan bahwa kedua kejadian tidak memiliki hasil yang sama (\(P(A \cap B) = 0\)).

• Kejadian Lengkap (Exhaustive): Batang P(S) Total Ruang Sampel (yang merupakan \(P(A \cup B)\)) mencapai garis putus-putus merah pada 1.0. Hal ini secara visual mengkonfirmasi bahwa penjumlahan probabilitas dari semua kejadian saling lepas (\(P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5\)) mencakup seluruh kemungkinan yang ada dalam eksperimen tersebut

6.1.1 Visualisasi Eksperimen Binomial:

1. Kita menganggap eksperimen: misalnya “melempar koin” sebanyak n = 10 kali — setiap lemparan punya probabilitas p = 0.5 untuk “sukses” (misalnya muncul “kepala”). Ini sesuai definisi Binomial distribution: jumlah sukses dari sejumlah percobaan independen, dengan peluang sukses sama tiap percobaan. GeeksforGeeks +2 Matt Poland +2

2. Kemudian kita ulang eksperimen ini sebanyak n_trials = 5000 kali sehingga kita dapat banyak sampel “jumlah sukses per 10 lemparan”.

library(ggplot2)

set.seed(123)

# Parameter eksperimen
n_trials <- 5000   # jumlah simulasi (berapa kali kita ulang percobaan)
n <- 10            # jumlah percobaan per simulasi
p <- 0.5           # probabilitas sukses tiap percobaan

# Simulasi: untuk tiap simulasi, hitung jumlah sukses dari n percobaan
sim_data <- rbinom(n = n_trials, size = n, prob = p)

df <- data.frame(success = sim_data)

# Plot: histogram + kurva probabilitas teoritis
ggplot(df, aes(x = success)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 binwidth = 1,
                 color = "black",
                 fill = "lightblue",
                 alpha = 0.7) +
  stat_function(fun = function(x) dbinom(x, size = n, prob = p),
                color = "red",
                size = 1.2) +
  labs(
    title = paste("Simulasi Binomial: n =", n, ", p =", p),
    subtitle = paste("Jumlah simulasi =", n_trials),
    x = "Jumlah sukses",
    y = "Probabilitas / Kepadatan"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14)

Histogram + Kurva Teoretis

• Histogram menunjukkan frekuensi / kepadatan empiris dari simulasi — misalnya berapa kali kita mendapat 0 sukses, 1 sukses, 2 sukses, … hingga 10 sukses dalam 5000 simulasi.

• Garis merah (kurva) adalah fungsi probabilitas teoritis binomial, menghitung P(X = k) untuk k = 0..10, dengan n = 10, p = 0.5. Ini memakai fungsi dbinom di R

Kenapa Bentuknya Seperti Itu:

• Karena p = 0.5, distribusi akan simetris sekitar nilai tengah. Rata-rata teoritis dari distribusi binomial ini:

E[X]=n×p=10×0.5=5

Jadi nilai “5 sukses” adalah yang paling mungkin — histogram & kurva memiliki puncak di sekitar 5.

• Simulasi akan menghasilkan variasi: beberapa percobaan akan menghasilkan lebih banyak sukses, beberapa lebih sedikit — distribusi hasil akan mendekati distribusi teoritis jika n_trials cukup besar.

Interpretasi:

1. Eksperimen ini menunjukkan bahwa bila kamu mengulangi proses berulang kali, distribusi hasilnya bisa diprediksi secara statistik — tidak setiap eksperimen memberi hasil yang sama, tetapi pola frekuensi mengikuti distribusi binomial.

2. Ini berguna misalnya dalam quality control: jika kamu punya proses dengan probabilitas sukses p, dan kamu uji banyak kali, kamu bisa memperkirakan sebaran hasil sukses / gagal.

6.1.2 Rumus Binomial (The Binomial Formula)

rumus yang kita gunakan untuk menghitung probabilitas spesifik dari sebuah Eksperimen Binomial. Tujuannya adalah mencari peluang mendapatkan tepat \(k\) kali sukses dalam \(n\) percobaan.

• Rumus Utama: \[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

• Keterangan Variabel: \(P(k)\): Probabilitas mendapatkan tepat \(k\) kali sukses yang kita cari.

• \(n\): Jumlah total percobaan (Number of trials).

• \(k\): Jumlah sukses yang diinginkan (Number of successes).

• \(p\): Probabilitas sukses dalam satu kali percobaan (Probability of success).

• \((1-p)\): Probabilitas gagal dalam satu kali percobaan.Kadang disebut \(q\)

• Komponen Rumus (Dijelaskan secara Detail): Rumus ini terdiri dari tiga bagian utama:

1. Koefisien Binomial (\(C(n, k)\) atau \(\binom{n}{k}\)):

• fungsi menghitung berapa banyak cara berbeda Anda bisa mendapatkan \(k\) sukses dari \(n\) percobaan total, tanpa memperhatikan urutan. Ini adalah bagian yang paling “kombinatorial

• Rumus: \[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

• \(n!\) (n-faktorial): \(n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1\). Misalnya, \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). (Catatan: \(0! = 1\))

2. Probabilitas \(k\) Sukses (\(p^k\)):

• fungsi menghitung probabilitas terjadinya \(k\) kali sukses secara berurutan. Anda mengalikan probabilitas sukses (\(p\)) sebanyak \(k\) kali.

• Jadi, Rumus Binomial lengkapnya adalah: \[P(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

6.1.3 Visualisasi rumus Binomial

Bayangkan kita melempar koin 3 kali (\(n=3\)) dan ingin mendapatkan tepat 2 kepala (\(k=2\)). Probabilitas kepala (\(p=0.5\)).

• Langkah 1:

Urutan Sukses/Gagal (\(C(n,k)\))Ada berapa cara mendapatkan 2 Kepala dari 3 lemparan?

• H T H
• H H T
• T H H

\(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3\) cara.

• Langkah 2:

Probabilitas 2 Sukses (\(p^k\))Untuk setiap cara di atas, probabilitas 2 Kepala adalah \(0.5 \times 0.5 = 0.5^2\).

• Langkah 3:

Probabilitas 1 Gagal (\((1-p)^{n-k}\)) Untuk setiap cara di atas, probabilitas 1 Ekor adalah \(0.5^1\).

• Langkah 4:

Kalikan Semuanya (\(P(k)\))\(P(\text{2 Kepala}) = C(3,2) \times (0.5)^2 \times (0.5)^1 = 3 \times 0.25 \times 0.5 = 0.375\)

7.1.1 Rumus Distribusi Binomial

1. Rumus Probabilitas Binomial Rumus ini digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan: \[\mathbf{P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}\] Di mana:

• \(P(X=k)\): Probabilitas mendapatkan \(k\) sukses.
• \(C(n, k)\): Koefisien binomial (kombinasi) \(n\) dari \(k\).
• \(n\): Jumlah percobaan (Trials).
• \(k\): Jumlah sukses (Successes).\(p\): Probabilitas sukses.

2. Parameter Distribusi Binomial Parameter ini digunakan untuk mendeskripsikan distribusi tanpa harus menghitung semua probabilitas.

• Simbol \(\mu\) (Mu)\[\mathbf{\mu = n \cdot p}\]Menunjukkan nilai harapan atau pusat distribusi.

• Rata-rata Binomial selalu bertambah secara linear seiring bertambahnya \(n\) atau \(p\).

• Varian \(\sigma^2\) (Sigma Kuadrat)\[\mathbf{\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)}\]Mengukur seberapa tersebar (variatif) data di sekitar rata-rata.

• Varian akan mencapai nilai maksimum saat \(\mathbf{p = 0.5}\).

• Simpangan Baku \(\sigma\) (Sigma)\[\mathbf{\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}\]Akar kuadrat dari varian. Digunakan untuk mengukur sebaran data dalam satuan yang sama dengan rata-rata.

7.1.2 Visualisasi Distribusi Binomial

# --- VISUALISASI DISTRIBUSI BINOMIAL (KODE R) ---

# 1. Tentukan Parameter
n_trials <- 10 # Jumlah Percobaan (n)
k_values <- 0:n_trials # Nilai sukses yang mungkin (k: 0 sampai n)

# Kasus 1: Simetris (p = 0.5)
p_simetris <- 0.5
prob_simetris <- dbinom(k_values, size = n_trials, prob = p_simetris)

# Kasus 2: Menceng ke Kanan (p = 0.2)
p_menceng <- 0.2
prob_menceng <- dbinom(k_values, size = n_trials, prob = p_menceng)

# 2. Atur Layout Plot
# Membagi jendela plot menjadi 1 baris dan 2 kolom
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(5, 4, 4, 2) + 0.1) 

# 3. Plot Distribusi Simetris (p=0.5)
barplot(
  prob_simetris,
  names.arg = k_values,
  main = paste("Distribusi Binomial Simetris\n(n = ", n_trials, ", p = ", p_simetris, ")"),
  xlab = "Jumlah Sukses (k)",
  ylab = "Probabilitas",
  col = "skyblue"
)

# 4. Plot Distribusi Menceng ke Kanan (p=0.2)
barplot(
  prob_menceng,
  names.arg = k_values,
  main = paste("Distribusi Binomial Menceng Kanan\n(n = ", n_trials, ", p = ", p_menceng, ")"),
  xlab = "Jumlah Sukses (k)",
  ylab = "Probabilitas",
  col = "salmon"
)

# Reset Layout Plot
par(mfrow = c(1, 1))