Contoh Penerapan Probabilitas pada Koin (Independent Events)

Probabilitas mendapatkan Angka pada lemparan pertama dan Gambar pada lemparan kedua:

\[P(\text{Angka}) = \frac{1}{2}\] \[P(\text{Gambar}) = \frac{1}{2}\] Karena kedua lemparan bersifat independen:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\] \[P(\text{Angka} \cap \text{Gambar}) = P(\text{A}) \times P(\text{G}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Contoh Penerapan Ruang Sample

Jika satu koin dilempar dua kali, berapa probabilitas mendapatkan paling sedikit satu HEAD?

Ruang Sampel:
\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\] \[n(S) = 4\] Kejadian A (paling sedikit satu HEAD):
\[A = \{HH, HT, TH\}\] \[n(A) = 3\] Probabilitas:
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{4} = 0.75\] Jawaban: Probabilitas = \(\frac{3}{4}\) atau 75%

Peraturan Probabilitas

1. Nilai Probabilitas Selalu antara 0 dan 1

• Probabilitas 0 = kejadian tidak mungkin terjadi

• Probabilitas 1 = kejadian pasti terjadi

• Probabilitas 0.5 = kejadian diharapkan terjadi 50% dari waktu

2. Jumlah Total Probabilitas Selalu 1 Jumlah hasil probabilitas dari semua kemungkinan outcome dalam suatu ruang sampel akan selalu berjumlah 1

Kejadian-kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan dalam satu percobaan.Ciri Kejadian Saling Lepas

• Tidak bersamaan: Kedua kejadian tidak dapat terjadi pada waktu yang sama, sehingga irisan himpunan A ∩ B = ∅.

• Peluang irisan nol: Secara matematis, P(A ∩ B) = 0, artinya peluang kedua kejadian terjadi bersamaan adalah nol.​

• Rumus peluang gabungan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B), karena tidak ada tumpang tindih.

Kejadian Lengkap adalah kumpulan kejadian yang mencakup semua kemungkinan hasil dalam ruang sampel. Ciri Ciri Kejadian Lengkap :

• Gabungan semua kejadian mencakup seluruh ruang sampel

• Probabilitas total = 1

• Tidak ada hasil yang berada di luar gabungan kejadian

Studi Kasus 1

Apabila kamu melempar 1 koin sebanyak 3 kali, berapa peluang mendapatkan 1 sisi Angka dan apakah ini termasuk binominal eksperimen?

Sebelum masuk pada perhitungan mari kita cari kebenarannya apakah hal ini sudah sesuai dengan Peraturan Binominal

• Jumlah percobaan sudah ditentukan sebelumnya ? Ya, n = 3 lemparan

• Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil ? Ya,

  • Sukses: Mendapat sisi Angka
  • Gagal: Tidak Mendapat Sisi Angka

• Berapa Peluang keberhasilan konstan ?Ya, p = 0.5 untuk setiap lemparan baik dari sisi Angka dan Sisi Gambar

• Apakah hal ini termasuk Percobaan independen ? Ya, hasil lemparan tidak saling mempengaruhi

Studi Kasus 2

Di dalam Box terdapat 10 kelereng, yang terdiri dari 5 kelereng berwarna merah muda, 2 kelereng berwarna hijau, dan 5 kelereng berwarna biru, Apa bila ambil 5 kelereng tanpa pengembalian, Bagaimana Kemungkinan mendapat 2 kelereng Hijau, dan Apakah Ini termasuk Binominal Eksperimen

Sebelum masuk pada perhitungan mari kita cari kebenarannya apakah hal ini sudah sesuai dengan Peraturan Binominal

• Jumlah percobaan sudah ditentukan sebelumnya ? Ya, n = 5 pengambilan

• Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil ? Ya,

  • Sukses: Mendapat 2 Kelereng Hijau
  • Gagal: Tidak Mendapat 2 Kelereng Hijau

• Berapa Peluang keberhasilan konstan ?Ya, p = 0.2 untuk setiap pengambilan kelereng hijau

• Apakah hal ini termasuk Percobaan independen ? Ya, hasil lemparan tidak saling mempengaruhi

• Simbol H = Artinya Mendapat kelereng hijau, dengan probabilitas = 0.2

• Simbol - = Aritinya Mendapat kelereng lain, dengan probabilitas = 0.8

Perhitungan Probabilitas

• Baris 1 (H, H, -, -, -): 0.2 × 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.02048

• Baris 2 (H, -, H, -, -): 0.2 × 0.8 × 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.02048

• Baris 3 (H, -, -, H, -): 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.2 × 0.8 = 0.02048

• Baris 4 (H, -, -, -, H): 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.2 = 0.02048

• Baris 5 (-, H, H, -, -): 0.8 × 0.2 × 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.02048

• Baris 6 (-, H, -, H, -): 0.8 × 0.2 × 0.8 × 0.2 × 0.8 = 0.02048

• Baris 7 (-, H, -, -, H): 0.8 × 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.2 = 0.02048

• Baris 8 (-, -, H, H, -): 0.8 × 0.8 × 0.2 × 0.2 × 0.8 = 0.02048

• Baris 9 (-, -, H, -, H): 0.8 × 0.8 × 0.2 × 0.8 × 0.2 = 0.02048

• Baris 10 (-, -, -, H, H): 0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.2 × 0.2 = 0.02048

Probabilitas Total P(Total) = 10 × 0.02048 = 0.204

Studi Kasus 2

Di dalam Box terdapat 10 kelereng, yang terdiri dari 5 kelereng berwarna merah muda, 2 kelereng berwarna hijau, dan 5 kelereng berwarna biru, Apa bila ambil 5 kelereng tanpa pengembalian, Bagaimana Kemungkinan mendapat 2 kelereng Hijau, dan Apakah Ini termasuk Binominal Eksperimen ?

Diketahui :

• n = 5
• k = 2
• p = 0,2

\[ \begin{align*} P(X = 2) &= \binom{5}{2} (0.2)^2 (0.8)^{3} \\ &= \frac{5!}{2!(5-2)!} \times 0.04 \times 0.512 \\ &= 10 \times 0.04 \times 0.512 \\ &= 0.2048 \end{align*} \]

Penyelesaian Pelemparan 1 Koin 2 Kali dengan Binominal Formula

Diketahui : - k (0,1,2) - n (2) - p (0,5)

• Jika K = 0

\[ \begin{align*} P(X = 0) &= \binom{2}{0} (0.5)^0 (0.5)^{2} \\ &= 1 \times 1 \times 0.25 \\ &= 0.25 \end{align*} \]

• Jika K = 1

\[ \begin{align*} P(X = 1) &= \binom{2}{1} (0.5)^1 (0.5)^{1} \\ &= 2 \times 0.5 \times 0.5 \\ &= 0.5 \end{align*} \]

• Jika K=2

\[ \begin{align*} P(X = 2) &= \binom{2}{2} (0.5)^2 (0.5)^{0} \\ &= 1 \times 0.25 \times 1 \\ &= 0.25 \end{align*} \]

Peningkatan jumlah percobaan (\(n\)) merupakan faktor kunci yang memengaruhi bentuk Distribusi Binomial. Semakin besar jumlah percobaan (\(n\)) yang dilakukan, Distribusi Binomial akan secara konsisten mendekati bentuk Distribusi Normal (Normal Distribution), yang dicirikan oleh kurva lonceng yang simetris.