Úloha_9

Weather Prediction Analysis

Úvod a údaje

Rozhodla som sa modelovať \(teplotu\) \(v\) \(Budapešti\) ako funkciu troch vysvetľujúcich premenných:

• BASEL_temp_mean — \(teplota\) \(v\) \(Bazileji\) (referenčné mesto)
• BUDAPEST_humidity — \(vlhkosť\) \(v\) \(Budapešti\)
• BUDAPEST_pressure — \(atmosférický\) \(tlak\) \(v\) \(Budapešti\)

Hypotézy:

• \(H1\): Vyššia teplota v Bazileji vedie k vyššej teplote v Budapešti
• \(H2\): Vyššia vlhkosť v Budapešti vedie k nižšej teplote
• \(H3\): Vyšší atmosférický tlak v Budapešti vedie k vyššej teplote

Príprava databázy

# Načítanie knižníc
library(zoo)
library(tseries)
library(lmtest)
library(sandwich)
library(car)
library(dplyr)
library(ggplot2)
rm(list = ls())

# Načítanie údajov
data <- read.csv("weather_prediction_dataset.csv",
                 dec = ".", sep = ",", header = TRUE)

# Konverzia DATE na správny formát dátumu
data$DATE <- as.Date(as.character(data$DATE), format = "%Y%m%d")

# Výber relevantných premenných
data_budapest <- data %>%
  select(DATE, 
         BUDAPEST_temp_mean,
         BASEL_temp_mean,
         BUDAPEST_humidity,
         BUDAPEST_pressure) %>%
  arrange(DATE)

# Kontrola chýbajúcich hodnôt
sum(is.na(data_budapest))

Lineárna regresia

model <- lm(BUDAPEST_temp_mean ~ BASEL_temp_mean + BUDAPEST_humidity + BUDAPEST_pressure,
            data = data_budapest)

summary(model)

Call:
lm(formula = BUDAPEST_temp_mean ~ BASEL_temp_mean + BUDAPEST_humidity + 
    BUDAPEST_pressure, data = data_budapest)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-16.3082  -1.8862   0.1244   2.0250  12.6856 

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        1.787e+02  7.355e+00   24.30   <2e-16 ***
BASEL_temp_mean    9.590e-01  8.484e-03  113.03   <2e-16 ***
BUDAPEST_humidity -8.762e+00  4.148e-01  -21.12   <2e-16 ***
BUDAPEST_pressure -1.685e+02  7.166e+00  -23.52   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 3.29 on 3650 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8586,    Adjusted R-squared:  0.8585 
F-statistic:  7387 on 3 and 3650 DF,  p-value: < 2.2e-16

Odhadnutý lineárny regresný model vykazuje vysoko vysokú celkovú vysvetľujúcu silu, o čom svedčí koeficient determinácie (Multiple R-squared) \(0.8586\), čo znamená, že premenné spolu vysvetľujú \(85.86\)% variability teploty v Budapešti.

Rezíduá:

• Rozsah od \(-16.31\)°C do \(12.69\)°C

• Medián rezíduí je blízko nule - \(0.1244\), čo naznačuje dobrú centrálnu tendenciu

• Kvartily sú relatívne symetrické okolo nuly

Celkový model je štatisticky \(vysoko\) \(významný\).

Posúdenie hypotéz:

• \(H1\): Teplota v Bazileji → Koeficient \(0.959\) je kladný a vysoko významný (\(p < 2e-16\)).

\(Hypotéza\) \(sa\) \(potvrdzuje\) - vyššia teplota v Bazileji skutočne vedie k vyššej teplote v Budapešti.

• \(H2\): Vlhkosť v Budapešti → Koeficient \(-8.762\) je záporný a vysoko významný (\(p < 2e-16\)).

\(Hypotéza\) \(sa\) \(potvrdzuje\) - vyššia vlhkosť vedie k nižšej teplote.

• \(H3\): Atmosférický tlak → Koeficient \(-168.5\) je záporný (oproti očakávanému kladnému) ale vysoko významný (\(p < 2e-16\)).

\(Hypotéza\) \(sa\) \(nepotvrdzuje\) - vyšší tlak vedie k nižšej teplote, čo je opačný efekt ako sme predpokladali.

Porovnanie empirických a fitovaných hodnôt

data_budapest$fitted <- fitted(model)

ggplot(data_budapest, aes(x = DATE, y = BUDAPEST_temp_mean)) +
  geom_point(color = "blue", size = 2) +
  geom_line(aes(y = fitted), color = "red", size = 1) +
  labs(title = "Teplota v Budapešti: Empirické vs Fitované hodnoty",
       x = "Dátum", y = "Teplota (°C)") +
  theme_minimal()

Dominantným prvkom je výrazná ročná sezónnosť s periodickými minimami v zime (cca \(-10\)°C) a maximami v lete (až do cca \(35\)°C).

Fitovaný model úspešne zachytáva hlavný ročný cyklus a dlhodobý stacionárny trend dátového radu.

Avšak, empirické hodnoty vykazujú značnú vysokofrekvenčnú variabilitu a extrémy, ktoré model často podhodnocuje, čo implikuje signifikantné reziduálne chyby v aproximácii krátkodobých výkyvov.

ACF graf rezíduí

res <- residuals(model)

acf(res, lag.max = 12, main = "ACF rezíduí")

Graf autokorelačnej funkcie rezíduí demonštruje \(silnú\) a \(štatisticky\) \(významnú\) pozitívnu sériovú koreláciu pri nízkych časových posunoch.

Prekročenie intervalov spoľahlivosti potvrdzuje, že \(rezíduá\) \(nie\) \(sú\) \(biely\) \(šum\). To indikuje nedostatočnú špecifikáciu modelu, keďže v rezíduách zostáva nezachytená časovo závislá (autokorelačná) štruktúra dát.

Durbin–Watson test

dwtest(model)

    Durbin-Watson test

data:  model
DW = 0.58232, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

• \(DW štatistika = 0.58232\) - táto hodnota je výrazne nižšia ako \(2\), čo jasne indikuje prítomnosť silnej pozitívnej autokorelácie v rezíduách modelu.

• \(p-hodnota < 2.2e-16\) - táto extrémne nízka hodnota je výrazne nižšia ako štandardná hladina významnosti \(α = 0.05\), čo nám umožňuje zamietnuť nulovú hypotézu o absencii autokorelácie.

Breusch–Godfrey test

bgtest(model, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  model
LM test = 1852.7, df = 1, p-value < 2.2e-16

• \(LM test = 1852.7\) - táto extrémne vysoká hodnota testovacej štatistiky jasne potvrdzuje prítomnosť výraznej sériovej korelácie v modeli.

• \(p-hodnota < 2.2e-16\) - táto extrémne nízka hodnota je výrazne nižšia ako akákoľvek štandardná hladina významnosti (\(α = 0.05, 0.01, 0.001\)).

Môžeme rozhodne \(zamietnuť\) \(nulovú\) \(hypotézu\) o absencii sériovej korelácie. Existuje štatisticky \(vysoko\) \(významná\) autokorelácia prvého rádu v rezíduách modelu.

Koyckova transformácia

data_budapest <- data_budapest %>%
  mutate(BUDAPEST_temp_mean_lag1 = lag(BUDAPEST_temp_mean))

model_koyck <- lm(BUDAPEST_temp_mean ~ BASEL_temp_mean + BUDAPEST_humidity + BUDAPEST_pressure +
                    BUDAPEST_temp_mean_lag1,
                  data = data_budapest)

summary(model_koyck)

Call:
lm(formula = BUDAPEST_temp_mean ~ BASEL_temp_mean + BUDAPEST_humidity + 
    BUDAPEST_pressure + BUDAPEST_temp_mean_lag1, data = data_budapest)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-9.296 -1.096  0.148  1.218  7.268 

Coefficients:
                          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)              58.125838   4.366449   13.31   <2e-16 ***
BASEL_temp_mean           0.294767   0.008905   33.10   <2e-16 ***
BUDAPEST_humidity        -3.596009   0.241125  -14.91   <2e-16 ***
BUDAPEST_pressure       -54.489003   4.242025  -12.85   <2e-16 ***
BUDAPEST_temp_mean_lag1   0.704293   0.007964   88.43   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.855 on 3648 degrees of freedom
  (1 пропущенное наблюдение удалено)
Multiple R-squared:  0.955, Adjusted R-squared:  0.955 
F-statistic: 1.936e+04 on 4 and 3648 DF,  p-value: < 2.2e-16

dwtest(model_koyck)

    Durbin-Watson test

data:  model_koyck
DW = 1.5604, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Výrazné zlepšenie modelu:

• \(R-squared = 0.955\) → model vysvetľuje \(95.5\)% variability teploty (v porovnaní s pôvodnými \(85.86\)%)

• Reziduálna smerodajná odchýlka = \(1.855\)°C (výrazné zlepšenie z pôvodných \(3.29\)°C)

• Rozsah rezíduí sa zmenšil z pôvodných \(±16\)°C na \(±9\)°C

Model je \(vysoko\) \(významný\) (\(p < 2.2e-16\)) so všetkými premennými štatisticky významnými.

Analýza koeficientov:

• Oneskorená teplota (\(0.704\)) → silný pozitívny vplyv, teplota z predchádzajúceho dňa vysvetľuje veľkú časť variability

• Teplota v Bazileji (\(0.295\)) → vplyv znížený ale stále vysoko \(významný\)

• Vlhkosť (\(-3.596\)) → vplyv znížený ale stále \(významný\)

• Tlak (\(-54.489\)) → vplyv znížený ale stále \(významný\)

Durbin-Watson test po transformácii:

• \(DW = 1.5604\) → výrazné zlepšenie z pôvodných \(0.58232\)

Hodnota je bližšie k \(2\), čo indikuje slabšiu pozitívnu autokoreláciu.

• \(p-value < 2.2e-16\) → autokorelácia nie je úplne eliminovaná, ale je výrazne redukovaná

Koyckova transformácia výrazne \(zlepšila\) model, ale úplne \(neodstránila\) \(problém\) autokorelácie.

Newey–West robustné štandardné chyby

coeftest(model, vcov = NeweyWest(model))

t test of coefficients:

                     Estimate  Std. Error t value  Pr(>|t|)    
(Intercept)        178.726529   15.407961  11.600 < 2.2e-16 ***
BASEL_temp_mean      0.958971    0.016079  59.641 < 2.2e-16 ***
BUDAPEST_humidity   -8.761963    0.811397 -10.799 < 2.2e-16 ***
BUDAPEST_pressure -168.516112   14.959908 -11.264 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Štandardné chyby sa všetky zvýšili po aplikácii robustnej korekcie:

• Intercept: z \(7.355\) na \(15.408\) (\(2.1×\) vyššia)

• BASEL_temp_mean: z \(0.00848\) na \(0.01608\) (\(1.9×\) vyššia)

• BUDAPEST_humidity: z \(0.4148\) na \(0.8114\) (\(2.0×\) vyššia)

• BUDAPEST_pressure: z \(7.166\) na \(14.960\) (\(2.1×\) vyššia)

Napriek zvýšeniu štandardných chýb, všetky premenné ostávajú vysoko štatisticky \(významné\).

Záver

Analýza potvrdila, že pôvodný model teploty v Budapešti bol štatisticky vysoko významný s vynikajúcou vysvetľujúcou silou (\(R² = 85.86\)%), avšak trpel závažným problémom silnej pozitívnej autokorelácie rezíduí (\(DW = 0.58\), BG test \(p < 2.2e-16\)).

Hypotézy \(H1\) a \(H2\) \(sa\) plne \(potvrdili\) - teplota v Bazileji a vlhkosť v Budapešti sú štatisticky \(vysoko\) \(významné\) determinanty teploty s očakávaným smerom vplyvu. Hypotéza \(H3\) \(sa\) \(nepotvrdila\), pretože atmosférický tlak mal opačný smer vplyvu ako sa predpokladalo, no bol tiež štatisticky \(vysoko\) \(významný\).

Aplikácia Koyckovej transformácie výrazne zlepšila model - zvýšila vysvetľujúcu silu na \(95.5\)% a redukovala autokoreláciu (\(DW = 1.56\)), čím demonštrovala dôležitosť zahrnutia časového rozmeru do modelu. Napriek tomu, autokorelácia nebola úplne eliminovaná.

Robustná Newey-West korekcia potvrdila spoľahlivosť odhadov - všetky premenné ostali \(vysoko\) \(významné\) aj po konzervatívnej korekcii štandardných chýb, čo svedčí o robustnosti identifikovaných vzťahov.

Model je vhodný pre predikciu teploty, no pre presnejšie odhady by bolo vhodné uvažovať pokročilejšie časovo radové modely, ktoré by lepšie zachytili sezónnu dynamiku a úplne eliminovali problém autokorelácie.