Essential of Probability
Assignment ~ Week 10
1 About Essential of Probability
Dalam mempelajari statistika, kita akan selalu berhadapan dengan ketidakpastian, dan seringkali mengandalkan intuisi saja tidak cukup untuk memecahkannya. Oleh karena itu, Probabilitas hadir sebagai pilar utama untuk mengubah sekadar “tebakan” menjadi keputusan yang terukur. Melalui bab Essentials of Probability ini, kita tidak hanya belajar menghitung angka, tetapi juga membangun kerangka berpikir yang sistematis untuk melihat pola dari data yang ada. Tujuannya sederhana yaitu agar kita bisa meninggalkan dugaan-dugaan subjektif dan beralih ke analisis yang didasarkan pada bukti yang kuat dan logis.
Bab ini merangkum enam pilar utama sebagai fondasi analisis kita. Pembahasan dimulai dari konsep dasar seperti ruang sampel dan aturan kejadian, lalu berlanjut ke dinamika antar peristiwa yang membedakan kejadian independen dan dependen serta menghitung peluang gabungan. Selain itu, kita juga akan menelaah interaksi peristiwa yang bersifat eksklusif dan lengkap dalam sebuah ruang sampel.
Sebagai wujud penerapan nyata, pembahasan berlanjut pada Distribusi Binomial, metode standar untuk menganalisis eksperimen dengan hasil biner (sukses/gagal). Proses belajar di bab ini pun didukung oleh video instruksional yang sangat membantu memvisualisasikan materi. Dengan memahami dasar-dasar ini secara matang, kita akan memiliki bekal yang kuat untuk menghadapi analisis statistik lanjutan di masa depan.
2 Fundamental Concept
2.1 Probabilitas
Definisi Probabilitas
Probabilitas (\(P\)) adalah ukuran numerik yang menunjukkan kemungkinan atau peluang suatu peristiwa (\(A\)) akan terjadi, dan merupakan alat utama untuk mengungkapkan ketidakpastian masa depan dalam bentuk angka yang terukur. Nilai probabilitas selalu berada dalam rentang antara 0 hingga 1. \[ 0 \le P(A) \le 1\]
Di mana nilai 0 mengindikasikan bahwa peristiwa tersebut adalah mustahil untuk terjadi, sedangkan nilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa itu pasti akan terjadi. Khususnya, nilai 0,5 sering digunakan untuk melambangkan bahwa peristiwa tersebut memiliki peluang yang seimbang (50:50) untuk terjadi atau tidak terjadi.
Rumus Dasar
Peluang suatu peristiwa (\(A\)) terjadi dihitung dengan membagi jumlah hasil yang menguntungkan dengan total semua kemungkinan hasil yang dapat terjadi dalam ruang sampel.
\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Diinginkan } (n(A))}{\text{Total Kemungkinan Hasil } (n(S))}\]Contoh: Pada pelemparan koin tunggal, ada 2 total hasil yang mungkin (Kepala atau Ekor). Peluang mendapatkan Kepala adalah \(\frac{1}{2}\) atau 0,5.
Contoh Soal: Probabilitas Kartu Heart
Peristiwa Anda memiliki satu dek kartu remi standar (52 kartu) dan ingin mengetahui probabilitas mengambil kartu Heart (hati).
• Ruang Sampel: \(n(S) =
52\)
• Hasil Menguntungkan: \(n(A) = 13\)
\[P(\text{Heart}) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{52}\]
\[P(\text{Heart}) = \frac{1}{4}\]
\[P(\text{Heart}) = 0,25\]
Probabilitas mendapatkan kartu Heart adalah 0,25 atau 25%
Nilai 0,25 menunjukkan bahwa peristiwa ini tidak mustahil (bukan 0) tetapi juga jauh dari kepastian (bukan 1). Secara rata-rata, jika Anda mengulang pengambilan kartu sebanyak 100 kali, Anda akan mendapatkan kartu Heart sebanyak 25 kali.
Konfirmasi Aturan Probabilitas:
Karena ada empat
jenis kartu dengan peluang yang sama, jumlah total probabilitas harus 1:
\[P(\text{Sekop}) + P(\text{Keriting}) + P(\text{Wajik}) + P(\text{Heart}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\]
2.2 Ruang Sample
Definisi Ruang Sampel
Ruang Sampel (dilambangkan dengan \(S\)) adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil yang dapat terjadi dari suatu percobaan (eksperimen acak). Sederhananya, Ruang Sampel adalah daftar lengkap dari segala sesuatu yang bisa Anda dapatkan dari sebuah tes atau kejadian acak.
Konsep Dasar Ruang Sampel
Titik Sampel (Sample
Point)
Setiap anggota atau
elemen tunggal yang ada di dalam Ruang Sampel disebut Titik Sampel.
Titik sampel merupakan hasil dasar yang tidak dapat dibagi lagi dalam
suatu percobaan.
Jumlah Ruang Sampel
(\(n(S)\))
Jumlah total anggota yang ada di dalam
himpunan ruang sampel. Angka ini selalu menjadi penyebut dalam rumus
probabilitas dasar dan merupakan total semua kemungkinan hasil yang
dapat terjadi.
Contoh Ruang Sample
| Percobaan | Ruang Sampel (S) | Titik Sampel | Jumlah Anggota (n(S)) |
|---|---|---|---|
| Melempar Satu Koin | \(\{A, G\}\) | A (Angka), G (Gambar) | 2 |
| Melempar Satu Dadu | \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 6 |
| Melempar Dua Koin | \(\{(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)\}\) | (A,A), (A,G), (G,A), (G,G) | 4 |
Contoh Rinci: Pelemparan Dua Koin
Mengapa Ruang Sampelnya adalah 4?
Koin Pertama
Bisa menghasilkan A atau G
Koin Kedua
Bisa menghasilkan A atau G
Untuk mendapatkan semua kemungkinan gabungan, kita bisa menggunakan Diagram Pohon atau Kaidah Perkalian:
\[n(S) = (\text{Hasil Koin 1}) \times (\text{Hasil Koin 2}) = 2 \times 2 = 4\]
\(\{(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)\}\)
Ruang Sampel adalah dasar dari perhitungan probabilitas. Probabilitas suatu peristiwa (\(A\)) selalu dihitung sebagai rasio antara jumlah hasil yang menguntungkan (\(n(A)\)) dengan jumlah total seluruh hasil (\(n(S)\) - Ruang Sampel).
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]
Tanpa menentukan Ruang Sampel dengan benar, perhitungan probabilitas akan salah.
2.3 The Complement Rule
Aturan Pelengkap (\(P(A')\)) adalah prinsip yang menyatakan bahwa karena total probabilitas dari semua kemungkinan hasil harus selalu sama dengan 1, maka peluang suatu peristiwa tidak terjadi (\(P(A')\)) hanyalah sisa peluang dari 1. Dengan kata lain, untuk mengetahui probabilitas bahwa peristiwa \(A\) tidak akan muncul, kita cukup mengurangkan probabilitas peristiwa itu terjadi (\(P(A)\)) dari 1. Prinsip ini dituliskan sebagai:
\[P(A') = 1 - P(A)\]
Aturan ini sangat efisien untuk menghitung peluang “setidaknya satu” atau peluang peristiwa yang memiliki banyak hasil, karena lebih mudah menghitung peluang yang berlawanan (pelengkapnya) lalu dikurangi dari 1.
3 Independent and Dependent
3.1 Independent Events
3.1.1 Definisi Independent Events (Kejadian Independen)
Kejadian independen adalah kondisi dimana terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian lain.
dimana \(A\) dan \(B\) adalah kejadian independen
3.1.2 Ilustrasi Kejadian Independen
Mendapatkan angka 5
\[P(A) = \frac{1}{6}\]
Mendapatkan Head
\[P(B) = \frac{1}{2}\]
Hasil dadu tidak mempengaruhi hasil koin
Probabilitas Head tetap \(\frac{1}{2}\)
berapapun angka dadu
3.1.3 Rumus Probabilitas Gabungan
Probabilitas gabungan (atau probabilitas iris) untuk dua kejadian dependen (\(A\) dan \(B\)) adalah probabilitas terjadinya kedua kejadian tersebut secara berurutan. Rumus ini menggunakan konsep Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability).
Notasi Matematis
Untuk menghitung probabilitas dua kejadian independen (\(A\) dan \(B\)) terjadi bersama-sama, kita cukup mengalikan probabilitas individu mereka: \[\text{P}(A \text{ dan } B) = \text{P}(A) \times \text{P}(B)\]Keterangan
| Notasi | Dibaca | Arti |
|---|---|---|
| \(P(A \cap B)\) | “P dari A irisan B” | Probabilitas terjadinya \(A\) dan \(B\) secara bersamaan |
| \(P(A)\) | “P dari A” | Probabilitas terjadinya kejadian \(A\) |
| \(P(B|A)\) | “P dari B diberikan A” | Probabilitas \(B\) terjadi jika \(A\) sudah terjadi |
3.2 Dependent Events
3.2.1 Kejadian Dependen (Dependent Events)
DEFINISI Kejadian dependen adalah kondisi di mana terjadinya satu kejadian (misalnya, Kejadian A) akan memengaruhi probabilitas terjadinya kejadian berikutnya (Kejadian B).
Rumus Probabilitas Gabungan \[\text{P}(A \text{ dan } B) = \text{P}(A) \times \text{P}(B \text{ setelah } A \text{ terjadi})\]
Probabilitas dua kejadian dependen terjadi bersama-sama dihitung dengan mengalikan probabilitas \(A\) dengan probabilitas \(B\) bersyarat.
Contoh Soal: Pengambilan Kelereng Sebuah kotak
berisi 10 kelereng:
• 7 kelereng hijau
• 3 kelereng biru
Ambil 2 kelereng tanpa pengembalian
Berapa probabilitas mengambil hijau pertama, kemudian biru kedua?
P(Hijau pertama)
\(\frac{7}{10}\)
7 hijau dari 10
kelereng
P(Biru kedua)
\(\frac{3}{9}\)
3 biru dari 9
sisa
Probabilitas Gabungan:
\(P(A \cap B) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} =
\frac{21}{90} = \frac{7}{30}\)
4 Union of Events
4.1 Konsep Irisan (Intersection)
Probabilitas Irisan (\(P(A \cap B)\)): Probabilitas terjadinya kejadian \(A\) DAN kejadian \(B\) secara bersamaan (area yang tumpang tindih). Ini adalah bagian yang harus dikurangi dalam rumus gabungan.
4.2 Probabilitas Gabungan (Union)
Definisi: Probabilitas Gabungan adalah konsep probabilitas yang menghitung peluang bahwa setidaknya salah satu dari dua kejadian akan terjadi. Konsep ini menjawab pertanyaan yang mengandung kata kunci “ATAU” (misalnya, peluang mendapatkan hasil \(A\) atau hasil \(B\)).
4.3 Hukum Penjumlahan (Addition Rule)
\[P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B)\]
Tujuan Pengurangan \(P(A \text{ dan } B)\): Untuk menghilangkan hasil yang dihitung dua kali, yaitu hasil yang berada di irisan kedua kejadian.
5 Exclusive and Exhaustive
5.1 Konsep Dasar
Pada sub bab Exclusive and Exhaustive membahas dua konsep fundamental dalam teori probabilitas, yaitu Kejadian Saling Eksklusif (Mutually Exclusive Events) dan Kejadian Menyeluruh (Exhaustive Events). Pemahaman terhadap kedua konsep ini sangat penting untuk menganalisis berbagai kemungkinan hasil dalam suatu percobaan.
5.2 Kejadian Saling Eksklusif (Mutually Exclusive Events)
Kejadian Saling Eksklusif adalah dua kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Keduanya tidak memiliki irisan (overlap) sama sekali.
Melempar sebuah koin. Mendapatkan sisi Kepala (Head) dan mendapatkan sisi Ekor (Tail) adalah kejadian yang saling eksklusif.
A
B
Dua lingkaran terpisah tanpa irisan
\(P(A
\cap B) = 0\)
\[P(A \cap B) = 0\]
5.3 Kejadian Menyeluruh (Exhaustive Events)
Kejadian Menyeluruh adalah sekumpulan kejadian yang, ketika digabungkan, mencakup seluruh Ruang Sampel.
Melempar dadu:
• A: Bilangan Genap ({2,4,6})
•
B: Bilangan Ganjil ({1,3,5})
A
B
Gabungan A dan B mencakup seluruh ruang sampel
\(P(A \cup B) = 1\)
\[P(A \cup B) = 1\]
5.4 Kejadian Saling Eksklusif dan Menyeluruh
Kejadian yang bersifat Saling Eksklusif dan Menyeluruh sekaligus merupakan kejadian yang sempurna untuk membagi ruang sampel.
Saling Eksklusif
Tidak ada tumpang
tindih
\[P(A \cap B) =
0\]
Menyeluruh
Mencakup semua
kemungkinan
\[P(A \cup B) =
1\]
5.5 Kejadian Komplemen (Complementary Events)
Jika \(A\) adalah sebuah kejadian, maka \(A'\) (A komplemen) adalah kejadian di mana \(A\) tidak terjadi.
Ruang sampel dibagi sempurna menjadi A dan A’
\(P(A) + P(A') = 1\)
Dalam melempar dadu:
• \(A\):
Mendapatkan angka 4 → \(P(A) =
1/6\)
• \(A'\): Tidak
mendapatkan angka 4 → \(P(A') =
5/6\)
• \(P(A) + P(A') = 1/6 +
5/6 = 1\)
\[P(A) + P(A') = 1\] \[\text{atau}\] \[P(A') = 1 - P(A)\]
6 Binomial Experiment
6.1 Definisi
Distribusi Probabilitas Binomial adalah konsep kunci dalam statistik dan probabilitas yang memungkinkan kita menghitung probabilitas hasil tertentu dalam serangkaian percobaan yang diulang. Konsep utamanya berputar pada dua hasil yang mungkin (binomial), yaitu sukses atau gagal.
6.2 Lingkungan Binomial (The Binomial Setting)
Sebelum dapat menggunakan rumus binomial, suatu eksperimen harus memenuhi empat kondisi ketat yang disebut sebagai Lingkungan Binomial. Eksperimen yang memenuhi keempat syarat ini disebut Percobaan Binomial.
Jumlah percobaan harus tetap (fixed) dan diketahui sejak awal
Contoh: Melempar koin sebanyak 10 kali, maka \(n=10\)
Setiap percobaan harus memiliki dua hasil yang terpisah dan saling
eksklusif:
• Sukses (Success): Hasil yang kita
amati atau hitung probabilitasnya
• Gagal
(Failure): Semua hasil lain selain sukses (komplemen)
Contoh: Dalam pelemparan koin, jika “Kepala” = Sukses,
maka “Ekor” = Gagal
Probabilitas sukses (\(p\)) harus sama
untuk setiap percobaan
Probabilitas gagal dilambangkan dengan \(1-p\) atau \(q\)
Hasil satu percobaan tidak boleh memengaruhi hasil percobaan
berikutnya
Contoh Penting: Dalam pengambilan
sampel, syarat ini terpenuhi jika dilakukan dengan pengembalian
(with replacement)
6.3 Rumus Probabilitas Binomial
\[P(K) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
| Simbol | Penjelasan | Interpretasi |
|---|---|---|
| \(P(K)\) | Probabilitas mendapatkan tepat \(K\) sukses | Hasil akhir yang dicari |
| \(\binom{n}{k}\) | Kombinasi (\(n\) choose \(k\)) | Jumlah cara berbeda untuk mendapatkan \(K\) sukses |
| \(p^k\) | Probabilitas sukses dipangkatkan | Probabilitas urutan sukses spesifik |
| \((1-p)^{n-k}\) | Probabilitas gagal dipangkatkan | Probabilitas urutan gagal spesifik |
Untuk mendapatkan 2 kepala dari 3 lemparan koin, ada 3 cara berbeda: H-T-T, T-H-T, T-T-H
6.4 Aplikasi Rumus: Studi Kasus Kelereng
Pengambilan
5 kelereng dengan pengembalian
Probabilitas
\(P(\text{hijau}) = 0.2\)
Target
2 kelereng hijau (\(k=2\))
\(n = 5\)
Jumlah
percobaan
\(k = 2\)
Jumlah
sukses
\(p =
0.2\)
Probabilitas sukses
\[P(2) = \binom{5}{2} \cdot (0.2)^2 \cdot (1-0.2)^{5-2}\]
Langkah 1: Kombinasi
\(\binom{5}{2} = 10\)
Langkah 2: Probabilitas
\(P(2) = 10 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^3\)
\(P(2) = 10 \cdot 0.04 \cdot 0.512 = 0.2048\)
Probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau adalah 0.2048 atau 20.48%
7 Binomial Distribution
7.1 Definisi Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan tetap yang independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.
Sub Bab ini adalah jembatan yang menghubungkan perhitungan probabilitas binomial dengan konsep statistik yang lebih luas, yaitu Distribusi Normal. Intinya adalah menunjukkan bagaimana visualisasi suatu distribusi Binomial berubah berdasarkan dua parameter utamanya, yaitu jumlah percobaan (\(n\)) dan probabilitas sukses (\(p\)), serta kapan kita dapat menggunakan Distribusi Normal sebagai perkiraan.7.2 Rumus Binomial
\[P(K) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
\(K\)
jumlah sukses yang dicari
\(n\)
jumlah total percobaan
\(p\)
probabilitas sukses
\(n = 2\)
koin dilempar dua kali
\(p = 0.5\)
sukses = “mendapatkan sisi Kepala”
\(K = 0,1,2\)
nilai K yang mungkin
7.3 Parameter Kunci Distribusi Binomial
\[\mu = n \cdot p\]
Jumlah sukses yang paling mungkin terjadi
\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\]
Mengukur sebaran dari rata-rata
7.4 Pengaruh \(n\) dan \(p\) terhadap Bentuk Distribusi
Semakin besar nilai \(n\), semakin bentuk Distribusi Binomial mendekati Distribusi Normal dengan bentuk lonceng yang simetris.
Nilai \(p\) mengontrol simetri atau kemiringan (skewness) distribusi.
| Nilai \(p\) | Bentuk Distribusi | Interpretasi |
|---|---|---|
| \(p = 0.5\) | Simetris (Normal) | Peluang sukses dan gagal sama (50%) |
| \(p < 0.5\) | Miring ke Kanan | Probabilitas sukses rendah |
| \(p > 0.5\) | Miring ke Kiri | Probabilitas sukses tinggi |
7.5 Aproksimasi Normal ke Binomial
Kita dapat mengasumsikan Distribusi Binomial dapat diaproksimasi oleh Distribusi Normal jika memenuhi dua pedoman berikut secara bersamaan:
1. \(n \cdot p \ge 10\)
2. \(n \cdot (1-p) \ge 10\)
Dengan memenuhi kedua kondisi ini, penghitungan probabilitas menjadi jauh lebih mudah karena kita dapat beralih dari rumus binomial yang rumit → rumus/tabel Distribusi Normal yang standar.
8 Reference
[1]Illowsky, B., & Dean, S. (2021). Introductory Statistics. OpenStax. Tautan: https://openstax.org/details/books/introductory-statistics
[2]Devore, J. L. (2020). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (10th ed.). Cengage Learning. Tautan: https://www.cengage.com/c/probability-and-statistics-for-engineering-and-the-sciences-9781305251809/