1 Pendahuluan

2 Rangkuman Materi

contoh dasar : pelemparan koin

untuk satu kali pelemparan koin:

• Hasil menguntungkan: Mendapatkan sisi kepala = 1 hasil
• Hasil yang mungkin: Kepala atau ekor = 2 hasil

Peluang:

\[ P(heads) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\% \]

dengan cara yang serupa:

\[ P(tails) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\% \]

Probabilitas mendapatkan kepala pada kedua lemparan:

\[ P(\text{two heads}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 = 25\% \]

Perkalian ini sah karena kedua lemparan bersifat independen.

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan lengkap semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Ruang Sampel Dua Lemparan Koin

• 0 Kepala = TT

• 1 Kepala = HT + TH

• 2 Kepala = HH

Contoh Diagram Ruang

Semua kemungkinan hasil ketika melempar koin dua kali:

• HH (Kepala, Kepala)

• HT (Kepala, Ekor)

• TH (Ekor, Kepala)

• TT (Ekor, Ekor)

Total kemungkinan hasil: 4

Menghitung Probabilitas Setiap Hasil

Setiap hasil dihitung dengan mengalikan probabilitas per lemparan:

Probabilitas Dua Kali Lempar Koin

Aturan‑Aturan Probabilitas dan Kondisi

Dua Kondisi Fundamental

1. Rentang Probabilitas: Semua probabilitas berada di antara 0 dan 1 (inklusif)

• 0. berarti peristiwa tidak pernah terjadi
• 1. berarti peristiwa selalu terjadi
• (0.5) berarti peristiwa terjadi 50 % waktu

2. Jumlah Probabilitas: Jumlah probabilitas semua hasil yang mungkin harus sama dengan Rumus Umum Probabilitas

• Acara tunggal:

  \[ P(A) = \frac{\text{outcomes in A}}{\text{total outcomes in sample space}} \]

• Berbagai acara:

  \[ P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \quad \text{(for independent events)} \]

Aturan Komplemen

Aturan komplemen menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi probabilitas peristiwa itu terjadi.

Rumus komplemennya adalah:

\[ P(A') = 1 - P(A) \]

di mana \(A'\) mewakili “bukan A”

Contoh: Peluang Tidak Mendapatkan Dua Sisi Ekor

Menggunakan aturan komplemen:

• \[P(\text{not two tails}) = 1 - P(\text{two tails})\]

• \[P(\text{not two tails}) = 1 - 0.25 = 0.75 = 75\%\]

Metode alternatif: Menjumlahkan probabilitas hasil

Terdapat tiga hasil yang menguntungkan (HH, HT, TH) yang masing-masing memiliki probabilitas \(\frac{1}{4}\):

\[ \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \right) \]

2.2 Mandiri dan Bergantung

Poin‑Poin Utama

• Membedakan peristiwa mandiri dari bergantung

• Menerapkan rumus probabilitas seperti:

• Untuk acara independen:

  \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \]

• Untuk acara dependen:

  \[ P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A) \]

• Contoh langkah‑demi‑langkah dengan dadu, koin, dan kelereng

• Tabel ringkasan definisi, rumus, dan ciri‑ciri utama

Peristiwa mandiri vs Peristiwa bergantung

Peristiwa mandiri

Peristiwa mandiri adalah peristiwa di mana terjadinya satu peristiwa tidak memengaruhi probabilitas peristiwa lain.

Ciri‑ciri utama:

• Hasil satu peristiwa tidak berpengaruh pada hasil peristiwa lain

• Probabilitas tetap konstan terlepas dari peristiwa lain

Contoh: Melempar dadu dan melempar koin

• Mendapat 6 pada dadu tidak mengubah peluang mendapatkan kepala atau ekor pada koin

• Probabilitas kepala tetap 0,5 apa pun hasil dadu

Rumus untuk peristiwa mandiri:

Rumus untuk peristiwa independen:

\[ P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh terapan: Berapa peluang mendapatkan angka 5 pada dadu dan kepala pada koin?

1. \[ P(\text{rolling 5}) = \frac{1}{6} \quad \text{(1 favorable outcome out of 6 possible)} \]

2. \[ P(\text{heads}) = \frac{1}{2} \quad \text{(1 favorable outcome out of 2 possible)} \]

3. \[ P(5 \text{ and heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = 0.0833 \]

Peristiwa bergantung

Peristiwa bergantung adalah peristiwa di mana terjadinya satu peristiwa mempengaruhi probabilitas peristiwa lain.

Ciri‑ciri utama:

• Hasil satu peristiwa mempengaruhi hasil peristiwa berikutnya

• Probabilitas berubah setelah setiap peristiwa

• Umumnya terjadi ketika barang diambil tanpa pengembalian

Contoh: Mengambil kelereng dari kotak tanpa pengembalian

Kotak berisi: 7 kelereng hijau dan 3 kelereng biru (total 10)

Rumus untuk peristiwa bergantung:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) \]

Contoh terapan 1: Berapa peluang mengambil kelereng hijau lalu kelereng biru tanpa pengembalian?

1. Pengambilan pertama (hijau):

\[ P(A) = \frac{7}{10} \]

2. Setelah mengambil hijau, tersisa 9 kelereng (6 hijau, 3 biru)

\[ P(B \mid A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

3. Probabilitas keduanya =

\[ \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{30} \]

Contoh terapan 2: Berapa peluang mengambil dua kelereng hijau tanpa pengembalian?

1. Pengambilan pertama:

\[ P(A) = \frac{7}{10} \]

2. Setelah mengambil hijau pertama, tersisa 9 kelereng (6 hijau) →

\[ P(B \mid A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

3. Peluang gabungan:

\[ P(\text{dua hijau}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0.4667 \]

2.3 Kesatuan Peristiwa

Contoh Definisi Ruang

Ruang sampel adalah keseluruhan himpunan hasil dalam suatu percobaan statistik.

Contoh dengan Dadu

• Satu dadu bersisi enam: 6 hasil → 1, 2, 3, 4, 5, 6
  
• Dua dadu bersisi enam: \(6 \times 6 = 36\) hasil yang mungkin

Rumus Probabilitas

\[ Probability = \frac{Total\ number\ of\ favorable\ outcomes} {Total\ number\ of\ possible\ outcomes} \]

Contoh Perhitungan

Rumus Acara Independen

Untuk kejadian independen A dan B:

\[ P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh: Peluang munculnya dua angka enam:

Rumus Probabilitas

\[ \text{Probability} = \frac{Total\ number\ of\ favorable\ outcomes} {Total\ number\ of\ possible\ outcomes} \]

Contoh Perhitungan

Rumus Acara Independen

Untuk kejadian independen A dan B:

\[ P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh: Peluang munculnya dua angka enam:

• \[P(\text{six}) = \frac{1}{6}\]

• \[P(\text{two sixes}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\]

Persatuan Acara

Gabungan kejadian menghitung probabilitas terjadinya kejadian A atau kejadian B

Indikator Kunci

Carilah kata atau dalam pertanyaan probabilitas

Rumus gabungan

\[ P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B) \]

Contoh Lengkap: Dua Angka Genap ATAU Setidaknya Satu Dua

Informasi yang Diberikan

• \(P(\text{two even numbers}) = \dfrac{9}{36}\)
• \(P(\text{at least one two}) = \dfrac{11}{36}\)
• \(P(\text{two even numbers AND at least one two}) = \dfrac{5}{36}\)

Perhitungan

\(P(\text{dua angka genap ATAU setidaknya satu angka dua}) = \dfrac{9}{36} + \dfrac{11}{36} - \dfrac{5}{36} = \dfrac{15}{36} = 0.4167\)

Visualisasi Diagram Venn

Komponen

• Persegi Panjang: Mewakili ruang sampel lengkap (100% atau 1,0)
• Lingkaran A: Mewakili hasil Peristiwa A
• Lingkaran B: Mewakili hasil Peristiwa B
• Perpotongan: Mewakili hasil di mana kedua peristiwa terjadi

Daerah dalam Contoh

• Dua bilangan genap:
  \[\frac{9}{36} = 0.25 \; ( 25 \%)\]

• Setidaknya satu dua:
  \[\frac{11}{36} = 0.3056 \; ( 31 \%)\]

• Persimpangan:
  \[\frac{5}{36} = 0.1389 \; ( 14 \%)\]

• Serikat:
  \[\frac{15}{36} = 0.4167 \; ( 42 \%)\]

2.4 Eksklusif dan Lengkap

Karakteristik Utama:

• Disebut juga peristiwa terpisah

• Dalam diagram Venn, lingkaran-lingkaran tidak saling tumpang tindih

• Peluang terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah 0

Definisi Matematika:

Dua kejadian A dan B saling eksklusif jika dan hanya jika:

\[ P(A \cap B) = 0 \]

Contoh dengan Dua Dadu

Ruang sampel: 36 kemungkinan hasil ketika melempar dua dadu bersisi enam

Peristiwa A: Menggulirkan setidaknya satu angka 5

• 11 hasil dari ruang sampel

• \[ P(A) = \frac{11}{36} \] Peristiwa B: Jumlahnya kurang dari 4

• 3 hasil dari ruang sampel

• \[ P(B) = \frac{3}{36} \]

Hasil: Peristiwa-peristiwa ini terpisah karena tidak memiliki hasil yang sama

\[ P(B) = \frac{3}{36} \]

Acara yang Lengkap

Peristiwa lengkap adalah peristiwa yang memuat semua hasil dalam ruang sampel. Secara keseluruhan, peristiwa-peristiwa tersebut mencakup seluruh ruang sampel.

Karakteristik Utama:

• Tidak ada celah atau area yang tidak disorot dalam diagram Venn

• Seluruh ruang sampel tercakup

• Probabilitas gabungan sama dengan 1

Definisi Matematika:

• Peristiwa A dan B bersifat lengkap jika:

\[ P(A \cup B) = 1 \]

Contoh dengan Dua Dadu

Peristiwa A: Menggulirkan setidaknya satu angka 6

• 11 Hasil

• \[ P(A) = \frac{11}{36} \]

Peristiwa B: Jumlahnya kurang dari 11

• 33 hasil

• \[ P(A) = \frac{33}{36} \] Hasil: Setiap hasil dalam ruang sampel disorot, membuat peristiwa ini lengkap

Rumus Penting

Rumus probabilitas gabungan dua kejadian:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Verifikasi peristiwa lengkap:

Nilai Peluang

• \(P(A) = \frac{11}{36}\)
• \(P(B) = \frac{33}{36}\)
• Overlap: \(P(A \cap B) = \frac{8}{36}\) (8 overlapping outcomes)

Perhitungan \(P(A \cup B)\)

\[ P(A \cup B) = \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = \frac{36}{36} = 1 \]

Peristiwa yang Saling Eksklusif dan Lengkap

Kasus Khusus: Peristiwa bisa bersifat saling eksklusif DAN menyeluruh

Contoh: Jumlah Genap vs. Jumlah Ganjil

Peristiwa A: Jumlahnya genap

• 18 hasil

• \[ P(A) = \frac{18}{36} \]

Peristiwa B: Jumlahnya ganjil

• 18 hasil

• \[ P(B) = \frac{18}{36} \]

Hasil:

• Saling eksklusif: Tidak ada tumpang tindih, \[ P(A \cap B) = 0 \]

Lengkap: Mencakup seluruh ruang sampel, \[ P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{18}{36} - 0 = 1 \]

Tabel Ringkasan

2.5 Eksperimen Binomial

Pengaturan Binomial

Agar suatu percobaan disebut binomial, harus memenuhi empat kondisi:

Tabel Kondisi

Contoh Lempar Koin

Masalah: Lempar koin biasa 3 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 1 kepala?

Pendekatan:

• Ada tiga susunan yang menghasilkan tepat 1 kepala:

1. H T T
2. T H T
3. T T H

• Probabilitas tiap urutan: \[ 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

• Total probabilitas: \[ 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \]

Pengaturan Binomial

Agar suatu percobaan disebut binomial, harus memenuhi empat kondisi:

Kondisi Distribusi Binomial

Contoh Lempar Koin

Masalah: Lempar koin biasa 3 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 1 kepala?

Pendekatan:

• Ada tiga susunan yang menghasilkan tepat 1 kepala:

1. H T T
2. T H T
3. T T H

• Probabilitas tiap urutan: \[ 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

• Total probabilitas: \[ 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \]

Verifikasi binomial:

• ✓ Percobaan tetap (3 kali)
• ✓ Dua hasil (kepala/gagal)
• ✓ Probabilitas konstan \((p = \tfrac{1}{2})\)
• ✓ Independensi (lemparan satu tidak memengaruhi yang lain)

Contoh Penarikan Marmer

Masalah: Kotak berisi 10 marmer (3 merah jambu, 2 hijau, 5 biru). Ambil 5 marmer dengan penggantian. Berapa peluang tepat 2 marmer hijau?

Verifikasi binomial:

• ✓ Percobaan tetap (5 kali)
• ✓ Dua hasil (hijau / bukan hijau)
• ✓ Probabilitas konstan \((p = \tfrac{2}{10} = 0.2)\)
• ✓ Independensi (penggantian menjamin independensi)

Perhitungan manual:

• Probabilitas satu urutan dengan 2 hijau dan 3 bukan‑hijau: \[ 0.2^2 \times 0.8^3 = 0.02048 \]
• Jumlah urutan semacam itu: 10
• Probabilitas total: \[ 10 \times 0.02048 = 0.2048 \]

Rumus Binomial

Rumus binomial memberi cara cepat menghitung probabilitas:

\[ P(k) = {n \choose k} \, p^{k} \, (1 - p)^{\,n-k} \]

dimana:

• 14. = jumlah percobaan
• 11. = jumlah sukses yang diinginkan
• 16. = probabilitas sukses pada tiap percobaan
• \[ \binom{n}{k} = \text{combination formula (n choose k)} \]

Penerapan pada contoh marmer:

• \(n = 5,\ k = 2,\ p = 0.2\)

• \(P(2) = \binom{5}{2} \times 0.2^2 \times 0.8^3\)

• \(P(2) = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048\)

2.6 Distribusi Binomial

Ulasan Rumus Binomial

Rumus binomial menghitung probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan:

Rumus probabilitas binomial: \[ P(k\ \text{successes}) = C(n,k)\, p^k\, (1-p)^{n-k} \]

di mana

• k = jumlah keberhasilan
• n = jumlah percobaan
• p = probabilitas keberhasilan pada satu percobaan

Contoh: Skenario Melempar Koin

Jika melempar koin 2 kali dengan keberhasilan = munculnya sisi kepala:

• n = 2 (dua percobaan)
• p = 0,5 (probabilitas muncul kepala)
• k = dapat bernilai 0, 1, atau 2

Probabilitas yang dihitung:

• \(P(0\ \text{heads}) = 0.25\)
• \(P(1\ \text{head}) = 0.50\)
• \(P(2\ \text{heads}) = 0.25\)

Visualisasi Distribusi Binomial

Representasi Diagram Batang Dasar

Membuat diagram batang dengan:

Sumbu‑x: Jumlah keberhasilan (nilai k) Sumbu‑y: Probabilitas masing‑masing jumlah keberhasilan

Diagram ini menampilkan massa probabilitas untuk tiap kemungkinan hasil.

Pengaruh Penambahan Jumlah Percobaan

Ketika n = 10 (10 kali lempar koin):

• Distribusi mulai menyerupai distribusi normal
• Rata‑rata terpusat di sekitar 5 keberhasilan
• Bentuknya menjadi lebih “lonceng” seiring bertambahnya n

Parameter‑Parameter Distribusi Binomial

Karakteristik Bentuk dan Nilai p

Dampak Probabilitas Keberhasilan (p)

1. Jika p = 0,5:

• Distribusi simetris
• Bentuk “lonceng” dan terpusat
• Mirip dengan distribusi normal

2. Jika p < 0,5 (mis. p = 0,1):

• Distribusi condong ke kanan (right‑skewed)
• Probabilitas keberhasilan kecil lebih tinggi
• Contoh: hanya 10 % peluang berhasil

3. Jika p > 0.5 (mis. p = 0,8):

• Distribusi condong ke kiri (left‑skewed)
• Probabilitas keberhasilan besar lebih tinggi

Pengelompokan Data

Data selalu berkumpul di sekitar rata‑rata (μ):

• Untuk p = 0,5 dan n = 20, μ = 10
• Untuk p = 0,2 dan n = 20, μ = 4
• Untuk p = 0,8 dan n = 20, μ = 16

Pedoman Pendekatan Normal

Syarat‑syarat Pendekatan Normal

Distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal bila kedua kondisi berikut terpenuhi:

1. \(n \times p \ge 10\)

2. \(n \times (1 - p) \ge 10\)

Distribusi Skewed vs. Simetris

• Distribusi skewed membutuhkan nilai n yang lebih besar agar mendekati normal.
• Distribusi simetris (p ≈ 0,5) mendekati normal lebih cepat.
• Semakin besar n, semakin mendekati bentuk distribusi normal, terlepas dari nilai p.