Probabilitas didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian, dengan
istilah kunci seperti percobaan (pengamatan proses yang menghasilkan
hasil tak pasti), outcome (hasil spesifik), dan event (kumpulan
outcome).Konsep ini membantu pengambilan keputusan di tengah
ketidakpastian, seperti analisis saham atau peluang sukses produk
Pendekatan relatif menggunakan frekuensi relatif dari percobaan
berulang, sementara pendekatan subjektif bergantung pada
penilaian pribadipendekatan relatif menggunakan frekuensi relatif dari
percoban berulang,sementara pendekatansubjektif bergantung pada nilai
pribadi litas adalah ilmu matematika yang mengukur kemungkinan atau
peluang terjadinya suatu peristiwa yang tidak pasti. Ini adalah alat
yang memungkinkan kita untuk bergerak dari sekadar menebak menjadi
perhitungan berdasarkan bukti.
*-konsep paling mendasar, yaitu peluang atau kemungkinan suatu
kejadian akan terjadi. sederhana dihitung dengan membandingkan hasil
yang kita inginkan dengan semua hasil yang mungkin.Pentingnya:
Probabilitas mengubah ketidakpastian menjadi a fondasi dari seluruh
teori probabilitas. Ini menjelaskan bagaimana kita mendefinisikan Ini
adalahpeluang dan apa saja unsur-unsur yang membentuk perhitungan
tersebut. ngka yang terukur (antara 0 hingga 1).
Rumus Inti:
\[P(E) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang
Menguntungkan}}{\text{Jumlah Total Hasil yang Mungkin}}\]Contoh: Peluang mendapatkan sisi ‘Ekor’ saat melempar
koin.Hasil Menguntungkan (Ekor):
1.Total Hasil: 2 (Kepala dan Ekor)
\(P(\text{Ekor}) = 1/2 = 0.5\)
2. Ruang Sampel (Sample Space, \(S\)):
Ruang Sampel adalah koleksi lengkap dari semua hasil yang mungkin
terjadi dari suatu percobaan. Ini adalah penentu nilai penyebut
(pembagi) dalam rumus probabilitas.Pentingnya: Ruang sampel
mendefinisikan “alam semesta” dari percobaan kita. Tanpa mendefinisikan
\(S\), kita tidak bisa tahu total
kemungkinan yang ada.
Contoh:Percobaanmelempar sebuah dadu enam sisi:
\[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\] Percobaan
melempar koin dua kali : \[S =
\{\text{HH,HT,TH,TT}\}\]
3. Kejadian (Event, \(E\)): Kejadian adalah satu set
hasil spesifik dari ruang sampel yang kita amati atau kita hitung
peluangnya. Ini adalah penentu nilai pembilang dalam rumus
probabilitas.Pentingnya: Kejadian adalah fokus perhitungan kita.Contoh
(dari pelemparan dadu):
Kejadian A: Munculnya bilangan prima. \(A =
\{2, 3, 5\}\) Kejadian B: Munculnya bilangan lebih dari 4. \(B = \{5, 6\}\)
4. Aturan Komplemen (Complement Rule):
Aturan Komplemen sangat berguna untuk mencari peluang suatu kejadian
TIDAK terjadi. Komplemen (\(A^c\) atau
\(A'\)) mencakup semua hasil di
ruang sampel yang bukan merupakan kejadian \(A\).
Logika: Karena jumlah total probabilitas semua hasil dalam ruang
sampel adalah 1, maka peluang \(A\)
terjadi ditambah peluang \(A\) tidak
terjadi pasti sama dengan 1.
Rumus:\[\mathbf{P(A^c) =
1 - P(A)}\]
Contoh: Jika peluang mendapatkan angka 6 adalah
\(1/6\), maka peluang tidak mendapatkan
angka 6
3 . Independent And
Dependent Events
a. Independent Events (Peristiwa Independen)
Peristiwa Independen adalah dua kejadian yang tidak saling
mempengaruhi. Artinya, hasil kejadian pertama tidak mengubah peluang
kejadian kedua.
Contoh: Melempar koin dan melempar dadu Mengambil
bola dari kotak dengan pengembalian
Ciri utama:
P(A B) = P(A) P(B)
b. Dependent Events (Peristiwa Dependen)
Peristiwa Dependen adalah dua kejadian di mana hasil kejadian pertama
mempengaruhi peluang kejadian kedua. Peluang kejadian kedua berubah
karena informasi dari kejadian pertama.
Contoh:
Mengambil kartu tanpa pengembalian
Mengambil bola dari kantong, tidak dikembalikan
Ciri utama:
P(A B) = P(A) P(B|A)
Di mana = peluang B terjadi setelah A terjadi.
a. Interpretasi Independent Events
Pada kejadian independen, setiap percobaan berdiri sendiri. Informasi
dari percobaan pertama tidak memberi pengaruh apa pun pada peluang
percobaan berikutnya.
Interpretasi matematis: Jika kamu ingin menghitung
peluang dua kejadian independen terjadi bersama, cukup mengalikan
peluang masing-masing kejadian.
Contoh interpretasi: Jika peluang dapat angka 4 dari
dadu adalah 1/6 dan peluang koin muncul Kepala adalah 1/2, maka peluang
dua-duanya terjadi adalah: 1 x 1= 1, 6 x 2 = 12
b. Interpretasi Dependent Events
Pada kejadian dependen, peluang percobaan kedua berubah setelah
percobaan pertama dilakukan. Artinya, percobaan pertama “mengurangi”
atau “mengubah” jumlah kemungkinan pada percobaan kedua.
Interpretasi matematis: Kita harus memakai peluang
bersyarat , karena peluang B tergantung pada A.
Contoh interpretasi: Mengambil kartu tanpa
pengembalian: Jika kartu As sudah diambil di percobaan pertama, peluang
mengambil As di percobaan kedua menjadi 0, karena kartu itu sudah tidak
ada.
4 . Union of Events
Union of Events adalah kejadian gabungan antara dua kejadian A dan B,
di mana A ∪ B terjadi jika minimal salah satu dari A atau B terjadi.
Dengan kata lain: A terjadi, atau . B terjadi, atau.
Keduanya terjadi sekaligus
Union digunakan untuk menghitung peluang minimal satu kejadian
terjadi.
Contoh: Peluang muncul angka genap atau angka lebih
dari 4 pada dadu.
Peluang siswa lulus ujian Matematika atau Bahasa Inggris.
2. Rumus Union of Events (Umum)
Untuk dua kejadian A dan B:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Keterangan:
= peluang kejadian A
= peluanang kejadian B
= peluang kedua kejadian terjadi bersamaan
Kenapa dikurangi? Karena bagian yang tumpang tindih dihitung dua
kali, sehingga harus dikurangi sekali.
3. Kasus Khusus — Mutually Exclusive (Saling
Meniadakan)
Jika A dan B tidak bisa terjadi bersamaan, maka:
P(A B) = 0
Sehingga rumus menjadi:
P(A B) = P(A) + P(B)
4. Interpretasi
Rumus union digunakan untuk mengetahui peluang terjadinya salah satu
dari beberapa kejadian, bukan hanya salah satu secara spesifik, tetapi
minimal salah satu.
Contoh interpretasi: Jika kita hitung peluang mendapatkan angka genap
atau angka >3 pada dadu, dan hasilnya 4/6, maka:
Artinya: Dari semua kemungkinan nilai pada dadu, ada 4 dari 6
kemungkinan (≈ 66.7%) bahwa nilai yang muncul memenuhi “A atau B”. Union
memberi pemahaman tentang probabilitas kejadian gabungan, terutama
ketika kejadian memiliki bagian yang tumpang tindih.
5. Contoh Perhitungan:
A = muncul angka genap {2,4,6} → P(A) = 3/6 B = muncul angka >3
{4,5,6} → P(B) = 3/6
\(A ∩ B = {4,6} → P(A ∩ B) = 2/6\)\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} -
\frac{2}{6} = \frac{4}{6}\]
Interpretasi: Ada peluang 66.7% bahwa dadu menunjukkan angka yang
genap atau lebih dari 3.
5 . Exclusive and
Exhautive
1. Peristiwa Independen (Independent Events)
Peristiwa Independen adalah dua kejadian di mana hasil dari kejadian
pertama tidak memengaruhi probabilitas terjadinya kejadian kedua. Sifat:
Hasil kedua kejadian berdiri sendiri dan tidak saling berkaitan.
Contoh: Melempar dadu dan melempar koin. Jika dadu
menunjukkan angka 6, peluang koin muncul Kepala tetap 1/2 (50%), karena
hasil dadu tidak memengaruhi koin.
Peristiwa independen biasanya terjadi pada percobaan yang dilakukan
secara terpisah (misalnya dadu dan koin) atau percobaan dengan
pengembalian (mengambil kartu lalu dikembalikan lagi).
Aturan Perkalian Peristiwa Independen Untuk menghitung peluang dua
kejadian independen terjadi bersamaan (A dan B), gunakan: \[P(A dan B)=P(A) x P(B)\]
Contoh: Peluang mendapatkan angka 5 dari dadu (1/6)
dan mendapatkan Kepala dari koin (1/2):
(5 dan H)=1 X 1=1 6 x 2= 12 atau sekitar (0.0833)
2. Peristiwa Dependen (Dependent Events)
Peristiwa Dependen adalah dua kejadian di mana hasil kejadian pertama
mempengaruhi probabilitas kejadian kedua.
Contoh: Mengambil kartu dari satu set kartu tanpa
pengembalian. Jika satu kartu sudah diambil, total kartu berubah
sehingga peluang kejadian berikutnya ikut berubah.
6 . Binominal
Experiment
Berikut aku buatkan Ringkasan, Interpretasi, dan Rumus untuk Binomial
Experiment, dengan gaya penjelasan yang rapi seperti modulmu.
Binomial Experiment adalah percobaan yang dilakukan berulang kali
dengan kondisi tertentu di mana setiap percobaan memiliki hanya dua
kemungkinan hasil, yaitu berhasil (success) atau gagal (failure).
Percobaan ini dilakukan dengan jumlah ulangan tetap (n) dan peluang
keberhasilan (p) yang konstan setiap kali percobaan dilakukan.
Contoh umum:
Melempar koin 10 kali (Kepala = success, Ekor = failure)
Mencoba menembak target 5 kali (kena = success, tidak kena =
failure)
Mengambil produk dari produksi (baik = success, cacat = failure)
Ciri-ciri Binomial Experiment
1. Jumlah percobaan (n) tetap Contoh: 5 kali
melempar dadu, 10 kali cek barang.**
2. Setiap percobaan bersifat independen Hasil
percobaan sebelumnya tidak memengaruhi percobaan berikutnya.
3. Hanya ada dua hasil: success (S) atau failure
(F).
4. Peluang success (p) konstan di setiap percobaan.
Peluang failure = q = 1 − p.
3. Rumus Binomial
Untuk mencari peluang mendapatkan k success dari n percobaan:
Rumus binomial menghitung seberapa besar peluang mendapatkan jumlah
keberhasilan tertentu dari percobaan yang dilakukan beberapa kali.
Misalnya: Jika peluang berhasil suatu percobaan adalah 0.3, dan kita
melakukan 5 percobaan, maka rumus binomial dapat digunakan untuk
menghitung peluang:
tepat 0 keberhasilan
tepat 1 keberhasilan
tepat 2 keberhasilan
… sampai 5 keberhasilan
Setiap hasil menunjukkan kemungkinan paling mungkin, kemungkinan
kecil, atau kemungkinan jarang berdasarkan nilai p.
Contoh Perhitungan
Misal: melempar koin 4 kali, peluang Kepala = 0.5. Berapa peluang
mendapat 2 Kepala?
\[ P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.5)^2
(0.5)^2\]
\[\binom{4}{2} = 6\]
\[P(X = 2) = 6 \times 0.25 \times 0.25 =
0.375\]
Interpretasi: peluang mendapatkan 2 Kepala dari 4 lemparan koin
adalah 37.5%.
aBinomial Experiment
Binomial Experiment adalah percobaan yang dilakukan berulang kali
dengan kondisi tertentu di mana setiap percobaan memiliki hanya dua
kemungkinan hasil, yaitu berhasil (success) atau gagal (failure).
Percobaan ini dilakukan dengan jumlah ulangan tetap (n) dan peluang
keberhasilan (p) yang konstan setiap kali percobaan dilakukan.
Contoh umum:
Melempar koin 10 kali (Kepala = success, Ekor = failure)
Mencoba menembak target 5 kali (kena = success, tidak kena =
failure)
Mengambil produk dari produksi (baik = success, cacat = failure)
Ciri-ciri Binomial Experiment
1. Jumlah percobaan (n) tetap Contoh: 5 kali
melempar dadu, 10 kali cek barang.
2. Setiap percobaan bersifat independen Hasil
percobaan sebelumnya tidak memengaruhi percobaan berikutnya.
3. Hanya ada dua hasil: success (S) atau failure
(F).
4. Peluang success (p) konstan di setiap percobaan.
Peluang failure = q = 1 − p.
7 Binominal
Distribuiton
Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan
peluang mendapatkan k keberhasilan dalam n percobaan, di mana setiap
percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil:
Success (berhasil)
Failure (gagal)
Distribusi ini digunakan jika percobaan memenuhi syarat Binomial
Experiment.
Contoh kasus:
Peluang muncul 3 Kepala dari 5 kali lempar koin
Peluang 2 barang cacat dari 10 produksi
Peluang 4 tembakan tepat sasaran dari 7 percobaan
Syarat Distribusi Binomial
n tetap (jumlah percobaan).
Setiap percobaan independen.
Hanya dua hasil: success atau failure.
Peluang success p konstan untuk setiap percoban
Rumus Distribusi Binomial
Probabilitas k keberhasilan:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k
(1-p)^{n-k}\]
Keterangan:
= jumlah percobaan
= jumlah keberhasilan
= peluang success
= peluang failure
= kombinasi
Nilai Rataan dan Variansi (Opsional, tapi
penting)
Mean (μ):
\[\mu = n \cdot p\]
Variansi (σ²):
\[\sigma^2 = n \cdot p \cdot
(1-p)\]
Standar Deviasi (σ):
\[\sigma = \sqrt{n p (1-p)}\]
Interpretasi:
Distribusi binomial membantu menjawab pertanyaan: “Berapa besar
kemungkinan mendapatkan k keberhasilan dari n percobaan yang
identik?”
Interpretasi praktis:
Jika p tinggi → success lebih mungkin terjadi.
Jika n besar → distribusi terlihat lebih “membentuk kurva”.
Kita bisa melihat hasil mana yang paling mungkin (nilai k yang paling
besar probabilitasnya).
Contoh interpretasi: Jika peluang Kepala = 0.5 dan
koin dilempar 4 kali, lalu kita hitung peluang mendapat 2 Kepala =
0.375. Artinya: Ada 37.5% kemungkinan muncul tepat 2 Kepala dari 4
lemparan.
Contoh Perhitungan:
Misal: n = 5 lemparan p = 0.6 (peluang berhasil) Cari peluang sukses
k = 3
\[P(X=3) = \binom{5}{3} (0.6)^3
(0.4)^2\]
binom{5}{3} = 10
\[P(X=3) = 10 \times 0.216 \times 0.16 =
0.3456\]
Interpretasi: Peluang mendapatkan 3 keberhasilan dari 5 percobaan
adalah 34.56%.
8 . Referensi
Berikut referensi (daftar pustaka) yang dapat kamu gunakan untuk
tugas Essential of Probability. Semua referensi ini umum dipakai dalam
mata kuliah Pengantar Peluang & Statistika.
Daftar Referensi – Essential of Probability
Buku Teks Utama
Hogg, R. V., Tanis, E. A., & Zimmerman, D. L. (2019).
Probability and Statistical Inference (10th ed.). Pearson.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.).
Pearson.
Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the
Behavioral Sciences (10th ed.). Cengage Learning.
Sheldon M. Ross (2010). Introduction to Probability Models (10th
ed.). Academic Press.
DeGroot, M. H., & Schervish, M. J. (2012). Probability and
Statistics (4th ed.). Addison-Wesley.
