Tugas week 10 ~ Essential of Probability
Practicum ~ Week 10
1 PENDAHULUAN
Probabilitas adalah pilar fundamental penalaran statistik yang membantu kita memahami ketidakpastian dan membuat keputusan berdasarkan informasi. Probabilitas memungkinkan kita mengukur kemungkinan berbagai hasil, menganalisis pola dalam data, dan menganalisis fenomena dari proses alami atau eksperimental.
Bagian ini menyajikan prinsip-prinsip utama teori probabilitas:
Konsep fundamental probabilitas: Mencakup ruang sampel, kejadian (events), dan aturan komplemen.
Kejadian independen dan dependen: Membedakan skenario di mana terjadinya satu kejadian memengaruhi atau tidak memengaruhi yang lain.
Gabungan kejadian (The union of events): Membahas probabilitas bahwa setidaknya satu dari beberapa kejadian akan terjadi.
Kejadian eksklusif dan menyeluruh (Exclusive and exhaustive events): Menjelaskan bagaimana kejadian berinteraksi dan membentuk perhitungan probabilitas.
Eksperimen binomial dan distribusi binomial: Alat penting untuk menganalisis percobaan berulang dengan dua kemungkinan hasil.
VIDEO 1: Probability, Sample Space and Complement Rule
2 Rangkuman Materi Peluang (Probability)
2.1 Peluang Dasar (Basic Probability)
Peluang adalah ukuran tentang seberapa besar kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Nilainya berada antara 0 sampai 1, atau bisa juga ditulis dalam bentuk persen (0% sampai 100%).
Contoh paling sederhana adalah melempar sebuah koin. Koin punya dua sisi: Kepala (Head) dan Ekor (Tail). Karena kedua sisi punya kesempatan yang sama untuk muncul:
Peluang muncul Kepala = 0,5 atau 50%
Peluang muncul Ekor = 0,5 atau 50%
Artinya setiap lemparan koin punya kemungkinan yang fair dan seimbang.
2.2 Kejadian Independen (Independent Events)
Dalam video dijelaskan bahwa setiap lemparan koin tidak dipengaruhi lemparan sebelumnya. Artinya hasil lemparan pertama tidak menentukan hasil lemparan kedua.
Karena itu, jika ingin mengetahui peluang beberapa kejadian terjadi secara bersamaan, maka peluangnya dikalikan.
Contoh: Peluang muncul Kepala dua kali berturut-turut:
Peluang Kepala pertama = 0,5
Peluang Kepala kedua = 0,5
Maka peluang dua kali Kepala = 0,5 × 0,5 = 0,25 (25%)
Ini disebut sebagai aturan perkalian (multiplication rule) untuk kejadian independen.
2.3 Ruang Sampel (Sample Space) Dua Kali Lemparan Koin
Ruang sampel adalah daftar lengkap semua kemungkinan hasil dari sebuah percobaan.
Untuk dua kali lemparan koin, kemungkinan hasil adalah:
Kepala – Kepala (H H)
Kepala – Ekor (H T)
Ekor – Kepala (T H)
Ekor – Ekor (T T)
Total ada 4 kemungkinan. Karena setiap hasil punya peluang yang sama, maka masing-masing memiliki peluang:
1/4 = 0,25 = 25%
Diagram cabang di video menunjukkan semua jalur yang mungkin dari dua kali lemparan.
2.4 Peluang Dua Kejadian Terjadi Bersamaan
Jika dua kejadian tidak saling mempengaruhi (independent), maka peluang kedua kejadian terjadi bersama dihitung dengan:
P(A dan B) = P(A) × P(B)
Contoh dari video: P(Kepala lalu Kepala) = 0,5 × 0,5 = 0,25.
Aturan ini digunakan untuk semua kasus serupa, misalnya lempar dadu berkali-kali, memilih kartu, dan percobaan peluang lainnya yang bersifat independen.
2.5 Aturan Komplemen (Complement Rule)
Aturan komplemen membantu menghitung peluang kejadian yang tidak terjadi.
Rumus:
P(A) = 1 − P(A)
Contoh dari video:
Peluang muncul Kepala = 0,5
Maka peluang tidak muncul Kepala (berarti Ekor):
1 − 0,5 = 0,5
Aturan ini sangat berguna untuk menghitung peluang yang kebalikannya lebih mudah dihitung daripada kejadian aslinya.
2.6 Kesimpulan
Video tersebut menjelaskan dasar-dasar peluang melalui contoh sederhana melempar koin. Inti materinya:
Peluang dasar: tiap sisi punya peluang sama.
Kejadian independen: peluang kejadian ganda dihitung dengan mengalikan.
Ruang sampel membantu melihat semua hasil yang mungkin.
Aturan perkalian digunakan untuk peluang dua kejadian bersama.
Aturan komplemen mempermudah menghitung peluang kebalikan.
Materi ini merupakan pondasi penting untuk memahami topik peluang yang lebih rumit seperti union of events, mutually exclusive events, hingga conditional probability.
Referensi Pendukung:
Newbold et al. (2019) dalam “Statistics for Business
and Economics” mendefinisikan probabilitas sebagai “a numerical measure
of the likelihood of an event occurring”. Buku ini menekankan pentingnya
pemahaman ruang sampel sebagai landasan perhitungan probabilitas.
VIDEO 2: Probability of Independent and Dependent Event
3 Rangkuman Materi: Independent Events & Dependent Events
Dalam peluang (probability), ada dua jenis kejadian yang sering dibahas, yaitu kejadian independen dan kejadian dependen. Keduanya membahas apakah suatu kejadian memengaruhi atau tidak memengaruhi kejadian lain.
3.1 Independent Events (Kejadian Independen)
Kejadian independen adalah dua kejadian yang tidak saling memengaruhi. Artinya, hasil dari kejadian pertama tidak mengubah peluang kejadian kedua.
Contoh sederhana
Melempar dadu
Melempar koin
Hasil dadu tidak berpengaruh pada hasil koin. Peluang koin keluar gambar tetap 1/2, berapa pun angka dadu yang muncul.
Rumus Kejadian Independen
\(P(A \text B)=P(A)\times P(B)\)
Contoh soal
Peluang mendapatkan:
angka 5 pada dadu
gambar (heads) pada koin
Karena independen:
\(\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}\)
Jadi peluangnya = 1/12 (≈ 0,0833).
3.2 Dependent Events (Kejadian Dependen)
Kejadian dependen adalah dua kejadian yang saling memengaruhi. Hasil kejadian pertama mengubah peluang kejadian kedua.
Ini sering terjadi jika kita mengambil sesuatu tanpa mengembalikan (no replacement).
Contoh Kasus: Kelereng
Isi kotak:
7 hijau
3 biru Total = 10 kelereng
Peluang awal
Hijau =
Biru =
Contoh Soal 1: Ambil 1 hijau lalu 1 biru (tanpa dikembalikan)
Kesalahan umum:
\(\frac{7}{10}\times\frac{3}{10}\)
Langkah benar
- Ambil hijau (pertama)
\(P(H_1)=\frac{7}{10}\)
- Setelah satu hijau diambil:
Sisa total = 9
Biru tetap = 3
Peluang ambil biru (kedua):
\(P(B_2)=\frac{3}{9}\)
- Kalikan
\(\frac{7}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{7}{30}=0.233\)
Jadi peluangnya = 7/30 (≈ 0.233).
Contoh Soal 2: Ambil 2 hijau berturut-turut (tanpa dikembalikan)
- Ambil hijau pertama:
\(P(H_1)=\frac{7}{10}\)
- Setelah 1 hijau diambil:
Hijau tersisa = 6
Total = 9
Peluang ambil hijau lagi:
\(P(H_2|H_1)=\frac{6}{9}\)
- Rumus kejadian dependen
\(P(A \text B)=P(A)\times P(B|A)\)
- Hitung:
\(\frac{7}{10}\times\frac{6}{9}=\frac{7}{15}=0.4667\)
Jadi peluangnya = 7/15 (≈ 0.4667).
3.3 Kesimpulan
- Kejadian Independen
Kejadian pertama tidak memengaruhi kejadian kedua
- Rumus:
\[P(A\text B)=P(A)\times P(B)\]
- Kejadian Dependen
Kejadian pertama mengubah peluang kejadian kedua
- Rumus:
\[P(A\text B)=P(A)\times P(B|A)\]
Referensi Pendukung:
Walpole et al. (2016) dalam “Probability &
Statistics for Engineers & Scientists” menjelaskan bahwa pemahaman
yang benar tentang sifat kejadian (saling lepas atau tidak, independent
atau dependent) sangat krusial dalam memilih aturan probabilitas yang
tepat.
VIDEO 3: Union of Events
4 Rangkuman Materi : PROBABILITAS – SAMPLE SPACE & UNION
4.1 Apa itu Sample Space (Ruang Sampel)?
Ruang sampel adalah kumpulan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Contoh:
Lempar 1 dadu hasil: 1,2,3,4,5,6 total 6 hasil.
Lempar 2 dadu masing-masing dadu punya 6 hasil total 36 pasangan hasil. Contoh pasangan: (1,2), (3,5), (6,6).
4.2 Probabilitas Dasar
- Rumus umum:
𝑃(kejadian) = \(\frac{jumlah hasil yang diinginkan}{jumlah total hasil}\)
Contoh: dua angka 4 saat lempar 2 dadu hanya (4,4) dari 36 hasil:
\(𝑃= \frac{1}{36}\)
4.3 Contoh Probabilitas
- Dua angka genap
Angka genap: 2,4,6 total pasangan genap-genap = 9 hasil.
\(𝑃 = /frac{9}{36}\)
- Minimal satu angka 2
Pasangan yang mengandung angka 2 di dadu pertama atau kedua = 11 hasil.
\(𝑃= \frac{11}{36}\)
- Dua angka 6
Hanya (6,6) 1 hasil.
\(𝑃= \frac{1}{36}\)
- Dua angka genap dan minimal satu angka 2
Hasilnya: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (6,2) 5 hasil.
\(𝑃 = \frac{5}{36}\)
4.4 Probabilitas UNION (A atau B)
Union dipakai ketika ada kata “atau / or”.
Rumus penting:
\(𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)\)
Minus itu penting karena bagian yang tumpang tindih dihitung dua kali.
- Contoh Utama
Hitung probabilitas mendapatkan:
A: dua angka genap
B: minimal satu angka 2
Diketahui:
\(𝑃(𝐴)=\frac{9}{36}\)
\(𝑃(𝐵)=\frac{11}{36}\)
\(𝑃(𝐴∩𝐵)=\frac{5}{36}\)
Masukkan ke rumus union:
\(P(A∪B)= \frac{9}{36} + \frac{11}{36} − \frac{5}{36} = \frac{15}{36}\)
Dalam desimal:
0.4167
4.5 Penjelasan dengan Venn Diagram
Kotak besar = total ruang sampel (36 hasil).
Lingkaran A = dua angka genap.
Lingkaran B = minimal satu angka 2.
Ada bagian yang overlap = kejadian A ∩ B = 5/36.
Bagian overlap inilah yang dikurangkan di rumus union.
4.6 Kesimpulan
Untuk kejadian “A atau B”, selalu gunakan:
\(𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)\)
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\)
Contoh akhirnya:
\(\frac{15}{36} = 0.4167\)
Referensi Pendukung:
Probability and Statistics for Engineers and Scientists – Ronald
E. Walpole dalam Probability, sub-bab Addition Rule &
General Rule for Unions
VIDEO 4: Mutually Exclusive and Exhaustive Events
5 Rangkuman Materi : Mutually Exclusive Events & Exhaustive Events
Dalam peluang, penting untuk memahami bagaimana dua kejadian dapat saling berhubungan. Dua konsep yang sering muncul adalah mutually exclusive events (kejadian saling lepas) dan exhaustive events (kejadian yang menutupi seluruh ruang sampel). Contoh yang digunakan berasal dari ruang sampel pelemparan dua dadu, yang memiliki total 36 kemungkinan hasil (6 × 6).
5.1 Mutually Exclusive Events (Kejadian Saling Lepas)
Dua kejadian dikatakan mutually exclusive jika tidak ada satu pun hasil yang muncul di kedua kejadian secara bersamaan. Dengan kata lain, jika kejadian A terjadi, maka kejadian B pasti tidak terjadi, dan sebaliknya.
Secara matematis:
\(𝑃(𝐴∩𝐵) = 0\)
Artinya, irisan A dan B kosong.
Contoh:
A = kejadian muncul setidaknya satu angka 5 Terdapat 11
hasil = 11
\(\frac{11}{36}\)
B = kejadian jumlah dua dadu kurang dari 4
Kemungkinannya hanya: (1,1), (1,2), (2,1) total 3
hasil = 3
\(\frac{3}{36}\)
Analisis hubungan A dan B:
Tidak ada hasil yang memiliki angka 5 dan jumlah kurang dari 4.
A dan B tidak tumpang tindih
\(𝑃(𝐴∩𝐵)=0\)
- Kesimpulan:
A dan B adalah mutually exclusive (saling lepas).
Tambahan penting:
Mutually exclusive tidak harus menutupi seluruh ruang sampel.
Mutually exclusive hanya fokus pada tidak adanya overlap.
5.3 Contoh Kejadian yang Saling Lepas dan Exhaustive
Menariknya, ada pasangan kejadian yang saling lepas sekaligus exhaustive.
Contoh:
A = jumlah dua dadu genap
B = jumlah dua dadu ganjil
Jumlah genap ada 18 hasil
\(\frac{18}{36}\)
Jumlah ganjil ada 18 hasil
\(\frac{18}{36}\)
Sifat:
Angka genap dan ganjil tidak mungkin terjadi bersamaan
\(𝑃(𝐴∩𝐵) = 0\) (mutually exclusive)
Semua kemungkinan jumlah pasti genap atau ganjil
\(𝑃(∪𝐵) = 1\) (exhaustive)
Kesimpulan
A dan B adalah contoh ideal dari kejadian yang mutually exclusive sekaligus exhaustive.
5.4 Kesimpulan Akhir
Mutually Exclusive Events
Tidak ada hasil yang sama dari kedua kejadian.
\(𝑃(𝐴∩𝐵) = 0\)
Fokus pada ketidakmungkinan terjadi bersama.
Exhaustive Events
Bersama-sama menutupi seluruh ruang sampel.
\(𝑃(𝐴∪𝐵) = 1\)
Fokus pada cakupan penuh, tidak peduli apakah ada overlap atau tidak.
Kombinasi Kedua Konsep
Beberapa pasangan kejadian bisa saling lepas dan exhaustive, seperti jumlah genap/ganjil.
VIDEO 5: The Binomial Experiment and Binomial Formula
6 Rangkuman Materi Binomial Experiment
6.1 Apa itu Distribusi binomial
Distribusi binomial adalah konsep dalam peluang (probability) yang digunakan ketika kita punya suatu percobaan yang dilakukan berulang kali, dan setiap percobaan hanya punya dua kemungkinan hasil:
- Sukses (success)
- Gagal (failure)
Kata “binomial” mudah diingat karena ada awalan “bi–” yang berarti dua, contoh : - bicycle dua roda - binoculars dua lensa
Begitu juga dalam peluang binomial: hanya ada dua hasil setiap kali percobaan dilakukan.
Distribusi binomial membantu kita menghitung peluang terjadinya sejumlah sukses tertentu dalam beberapa percobaan yang identik.
6.2 Binomial Settings
Sebuah percobaan disebut binomial jika memenuhi empat syarat utama berikut:
Jumlah percobaan (N) sudah ditentukan sejak awal. Misalnya, kamu memutuskan akan melempar koin 10 kali (jumlahnya tidak boleh berubah)
Setiap percobaan hanya punya dua kemungkinan hasil: “Sukses, atau Gagal”. Tidak boleh ada hasil lain.
Peluang sukses (P) harus tetap untuk setiap percobaan. Contoh: peluang muncul angka pada dadu selalu 1/6, tidak berubah-ubah.
Setiap percobaan saling independen. Artinya, hasil percobaan pertama tidak memengaruhi hasil percobaan berikutnya.
Jika sebuah percobaan memenuhi keempat syarat ini, maka itu disebut percobaan binomial.
6.3 Contoh 1 : Melempar Koin 3 Kali
- Pertanyaan: Jika kita melempar koin 3 kali, berapa peluang mendapatkan tepat 1 kepala? Dan apakah ini termasuk percobaan binomial?
Untuk mendapat tepat 1 kepala, ada 3 kemungkinan urutan:
1. H T T
2. T H T
3. T T HSemua urutan punya peluang yang sama, yaitu:
0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125
Karena ada 3 urutan, maka:
3 × 0.125 = 0.375
Apakah ini percobaan binomial?
Ya, karena:
- Jumlah percobaan tetap (n = 3).
- Dua kemungkinan: kepala (sukses) dan ekor (gagal).
- Peluang sukses tetap, yaitu 0.5 setiap lemparan.
- Setiap lemparan independen.
Kesimpulan: Ini adalah percobaan binomial dengan peluang tepat 1 kepala = 0.375.
Contoh 2 – Mengambil 5 Kelereng Dengan Pengembalian (With Replacement)
Dalam kotak ada 10 kelereng:
3 pink 2 hijau 5 biru
Kita mengambil 5 kelereng dengan pengembalian. Cari peluang tepat 2 kelereng hijau. Lalu cek apakah ini percobaan binomial.
Cek syarat binomial: 1. Jumlah percobaan tetap → n = 5
Dua hasil → sukses = hijau, gagal = bukan hijau
Peluang sukses tetap → karena dikembalikan, peluang tetap: P(hijau) = $/frac{2}{10} = 0.2 $
Independen → karena dikembalikan Jadi ini percobaan binomial.
Menghitung peluang tepat 2 hijau
Peluang:
- Sukses = 0.2
- Gagal = 0.8
Setiap urutan dengan 2 sukses dan 3 gagal akan memiliki peluang: 0.2 × 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.02048
Banyak urutan berbeda untuk 2 sukses dan 3 gagal adalah:
\(\binom{5}{2} = 10\)
Jadi total peluang:
10 × 0.02048 = 0.2048
6.4 Rumus Binomial:
Selain menghitung peluang secara manual dengan menuliskan semua urutan kemungkinan, kita juga bisa memakai rumus binomial, yang jauh lebih cepat.
Rumus :
\(P(k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{\,n-k}\)
Keterangan:
n = jumlah percobaan k = jumlah sukses yang ingin dicari p = peluang sukses
\(\binom{n}{k}\) = “n choose k” jumlah cara memilih k sukses dari n percobaan (kombinasi)
Rumus ini memberi kita jalan pintas (shortcut) untuk menghitung peluang binomial, tetapi hanya boleh digunakan jika percobaannya memang binomial.
- Contoh: Mengambil 5 kelereng dengan pengembalian
Kita cari peluang mendapatkan tepat 2 kelereng hijau.
Dari soal sebelumnya: n = 5 (ada 5 kali pengambilan)
k = 2 (ingin tepat 2 kelereng hijau)
p = 0.2 (peluang mengambil kelereng hijau)
Masukkan ke rumus:
\(P(2) = \binom{5}{2} \,(0.2)^2 \, (1 - 0.2)^{5 - 2}\)
\(P(2) = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048\)
Hasilnya 0.2048, sama seperti perhitungan manual sebelumnya.
6.5 Kesimpulan
Rumus binomial membantu menghitung peluang dengan lebih cepat.
Kita tetap perlu memastikan dulu bahwa situasinya adalah percobaan binomial.
Pada contoh ini, peluang mendapatkan tepat 2 kelereng hijau adalah 0.2048.
Referensi pendukung
Khan Academy – Probability & Statistics: Binomial Probability “www.khanacademy.org” Menjelaskan peluang binomial dengan contoh koin dan marbles (kelereng).
VIDEO 6: Binomial Distribution
7 Rangkuman Materi : BINOMIAL DISTRIBUTION
7.1 Apa itu Distribusi Binomial?
Distribusi binomial adalah distribusi peluang yang digunakan untuk menghitung peluang mendapatkan sejumlah “sukses” dari n percobaan yang sifatnya :
- jumlah percobaannya tetap,
- setiap percobaan hanya punya 2 hasil: sukses atau gagal,
- peluang sukses setiap percobaan sama,
- setiap percobaan berdiri sendiri (independen).
7.2 Rumus Peluang Binomial
Rumus ini menghitung peluang mendapatkan k sukses dari n percobaan dengan peluang sukses p per percobaan.
n = jumlah percobaan
k = jumlah sukses yang diinginkan
p = peluang sukses
p = peluang gagalBiasanya rumusnya menghasilkan angka peluang untuk setiap nilai k.
7.3 Contoh :
Melempar koin 2 kali (p = 0.5)
Nilai k yang mungkin: 0, 1, 2 (karena hanya 2 percobaan).
Hasil perhitungan rumus menghasilkan:
P(0 sukses) = 0.25
P(1 sukses) = 0.50
P(2 sukses) = 0.25Jika digambar dalam diagram batang, hasilnya simetris karena peluang mendapatkan heads = 0.5.
7.4 Pengaruh Jumlah Percobaan (n)
Jika n kecil bentuk distribusi masih “kasar”. Jika n besar (misalnya n = 10 atau lebih) bentuknya mulai seperti kurva normal.
Artinya:
Semakin besar n, distribusi binomial semakin mirip distribusi normal.
7.5 Parameter Utama Distribusi Binomial
Jika X mengikuti distribusi binomial:
1. Mean (µ) = n × p
2. Varians = n × p × (1−p)
3. Standar Deviasi (σ) = √[n × p × (1−p)]Parameter ini mengukur lokasi rata-rata dan sebaran datanya.
7.6 Pengaruh Nilai p terhadap Bentuk Distribusi
p = 0.5
Distribusi simetris Bentuknya menyerupai distribusi normal
p < 0.5 (misalnya p = 0.1)
Distribusi miring ke kanan (right-skewed) Alasan: peluang sukses kecil, jadi kebanyakan hasil berada di k yang kecil(lebih banyak gagal daripada sukses)
p > 0.5 (misalnya p = 0.8)
Distribusi miring ke kiri (left-skewed) Alasan: peluang sukses besar, jadi kebanyakan hasil berada di k yang besar
Intinya:
Semua data akan cenderung “mengumpul” di sekitar mean µ = n × p.
n <- 10
p_values <- c(0.1, 0.5, 0.8)
titles <- c("p = 0.1 (Right skewed)",
"p = 0.5 (simetris)",
"p = 0.8 (Left skewed)")
par(mfrow = c(1, 3))
for (i in 1:length(p_values)) {
k_values <- 0:n
prob_values <- dbinom(k_values, size = n, prob = p_values[i])
barplot(prob_values,
names.arg = k_values,
main = titles[i],
xlab = "Jumlah Sukses (k)",
ylab = "Probabilitas",
col = c("lightpink", "lightgreen", "lightblue")[i],
border = "black")
}
7.7 Kapan Distribusi Binomial Bisa Didekati dengan Normal?
Agar pendekatan normal valid, harus memenuhi dua syarat: 1. n × p ≥ 10 2. n × (1−p) ≥ 10
Kedua syarat ini memastikan distribusi tidak terlalu miring (skewed).
Catatan: ada beberapa buku/kelas yang menggunakan batas 5, tapi prinsipnya sama.
library(ggplot2)
plot_binom_normal <- function(n, p) {
k <- 0:n
binom_prob <- dbinom(k, n, p)
mu <- n * p
sigma <- sqrt(n * p * (1 - p))
df <- data.frame(
k = k,
binom = binom_prob,
normal = dnorm(k, mu, sigma)
)
ggplot(df, aes(x = k)) +
geom_col(aes(y = binom), fill = "skyblue", alpha = 0.6, color = "black") +
geom_line(aes(y = normal), color = "red", linewidth = 1.2) +
labs(title = paste0("Binomial vs Normal Approximation (n = ", n, ", p = ", p, ")"),
x = "k",
y = "Probabilitas") +
theme_minimal()
}
plot_binom_normal(20, 0.1)
7.8 Kesimpulan
p menentukan bentuk distribusi.
p = 0.5 simetris p < 0.5 miring ke kanan p > 0.5 miring ke kirin menentukan kehalusan bentuk distribusi.
semakin besar n, semakin mirip kurva normal Rata-rata dan sebaran distribusi dapat dihitung dengan rumus:
$µ = n p$
$Varians = n p (1−p)$
$σ = √[n p (1−p)]$
Jika dua syarat normal approximation terpenuhi, distribusi binomial boleh diperlakukan seperti distribusi normal.
DAFTAR PUSTAKA
Newbold, P., Carlson, W. L., & Thorne, B. (2019). Statistics for Business and Economics. Pearson Education.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2016). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson.
Triola, M. F. (2018). Elementary Statistics. Pearson Education.
Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences. Cengage Learning.
Smith, J. (2023). Statistics for Data Science. Academic Press.