1 Tema de investigación: Cointegración y Causalidad.

Indicaciones:

Explique cómo realizar las siguientes pruebas en R:

1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller.

2. Cointegración en el enfoque de Soren Johansen.

3. Causalidad en el sentido de Granger.

Cada una de las pruebas deberá incluir la siguiente estructura de presentación:

  • Propósito de la prueba, es decir ¿Para qué se usa?
  • Hipótesis de la prueba. (explique el porqué de las hipótesis Nula y Alternativa)
  • Sintaxis de implementación en R, explicando cada uno de los argumentos.
  • Estadístico de prueba (haga referencia en la salida que genera R)
  • Criterio de decisión (haga referencia en la salida que genera R)
  • Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba.
  • Implementación de un ejemplo.

2 Prueba de Raíz Unitaria Dickey–Fuller

2.1 Proposito de la prueba:

La prueba de Raiz unitaria se usa para determinar si una serie temporal es estacionaria o contiene una raíz unitaria (no estacionaria)

2.2 Hipotesis:

La regresión base del ADF es:

[ y_t = + t + y_{t-1} + _{i=1}^k i y{t-i} + _t]

La hipótesis relevante es sobre γ, el coeficiente del término rezagado:

H0: γ = 0 → la serie tiene raíz unitaria → NO es estacionaria Esto ocurre cuando (y_t) sigue un paseo aleatorio.

H1: γ < 0 → la serie es estacionaria (sin raíz unitaria) Un γ negativo implica un proceso que vuelve al equilibrio.

2.3 Sintaxis de implementacion en R:

adf.test(x, k = número_de_rezagos)

Donde:

  • x: la serie temporal que se desea evaluar.
  • k: número de rezagos incluidos para corregir autocorrelación residual.

2.4 Estadistico de prueba:

En la salida de R aparece:

Augmented Dickey-Fuller Test

Dickey-Fuller = -3.45, p-value = 0.045

  • Dickey-Fuller = estadístico ADF
  • Se compara con valores críticos (R calcula el p-value).

2.5 Criterio de desicion:

Si p-value < 0.05 → rechazo H0 → la serie es estacionaria

Si p-value ≥ 0.05 → no rechazo H0 → la serie tiene raíz unitaria

2.6 Interpretacion:

Rechazo H0: la serie es estacionaria.

No rechazo H0: la serie no es estacionaria → requiere diferenciación.

2.7 Ejemplo en R:

library(tseries)

set.seed(123)
serie <- arima.sim(list(order = c(0,1,0)), n = 200) 

adf.test(serie, k = 2)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie
## Dickey-Fuller = -2.388, Lag order = 2, p-value = 0.4136
## alternative hypothesis: stationary
  • Dado que el estadístico ADF es –2.388 y el p-value asociado es 0.4136, mayor que el nivel de significancia del 5%, no se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria. En consecuencia, la serie analizada es no estacionaria en niveles y requiere diferenciación para volverse estacionaria.

3 Cointegración en el enfoque de Soren Johansen.

3.1 Propósito de la Prueba:

La prueba de Johansen se utiliza para detectar relaciones de equilibrio a largo plazo entre dos o más series.

Si existe cointegración:

Las series se mueven juntas a largo plazo. Se debe usar un modelo VECM, no VAR.

3.2 Hipótesis:

Johansen evalúa el número de vectores de cointegración (r).

Dos estadísticas:

  1. Trace Test H0: r = r₀ (número de vectores de cointegración ≤ r₀)

    H1: r > r₀

  2. Max-Eigenvalue H0: r = r₀

    H1: r = r₀ + 1

  • Si no hay cointegración (r = 0), las series no comparten equilibrio.
  • Si r ≥ 1, existe una combinación lineal estacionaria.

3.3 Sintaxis en R:

ca.jo(datos, type = “trace”, # o “eigen” ecdet = “const”, # componente determinística: const, trend, none K = 2) # número de rezagos +1

Donde:

  • datos: matriz con las series I(1).
  • type: tipo de prueba (“trace” o “eigen”).
  • ecdet: especificación del intercepto o tendencia.
  • K: número total de rezagos del VAR.

3.4 Estadístico de prueba:

Fragmento de salida:

Test type: trace statistic r <= 0: 25.4 (critical value 15.4) r <= 1: 8.2 (critical value 3.8)

  • La columna de la izquierda es el estadístico TRACÉ.
  • La comparación se hace contra valores críticos o usando el p-value.

3.5 Criterio de decisión:

  • Si estadístico > valor crítico → rechazo H0 → existe cointegración
  • Se continua evaluando r = 1, r = 2… hasta no rechazar.

3.6 Interpretación:

  • Si r = 0: no hay cointegración → usar VAR.
  • Si r ≥ 1: existe cointegración → usar VECM.

3.7 Ejemplo en R:

library(urca)

set.seed(123)
x <- cumsum(rnorm(200))
y <- x + rnorm(200, sd = 0.5)

datos <- cbind(x, y)

jtest <- ca.jo(datos, type = "trace", ecdet = "const", K = 2)
summary(jtest)
## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , without linear trend and constant in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1]   3.647929e-01   2.555981e-02 -5.541128e-308
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  5.13  7.52  9.24 12.97
## r = 0  | 94.98 17.85 19.96 24.60
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##                  x.l2       y.l2  constant
## x.l2      1.000000000  1.0000000  1.000000
## y.l2     -0.987452094  0.2494413 -1.180294
## constant -0.008879332 -2.0727334 17.693469
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            x.l2        y.l2     constant
## x.d -0.08119175 -0.04467488 5.658533e-18
## y.d  1.00224838 -0.04541582 4.244958e-18
  • El test de Johansen con la metodología Trace indica la existencia de un vector de cointegración (r = 1), dado que el estadístico para r = 0 (94.98) es mayor que el valor crítico al 5% (19.96), mientras que el estadístico para r ≤ 1 (5.13) es menor que el valor crítico (9.24). Esto demuestra que las series están cointegradas y mantienen un equilibrio a largo plazo.

4 Causalidad en el sentido de Granger.

4.1 Propósito de la prueba:

Determina si: los rezagos de una variable X contribuyen a predecir Y.

No es causalidad “real”, sino “predictiva”.

4.2 Hipótesis de la prueba:

Ejemplo: evaluar si X causa a Y.

  • H0: X no causa a Y en el sentido de Granger. → Los coeficientes de los rezagos de X son todos cero.

  • H1: X sí causa a Y. → Al menos un coeficiente rezagado de X es distinto de cero.

Estas hipótesis se basan en que si X tiene poder predictivo sobre Y, sus rezagos deben mejorar el modelo.

4.3 Sintaxis en R:

grangertest(Y ~ X, order = p)

Donde:

  • Y ~ X: variable dependiente Y y la posible causa X.
  • order: número de rezagos p a evaluar.

4.4 Estadístico de prueba:

Salida:

F-test = 4.52, p-value = 0.015

  • F-test: estadístico F para comparar modelos.
  • p-value: probabilidad asociada con H0.

4.5 Criterio de decisión:

  • p-value < 0.05 → rechazo H0 → X causa a Y
  • p-value ≥ 0.05 → no rechazo H0 → X NO causa a Y

4.6 Interpretación:

  • Rechazo H0: rezagos de X ayudan a explicar Y.
  • No rechazo H0: X no tiene relación predictiva con Y.

4.7 Ejemplo en R:

library(lmtest)

set.seed(123)
x <- cumsum(rnorm(200))
y <- 0.5*lag(x, -1) + rnorm(200)  # x influye en y

grangertest(y ~ x, order = 2)
## Granger causality test
## 
## Model 1: y ~ Lags(y, 1:2) + Lags(x, 1:2)
## Model 2: y ~ Lags(y, 1:2)
##   Res.Df Df     F    Pr(>F)    
## 1    193                       
## 2    195 -2 35.37 8.184e-14 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
  • La prueba de causalidad de Granger con 2 rezagos muestra que el estadístico F = 35.37 y el p-value = 8.18e-14 permiten rechazar contundentemente la hipótesis nula de no causalidad. Por lo tanto, se concluye que la variable x causa a la variable y en el sentido de Granger, indicando que los rezagos de x aportan información predictiva significativa para la evolución futura de y.