Tugas Week 10 ~ Essentials of Probability

2 Konsep Dasar (Fundamental Concept)

Video ini membahas tiga konsep paling dasar dalam pelajaran probabilitas atau peluang, disajikan dengan bahasa yang sangat mudah dan contoh yang dekat dengan kehidupan sehari-hari (melempar koin).

Video ini mengajarkan kita cara menghitung kemungkinan suatu hal terjadi, mulai dari dasar sampai menggunakan “jalan pintas” Aturan Komplemen.

2.1 Apa Itu Peluang (Probability)?

Peluang adalah seberapa besar kesempatan suatu kejadian akan terjadi. Peluang mengukur seberapa besar kemungkinan sesuatu akan terjadi. Jika semua kemungkinan memiliki kesempatan yang sama, kita cukup membandingkan jumlah hasil yang kita inginkan dengan total semua hasil yang mungkin.

-Cara menghitung probabilitas (ketika semua hasil sama mungkin/equally likely).

Rumus dasarnya: \[ P(E)=\frac{\text{jumlah hasil yang mendukung event }E}{\text{total hasil}} \] Contoh 1: Kasus kenaikan Gaji

Anda dan 4 rekan kerja anda (total 5 orang) berhak menerima kenaikan gaji, tetapi hanya 1 yang akan di pilih secara acak. Peluang anda terpilih adalah 1/5 = 0.2 atau 20%.

Contoh 2: Kalau kita melempar satu koin, kita ingin mendapat Head (Kepala).

• Hasil yang diinginkan (Head) = 1.

• Total hasil yang mungkin (Head atau Tail) = 2.

• Peluang mendapat Head = 1/2 = 0.5 atau 50%.

2.2 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel adalah daftar lengkap semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Contoh 1: Kasus Memesan Kopi

Jika anda memilih ukuran (kecil, sedang, besar) dan rasa (espreso, latte). Ruang sampel anda adalah: (kecil, espresso), (kecil, latte), (sedang, espresso), (sedang, latte), (besar, espresso), (besar, latte). Total ada 6 kemungkinan.

Contoh 2: Melempar koin dua kali

Untuk menghitung peluang suatu kejadian, kita perlu tahu semua kemungkinan urutannya:

Total Ruang Sampel ada 4 hasil.

Menghitung Peluang dengan Ruang Sampel: Kalau ditanya: “Berapa peluang mendapatkan minimal satu Tail?” Kita tinggal lihat daftar di atas dan jumlahkan hasil yang memenuhi: HT, TH, dan TT. Peluang = P(HT) + P(TH) + P(TT) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75

2.3 Aturan Dasar Probabilitas

Ada dua aturan wajib yang harus dipatuhi semua perhitungan peluang:

1. Nilai Peluang selalu antara 0 sampai 1:

• Peluang 0: Kejadian mustahil terjadi.

• Peluang 1: Kejadian pasti terjadi.

• Peluang 0.5: Kesempatan terjadi 50%.

2. Total Peluang Harus 1: Jika semua peluang dari semua hasil yang mungkin dijumlahkan, hasilnya pasti 1 (atau 100%).

2.4 Aturan Komplemen (Complement Rule)

Aturan ini adalah trik yang sangat berguna, terutama saat daftar hasil yang kita inginkan sangat banyak. Menghitung peluang suatu kejadian tidak terjadi seringkali lebih mudah dari pada menghitung peluang kejadian itu terjadi.

Aturan Komplemen mengatakan:

Peluang suatu kejadian TIDAK TERJADI sama dengan 1 dikurangi peluang kejadian itu TERJADI.

Rumus:

P(Tidak A) = 1 - P(A)

Contoh 1: Kasus Terlambat Datang

Peluang anda datang tepat waktu ke kampus adalah 98% (0.98). Dari pada menjumlahkan peluang semua skenario keterlambatan, lebih mudah menghitung peluang anda terlambat sebagau 1 - 0.98 = 0.02 atau 2%.

Contoh2: Kita kembali ke contoh lempar koin dua kali.

Ditanya: “Berapa peluang TIDAK mendapatkan dua Tail (TT)?”

• Cara Langsung: Kita bisa menjumlahkan

P(HH) + P(HT) + P(TH) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75

• Cara Komplemen (Lebih cepat):

P(A) (Peluang mendapatkan TT) = 0.25.

P(Tidak TT) = 1 - P(TT) = 1 - o.25 = 0.75

Aturan ini sangat membantu jika kita ingin menghitung peluang dari “minimal 10 sukses” dalam 100 kali percobaan. Daripada menjumlahkan peluang 91 hasil (dari 10 sampai 100), lebih mudah menghitung peluang “kurang dari 10 sukses” (hanya 0 sampai 9) dan menguranginya dari 1.

3 Mandiri dan Bergantung (Independent and Dependent)

Video ini mengajarkan kita kapan harus menggunakan formula perkalian probabilitas biasa, dan kapan Anda harus menyesuaikan peluang karena satu kejadian memengaruhi kejadian berikutnya.

3.1 Kejadian Independen (Saling Bebas)

Konsep:

Kejadian Independen adalah dua kejadian di mana hasil dari kejadian pertama SAMA SEKALI tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua. Peluangnya tetap, tidak berubah oleh kejadian sebelumnya.

Contoh 1:

Melempar dadu dan melempar koin.

• Peluang dadu keluar angka 5 adalah 1/6.

• Peluang koin keluar Head (Kepala) adalah 1/2.

• Dadu keluar angka 6, tidak akan membuat koin lebih mungkin atau kurang mungkin keluar Head.

Rumus: Peluang dua kejadian independen (A dan B) terjadi bersamaan:

\[Peluang (A dan B) = Peluang (A) \times Peluang (B)\]

Contoh Perhitungan: Berapa peluang mendapatkan angka 5 (dadu) dan Head (koin)?

\[\text{Peluang}(\text{5 dan H}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \quad\]

Contoh 2: Kasus Lulus Ujian

Peluang anda lulus ujian statistika (A) adalah 0.8, dan peluang anda lulus ujian kalkulus (B) adalah 0.9. Karena hasil ujian tidak saling mempengaruhi, peluang anda lulus kedua-duanya adalah \[0.8 \times 0.9 = 0.72 (72\%)\]

3.2 Kejadian Dependen (Saling Bergantung)

Konsep:

Kejadian dependen adalah dua kejadian di mana hasil dari kejadian pertama AKAN memengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua. Peluangnya berubah (bersyarat). Ini umumnya terjadi pada pengambilan objek tanpa pengembalian.

Kunci Identifikasi:

Kejadian dependen seringkali terjadi pada situasi yang melibatkan “tanpa pengembalian” (without replacement). Artinya, objek yang sudah diambil tidak dikembalikan, sehingga mengubah total kemungkinan yang ada untuk pengambilan berikutnya.

Contoh 1: Mengambil dua kelereng dari kotak yang berisi 10 kelereng (7 hijau, 3 biru), tanpa mengembalikan kelereng pertama.

Rumus:

Peluang dua kejadian dependen (A dan B) terjadi bersamaan:

\[\text{Peluang}(A \text{ dan } B) = \text{Peluang}(A) \times \text{Peluang}(B \text{ setelah } A) \quad\]

(Ini sering disebut Probabilitas Bersyarat atau Conditional Probability).

Contoh Perhitungan:

Berapa peluang mengambil kelereng Hijau pertama dan Biru kedua (tanpa pengembalian)?

1. Peluang Hijau (A): Ada 7 hijau dari 10 total.

\[ \text{Peluang}(A) = \frac{7}{10}\]

2. Peluang Biru setelah Hijau (B setelah A): Setelah mengambil 1 hijau, sekarang sisa 9 kelereng. Jumlah kelereng biru tetap 3.

\[ \text{Peluang}(B \text{ setelah } A) = \frac{3}{9}\]

3. Hasil Akhir:

\[ \text{Peluang}(\text{H dan B}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \approx 0.2333 \quad\] Contoh 2: Kasus Pemilihan Tim

Di kampus ada 10 kandidat (6 pria, 4 wanita). anda ingin memilih 2 orang acak untuk tugas khusus tanpa mengembalikan yang pertama. Peluang memilih wanita pertama adalah 4/10. Peluang memilih wanita kedua, setelah wanita pertama sudah terpilih, berubah menjadi 3/9. Peluang memilih 2 wanita adalah….

Menggunakan Rumus: \[P(A dan B) = P(A) \times P(B setelah A)\] \[(4/10) \times (3/9) = 12/90 \approx 0.133\]

4 Penyatuan Peristiwa (Union of Events)

Video ini fokus pada cara menghitung peluang ketika ada kata kunci “ATAU” dalam pertanyaan, yang berarti kita ingin mengetahui peluang kejadian A terjadi, atau kejadian B terjadi, atau keduanya terjadi bersamaan. Kita harus memastikan kita tidak menghitung dua kali hasil yang sama (irisan/intersection).

Rumus

\[P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)\] Contoh 1: Kasus Keterampilan Karyawan

Disebuah perusahaan, 40% karyawan memiliki keterampilan di exel (A), 30% memiliki keterampian di python (B), dan 10% memiliki keterampilan di keduanya (irisan). Peluang memilih karyawan yang terampil di exel atau python adalah:

\[0.40 + 0.30 - 0.10 = 0.60 (60\%)\]

Masalah Utama: Kapan Menggunakan Aturan Gabungan (Union)?

Anda menggunakan aturan ini ketika pertanyaan peluang Anda mengandung kata “ATAU”.

Contoh 2: Melempar dua dadu bersisi enam (total ada 36 kemungkinan hasil, dari 1-1 hingga 6-6).

Pertanyaan: Berapa peluang mendapatkan dua angka genap ATAU minimal satu angka dua?

Untuk menjawabnya, kita tidak bisa langsung menjumlahkan peluang masing-masing kejadian. Ini akan membawa kita ke masalah…

Aturan Penjumlahan (Addition Rule)

Untuk menghitung peluang gabungan dari dua kejadian (A atau B), kita menggunakan Aturan Penjumlahan (The Addition Rule):

\[\text{Peluang}(A \text{ atau } B) = \text{Peluang}(A) + \text{Peluang}(B) - \text{Peluang}(A \text{ dan } B) \quad\]

Kenapa harus dikurangi? (Penting!)

Pengurangan pada bagian \[\text{Peluang}(A \text{ dan } B)\] (disebut Irisan atau Intersection) dilakukan karena ada hasil yang dihitung dua kali:

• Ketika Anda menghitung P(A) (Peluang dua angka genap), Anda menghitung hasil seperti (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (6, 2), dst.

• Ketika Anda menghitung P(B) (Peluang minimal satu angka 2), Anda juga menghitung hasil yang sama (2, 2), (2, 4), (4, 2), dst.

• Karena hasil yang ada di kedua kejadian itu (misalnya (2, 2) atau (4, 2)) dihitung dua kali, kita harus menguranginya satu kali agar perhitungan peluang kita benar dan tidak melebihi nilai 1. Ini visualisasi dari Diagram Venn.

Contoh Penerapan

Menggunakan pertanyaan di atas: Berapa peluang mendapatkan dua angka genap ATAU minimal satu angka dua?

1. Peluang A (Dua Genap): Ada 9 hasil (2-2, 2-4, 2-6, 4-2, 4-4, 4-6, 6-2, 6-4, 6-6).

\[\text{Peluang}(A) = 9/36\]

2. Peluang B (Minimal Satu Angka 2): Ada 11 hasil (semua yang mengandung angka 2).

\[\text{Peluang}(B) = 11/36\]

3. Peluang Irisan (A dan B): Hasil yang memenuhi kedua syarat (Genap DAN mengandung angka 2) [03:48]. Ada 5 hasil: (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (6, 2).

\[\text{Peluang}(A \text{ dan } B) = 5/36\]

Perhitungan Akhir:

\[\text{Peluang}(A \text{ atau } B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} \approx 0.4167 \quad\]

5 Eksklusif dan Lengkap (Exclusive and Exhaustive)

Video ini menjelaskan bagaimana mengkategorikan kejadian (event) dalam konteks ruang sampel (sample space).

5.1 Kejadian yang Saling Meniadakan (Mutually Exclusive Events)

Definisi: Dua kejadian (events), misalnya A dan B, dikatakan saling meniadakan jika keduanya tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Atau kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Mereka tidak memiliki irisan. Jika satu terjadi, yang lain pasti tidak terjadi.

Logika: Tidak ada tumpang tindih antara kedua kejadian tersebut.

Secara Matematis: Irisan (Intersection) dari kedua kejadian adalah himpunan kosong:

\((A \cap B) = 0\)

Contoh 1: Kasus Status Transaksi

Dalam sistem pembayaran, suatu transaksi tidak mungkin berstatus “berhasil” dan “gagal” pada saat yang sama. Ini adalah kejadian yang saling meniadakan.

Contoh 2: Melempar satu koin. Kejadian mendapatkan ‘Kepala’ dan kejadian mendapatkan ‘Ekor’ adalah saling meniadakan, karena koin tidak mungkin menghasilkan keduanya dalam satu lemparan.

5.2 Kejadian yang Komprehensif (Exhaustive Events)

Definisi: Sekelompok kejadian dikatakan komprehensif (atau exhaustive) jika salah satu dari kejadian tersebut pasti akan terjadi. Artinya, gabungan dari semua kejadian tersebut mencakup seluruh ruang sampel (S).

Logika: Daftar kejadian tersebut telah mencakup semua kemungkinan hasil yang ada.

Secara Matematis: Gabungan (Union) dari semua kejadian adalah ruang sampel:

\[A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_n = S\] Contoh 1: Kasus Prediksi Cuaca

Dalam perkiraan cuaca, kejadiannya adalah: ‘cerah’, ‘berawan’, atau ‘hujan’. Karena tidak ada kemungkinan cuaca lain, tiga kategori ini bersama-sama bersifat komprehensif, mencakup seluruh ruang sampel.

Contoh 2: Melempar sebuah dadu bersisi enam. Kejadian mendapatkan angka ganjil (1, 3, 5) dan kejadian mendapatkan angka genap (2, 4, 6) adalah komprehensif, karena hasil apapun yang keluar dari dadu pasti termasuk salah satu dari dua kategori tersebut.

6 Percobaan Binomial (Binomial Experiment)

Video ini berfokus pada kondisi yang harus dipenuhi agar suatu percobaan dapat dikategorikan sebagai Percobaan Binomial (Binomial Experiment) dan bagaimana menggunakan Rumus Binomial sebagai jalan pintas untuk menghitung probabilitas.

6.1 Pengaturan Binomial (Binomial Setting)

Percobaan dikatakan berada dalam pengaturan binomial jika memenuhi empat kondisi utama (dikenal dengan singkatan BINS atau Binary, Independent, Number of trials fixed, Same probability):

B (Binary/Dua Hasil): Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin: Sukses (Success) atau Gagal (Failure).

I (Independent/Independen): Hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil dari percobaan lainnya.

N (Number of trials fixed/Jumlah Percobaan Tetap): Jumlah percobaan (n) harus ditetapkan sejak awal.

S (Same probability/Probabilitas Sama): Probabilitas sukses (p) harus konstan untuk setiap percobaan.

Contoh 1: Kasus Pemasaran Digital

Sebuah perusahaan mengirirmkan 100 email pemasaran (N = 100). Peluang rata - rata email di buka (p = 0.2, sukses) diasumsikan konstan dan setiap penerima email bertindak secara independen. Ini adalah pengaturan binomial karena hanya ada 2 hasil (Binary: Dibuka/Tidak Dibuka).

Contoh 2: pelemparan koin 3 kali memenuhi semua kondisi ini, menjadikannya percobaan binomial.

Penerapan dan Perhitungan Probabilitas

Video ini menunjukkan dua contoh kasus untuk menghitung probabilitas:

Contoh Pelemparan Koin (3 kali): Probabilitas mendapatkan tepat 1 kepala dihitung dengan menjumlahkan probabilitas dari setiap urutan yang mungkin (H-T-T, T-H-T, T-T-H).

Karena setiap hasil (0.5 x 0.5 x 0.5) = 0.125, total probabilitasnya adalah 3 × 0.125 = 0.375.

Contoh Pengambilan Kelereng dengan Pengembalian (5 kali, 2 kelereng hijau dari 10 total):

• Probabilitas Sukses (p) = 2/10 = 0.2.

• Probabilitas Gagal (1-p) = 8/10 = 0.8.

Untuk mendapatkan tepat 2 sukses dan 3 gagal, ada 10 kemungkinan cara (urutan).

Probabilitas setiap urutan: \[0.2^2 \times 0.8^3 = 0.02048\]

Total probabilitas: \[10 \times 0.02048 = 0.02048\]

6.2 Rumus Probabilitas Binomial

Rumus ini adalah cara cepat untuk menghitung peluang mendapatkan jumlah sukses (k) tertentu dari total percobaan(n). Karena menghitung semua urutan yang mungkin bisa memakan waktu, video memperkenalkan Rumus Binomial sebagai jalan pintas.

Rumus tersebut adalah:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}\] k: Jumlah sukses yang diinginkan.

n: Jumlah percobaan.

p: Probabilitas sukses.

\[\binom{n}{k}\] atau nCr: Formula kombinasi, yang menghitung jumlah cara untuk mendapatkan k sukses dari n percobaan (jumlah urutan yang mungkin).

Menggunakan rumus ini pada contoh kelereng menghasilkan perhitungan: \[P(X=2) = \binom{5}{2} \times 0.2^2 \times (1-0.2)^{5-2} = 10 \times 0.04 \times 0.512 = *0.2048*\]

Contoh lain: Kasus Kontrol Kualitas

Pabrik memproduksi 10 suku cadang (n = 10). Peluang suku cadang cacat (p = 0.05). Berapa peluang tepat 1 suku cadang yang cacat (k = 1)? Rumus binomial digunakan untuk menghitung jumlah cara 1 cacat dapat terjadi (ke-1, ke-2, dst) dikalikan peluang urutan tersebut.

7 Distribusi Binomial (Binomial Distribution)

Video ini membahas tentang bagaimana Distribusi Binomial itu terlihat secara visual, dan bagaimana beberapa faktor bisa mengubah bentuknya. Ini semacam lanjutan dari video sebelumnya tentang Rumus Binomial.

Inti dari video ini adalah melihat visualisasi (diagram batang atau histogram) dari hasil perhitungan probabilitas Binomial, serta memahami apa yang memengaruhi bentuk kurvanya.

7.1 Dasar Visualisasi Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ini pada dasarnya adalah grafik yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan kita mendapatkan jumlah sukses (k) tertentu dari total percobaan (n) yang sudah kita lakukan.

Misalnya, kalau kita melempar koin 2 kali (n=2) dan sukses adalah mendapat Head (p=0.5), maka:

Kemungkinan 0 sukses (k=0) adalah 0.25.

Kemungkinan 1 sukses (k=1) adalah 0.50.

Kemungkinan 2 sukses (k=2) adalah 0.25.

Grafik batang (histogram) akan dibuat berdasarkan data ini, di mana sumbu X adalah jumlah sukses (k) dan sumbu Y adalah probabilitasnya.

7.2 Efek Jumlah Percobaan (n)

Kalau jumlah percobaan (n) kita perbanyak (misalnya dari 2 kali lempar koin jadi 10 kali), bentuk distribusinya akan mulai terlihat seperti Distribusi Normal (kurva lonceng).

Pusat Distribusi: Rata-rata \[(\mu)\] dari distribusi Binomial selalu berada di tengah-tengah kurva. Rata-rata ini dihitung dengan rumus sederhana:\[ \mu = n \times p\]

Parameter Penting Lain:

• Varians (sebaran data) dihitung:\[ n \times p \times (1-p)\]

• Standar Deviasi \[(\sigma)\] adalah akar dari Varians

7.3 Efek Probabilitas Sukses (p) pada Bentuk Kurva

Nilai probabilitas sukses (p) sangat memengaruhi bentuk kurva Binomial.

7.4 Aturan Pendekatan Normal

Meski Distribusi Binomial bisa menceng, kita tetap bisa menggunakan pendekatan Distribusi Normal (yang lebih mudah dihitung) asalkan n (jumlah percobaan) cukup besar. Ini bisa dilakukan jika memenuhi dua syarat berikut (pedoman umum):

1.\[ n \times p \geq 10\]

2.\[ n \times (1-p) \geq 10\]

Jika kedua syarat ini terpenuhi, bentuk distribusi Binomial dianggap “cukup normal” untuk menggunakan rumus Distribusi Normal dalam perhitungannya.

Contoh: Kasus Klaim Asuransi

sebuah perusahaan asuransi memproses 5.000 klaim dalam setahun (n besar). Karena jumlahnya masif, meskipun setiap klaim adalah kejadian binomial (disetujui/ditolak), total jumlah klaim yang disetujui dapat di perkirakan menggunakan pendekatan normal.