Ejercicio 1.1
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_0^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Estudio del dominio del integrando.
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \]
Para que la raíz sea real se debe cumplir \[ x^2-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le -1 \ \text{o}\ x\ge 1. \]
En el intervalo de integración \([0,+\infty)\) la función sólo está definida
para \(x\ge 1\).
Por tanto, en el tramo \([0,1)\)
el integrando no está definido en \(\mathbb{R}\) y la integral
\[ \int_0^{1}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx \]
no tiene sentido como integral real.
Esto ya indica que la integral dada \(\displaystyle \int_0^{+\infty}
\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\) no existe como integral
impropia real.
No obstante, suele estudiarse lo que ocurre desde \(x=1\) en adelante.
Paso 2: Reescribimos la parte que sí tiene sentido real.
Consideramos \[ I=\int_1^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx. \]
Esta es una integral impropia: - por tener un límite infinito (\(+\infty\)); - y porque el integrando se hace infinito cuando \(x\to 1^+\).
Por definición, \[ I = \lim_{b\to +\infty} \int_1^{b} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx. \]
Paso 3: Cálculo de una primitiva.
Calculamos una primitiva de \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\):
Tomamos \[ u = x^2-1 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du. \]
Entonces \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}+C = \sqrt{u}+C = \sqrt{x^2-1}+C. \]
Por lo tanto, \[ \int_1^{b} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx = \Big[\sqrt{x^2-1}\Big]_1^{b} = \sqrt{b^2-1}-\sqrt{1^2-1} = \sqrt{b^2-1}-0 = \sqrt{b^2-1}. \]
Paso 4: Evaluación del límite impropio.
Estudiamos el límite cuando \(b\to +\infty\): \[ I = \lim_{b\to +\infty} \sqrt{b^2-1}. \]
Como \[ \sqrt{b^2-1}\sim b \quad\text{cuando } b\to +\infty, \] se tiene \[ \lim_{b\to +\infty} \sqrt{b^2-1} = +\infty. \]
Por lo tanto, la integral \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\) diverge (no tiene valor finito).
Paso 5: Conclusión final.
El integrando no está definido en el intervalo \((0,1)\), por lo que la integral original \[ \int_0^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx \] no tiene sentido como integral impropia real.
Aun restringiendo el intervalo a \([1,+\infty)\), la integral \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\) diverge a \(+\infty\).
En consecuencia, la integral dada no es convergente y no tiene un valor numérico finito.
Ejercicio 1.2
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^{p}} \] y determinar su valor cuando sea convergente (según el parámetro real \(p\)).
Paso 1: Identificación de los puntos problemáticos.
El integrando es \[ f(x)=\frac{1}{x^{p}}=x^{-p}. \]
La integral es impropia porque: - El intervalo es infinito por la derecha (\(+\infty\)). - El integrando tiene problema en \(x=0\) (se hace infinito si \(p>0\)).
Para estudiar su naturaleza separamos el intervalo en dos partes:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^{p}} = \int_0^{1} \frac{dx}{x^{p}} + \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{p}}. \]
Para que la integral original sea convergente, ambas integrales deben ser convergentes.
Paso 2: Estudio de la integral en \([0,1)\).
Definimos \[ I_1=\int_0^{1} x^{-p}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\int_a^{1} x^{-p}\,dx. \]
Para \(p\neq 1\), \[ \int x^{-p}\,dx = \frac{x^{1-p}}{1-p}+C. \]
Entonces \[ \int_a^{1} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{a}^{1} = \frac{1^{1-p}-a^{\,1-p}}{1-p} = \frac{1-a^{\,1-p}}{1-p}. \]
Ahora analizamos el límite cuando \(a\to 0^+\):
Si \(p<1\), entonces \(1-p>0\) y \(a^{\,1-p}\to 0\).
Por tanto, \[
I_1=\lim_{a\to 0^+}\frac{1-a^{\,1-p}}{1-p}
=\frac{1-0}{1-p}
=\frac{1}{1-p}
\quad\text{(convergente)}.
\]
Si \(p>1\), entonces \(1-p<0\) y \(a^{\,1-p}\to +\infty\).
Por tanto, \(\displaystyle I_1\)
diverge.
Si \(p=1\), la primitiva es \(\displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C\), de modo que \[ \int_a^{1}\frac{dx}{x}=\ln(1)-\ln(a)=-\ln(a)\xrightarrow[a\to 0^+]{}+\infty, \] por lo que también diverge.
En resumen, la integral en \(0\) converge sólo si \(p<1\).
Paso 3: Estudio de la integral en \((1,+\infty)\).
Definimos \[ I_2=\int_1^{+\infty} x^{-p}\,dx =\lim_{b\to +\infty}\int_1^{b} x^{-p}\,dx. \]
Para \(p\neq 1\), usando la misma primitiva, \[ \int_1^{b} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^{b} = \frac{b^{1-p}-1}{1-p}. \]
Estudiamos el límite cuando \(b\to +\infty\):
Si \(p>1\), entonces \(1-p<0\) y \(b^{1-p}\to 0\).
Por tanto, \[
I_2=\lim_{b\to +\infty}\frac{b^{1-p}-1}{1-p}
=\frac{0-1}{1-p}
=\frac{1}{p-1}
\quad\text{(convergente)}.
\]
Si \(p<1\), entonces \(1-p>0\) y \(b^{1-p}\to +\infty\).
Luego \(\displaystyle I_2\)
diverge.
Si \(p=1\),
\[
\int_1^{b}\frac{dx}{x}=\ln(b)-\ln(1)=\ln(b)\xrightarrow[b\to
+\infty]{}+\infty,
\] y la integral diverge.
En resumen, la integral en \(\infty\) converge sólo si \(p>1\).
Paso 4: Conclusión final.
Para que \[ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^{p}} \] sea convergente, deben cumplirse simultáneamente:
Estas condiciones no pueden cumplirse al mismo tiempo para ningún número real \(p\).
Por lo tanto:
La integral impropia \[ \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^{p}} \] diverge para todo valor real de \(p\).
En consecuencia, no existe valor numérico finito para la integral en el intervalo completo \((0,+\infty)\).
(Como resumen parcial: \(\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{x^{p}}\) converge si \(p<1\) y \(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}\) converge si \(p>1\), pero nunca ambas a la vez.)
Ejercicio 1.3
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=\frac{1}{(x^2+x+1)^2}. \]
El denominador es un polinomio cuadrático. Completamos cuadrado: \[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0\quad \forall x\in\mathbb{R}. \] Por tanto, \(f(x)\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) y el único motivo de impropiedad es que el intervalo de integración es infinito: \[ (-\infty,+\infty). \]
Además, cuando \(|x|\to\infty\),
\[
f(x)\sim \frac{1}{x^4},
\] lo que sugiere que la integral debe converger (la potencia
\(4>1\)).
Definimos la integral impropia como \[
I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+x+1)^2}
=\lim_{a\to -\infty}\lim_{b\to
+\infty}\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}.
\]
Paso 2: Cambio de variable para simplificar el denominador.
Completamos cuadrado y hacemos una traslación: \[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34. \]
Sea \[ t=x+\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=t-\frac12,\quad dx=dt. \]
Cuando \(x\to-\infty\) tenemos \(t\to-\infty\),
cuando \(x\to+\infty\) tenemos \(t\to+\infty\).
Así, la integral se convierte en
\[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{\left(t^2+\dfrac34\right)^2}. \]
Escribimos \[ t^2+\frac34 = t^2 + a^2, \quad\text{donde}\quad a^2=\frac34 \Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Entonces \[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{(t^2+a^2)^2},\qquad a=\frac{\sqrt{3}}{2}>0. \]
Paso 3: Cálculo de una primitiva de \(\displaystyle \frac{1}{(t^2+a^2)^2}\).
Para \(a>0\) se puede demostrar (por integración por partes) que \[ \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^2} = \frac{t}{2a^2(t^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C. \]
Por tanto, \[ \int_{-R}^{R} \frac{dt}{(t^2+a^2)^2} = \left[ \frac{t}{2a^2(t^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\left(\frac{t}{a}\right) \right]_{-R}^{R}, \] donde luego haremos \(R\to+\infty\).
Paso 4: Límite cuando \(R\to+\infty\).
Evaluamos en \(\pm R\):
\[ \int_{-R}^{R} \frac{dt}{(t^2+a^2)^2} = \left( \frac{R}{2a^2(R^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\left(\frac{R}{a}\right) \right) - \left( \frac{-R}{2a^2(R^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\left(\frac{-R}{a}\right) \right). \]
Agrupamos términos:
Parte racional: \[ \frac{R}{2a^2(R^2+a^2)} - \left(-\frac{R}{2a^2(R^2+a^2)}\right) = \frac{2R}{2a^2(R^2+a^2)} = \frac{R}{a^2(R^2+a^2)}\xrightarrow[R\to+\infty]{}0, \] porque el denominador crece como \(R^3\).
Parte con arctan: [ [ ()
() ]. ]
Sabemos que \[ \lim_{R\to+\infty}\arctan\left(\frac{R}{a}\right)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{R\to+\infty}\arctan\left(\frac{-R}{a}\right)=-\frac{\pi}{2}, \] por lo que \[ \lim_{R\to+\infty} \left[ \arctan\left(\frac{R}{a}\right) - \arctan\left(\frac{-R}{a}\right) \right] = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi. \]
Así, \[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{(t^2+a^2)^2} =\frac{1}{2a^3}\cdot\pi =\frac{\pi}{2a^3}. \]
Para \(a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \[ a^3=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{3\sqrt{3}}{8} \quad\Rightarrow\quad 2a^3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}. \]
Entonces \[ I =\frac{\pi}{2a^3} =\frac{\pi}{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}} =\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}. \]
Si se desea, se puede racionalizar el denominador: \[ I=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}. \]
Paso 5: Conclusión final.
La integral impropia \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} \] es convergente, porque el integrando es continuo en todo \(\mathbb{R}\) y disminuye como \(\dfrac{1}{x^4}\) cuando \(|x|\to\infty\).
Su valor es \[ \boxed{ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9} }. \]
Ejercicio 1.4
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_0^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}. \]
Está definido para \(x>0\), pero
no está definido en \(x=0\), ya que el denominador se hace
cero.
Por tanto, la integral \[
\int_0^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
\] es una integral impropia por presentar una
singularidad en el extremo izquierdo del intervalo.
Por definición, \[ I=\int_0^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\int_a^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx. \]
Paso 2: Cambio de variable.
Tomamos \[ t=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad x=t^{2},\quad dx=2t\,dt. \]
Además, \[ \sqrt{x}=t,\qquad \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{e^{t}}{t}\cdot 2t\,dt = 2e^{t}\,dt. \]
Cambiamos también los límites:
Así, \[ \int_a^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{\sqrt{a}}^{1} 2e^{t}\,dt. \]
Paso 3: Cálculo de la integral.
\[ \int_{\sqrt{a}}^{1} 2e^{t}\,dt = 2\left[ e^{t} \right]_{\sqrt{a}}^{1} = 2\big(e^{1}-e^{\sqrt{a}}\big) = 2\big(e-e^{\sqrt{a}}\big). \]
Por lo tanto, \[ I=\lim_{a\to 0^+} 2\big(e-e^{\sqrt{a}}\big). \]
Cuando \(a\to 0^+\), se tiene \(\sqrt{a}\to 0\) y por continuidad de la exponencial, \(e^{\sqrt{a}}\to e^{0}=1\). Entonces:
\[ I = 2\big(e-1\big). \]
Este valor es finito, por lo que la integral es convergente.
Paso 4: Conclusión final.
La integral impropia \[ \int_0^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx \] es convergente y su valor es
\[ \boxed{ \displaystyle \int_0^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = 2\big(e-1\big). } \]
Ejercicio 1.5
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_{-\infty}^{0} \cos(x)\,dx \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=\cos(x), \] función continua para todo \(x\in\mathbb{R}\).
La integral es impropia únicamente porque el intervalo de integración es infinito por la izquierda: \[ (-\infty,0]. \]
Por definición, \[ I=\int_{-\infty}^{0} \cos(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} \cos(x)\,dx, \] siempre que este límite exista y sea finito.
Paso 2: Cálculo de la integral con límite finito.
Sabemos que \[ \int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C. \]
Entonces, para \(a<0\), \[ \int_{a}^{0}\cos(x)\,dx = \left[\sin(x)\right]_{a}^{0} = \sin(0)-\sin(a) = 0-\sin(a) = -\sin(a). \]
Por tanto, \[ I=\lim_{a\to -\infty} \big(-\sin(a)\big) = -\lim_{a\to -\infty} \sin(a). \]
Paso 3: Estudio del límite.
La función seno oscila entre \(-1\) y \(1\), y no tiene límite cuando su argumento tiende a \(-\infty\):
\[ \lim_{a\to -\infty}\sin(a) \quad\text{no existe}. \]
Por lo tanto, \[ \lim_{a\to -\infty} \big(-\sin(a)\big) \] tampoco existe.
En consecuencia, la integral impropia \[ \int_{-\infty}^{0} \cos(x)\,dx \] no converge.
(Observación: incluso si consideráramos el valor principal de Cauchy \(\displaystyle \lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{0}\cos(x)\,dx=\lim_{A\to+\infty}\sin(A)\), este límite tampoco existe, por lo que no hay “valor” aceptable ni siquiera en ese sentido.)
Paso 4: Conclusión final.
La integral impropia \[
\int_{-\infty}^{0} \cos(x)\,dx
\] es divergente, ya que el límite que la define
no existe.
Por lo tanto, no tiene un valor numérico finito.
Ejercicio 1.6
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_{-\infty}^{0} x e^{-4x}\,dx \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=x e^{-4x}. \]
La función \(f(x)\) es continua para
todo \(x\in\mathbb{R}\), por lo que no
hay problemas en el punto \(x=0\).
La integral es impropia únicamente porque el intervalo es infinito por
la izquierda: \[
(-\infty,0].
\]
Por definición, \[ I=\int_{-\infty}^{0} x e^{-4x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} x e^{-4x}\,dx, \] siempre que este límite exista y sea finito.
Paso 2: Cálculo de una primitiva (integración por partes).
Queremos una primitiva de \(x
e^{-4x}\).
Aplicamos integración por partes:
\[ \begin{cases} u = x, & du = dx,\\[4pt] dv = e^{-4x}dx, & v = \displaystyle -\frac{1}{4}e^{-4x}. \end{cases} \]
Entonces \[ \int x e^{-4x}\,dx = u\,v-\int v\,du = x\left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right) -\int\left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right)dx. \]
\[ \Rightarrow\ \int x e^{-4x}\,dx = -\frac{x}{4}e^{-4x}+\frac{1}{4}\int e^{-4x}dx = -\frac{x}{4}e^{-4x}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right)+C. \]
\[ \Rightarrow\ \int x e^{-4x}\,dx = -\frac{x}{4}e^{-4x}-\frac{1}{16}e^{-4x}+C = \frac{(-4x-1)e^{-4x}}{16}+C. \]
Por lo tanto, \[ \int_{a}^{0} x e^{-4x}\,dx = \left[\frac{(-4x-1)e^{-4x}}{16}\right]_{a}^{0} = \frac{(-4\cdot 0-1)e^{0}}{16} - \frac{(-4a-1)e^{-4a}}{16}. \]
\[ \Rightarrow\ \int_{a}^{0} x e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{16} -\frac{(-4a-1)e^{-4a}}{16} = \frac{(4a+1)e^{-4a}-1}{16}. \]
Paso 3: Estudio del límite cuando \(a\to -\infty\).
Analizamos el término \((4a+1)e^{-4a}\) cuando \(a\to -\infty\).
Escribimos \(a=-t\) con \(t\to +\infty\): \[ (4a+1)e^{-4a} = (4(-t)+1)e^{-4(-t)} = (-4t+1)e^{4t}. \]
Cuando \(t\to +\infty\), \[ (-4t+1)e^{4t}\to -\infty, \] ya que el factor exponencial \(e^{4t}\) crece mucho más rápido que el factor lineal \(-4t+1\).
Por tanto, \[ \lim_{a\to -\infty} (4a+1)e^{-4a} = -\infty. \]
Entonces \[ I =\lim_{a\to -\infty}\frac{(4a+1)e^{-4a}-1}{16} = \frac{-\infty-1}{16} = -\infty. \]
El valor de la integral impropia tiende a \(-\infty\), es decir, no es convergente.
Paso 4: Conclusión final.
La integral impropia \[
\int_{-\infty}^{0} x e^{-4x}\,dx
\] es divergente, ya que el límite que la define
es \(-\infty\).
En consecuencia, no tiene un valor numérico finito.
Ejercicio 1.7
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}=(3-x)^{-1/2}. \]
Para que la raíz sea real se requiere \(3-x>0\Rightarrow x<3\).
En el intervalo \([0,3)\) la función
está bien definida, pero en \(x=3\) el
denominador se hace cero.
Por tanto, la integral \[ \int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} \] es una integral impropia por presentar una singularidad en el extremo derecho del intervalo.
Por definición, \[ I = \int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \lim_{b\to 3^-}\int_0^{b} \frac{dx}{\sqrt{3-x}}. \]
Paso 2: Cambio de variable.
Tomamos \[ u = 3-x \quad\Rightarrow\quad du = -dx \quad\Rightarrow\quad dx=-du. \]
Cambiamos también los límites:
Así, \[ \int_0^{b}\frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \int_{u=3}^{u=3-b} \frac{-du}{\sqrt{u}} = \int_{3-b}^{3} \frac{du}{\sqrt{u}}. \]
Por lo tanto, \[ \int_0^{b}\frac{dx}{\sqrt{3-x}} = \int_{3-b}^{3} u^{-1/2}\,du. \]
Paso 3: Cálculo de la integral.
Sabemos que \[ \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{u}+C. \]
Entonces \[ \int_{3-b}^{3} u^{-1/2}\,du = \left[2\sqrt{u}\right]_{3-b}^{3} = 2\sqrt{3}-2\sqrt{3-b}. \]
Así, \[ I = \lim_{b\to 3^-}\left(2\sqrt{3}-2\sqrt{3-b}\right). \]
Cuando \(b\to 3^-\), se tiene \(3-b\to 0^+\), luego \(\sqrt{3-b}\to 0\). Por tanto,
\[ I = 2\sqrt{3}-2\cdot 0 = 2\sqrt{3}. \]
El valor es finito, por lo que la integral es convergente.
Paso 4: Conclusión final.
La integral impropia \[ \int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} \] es convergente y su valor es
\[ \boxed{ \displaystyle \int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{3-x}} = 2\sqrt{3}. } \]
Ejercicio 1.8
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|e^{-x^2}\,dx \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=|x|e^{-x^2}. \]
Por tanto, \(f(x)\) es continua en
\(\mathbb{R}\) y no presenta
singularidades.
La integral es impropia únicamente porque el intervalo es infinito:
\[ (-\infty,+\infty). \]
Por definición, \[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} |x|e^{-x^2}\,dx =\lim_{a\to -\infty}\lim_{b\to +\infty} \int_{a}^{b}|x|e^{-x^2}\,dx. \]
Además, \(f(x)\ge 0\) para todo \(x\), por lo que si el límite existe, la integral es convergente en sentido usual (no es condicional).
Paso 2: Uso de simetría (función par).
Observemos que \[ |x|e^{-x^2} \quad\text{es función par,} \qquad |{-x}|e^{-(-x)^2}=|x|e^{-x^2}. \]
Por tanto, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|e^{-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx. \]
Así, basta estudiar la integral en \([0,+\infty)\):
\[ I = 2\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx. \]
Esta integral es impropia sólo por el límite infinito \(+\infty\).
Paso 3: Cambio de variable para calcular la integral.
Definimos \[ u = x^2 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du. \]
Cuando \(x=0\), entonces \(u=0\);
cuando \(x\to +\infty\), entonces \(u\to +\infty\).
Entonces \[ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du. \]
La integral exponencial es \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du = \left[-e^{-u}\right]_{0}^{+\infty} = 0-(-1)=1. \]
Por tanto, \[ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}. \]
Paso 4: Valor de la integral original.
Recordando que \[ I = 2\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx, \] obtenemos \[ I = 2\cdot\frac{1}{2} = 1. \]
El valor es finito, por lo que la integral impropia es convergente.
Paso 5: Conclusión final.
La integral impropia \[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x|e^{-x^2}\,dx \] es convergente (el integrando es no negativo y decrece rápidamente cuando \(|x|\to\infty\)) y su valor es
\[ \boxed{ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x|e^{-x^2}\,dx = 1. } \]
Ejercicio 1.9
Estudiar la naturaleza de la integral \[ \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Naturaleza de la integral.
El integrando es \[ f(x)=\frac{1}{x\sqrt{3x+2}}. \]
Para \(x\ge 2\) se cumple \(x>0\) y \(3x+2>0\), por lo tanto \(\sqrt{3x+2}\) está bien definida y \(f(x)\) es continua en \([2,+\infty)\).
La integral es impropia solo porque el intervalo es infinito por la derecha: \[ [2,+\infty). \]
Por definición, \[ I=\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} =\lim_{b\to +\infty}\int_2^{b} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}}. \]
Antes de calcularla, notamos que para \(x\) grande \[ f(x)\approx \frac{1}{x\sqrt{3x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{x^{3/2}}, \] y como \(\displaystyle\int^{+\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}\) converge, esperamos que la integral sea convergente.
Paso 2: Cambio de variable.
Tomamos \[ t=\sqrt{3x+2}\quad\Rightarrow\quad t^2=3x+2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{t^2-2}{3}, \] \[ dx = \frac{2t}{3}\,dt. \]
Entonces, \[ x\sqrt{3x+2} = x\,t = \frac{t^2-2}{3}\,t. \]
El integrando se transforma en \[ \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} = \frac{\dfrac{2t}{3}dt}{\dfrac{t^2-2}{3}\,t} = \frac{2t}{3}\cdot\frac{3}{t(t^2-2)}\,dt = \frac{2}{t^2-2}\,dt. \]
Cambiamos también los límites:
Por lo tanto, \[ \int_2^{b} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} = \int_{2\sqrt{2}}^{\sqrt{3b+2}} \frac{2}{t^2-2}\,dt. \]
Paso 3: Cálculo de la integral en la nueva variable.
Escribimos \[ \int \frac{2}{t^2-2}\,dt = 2\int \frac{dt}{t^2-(\sqrt{2})^2}. \]
Sabemos que, para \(a>0\), \[ \int \frac{dt}{t^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{t-a}{t+a}\right|+C. \]
Aquí \(a=\sqrt{2}\), entonces \[ \int \frac{2}{t^2-2}\,dt =2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right| =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C. \]
Por tanto, \[ \int_{2\sqrt{2}}^{\sqrt{3b+2}} \frac{2}{t^2-2}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \ln\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right| \right]_{2\sqrt{2}}^{\sqrt{3b+2}}. \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln\left|\frac{\sqrt{3b+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}+\sqrt{2}}\right| - \ln\left|\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}\right| \right). \]
Simplificamos el segundo logaritmo: \[ \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3}. \]
Entonces \[ \int_2^{b} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln\left|\frac{\sqrt{3b+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}+\sqrt{2}}\right| -\ln\left(\frac{1}{3}\right) \right). \]
Paso 4: Límite cuando \(b\to+\infty\).
Estudiamos \[ \lim_{b\to+\infty} \frac{\sqrt{3b+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}+\sqrt{2}}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(\sqrt{3b+2}\):
\[ \frac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}}}{1+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}}} \;\xrightarrow[b\to+\infty]{}\; \frac{1-0}{1+0}=1. \]
Por tanto, \[ \lim_{b\to+\infty} \ln\left|\frac{\sqrt{3b+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3b+2}+\sqrt{2}}\right| =\ln(1)=0. \]
Así, \[ I=\lim_{b\to+\infty}\int_2^{b} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(0-\ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln 3. \]
El valor es finito, por lo que la integral es convergente.
Paso 5: Conclusión final.
La integral impropia \[ \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} \] es convergente y su valor es
\[ \boxed{ \displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{3x+2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln 3. } \]
Ejercicio 2.1
Dada la sucesión \[ a_n=\frac{n+1}{2n+8},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Primeros términos de la sucesión.
\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{1+1}{2\cdot 1+8} = \frac{2}{10} = 0{,}2,\\[2mm] a_2 &= \frac{2+1}{2\cdot 2+8} = \frac{3}{12} = 0{,}25,\\[2mm] a_3 &= \frac{3+1}{2\cdot 3+8} = \frac{4}{14} \approx 0{,}2857,\\[2mm] a_4 &= \frac{4+1}{2\cdot 4+8} = \frac{5}{16} = 0{,}3125. \end{aligned} \]
Se observa que los términos parecen aumentar y acercarse a un valor cercano a \(0{,}5\).
Paso 2: Estudio de la monotonía (creciente / decreciente).
Consideramos la función \[ f(x)=\frac{x+1}{2x+8}, \quad x\ge 1. \]
Calculamos su derivada: \[ f'(x)=\frac{(2x+8)\cdot 1 - (x+1)\cdot 2}{(2x+8)^2} =\frac{2x+8-2x-2}{(2x+8)^2} =\frac{6}{(2x+8)^2}. \]
Como \((2x+8)^2>0\) para todo \(x\ge 1\), se tiene \[ f'(x)>0 \quad\Rightarrow\quad f(x) \text{ es creciente en } [1,+\infty). \]
Por tanto, la sucesión \((a_n)\) es creciente: \[ a_1 < a_2 < a_3 < \cdots \]
Paso 3: Cálculo del límite.
Calculamos \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n+8}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n\): \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n+8} = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{8}{n}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}. \]
Luego, \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{2}. \]
Además, como \(a_n\) es creciente y \[ a_n < \frac{1}{2} \quad \text{para todo } n\in\mathbb{N}, \] la sucesión es creciente y está acotada superiormente por \(\frac{1}{2}\), por lo que necesariamente converge a ese valor.
Paso 4: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\frac{n+1}{2n+8} \] es creciente, acotada y por tanto convergente, con límite
\[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{2}. } \]
Ejercicio 2.2
Dada la sucesión \[ a_n=\frac{3n^3-5n^2+4}{\,n+2n^3\,},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Primeros términos de la sucesión.
\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{3\cdot1^3-5\cdot1^2+4}{1+2\cdot1^3} =\frac{3-5+4}{3}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67,\\[2mm] a_2 &= \frac{3\cdot8-5\cdot4+4}{2+2\cdot8} =\frac{24-20+4}{18}=\frac{8}{18}\approx 0{,}44,\\[2mm] a_3 &= \frac{3\cdot27-5\cdot9+4}{3+2\cdot27} =\frac{81-45+4}{57}=\frac{40}{57}\approx 0{,}70. \end{aligned} \]
La sucesión va tomando valores cercanos pero inferiores a \(1{,}5\).
Paso 2: Cálculo del límite.
Para estudiar el límite cuando \(n\to\infty\), trabajamos con los términos de mayor grado:
\[ a_n=\frac{3n^3-5n^2+4}{n+2n^3} =\frac{3n^3-5n^2+4}{2n^3+n}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n^3\):
\[ a_n =\frac{3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^3}} {2+\dfrac{1}{n^2}}. \]
Ahora hacemos tender \(n\) a infinito:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{3-0+0}{2+0} = \frac{3}{2}. \]
Por tanto, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{3}{2}.} \]
La sucesión es, por tanto, convergente y su límite es \(\dfrac{3}{2}\).
Paso 3: Comentario sobre el comportamiento.
Podemos comparar con el límite: \[ a_n-\frac{3}{2} =\frac{3n^3-5n^2+4}{n+2n^3}-\frac{3}{2} =\frac{-10n^2-3n+8}{4n^3+2n}. \]
Para \(n\) suficientemente grande,
el numerador \(-10n^2-3n+8\) es
negativo y el denominador \(4n^3+2n\)
es positivo, luego \(a_n-\dfrac{3}{2}<0\).
Es decir, los términos de la sucesión quedan por debajo
del límite \(\dfrac{3}{2}\) y se van
acercando a él.
Ejercicio 2.3
Dada la sucesión \[ a_n=\frac{(2n+1)!}{(2n+4)!},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Simplificar el término general.
Usamos la definición de factorial: \[ (2n+4)! = (2n+4)(2n+3)(2n+2)(2n+1)!. \]
Entonces \[ a_n =\frac{(2n+1)!}{(2n+4)!} =\frac{(2n+1)!}{(2n+4)(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}. \]
Cancelamos \((2n+1)!\) en numerador y denominador:
\[ a_n=\frac{1}{(2n+4)(2n+3)(2n+2)}. \]
Así, cada término es un número positivo y muy pequeño para \(n\) grande.
Paso 2: Cálculo del límite.
Tenemos \[ a_n=\frac{1}{(2n+4)(2n+3)(2n+2)}. \]
Cuando \(n\to\infty\), el producto del denominador crece sin cota (es del orden de \(n^3\)). Más formalmente:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(2n+4)(2n+3)(2n+2)} =0, \] porque el denominador tiende a \(+\infty\).
Por lo tanto, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.} \]
Paso 3: Conclusión sobre la convergencia.
Como es decreciente y está acotada inferiormente, la sucesión es convergente, y su límite es \(0\).
Ejercicio 2.4
Dada la sucesión \[ a_n=\frac{n}{\sqrt{16n^2+1}},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Cálculo del límite.
Consideramos \[ a_n=\frac{n}{\sqrt{16n^2+1}}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n\) (recordando que \(n>0\)):
\[ a_n =\frac{n}{\sqrt{16n^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{16+\dfrac{1}{n^2}}}. \]
Ahora hacemos tender \(n\) a infinito:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{\sqrt{16+0}} = \frac{1}{4}. \]
Por tanto, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{4}.} \]
Paso 2: Acotación y monotonicidad.
Observamos que, para todo \(n\in\mathbb{N}\), \[ \sqrt{16n^2+1}>\sqrt{16n^2}=4n \quad\Rightarrow\quad a_n=\frac{n}{\sqrt{16n^2+1}}<\frac{n}{4n}=\frac{1}{4}. \]
Es decir, la sucesión está acotada superiormente por \(\dfrac{1}{4}\).
Para ver que es creciente, asociamos la función \[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{16x^2+1}},\quad x>0. \]
Calculamos su derivada: \[ f'(x)=\frac{1}{(16x^2+1)^{3/2}}>0 \quad \text{para todo } x>0. \]
Entonces \(f(x)\) es creciente en \((0,+\infty)\) y, en particular, la sucesión \((a_n)\) es creciente: \[ a_1 < a_2 < a_3 < \cdots \]
Paso 3: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\frac{n}{\sqrt{16n^2+1}} \] es creciente y está acotada superiormente por \(\dfrac{1}{4}\), por lo que es convergente, y su límite es
\[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{4}. } \]
Ejercicio 2.5
Dada la sucesión \[ a_n=\sqrt{\frac{n+2}{n+3}},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Reescribir el término general.
Trabajamos primero con el cociente interior: \[ \frac{n+2}{n+3} = \frac{n+3-1}{n+3} = 1-\frac{1}{n+3}. \]
Por tanto, \[ a_n=\sqrt{\frac{n+2}{n+3}} =\sqrt{1-\frac{1}{n+3}}. \]
Paso 2: Cálculo del límite.
Como \(\displaystyle \frac{1}{n+3}\to 0\) cuando \(n\to\infty\), se tiene \[ 1-\frac{1}{n+3}\longrightarrow 1. \]
La función raíz cuadrada es continua en \((0,+\infty)\), de modo que podemos pasar el límite al interior:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n+3}} = \sqrt{\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+3}\right)} = \sqrt{1}=1. \]
Por tanto, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1.} \]
Paso 3: Acotación y monotonía.
Del Paso 1: \[
\frac{n+2}{n+3}=1-\frac{1}{n+3}<1
\quad\Rightarrow\quad
0<a_n=\sqrt{\frac{n+2}{n+3}}<1
\] para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión está acotada superiormente
por \(1\).
Además, el cociente interior \[ b_n=\frac{n+2}{n+3}=1-\frac{1}{n+3} \] es creciente, porque el término \(-\dfrac{1}{n+3}\) aumenta al crecer \(n\). Como la raíz cuadrada es una función creciente, de \(b_n<b_{n+1}\) se deduce \[ a_n=\sqrt{b_n}<\sqrt{b_{n+1}}=a_{n+1}. \]
Luego la sucesión \((a_n)\) es creciente y acotada superiormente por \(1\).
Paso 4: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\sqrt{\frac{n+2}{n+3}} \] es creciente y está acotada superiormente por \(1\), por lo que es convergente, con límite
\[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1. } \]
Ejercicio 2.6
Dada la sucesión \[ a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n,\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Reconocer el tipo de sucesión.
La sucesión \[ a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n \] es una sucesión geométrica de razón \[ r=\frac{2}{3}, \] con \(|r|=\dfrac{2}{3}<1\).
Recordemos que, para una sucesión geométrica \(a_n=r^n\) con \(|r|<1\), se cumple \[ \lim_{n\to\infty} r^n = 0. \]
Paso 2: Cálculo del límite.
Aplicando la propiedad anterior con \(r=\dfrac{2}{3}\):
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n =0. \]
Por tanto, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.} \]
Paso 3: Acotación y monotonicidad.
Como \(0<\dfrac{2}{3}<1\), se cumple que \[ 0<\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} = \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n < \left(\frac{2}{3}\right)^n, \] por lo que la sucesión es decreciente y está acotada inferiormente por \(0\).
Al ser decreciente y estar acotada inferiormente, necesariamente converge, y el límite ya obtenido es \(0\).
Paso 4: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n \] es geométrica, decreciente, acotada inferiormente por \(0\) y convergente, con límite
\[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0. } \]
Ejercicio 2.7
Dada la sucesión \[ a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^n,\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Reconocer el tipo de sucesión.
La sucesión \[ a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^n \] es una sucesión geométrica de razón \[ r=\frac{4}{3}, \] con \(|r|=\dfrac{4}{3}>1\).
Recordemos que, para una sucesión geométrica \(a_n=r^n\):
Aquí estamos en el segundo caso (\(r>1\)).
Paso 2: Comportamiento de los términos.
Calculamos algunos valores:
\[ a_1=\frac{4}{3}\approx 1{,}33,\qquad a_2=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\approx 1{,}78,\qquad a_3=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27}\approx 2{,}37. \]
Cada vez que aumentamos \(n\) en 1, multiplicamos por \(\dfrac{4}{3}>1\):
\[ a_{n+1}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1} =\frac{4}{3}\left(\frac{4}{3}\right)^n =\frac{4}{3}a_n > a_n. \]
Por tanto, la sucesión es estrictamente creciente y sus términos se alejan sin cota superior.
Paso 3: Límite de la sucesión.
Como \(r=\dfrac{4}{3}>1\), sabemos que \[ \left(\frac{4}{3}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty. \]
Es decir, los términos crecen indefinidamente y no se acercan a ningún valor finito. Por ello decimos que la sucesión es divergente.
Formalmente: \[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{4}{3}\right)^n = +\infty \quad\Rightarrow\quad \text{la sucesión no es convergente.} } \]
Paso 4: Conclusión.
La sucesión geométrica \[ a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^n \] es creciente y no está acotada superiormente, por lo que diverge. No existe límite finito de la sucesión.
Ejercicio 2.8
Dada la sucesión \[ a_n=\left(1-\frac{2}{3n}\right)^n,\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Forma general del término.
Escribimos \[ a_n=\left(1+\frac{-2}{3n}\right)^n. \]
Reconocemos el esquema típico \[ \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{x}. \]
En nuestro caso \(x=-\dfrac{2}{3}\).
Paso 2: Cálculo del límite usando logaritmos.
Consideramos el logaritmo de \(a_n\): \[ \ln(a_n) = n\ln\left(1-\frac{2}{3n}\right). \]
Sabemos que, para \(|t|\) pequeño, \[ \ln(1+t)\sim t \quad (t\to 0). \]
Tomamos \[ t=-\frac{2}{3n}\quad\Rightarrow\quad t\to 0 \text{ cuando } n\to\infty. \]
Entonces \[ \ln\left(1-\frac{2}{3n}\right) \sim -\frac{2}{3n}. \]
Por tanto \[ \ln(a_n) = n\ln\left(1-\frac{2}{3n}\right) \sim n\left(-\frac{2}{3n}\right) = -\frac{2}{3}. \]
De aquí obtenemos \[ \lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=-\frac{2}{3}. \]
Aplicando la función exponencial (que es continua): \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \exp\left(\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)\right) = e^{-2/3}. \]
Así, \[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{3n}\right)^n = e^{-2/3}. } \]
Paso 3: Comentario sobre el comportamiento.
Para \(n\ge 1\), \[ 0<1-\frac{2}{3n}<1 \quad\Rightarrow\quad 0<a_n<1. \]
Los términos son positivos y, al aumentar \(n\), el factor \(\left(1-\frac{2}{3n}\right)\) se acerca a 1; la sucesión resulta ser creciente y se aproxima al valor límite \(e^{-2/3}\approx 0{,}513\).
Paso 4: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\left(1-\frac{2}{3n}\right)^n \] es convergente y su límite es
\[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{3n}\right)^n = e^{-2/3}. } \]
Ejercicio 2.9
Dada la sucesión \[ a_n=\left(\frac{2n+1}{2n+4}\right)^{\frac{n^2}{n+1}},\qquad n\in\mathbb{N}, \] estudiar si es convergente y, en caso afirmativo, determinar su límite.
Paso 1: Reescribir el término general.
Trabajamos primero con la base de la potencia: \[ \frac{2n+1}{2n+4} = \frac{2n+4-3}{2n+4} = 1-\frac{3}{2n+4}. \]
Así, \[ a_n=\left(1-\frac{3}{2n+4}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}. \]
Reconocemos la forma \[ \left(1+x_n\right)^{y_n}, \qquad x_n\to 0,\ y_n\to +\infty, \] que suele conducir a un límite exponencial del tipo \(e^{\lim x_n y_n}\).
Paso 2: Producto \(x_n y_n\).
Tomamos \[ x_n=-\frac{3}{2n+4}, \qquad y_n=\frac{n^2}{n+1}. \]
Entonces \[ x_n y_n = -\frac{3}{2n+4}\cdot\frac{n^2}{n+1} = -\frac{3n^2}{(n+1)(2n+4)} = -\frac{3n^2}{2(n+1)(n+2)}. \]
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to\infty} x_n y_n = -\frac{3}{2}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)(n+2)} = -\frac{3}{2}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+3n+2} = -\frac{3}{2}\cdot 1 = -\frac{3}{2}. \]
Además, \[ \lim_{n\to\infty} x_n = 0, \qquad \lim_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n+1}=+\infty. \]
Paso 3: Uso de logaritmos para el límite.
Consideramos el logaritmo: \[ \ln(a_n) = \frac{n^2}{n+1}\,\ln\left(1-\frac{3}{2n+4}\right). \]
Para \(|t|\) pequeño, sabemos que \[ \ln(1+t)\sim t \quad (t\to 0). \]
Aquí \[ t=-\frac{3}{2n+4}\to 0, \] por lo que \[ \ln\left(1-\frac{3}{2n+4}\right) \sim -\frac{3}{2n+4}. \]
Entonces \[ \ln(a_n) \sim \frac{n^2}{n+1}\left(-\frac{3}{2n+4}\right) = x_n y_n \longrightarrow -\frac{3}{2}. \]
De aquí, \[ \lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=-\frac{3}{2}. \]
Aplicando la exponencial (función continua):
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \exp\left(\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)\right) = e^{-3/2}. \]
Por tanto, \[ \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2n+1}{2n+4}\right)^{\frac{n^2}{n+1}} = e^{-3/2}. } \]
Paso 4: Conclusión.
La sucesión \[ a_n=\left(\frac{2n+1}{2n+4}\right)^{\frac{n^2}{n+1}} \] es convergente, y su límite es
\[ \boxed{ e^{-3/2}. } \]
Ejercicio 3.1
Estudiar la naturaleza de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Definición de sumas parciales.
Sea \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} =1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n} \] la n-ésima suma parcial de la serie.
La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) es convergente si y solo si la sucesión \((S_n)\) es convergente, es decir, si existe \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n\).
Paso 2: Comparación con una integral impropia.
Consideramos la función \[ f(x)=\frac{1}{x},\quad x\ge 1, \] que es positiva, continua y decreciente.
Estudiamos la integral impropia \[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx. \]
Por definición, \[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_1^{b}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to+\infty}[\ln x]_1^{b} = \lim_{b\to+\infty}(\ln b-\ln 1) = \lim_{b\to+\infty}\ln b =+\infty. \]
La integral impropia diverge.
El criterio de la integral dice:
Si \(f(x)\ge 0\) es continua y decreciente en \([1,+\infty)\), entonces
la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\) converge si y solo si
la integral \(\int_1^{+\infty} f(x)\,dx\) converge.
Como la integral de \(1/x\) diverge, concluimos que la serie también diverge.
Paso 3 (comentario alternativo): Argumento por agrupación.
Podemos agrupar términos: \[ \begin{aligned} S_n &= 1 +\frac12 +\left(\frac13+\frac14\right) +\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right) +\cdots \end{aligned} \]
En cada grupo: \[ \frac13+\frac14 > \frac14+\frac14=\frac12,\qquad \frac15+\cdots+\frac18 > 4\cdot\frac18=\frac12, \] y así sucesivamente (cada grupo aporta más de \(\tfrac12\)).
Por tanto, al sumar infinitos grupos, las sumas parciales crecen sin cota: \[ S_n\to +\infty. \]
Paso 4: Conclusión final.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] es la serie armónica.
Ejercicio 3.2
Estudiar la naturaleza de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Término general de la serie.
Sea \[ a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n. \]
Recordemos el criterio necesario de convergencia:
Si la serie \(\displaystyle \sum a_n\) es convergente, entonces el término general debe satisfacer \[ \lim_{n\to\infty} a_n = 0. \]
Por tanto, antes de estudiar la serie, calculamos el límite de \(a_n\).
Paso 2: Límite del término general.
Sabemos que \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^{x}. \]
En nuestro caso \[ a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n =\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n, \] por lo que corresponde a \(x=-1\).
Entonces \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}\neq 0. \]
Paso 3: Aplicación del criterio necesario.
Como \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{e}\neq 0, \] se viola la condición necesaria para la convergencia de una serie.
Por lo tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \] no puede ser convergente.
En consecuencia, sus sumas parciales crecen sin acercarse a ningún valor finito y la serie es divergente.
Paso 4: Conclusión final.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \] es divergente, ya que su término general no tiende a cero: \[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}\neq 0 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \text{ diverge.} } \]
Ejercicio 3.3
Estudiar la naturaleza de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right) \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Término general de la serie.
Sea \[ a_n = n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right). \]
Recordemos el criterio necesario de convergencia:
Por tanto, antes de estudiar la serie, calculamos el límite de \(a_n\).
Paso 2: Límite del término general.
Sabemos que, para \(x\) cercano a 0, \[ \sin x \sim x \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]
Tomamos \(x=\dfrac{1}{n}\). Entonces, cuando \(n\to\infty\), \(x=\dfrac{1}{n}\to 0\), y se cumple \[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1. \]
Por tanto, \[ \lim_{n\to\infty} n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} =1. \]
Es decir, \[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1\neq 0.} \]
Paso 3: Aplicación del criterio necesario.
Como el término general no tiende a cero, se incumple la condición necesaria para la convergencia de una serie.
Por ello, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right) \] no puede ser convergente; sus sumas parciales no se acercan a ningún valor finito.
Paso 4: Conclusión final.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right) \] es divergente, ya que \[ \lim_{n\to\infty} n\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)=1\neq 0. \]
En consecuencia, no tiene un valor numérico finito.
Ejercicio 3.4
Estudiar la naturaleza de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}} \] y determinar su valor cuando sea convergente.
Paso 1: Término general y tipo de serie.
Escribimos el término general como \[ a_n=\frac{n}{e^{n}}=n\left(\frac{1}{e}\right)^n. \]
La serie es de la forma \[ \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}, \qquad r=\frac{1}{e}, \] con \(|r|=\dfrac{1}{e}<1\).
Esto sugiere que la serie convergerá (los términos decrecen muy rápido) y que puede calcularse usando la serie geométrica.
Paso 2: Convergencia (criterio de la razón).
Aplicamos el criterio de la razón:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+1}{e^{n+1}}}{\dfrac{n}{e^{n}}} = \frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^{n}}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{e} = \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{e}. \]
Entonces \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1+0\right)\frac{1}{e} = \frac{1}{e}<1. \]
Por el criterio de la razón, la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}}\) es convergente.
Paso 3: Cálculo del valor de la serie.
Usaremos la serie geométrica: \[ \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}, \qquad |r|<1. \]
Derivamos respecto de \(r\):
\[ \frac{d}{dr}\left(\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \frac{d}{dr}\left(\frac{r}{1-r}\right) = \frac{1}{(1-r)^2}. \]
Multiplicando por \(r\) obtenemos \[ \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}, \qquad |r|<1. \]
En nuestro caso \(r=\dfrac{1}{e}\), por lo que
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{e}\right)^{n} = \frac{\dfrac{1}{e}}{\left(1-\dfrac{1}{e}\right)^2}. \]
Simplificamos:
\[ 1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e} \quad\Rightarrow\quad \left(1-\frac{1}{e}\right)^2=\frac{(e-1)^2}{e^2}. \]
Entonces \[ \frac{\dfrac{1}{e}}{\left(1-\dfrac{1}{e}\right)^2} = \frac{\dfrac{1}{e}}{\dfrac{(e-1)^2}{e^2}} = \frac{1}{e}\cdot\frac{e^2}{(e-1)^2} = \frac{e}{(e-1)^2}. \]
Por tanto, \[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}} = \frac{e}{(e-1)^2}. } \]
Paso 4: Conclusión final.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}} \] es convergente (por el criterio de la razón) y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}} = \frac{e}{(e-1)^2}. } \]
Ejercicio 4.1
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{\,n+2}}, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
Observamos que \[ \frac{1}{4^{n+2}}=4^{-(n+2)}=\frac{1}{4^2}\cdot\frac{1}{4^n} =\frac{1}{16}\left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
La serie queda \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n+2}} = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n. \]
Es una serie geométrica con razón \[ r=\frac{1}{4}, \qquad |r|<1. \]
Sabemos que, para una serie geométrica \[ \sum_{n=1}^{\infty} r^n, \quad\text{con } |r|<1, \] se cumple \[ \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|=\dfrac{1}{4}<1\), la serie geométrica \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n\) es convergente, y su suma es \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}. \]
Entonces \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n+2}} = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{48}. \]
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n+2}} \] es una serie geométrica con razón \(\dfrac{1}{4}\), por lo que es convergente, y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n+2}}=\frac{1}{48}. } \]
Ejercicio 4.2
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
La serie \[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es una serie geométrica con razón \[ r=\frac{5}{9}, \qquad |r|=\frac{5}{9}<1. \]
Recordemos que, para una serie geométrica que empieza en \(n=0\), \[ \sum_{n=0}^{\infty}r^n = \frac{1}{1-r}, \qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|=\dfrac{5}{9}<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{5}{9}} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}. \]
Paso 3: Conclusión.
La serie geométrica \[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es convergente y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{9}{4}. } \]
Ejercicio 4.3
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es una serie geométrica con razón \[ r=\frac{5}{9},\qquad |r|=\frac{5}{9}<1. \]
Sabemos que, para una serie geométrica que empieza en \(n=1\), \[ \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}, \qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{\dfrac{5}{9}}{1-\dfrac{5}{9}} = \frac{\dfrac{5}{9}}{\dfrac{4}{9}} = \frac{5}{4}. \]
(Observación: también se puede obtener restando el término \(n=0\) a la serie anterior: \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n=\frac{9}{4}\), entonces \(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{5}{9})^n=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}\).)
Paso 3: Conclusión.
La serie geométrica \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es convergente y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{5}{4}. } \]
Ejercicio 4.4
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
La serie \[ \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es una serie geométrica de razón \[ r=\frac{5}{9},\qquad |r|<1. \]
Para una serie geométrica que comienza en \(n=k\) se cumple \[ \sum_{n=k}^{\infty} r^n = \frac{r^k}{1-r},\qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|=\dfrac{5}{9}<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{\left(\frac{5}{9}\right)^5}{1-\frac{5}{9}}. \]
Calculamos: \[ \left(\frac{5}{9}\right)^5=\frac{5^5}{9^5}=\frac{3125}{59049}, \qquad 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}. \]
Entonces \[ \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{\dfrac{3125}{59049}}{\dfrac{4}{9}} = \frac{3125}{59049}\cdot\frac{9}{4} = \frac{3125}{26244}. \]
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es geométrica, convergente, y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=5}^{\infty}\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{\left(\frac{5}{9}\right)^5}{1-\frac{5}{9}} = \frac{3125}{26244}. } \]
Ejercicio 4.5
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
El término general es \[ a_n=(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n =\left(-\frac{5}{9}\right)^n. \]
Por lo tanto, la serie es geométrica con razón \[ r=-\frac{5}{9}, \qquad |r|=\frac{5}{9}<1. \]
Para una serie geométrica que comienza en \(n=0\), \[ \sum_{n=0}^{\infty}r^n = \frac{1}{1-r},\qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y suma.
Como \(|r|<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{5}{9}\right)^n = \frac{1}{1-\left(-\frac{5}{9}\right)} = \frac{1}{1+\frac{5}{9}} = \frac{1}{\frac{14}{9}} = \frac{9}{14}. \]
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es una serie geométrica alternada, convergente, y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{9}{14}. } \]
Ejercicio 4.6
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
El término general es \[ a_n=(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n =\left(-\frac{5}{9}\right)^n. \]
Por tanto, la serie es geométrica con razón \[ r=-\frac{5}{9},\qquad |r|=\frac{5}{9}<1. \]
Para una serie geométrica que comienza en \(n=1\), \[ \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r},\qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{9}\right)^n = \frac{-\frac{5}{9}}{1-\left(-\frac{5}{9}\right)} = \frac{-\frac{5}{9}}{1+\frac{5}{9}} = \frac{-\frac{5}{9}}{\frac{14}{9}} = -\frac{5}{14}. \]
(Alternativamente, puede verse como
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-\tfrac{5}{9})^n
= \sum_{n=0}^{\infty}(-\tfrac{5}{9})^n -1 =
\frac{9}{14}-1=-\frac{5}{14}\).)
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es geométrica alternada, convergente, y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n=-\frac{5}{14}. } \]
Ejercicio 4.7
Calcular la suma de la serie \[ \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n, \] si es que existe. En caso de no existir, justificar por qué.
Paso 1: Reconocer el tipo de serie.
El término general es \[ a_n = (-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \left(-\frac{5}{9}\right)^n. \]
Por tanto, se trata de una serie geométrica con razón \[ r=-\frac{5}{9},\qquad |r|=\frac{5}{9}<1. \]
Para una serie geométrica que comienza en \(n=k\) se tiene: \[ \sum_{n=k}^{\infty} r^n = \frac{r^{\,k}}{1-r}, \qquad |r|<1. \]
Paso 2: Convergencia y cálculo de la suma.
Como \(|r|<1\), la serie es convergente y su suma es \[ \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \sum_{n=5}^{\infty}\left(-\frac{5}{9}\right)^n = \frac{\left(-\frac{5}{9}\right)^5}{1-\left(-\frac{5}{9}\right)}. \]
Calculamos: \[ \left(-\frac{5}{9}\right)^5 = -\frac{5^5}{9^5} = -\frac{3125}{59049}, \qquad 1-\left(-\frac{5}{9}\right) = 1+\frac{5}{9} = \frac{14}{9}. \]
Entonces \[ \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = \frac{-\frac{3125}{59049}}{\frac{14}{9}} = -\frac{3125}{59049}\cdot\frac{9}{14} = -\frac{3125}{91854}. \]
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n \] es geométrica alternada, convergente, y su suma es
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{5}{9}\right)^n = -\frac{3125}{91854}. } \]
Ejercicio 6.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+3^{n}}, \] utilizando el Criterio de Comparación.
Paso 1: Proponer una serie de comparación.
Consideramos el término general \[ a_n=\frac{1}{1+3^{n}}. \]
Para todo \(n\ge 1\) se cumple \[ 1+3^{n}\ge 3^{n} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{1+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}. \]
Definimos \[ b_n=\frac{1}{3^{n}}. \]
Entonces, para todo \(n\ge 1\), \[ 0<a_n\le b_n. \]
Observamos que \(\{b_n\}\) define una serie geométrica: \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}, \] con razón \[ r=\frac{1}{3}, \qquad |r|<1. \]
Sabemos que toda serie geométrica con \(|r|<1\) es convergente, por lo que \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} \quad\text{es convergente.} \]
Paso 2: Aplicar el Criterio de Comparación.
El Criterio de Comparación para series de términos positivos establece que:
Si \(0\le a_n\le b_n\) para todo \(n\) suficientemente grande y la serie \(\displaystyle \sum b_n\) es convergente, entonces la serie \(\displaystyle \sum a_n\) también es convergente.
En nuestro caso, \[ 0<a_n=\frac{1}{1+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}=b_n \quad\text{para todo } n\ge 1, \] y ya sabemos que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}\) es convergente.
Por el Criterio de Comparación, concluimos que \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+3^{n}} \quad\text{es una serie **convergente (CV)**.} \]
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+3^{n}} \] es una serie de términos positivos que puede compararse con la serie geométrica \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}\), la cual es convergente. Dado que \[ 0<\frac{1}{1+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}, \] por el Criterio de Comparación se concluye que la serie dada es
\[ \boxed{ \text{CV (convergente).} } \]
Ejercicio 6.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}(n+1)}, \] utilizando el Criterio de Comparación.
Paso 1: Simplificar el término general y proponer una comparación.
El término general de la serie es \[ a_n=\frac{n}{2^{n}(n+1)}. \]
Podemos escribirlo como \[ a_n=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2^{n}}. \]
Para todo \(n\ge 1\) se cumple \[ 0<\frac{n}{n+1}<1, \] ya que el denominador es mayor que el numerador.
Por tanto, \[ 0<a_n=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2^{n}} <\frac{1}{2^{n}}. \]
Definimos \[ b_n=\frac{1}{2^{n}}. \]
Entonces \[ 0<a_n<b_n\quad\text{para todo }n\ge 1. \]
Observamos que \(\{b_n\}\) define una serie geométrica: \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}, \] con razón \[ r=\frac{1}{2},\qquad |r|<1. \]
Sabemos que toda serie geométrica con \(|r|<1\) es convergente, de modo que \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} \quad\text{es convergente.} \]
Paso 2: Aplicar el Criterio de Comparación.
El Criterio de Comparación para series de términos positivos establece que:
Si \(0\le a_n\le b_n\) para todo \(n\) suficientemente grande y la serie \(\displaystyle \sum b_n\) es convergente, entonces la serie \(\displaystyle \sum a_n\) también es convergente.
En nuestro caso, \[ 0<a_n=\frac{n}{2^{n}(n+1)}<\frac{1}{2^{n}}=b_n \quad\text{para todo }n\ge 1, \] y ya sabemos que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) es convergente.
Por el Criterio de Comparación concluimos que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}(n+1)} \] es convergente (CV).
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}(n+1)} \] tiene términos positivos y está acotada término a término por la serie geométrica \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\), que es convergente. Por el Criterio de Comparación se concluye que la serie dada es
\[ \boxed{ \text{CV (convergente).} } \]
Ejercicio 6.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}, \] utilizando el Criterio de Comparación.
Paso 1: Término general y criterio necesario de convergencia.
Sea \[ a_n=\frac{\ln(n)}{n}. \]
Calculamos el límite del término general: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0 \] (la función logaritmo crece mucho más lento que la función lineal).
El hecho de que \(a_n\to 0\) es necesario, pero no suficiente para la convergencia de la serie. Por ello, necesitamos aplicar un criterio más fuerte, como el Criterio de Comparación.
Paso 2: Comparación con la serie armónica.
Observemos que para \(n\ge 3\) se tiene \[ \ln(n)\ge \ln(3)>1. \]
Por lo tanto, para todo \(n\ge 3\), \[ \frac{\ln(n)}{n} \ge \frac{1}{n}. \]
Es decir, \[ a_n=\frac{\ln(n)}{n}\ge \frac{1}{n} \quad\text{para todo } n\ge 3. \]
Definimos \[ b_n=\frac{1}{n}, \] y recordamos que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] es la serie armónica, la cual es divergente (DV).
Tenemos entonces: \[ 0\le b_n\le a_n \quad\text{para todo } n\ge 3, \] y \(\displaystyle \sum b_n\) es divergente.
Paso 3: Aplicar el Criterio de Comparación.
El Criterio de Comparación (versión para divergencia) establece que:
En nuestro caso:
Por lo tanto, por comparación, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n} \] también es divergente.
Paso 4: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n} \] tiene términos positivos y mayores o iguales que los de la serie armónica, la cual es divergente. Por el Criterio de Comparación concluimos que
\[ \boxed{ \text{DV (divergente).} } \]
Ejercicio 7.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5}, \] utilizando el Criterio de Comparación al límite.
Paso 1: Elegir una serie de referencia.
Para \(n\) grande, el término \(n+5\) se comporta como \(n\).
Por ello, comparamos con la serie armónica \[
\sum_{n=1}^{\infty} b_n,
\qquad b_n=\frac{1}{n},
\] que es divergente (DV).
Tomamos entonces \[ a_n=\frac{1}{n+5}, \qquad b_n=\frac{1}{n}. \]
Ambas series tienen términos positivos.
Paso 2: Aplicar el Criterio de Comparación al límite.
Calculamos el límite del cociente de los términos generales: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+5}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+5} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{5}{n}} = 1. \]
Como \[ 0<L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1<\infty, \] se cumple la hipótesis del Criterio de Comparación al límite.
Este criterio establece que:
Paso 3: Conclusión.
Sabemos que la serie armónica \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] es divergente (DV). Como el límite del cociente es un número positivo y finito, concluimos que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5} \] tiene el mismo comportamiento: también es divergente.
\[ \boxed{ \text{DV (divergente).} } \]
Ejercicio 7.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+n+1}, \] utilizando el Criterio de Comparación al límite.
Paso 1: Elegir una serie de referencia.
Para \(n\) grande, el término \(n^{2}+n+1\) se comporta como \(n^{2}\).
Por ello, comparamos con la serie \[
\sum_{n=1}^{\infty} b_n,
\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}},
\] que es una serie \(p\)-armónica con \(p=2>1\), por lo que es convergente (CV).
Tomamos entonces \[ a_n=\frac{1}{n^{2}+n+1}, \qquad b_n=\frac{1}{n^{2}}. \]
Ambas series tienen términos positivos.
Paso 2: Aplicar el Criterio de Comparación al límite.
Calculamos el límite del cociente de los términos generales: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^{2}+n+1}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+n+1}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n^{2}\): \[ \frac{n^{2}}{n^{2}+n+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+n+1} = \frac{1}{1+0+0} = 1. \]
Como \[ 0<L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1<\infty, \] se cumple la hipótesis del Criterio de Comparación al límite.
Este criterio establece que:
Paso 3: Conclusión.
Sabemos que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \] es convergente (CV). Como el límite del cociente es un número positivo y finito, concluimos que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+n+1} \] tiene el mismo comportamiento: también es convergente.
\[ \boxed{ \text{CV (convergente).} } \]
Ejercicio 7.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4+3^{n}}{2^{n}}, \] utilizando el Criterio de comparación al límite.
Paso 1: Elección de la serie de comparación.
Sea \[ a_n=\frac{4+3^{n}}{2^{n}}. \]
Para \(n\) grande, el término \(3^n\) domina al término constante \(4\), por lo que \[ a_n \sim \frac{3^{n}}{2^{n}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n}. \]
Tomamos como serie de comparación \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n, \qquad b_n=\left(\frac{3}{2}\right)^{n}, \] con \(b_n>0\) para todo \(n\).
Paso 2: Cálculo del límite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\).
Calculamos \[ \frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{4+3^{n}}{2^{n}}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{n}} = \frac{4+3^{n}}{2^{n}}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n} = \frac{4+3^{n}}{3^{n}} = \frac{4}{3^{n}}+1. \]
Entonces \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{3^{n}}+1\right) = 0+1 = 1. \]
Este límite existe, es finito y distinto de cero: \[ 0<1<\infty. \]
Por el Criterio de comparación al límite, las series \(\displaystyle \sum a_n\) y \(\displaystyle \sum b_n\) tienen el mismo comportamiento (ambas convergen o ambas divergen).
Paso 3: Naturaleza de la serie de comparación.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^n \] es una serie geométrica con razón \[ r=\frac{3}{2}>1. \]
En este caso, los términos \(b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n\) no tienden a cero: \[ \lim_{n\to\infty} b_n = \infty \neq 0, \] por lo que la serie geométrica diverge.
Paso 4: Conclusión.
Dado que \[ 0<\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1<\infty \] y \(\displaystyle \sum b_n\) es divergente, por el Criterio de comparación al límite concluimos que la serie original también es
\[ \boxed{\text{divergente (no tiene suma finita).}} \]
Ejercicio 7.4
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}+1}, \] utilizando el Criterio de comparación al límite.
Paso 1: Elección de la serie de comparación.
Sea \[ a_n=\frac{1}{n^{5}+1}. \]
Para \(n\) grande, el término \(n^{5}+1\) se comporta como \(n^{5}\). Por ello comparamos con la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n, \qquad b_n=\frac{1}{n^{5}}, \] con \(b_n>0\) para todo \(n\).
Paso 2: Cálculo del límite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\).
Calculamos \[ \frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{1}{n^{5}+1}}{\dfrac{1}{n^{5}}} = \frac{1}{n^{5}+1}\cdot n^{5} = \frac{n^{5}}{n^{5}+1}. \]
Entonces \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{n^{5}+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^{5}}} = \frac{1}{1+0} = 1. \]
Este límite existe, es finito y distinto de cero: \[ 0<1<\infty. \]
Por el Criterio de comparación al límite, las series \(\displaystyle \sum a_n\) y \(\displaystyle \sum b_n\) tienen el mismo comportamiento de convergencia.
Paso 3: Naturaleza de la serie de comparación.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}} \] es una p-serie con \(p=5>1\), por lo que es convergente.
Paso 4: Conclusión.
Dado que \[ 0<\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1<\infty \] y la serie \(\displaystyle \sum b_n\) es convergente, por el Criterio de comparación al límite concluimos que la serie original también es
\[ \boxed{\text{convergente.}} \]
Ejercicio 8.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{n!}, \] utilizando el Criterio de la serie p.
Paso 1: Simplificar el término general.
Recordemos que \[ n! = n\cdot (n-1)!. \] Entonces \[ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n\cdot (n-1)!} = \frac{1}{n}, \qquad n\ge 1. \]
Por lo tanto, la serie dada se escribe como \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}. \]
Paso 2: Aplicar el criterio de la serie p.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] es una p-serie del tipo \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} \] con \(p=1\).
Sabemos que: - si \(p>1\), la p-serie es convergente; - si \(0<p\le 1\), la p-serie es divergente.
Como en nuestro caso \(p=1\), se concluye que \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] es divergente.
Paso 3: Conclusión.
Dado que la serie original es exactamente la serie armónica, concluimos que \[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \text{ es divergente.} } \]
Ejercicio 8.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n!}. \]
Paso 1: Identificar el término general.
El término general de la serie es \[ a_n=\frac{\sqrt{n}}{n!}, \qquad n\ge 1. \]
Para estudiar su convergencia utilizamos el Criterio de la razón.
Paso 2: Aplicar el Criterio de la razón.
Calculamos \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\cdot\frac{1}{n+1}. \]
Entonces \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1}\sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Tomamos el límite: \[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}\sqrt{1+\frac{1}{n}} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\right) \left(\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right) = 0\cdot 1=0. \]
Como \(0<1\), por el Criterio de la razón, la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) es convergente absoluta.
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n!} \] es convergente absoluta, ya que el límite de la razón \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) es \(0<1\).
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n!} \text{ es convergente.} } \]
Ejercicio 8.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[3]{\left(\frac{1}{n}\right)^2}. \]
Paso 1: Simplificar el término general.
El término general es \[ a_n=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{n}\right)^2} =\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{2}{3}} =\frac{1}{n^{2/3}}. \]
Por lo tanto, la serie se escribe como \[ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[3]{\left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}}. \]
Paso 2: Aplicar el criterio de la serie p.
Reconocemos una serie p: \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}, \] que es convergente si \(p>1\) y divergente si \(0<p\le 1\).
En nuestro caso, \[ p=\frac{2}{3}\le 1. \]
Por lo tanto, la serie es divergente.
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[3]{\left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}} \] es una serie p con \(p=\frac{2}{3}\le 1\), por lo que es
\[ \boxed{\text{divergente.}} \]
Ejercicio 8.4
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}. \]
Paso 1: Escribir la serie como serie p.
El término general es \[ a_n=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}=\frac{1}{n^{1/4}}. \]
Entonces, la serie se puede escribir como \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/4}}. \]
Paso 2: Aplicar el criterio de la serie p.
Nuevamente tenemos una serie p: \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}, \] que converge si \(p>1\) y diverge si \(0<p\le 1\).
En este caso, \[ p=\frac{1}{4}\le 1. \]
Por lo tanto, la serie es divergente.
Paso 3: Conclusión.
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/4}} \] es una serie p con \(p=\frac{1}{4}\le 1\), de modo que es
\[ \boxed{\text{divergente.}} \]
Ejercicio 9.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{3^{n}n!} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Identificar el término general.
Sea \[ a_n=\frac{e^{n}}{3^{n}n!}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón, que estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Primero, escribimos \(a_{n+1}\): \[ a_{n+1}=\frac{e^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}. \]
Entonces \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{e^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{e^{n}}{3^{n}n!}} = \frac{e^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{3^{n}n!}{e^{n}} = \frac{e}{3}\cdot\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{e}{3}\cdot\frac{1}{n+1}. \]
Por lo tanto, \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{e}{3(n+1)}. \]
Ahora calculamos el límite: \[ L = \lim_{n\to\infty}\frac{e}{3(n+1)} = 0. \]
Paso 3: Aplicar el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón establece que:
En nuestro caso, \[ L=0<1. \]
Por tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{3^{n}n!} \] es convergente absoluta.
Conclusión:
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{3^{n}n!} \] cumple que \[ \boxed{\text{es convergente absoluta por el Criterio de la Razón}.} \]
Ejercicio 9.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Identificar el término general.
Sea \[ a_n=\frac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón, estudiando el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Primero escribimos \[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}. \]
Entonces \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{1}{n+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}} {\dfrac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}} = \frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \cdot \frac{n}{\left(\frac{2}{5}\right)^{n}} = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{2}{5}. \]
Por tanto, \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{2}{5}\cdot\frac{n}{n+1}. \]
Calculamos el límite: \[ L = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{5}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{2}{5}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \frac{2}{5}\cdot 1 = \frac{2}{5}. \]
Paso 3: Aplicar el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón indica que:
En nuestro caso, \[ L=\frac{2}{5}<1. \]
Por lo tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \] es convergente absoluta.
Conclusión:
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \] satisface \[ \boxed{\text{es convergente absoluta por el Criterio de la Razón}.} \]
Ejercicio 9.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{(2n)!} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Identificar el término general.
Sea \[ a_n=\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón estudiando \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Tenemos \[ a_{n+1}=\frac{\big((n+1)!\big)^2}{(2n+2)!}. \]
Usando \((n+1)!=(n+1)n!\) y \((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!\), se obtiene \[ a_{n+1} = \frac{\big((n+1)n!\big)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}. \]
Así, \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}} {\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Como \(2n+2=2(n+1)\), se simplifica a \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)}. \]
Entonces \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n+1}{2(2n+1)}. \]
Calculamos el límite: \[ L= \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(1+\tfrac{1}{n})}{4n(1+\tfrac{1}{2n})} = \frac{1}{4}. \]
Paso 3: Aplicar el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón establece:
En nuestro caso, \[ L=\frac{1}{4}<1. \]
Por lo tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{(2n)!} \] es convergente absoluta.
Conclusión:
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{(2n)!} \ \text{es convergente absoluta por el Criterio de la Razón}. } \]
Ejercicio 9.4
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,4^{\,n-1}} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Identificar el término general.
Sea \[ a_n=\frac{n+1}{n\,4^{\,n-1}}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón estudiando \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Primero escribimos \[ a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)\,4^{\,n}} = \frac{n+2}{(n+1)\,4^{\,n}}. \]
Entonces \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+2}{(n+1)\,4^{\,n}}}{\dfrac{n+1}{n\,4^{\,n-1}}} = \frac{n+2}{(n+1)\,4^{\,n}}\cdot\frac{n\,4^{\,n-1}}{n+1}. \]
Simplificando, \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{(n+1)}\cdot\frac{n}{(n+1)}\cdot\frac{4^{\,n-1}}{4^{\,n}} = \frac{n+2}{(n+1)}\cdot\frac{n}{(n+1)}\cdot\frac{1}{4} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4}. \]
Por lo tanto, \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4}. \]
Calculamos el límite: \[ L= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)\cdot\frac{1}{4} = 1\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \]
Paso 3: Aplicar el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón indica:
En nuestro caso, \[ L=\frac{1}{4}<1. \]
Por lo tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,4^{\,n-1}} \] es convergente absoluta.
Conclusión:
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,4^{\,n-1}} \ \text{es convergente absoluta por el Criterio de la Razón}. } \]
Ejercicio 9.5
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Identificar el término general.
Sea \[ a_n=\frac{n^n}{n!}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón estudiando \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Primero, \[ a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}. \]
Entonces \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^n}{n!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}. \]
Como \((n+1)!=(n+1)n!\), se tiene \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n!}\cdot\frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n. \]
Por lo tanto, \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n. \]
Calculamos el límite: \[ L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e. \]
Paso 3: Aplicar el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón indica:
En nuestro caso, \[ L=e>1. \]
Por lo tanto, la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!} \] es divergente.
Conclusión:
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!} \ \text{es divergente por el Criterio de la Razón}. } \]
Ejercicio 9.6
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{(\ln(2))^n} \] utilizando el Criterio de la Razón.
Paso 1: Escribir el término general.
Sea \[ a_n=\frac{n^3}{(\ln(2))^n}. \]
Aplicaremos el Criterio de la Razón estudiando \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \]
Paso 2: Calcular \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Primero, \[ a_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{(\ln(2))^{n+1}}. \]
Entonces \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^3}{(\ln(2))^{n+1}}}{\dfrac{n^3}{(\ln(2))^n}} = \frac{(n+1)^3}{(\ln(2))^{n+1}}\cdot \frac{(\ln(2))^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{n^3}\cdot\frac{1}{\ln(2)} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^3\cdot\frac{1}{\ln(2)}. \]
Luego \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^3\cdot\frac{1}{\ln(2)}. \]
Tomamos el límite: \[ L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\cdot\frac{1}{\ln(2)} =\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\right)\cdot\frac{1}{\ln(2)} =1^3\cdot\frac{1}{\ln(2)} =\frac{1}{\ln(2)}. \]
Como \[ \ln(2)\approx 0{,}693<1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\ln(2)}>1, \] obtenemos \[ L=\frac{1}{\ln(2)}>1. \]
Paso 3: Conclusión por el Criterio de la Razón.
El Criterio de la Razón establece que:
En este caso \(L=\dfrac{1}{\ln(2)}>1\), por lo tanto la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{(\ln(2))^n} \] es divergente.
Conclusión final:
\[ \boxed{ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{(\ln(2))^n} \ \text{es divergente por el Criterio de la Razón}. } \]
Ejercicio 10.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{\,n-1}}{n^n} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Paso 1: Escribir el término general y aplicar el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\frac{2^{\,n-1}}{n^n}. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{2^{\,n-1}}{n^n}} = \frac{\sqrt[n]{2^{\,n-1}}}{\sqrt[n]{n^n}} = \frac{2^{\frac{n-1}{n}}}{n} = \frac{2^{1-\frac{1}{n}}}{n}. \]
Paso 2: Calcular el límite \(L\).
Observamos que \[ \lim_{n\to\infty}2^{1-\frac{1}{n}} = 2^1 = 2, \] mientras que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Por tanto, \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{1-\frac{1}{n}}}{n} = 2\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 2\cdot 0 = 0. \]
Como \(L=0<1\), el Criterio de la Raíz nos dice que la serie es convergente absoluta.
Conclusión final:
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{\,n-1}}{n^n} \] es convergente absoluta por el Criterio de la Raíz, pues \[ \boxed{L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^{\,n-1}}{n^n}\right|}=0<1}. \]
Ejercicio 10.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Paso 1: Plantear el término general y el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2-\frac{1}{n}}. \]
Paso 2: Calcular el límite \(L\).
Para \(n\) grande, \[ \frac{n}{3n-1}\longrightarrow\frac{1}{3}, \qquad 2-\frac{1}{n}\longrightarrow 2. \]
Entonces \[ L = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2-\frac{1}{n}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}. \]
Como \[ L=\frac{1}{9}<1, \] por el Criterio de la Raíz la serie es convergente absoluta.
Conclusión final:
La serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1} \] es convergente absoluta por el Criterio de la Raíz, ya que \[ \boxed{ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}\right|} =\frac{1}{9}<1. } \]
Ejercicio 10.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Nota: el término \(n=1\) no está definido porque \(\ln 1 = 0\). Por eso comenzamos la serie en \(n=2\). Agregar o quitar una cantidad finita de términos no afecta la convergencia.
Paso 1: Plantear el término general y el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\frac{1}{(\ln n)^n}, \qquad n\ge 2. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^n}} = \frac{1}{\ln n}. \]
Paso 2: Calcular el límite \(L\).
Sabemos que \[ \ln n \longrightarrow \infty \quad \text{cuando } n\to\infty, \] por lo tanto \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0. \]
Como \[ L=0<1, \] por el Criterio de la Raíz la serie es convergente absoluta.
Conclusión final:
La serie \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}} \] es convergente absoluta por el Criterio de la Raíz, ya que \[ \boxed{ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(\ln n)^n}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0<1. } \]
Ejercicio 10.4
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^{n} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Paso 1: Plantear el término general y aplicar el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n,\qquad n\ge 1. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n} = \frac{n}{n^2+2}. \]
Paso 2: Calcular el límite \(L\).
Estudiamos \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+2}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n^2\): \[ \frac{n}{n^2+2} = \frac{\frac{n}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}. \]
Como \[ \frac{1}{n}\to 0 \quad\text{y}\quad \frac{2}{n^2}\to 0 \quad\text{cuando }n\to\infty, \] obtenemos \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1+0}=0. \]
Por lo tanto, \[ L=0<1. \]
Conclusión final:
Como \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n\right|} =0<1, \] por el Criterio de la Raíz la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^{n} \] es convergente absoluta.
Ejercicio 10.4
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^{n} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Paso 1: Plantear el término general y aplicar el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n,\qquad n\ge 1. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n} = \frac{n}{n^2+2}. \]
Paso 2: Calcular el límite \(L\).
Estudiamos \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+2}. \]
Dividimos numerador y denominador por \(n^2\): \[ \frac{n}{n^2+2} = \frac{\frac{n}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}. \]
Como \[ \frac{1}{n}\to 0 \quad\text{y}\quad \frac{2}{n^2}\to 0 \quad\text{cuando }n\to\infty, \] obtenemos \[ L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1+0}=0. \]
Por lo tanto, \[ L=0<1. \]
Conclusión final:
Como \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n\right|} =0<1, \] por el Criterio de la Raíz la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^{n} \] es convergente absoluta.
Ejercicio 10.5
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n^2}{2}} \] utilizando el Criterio de la Raíz.
Paso 1: Plantear el término general y aplicar el Criterio de la Raíz.
Sea \[ a_n=\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n^2}{2}},\qquad n\ge 1. \]
El Criterio de la Raíz estudia el límite \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \]
Calculamos: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n^2}{2}}} = \left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n}{2}}. \]
Por tanto \[ L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n}{2}}. \]
Paso 2: Transformar el límite usando logaritmos.
Sea \[ L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n}{2}} =\lim_{n\to\infty}\exp\!\left(\frac{3n}{2}\ln\frac{3n}{3n+1}\right). \]
Estudiamos primero \[ \frac{3n}{2}\ln\frac{3n}{3n+1} = \frac{3n}{2}\ln\left(1-\frac{1}{3n+1}\right). \]
Escribimos \[ \frac{3n}{2}\ln\left(1-\frac{1}{3n+1}\right) = \frac{3n+1}{2}\cdot \frac{3n}{3n+1}\cdot \ln\left(1-\frac{1}{3n+1}\right). \]
Cuando \(n\to\infty\), \[ \frac{3n}{3n+1}\to 1 \quad\text{y}\quad \frac{1}{3n+1}\to 0. \]
Usamos el límite conocido \[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1. \]
Tomamos \(x=\dfrac{1}{3n+1}\). Entonces \[ \ln\left(1-\frac{1}{3n+1}\right) \sim -\,\frac{1}{3n+1} \quad\text{para }n\text{ grande}, \] y obtenemos \[ \lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2}\ln\frac{3n}{3n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n+1}{2}\cdot \frac{\ln\left(1-\frac{1}{3n+1}\right)}{\frac{1}{3n+1}} = \frac{1}{2}\cdot(-1) =-\frac{1}{2}. \]
Por tanto \[ L =\lim_{n\to\infty}\exp\!\left(\frac{3n}{2}\ln\frac{3n}{3n+1}\right) =\exp\!\left(-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{e}}. \]
Observamos que \[ L=\frac{1}{\sqrt{e}}<1. \]
Conclusión final:
Como \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n^2}{2}}\right|} =\frac{1}{\sqrt{e}}<1, \] por el Criterio de la Raíz la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{\frac{3n^2}{2}} \] es convergente absoluta.
Ejercicio 11.1
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(n^3+1)^2} \] utilizando el Criterio de la Integral.
Paso 1: Asociar una función continua, positiva y decreciente.
Sea \[ f(x)=\frac{x^2}{(x^3+1)^2},\qquad x\ge 1. \]
Para \(x\ge 1\), se cumple \(f(x)>0\) y la función es continua.
Además, para \(x\) grande, \[
f(x)\approx\frac{x^2}{x^6}=\frac{1}{x^4},
\] que es una función decreciente. Por tanto, \(f(x)\) es decreciente en \([1,\infty)\), y se puede aplicar el
Criterio de la Integral.
Paso 2: Estudiar la convergencia de la integral impropia asociada.
Consideramos \[ \int_{1}^{\infty}\frac{x^2}{(x^3+1)^2}\,dx. \]
Hacemos el cambio de variable \[ u=x^3+1\quad\Rightarrow\quad du=3x^2\,dx \quad\Rightarrow\quad x^2\,dx=\frac{1}{3}\,du. \]
Cuando \(x=1\), \(u=1^3+1=2\); cuando \(x\to\infty\), \(u\to\infty\).
Entonces, \[
\int_{1}^{\infty}\frac{x^2}{(x^3+1)^2}\,dx
=
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{3}\,\frac{1}{u^2}\,du
=
\frac{1}{3}\int_{2}^{\infty}u^{-2}\,du.
\]
Calculamos la integral: \[ \frac{1}{3}\int_{2}^{\infty}u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\left[\,-u^{-1}\,\right]_{2}^{\infty} = \frac{1}{3}\left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{6}. \]
La integral impropia es convergente, pues su valor es finito.
Conclusión final:
Como la función \[ f(x)=\frac{x^2}{(x^3+1)^2} \] es continua, positiva y decreciente en \([1,\infty)\), y la integral \[ \int_{1}^{\infty}\frac{x^2}{(x^3+1)^2}\,dx \] es convergente, entonces, por el Criterio de la Integral, la serie
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(n^3+1)^2} \] es convergente.
Ejercicio 11.2
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} \] utilizando el Criterio de la Integral.
Paso 1: Asociar una función continua, positiva y decreciente.
Consideramos la función \[ f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge 2. \]
Para \(x\ge 2\) se cumple \(\ln x>0\), por lo que \(f(x)>0\).
Además, \(f(x)\) es continua y
decreciente en \([2,\infty)\).
Por tanto, se puede aplicar el Criterio de la Integral.
Paso 2: Estudiar la integral impropia asociada.
Analizamos la integral \[ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx. \]
Hacemos el cambio de variable \[ u=\ln x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}\,dx=du. \]
Entonces \[ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du. \]
Calculamos la integral: \[ \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \left[\ln|u|\right]_{\ln 2}^{\infty} = \lim_{b\to\infty}\bigl(\ln b-\ln(\ln 2)\bigr) = \infty. \]
La integral impropia diverge, es decir, no tiene valor finito.
Conclusión final:
Como la función \[ f(x)=\frac{1}{x\ln x} \] es continua, positiva y decreciente en \([2,\infty)\), y la integral \[ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx \] es divergente, entonces, por el Criterio de la Integral, la serie
\[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} \] es divergente.
Ejercicio 11.3
Analizar la convergencia (CV) de la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4+8n^2} \] utilizando el Criterio de la Integral.
Paso 1: Asociar una función continua, positiva y decreciente.
Consideramos la función \[ f(x)=\frac{x}{4+8x^2},\qquad x\ge 1. \]
Para \(x\ge 1\), se cumple \(4+8x^2>0\), por lo que \(f(x)>0\).
Además, \(f(x)\) es continua en \([1,\infty)\).
Calculamos la derivada: \[ f'(x)=\frac{(4+8x^2)-x(16x)}{(4+8x^2)^2} =\frac{4-8x^2}{(4+8x^2)^2}. \]
Para \(x>1\) se tiene \(4-8x^2<0\), luego \(f'(x)<0\) y, por tanto, \(f(x)\) es decreciente en \([1,\infty)\).
Se pueden aplicar las hipótesis del Criterio de la Integral.
Paso 2: Estudiar la integral impropia asociada.
Analizamos la integral \[ \int_{1}^{\infty}\frac{x}{4+8x^2}\,dx. \]
Hacemos el cambio de variable \[ u=4+8x^2 \quad\Rightarrow\quad du=16x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{16}\,du. \]
Entonces \[ \int_{1}^{\infty}\frac{x}{4+8x^2}\,dx = \int_{u(1)}^{\infty}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{16}\,du = \frac{1}{16}\int_{12}^{\infty}\frac{1}{u}\,du, \] pues \(u(1)=4+8\cdot 1^2=12\).
Calculamos: \[ \frac{1}{16}\int_{12}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{16}\left[\ln|u|\right]_{12}^{\infty} = \frac{1}{16}\lim_{b\to\infty}\bigl(\ln b-\ln 12\bigr) = \infty. \]
La integral impropia es divergente.
Conclusión final:
Como la función \[ f(x)=\frac{x}{4+8x^2} \] es continua, positiva y decreciente en \([1,\infty)\), y la integral \[ \int_{1}^{\infty}\frac{x}{4+8x^2}\,dx \] es divergente, entonces, por el Criterio de la Integral, la serie
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4+8n^2} \] es divergente.
Ejercicio 12.1
Desarrollar la serie de Taylor de la función \[ f(x)=e^x \] alrededor de \(x=1\).
Paso 1: Calcular las derivadas de \(f(x)\) y evaluarlas en \(x=1\).
La función es \[ f(x)=e^x. \]
Todas sus derivadas coinciden con la función original: \[ f'(x)=e^x,\quad f''(x)=e^x,\quad \ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^x\ \text{ para todo }n\ge 0. \]
Evaluando en \(x=1\): \[ f^{(n)}(1)=e^1=e,\qquad \text{para todo } n\ge 0. \]
Paso 2: Escribir la serie de Taylor alrededor de \(x=1\).
La fórmula general de la serie de Taylor de \(f\) alrededor de \(x=a\) es \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]
Tomando \(a=1\), obtenemos \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n = e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}. \]
Paso 3: Primeros términos de la serie.
Escribiendo los primeros términos: \[ e^x = e\left[ 1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!} +\frac{(x-1)^3}{3!} +\frac{(x-1)^4}{4!} +\cdots \right]. \]
Por lo tanto, la serie de Taylor de \(e^x\) alrededor de \(x=1\) es \[ \boxed{ e^x = e\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!} }. \]
Ejercicio 12.2
Desarrollar la serie de Taylor de la función \[ f(x)=\ln x \] alrededor de \(x=2\).
Paso 1: Calcular las derivadas de \(f(x)\) y evaluarlas en \(x=2\).
Tenemos \[ f(x)=\ln x,\qquad x>0. \]
Las primeras derivadas son \[ f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2},\qquad f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^3},\qquad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4},\ \ldots \]
En general, \[ f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n}},\qquad n\ge 1. \]
Evaluando en \(x=2\): \[ f(2)=\ln 2, \qquad f^{(n)}(2)=(-1)^{\,n-1}\frac{(n-1)!}{2^{n}},\quad n\ge 1. \]
Paso 2: Aplicar la fórmula de Taylor alrededor de \(x=2\).
La serie de Taylor de \(f\) alrededor de \(x=a\) viene dada por \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]
Con \(a=2\), obtenemos \[ \ln x = f(2) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n. \]
Reemplazando \(f(2)\) y \(f^{(n)}(2)\): \[ \ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\,n-1}(n-1)!}{2^{n}\,n!}(x-2)^n. \]
Como \(\dfrac{(n-1)!}{n!}=\dfrac{1}{n}\), queda \[ \ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\,n-1}}{n\,2^{n}} (x-2)^n. \]
Paso 3: Primeros términos y intervalo de validez.
Escribimos los primeros términos de la serie: \[ \ln x = \ln 2 +\frac{1}{2}(x-2) -\frac{1}{8}(x-2)^2 +\frac{1}{24}(x-2)^3 -\frac{1}{64}(x-2)^4 +\cdots \]
En forma compacta, \[ \boxed{ \displaystyle \ln x = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\,n-1}}{n\,2^{n}}(x-2)^n } \]
Esta serie converge para \[ |x-2|<2 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<4. \]