Úloha_9

Econometrics in R

Úvod a údaje

Rozhodla som sa modelovať infláciu v USA ako funkciu troch vysvetľujúcich premenných:

• GDP_Growth — hospodársky rast

• Unemployment — miera nezamestnanosti

• Interest_Rate — úroková sadzba

Hypotézy:

• H1: Vyšší hospodársky rast znižuje infláciu.

• H2: Vyššia nezamestnanosť vedie k nižšiemu inflačnému tlaku.

• H3: Vyššia úroková sadzba znižuje infláciu.

Príprava databázy

# Načítanie knižníc
library(zoo)
library(tseries)
library(lmtest)
library(sandwich)
library(car)
library(dplyr)
library(ggplot2)
rm(list = ls())

# Načítanie údajov
data <- read.csv("economic_indicators_dataset_2010_2023.csv",
                 dec = ".", sep = ",", header = TRUE)

# Dátum
data$Date <- as.Date(data$Date)

# Výber USA a užitočných premenných
dataUSA <- data %>%
  filter(Country == "USA") %>%
  select(Date,
         Inflation.Rate....,
         GDP.Growth.Rate....,
         Unemployment.Rate....,
         Interest.Rate....) %>%
  arrange(Date)

# Premenovanie
colnames(dataUSA) <- c("Date","Inflation","GDP_Growth","Unemployment","Interest_Rate")

Lineárna regresia

model <- lm(Inflation ~ GDP_Growth + Unemployment + Interest_Rate,
            data = dataUSA)

summary(model)

Call:
lm(formula = Inflation ~ GDP_Growth + Unemployment + Interest_Rate, 
    data = dataUSA)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5.5414 -2.4185  0.3282  2.1848  4.7028 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    6.52358    1.37798   4.734 1.68e-05 ***
GDP_Growth    -0.05513    0.10357  -0.532   0.5967    
Unemployment  -0.25459    0.14127  -1.802   0.0772 .  
Interest_Rate  0.09603    0.12259   0.783   0.4369    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.928 on 53 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.09918,   Adjusted R-squared:  0.04819 
F-statistic: 1.945 on 3 and 53 DF,  p-value: 0.1335

Odhadnutý lineárny regresný model vykazuje nízku celkovú vysvetľujúcu silu, o čom svedčí koeficient determinácie (R-squared) 0.099, čo znamená, že premenné spolu vysvetľujú len 9,9 % variability inflácie. Celkový model nie je štatisticky významný (p-hodnota F-štatistiky = 0,134).

Posúdenie hypotéz:

• H1: Záporný koeficient (-0,055) je v súlade s hypotézou, no je štatisticky nevýznamný (p=0,597). Hypotéza sa nepotvrdzuje.

• H2: Záporný koeficient (-0,255) je v súlade s Phillipsovej krivkou a je slabo významný na hladine 10% (p=0,077). Hypotéza je obmedzene podporená.

• H3: Kladný koeficient (0,096) je v priamom protiklade s hypotézou a je štatisticky nevýznamný (p=0,437). Hypotéza sa nepotvrdzuje.

Autokorelácia rezíduí

Graf znázorňuje porovnanie empirických (skutočných) hodnôt inflácie v USA s fitovanými hodnotami.

ggplot(dataUSA, aes(x = Date, y = Inflation)) +
  geom_point(color = "blue", size = 2) +
  geom_line(aes(y = fitted), color = "red", size = 1) +
  labs(title = "Inflation USA: Empirical vs Fitted values",
       x = "Date", y = "Inflation (%)") +
  theme_minimal()

• Empirické hodnoty -> dosahujú rozsah 0,0 % až 9,7 % – prejavujú vysokú volatilitu.

• Fitované hodnoty -> prevažne sa pohybujú okolo priemeru ~5,0 %, čo naznačuje silnú tendenciu k priemeru.

• Kľúčové Zlyhanie -> model podceňuje infláciu po roku 2020; skutočné hodnoty sú nad 9,0 %, zatiaľ čo model predikuje len 5,0 % – 6,5 %.

Čiže model je neefektívny a má nízku presnosť pri zachytávaní extrémnych inflačných šokov.

ACF graf

Graf zobrazuje koreláciu medzi rezíduami (chybami modelu) v rôznych časových oneskoreniach (Lag).

Ide o kľúčový test, ktorý určuje, či model zachytil celú časovú závislosť dát.

res <- residuals(model)

acf(res, lag.max = 12, main = "ACF of residuals")

• Empirické hodnoty -> pri oneskoreniach \(Lag \ge 1\) je zjavné, že existuje výrazná negatívna korelácia pri \(Lag = 1\) (približne \(–0,4\)).

• Kľúčové Zlyhanie -> pretože stĺpec pri \(Lag = 1\) presahuje dolnú signifikačnú hranicu, rezíduá nie sú nezávislé.

To znamená, že chyba modelu v jednom období silne ovplyvňuje chybu v nasledujúcom období.

• Ďalšie oneskorenia -> všetky ostatné oneskorenia (\(Lag = 2, 3, 4, ...\)) sa nachádzajú vo vnútri signifikačných limitov.

Je zrejmé, že koeficient autokorelácie pre posun (\(Lag\) \(k=1\)) je štatisticky významný, keďže jeho hodnota (približne \(-0,4\)) prekračuje dolnú hranicu konfidenčného intervalu (intervalu spoľahlivosti), ktorá je približne \(-0,3\). Ostatné koeficienty sú nevýznamné.

Durbin–Watson test

dwtest(model)

    Durbin-Watson test

data:  model
DW = 2.8521, p-value = 0.9996
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

• Štatistika \(\text{DW} = 2.8521\) je výrazne vyššia ako hodnota 2.

To indikuje prítomnosť štatisticky významnej negatívnej autokorelácie prvého rádu v rezíduách modelu.

6. Breusch–Godfrey test

bgtest(model, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  model
LM test = 12.326, df = 1, p-value = 0.0004467

Zistená hodnota p-value (\(0.0004467\)) je extrémne nízka, t. j. je výrazne nižšia ako štandardná hladina významnosti \(\alpha = 0,05\) (alebo \(\alpha = 0,01\)).

Zamietame nulovú hypotézu o absencii sériovej korelácie. Existuje štatisticky vysoko významná autokorelácia prvého rádu v rezíduách.

Koyckova transformácia

dataUSA <- dataUSA %>%
  mutate(Inflation_lag1 = lag(Inflation))

model_koyck <- lm(Inflation ~ GDP_Growth + Unemployment + Interest_Rate +
                    Inflation_lag1,
                  data = dataUSA)

summary(model_koyck)

Call:
lm(formula = Inflation ~ GDP_Growth + Unemployment + Interest_Rate + 
    Inflation_lag1, data = dataUSA)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5.5476 -2.0242  0.3046  1.8316  4.9636 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     9.67947    1.68796   5.734 5.33e-07 ***
GDP_Growth     -0.08743    0.09804  -0.892  0.37667    
Unemployment   -0.33972    0.13907  -2.443  0.01808 *  
Interest_Rate  -0.01099    0.11972  -0.092  0.92724    
Inflation_lag1 -0.40149    0.13029  -3.082  0.00332 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.735 on 51 degrees of freedom
  (1 пропущенное наблюдение удалено)
Multiple R-squared:  0.2342,    Adjusted R-squared:  0.1742 
F-statistic:   3.9 on 4 and 51 DF,  p-value: 0.007722

dwtest(model_koyck)

    Durbin-Watson test

data:  model_koyck
DW = 2.2805, p-value = 0.8605
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

• Hodnota \(p=0,007722\) (z F-testu) potvrdzuje, že je model ako celok štatisticky významný na úrovni \(\alpha=0,01\).

• Model vysvetľuje približne \(17,42\%\) variability inflácie (Adjusted \(R^2\)). Táto hodnota je relatívne nízka.

• Štatisticky významné sú premenné Nezamestnanosť (\(\text{Unemployment}\), \(p=0,018\)) a Oneskorená inflácia (\(\text{Inflation_lag1}\), \(p=0,003\)). Rast HDP a Úroková sadzba nie sú významné.

• Hodnota \(\text{DW} = 2,2805\) je blízka hodnote 2. To signalizuje, že zahrnutie oneskorenej premennej výrazne zlepšilo špecifikáciu modelu a znížilo autokoreláciu rezíduí (v porovnaní s predchádzajúcim modelom).

Model je štatisticky významný a úspešne korigoval problém autokorelácie, avšak jeho celková prediktívna schopnosť je obmedzená (\(R^2 \approx 17\%\)).

Newey–West robustné štandardné chyby

coeftest(model, vcov = NeweyWest(model))

t test of coefficients:

               Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)    
(Intercept)    6.523581   1.223244  5.3330 2.035e-06 ***
GDP_Growth    -0.055135   0.083573 -0.6597   0.51229    
Unemployment  -0.254587   0.113666 -2.2398   0.02932 *  
Interest_Rate  0.096029   0.106435  0.9022   0.37101    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Intercept (Priesečník):

• Koeficient je vysoko štatisticky významný (\(p < 0.001\)), čo naznačuje, že inflácia má nejakú základnú úroveň, aj keď sú všetky vysvetľujúce premenné nulové.

Unemployment (Nezamestnanosť):

• Koeficient \(-0.254587\) je štatisticky významný (\(p = 0.02932\), t. j. \(p < 0.05\)).To naznačuje, že negatívny vzťah medzi nezamestnanosťou a infláciou (podobný Phillipsovej krivke) zostáva významný aj po korekcii na autokoreláciu a heteroskedasticitu.

Nevýznamné premenné:

• GDP_Growth (\(p = 0.51229\)) a Interest_Rate (\(p = 0.37101\)) zostávajú štatisticky nevýznamné. Ich vplyv na infláciu nie je možné štatisticky odlíšiť od nuly, aj keď sú použité robustné chyby.

Záver

Analýza potvrdila, že pôvodný model inflácie bol neadekvátny z dôvodu nízkej vysvetľujúcej sily (\(R^2 \approx 10\%\)) a silnej negatívnej autokorelácie v rezíduách (\(\text{DW}=2,85\)). Zavedenie oneskorenej inflácie (\(\text{Inflation_lag1}\)) problém autokorelácie úspešne eliminovalo (\(\text{DW}=2,28\)), čím sa model stal štatisticky významným.

Model vysvetľuje iba \(17,42\%\) variability inflácie a jedinou robustne významnou premennou je Nezamestnanosť (potvrdenie Phillipsovej krivky), zatiaľ čo \(\text{GDP_Growth}\) a \(\text{Interest_Rate}\) sú nevýznamné. Model je validný, ale má obmedzenú prediktívnu schopnosť a potvrdzuje len negatívny vzťah s nezamestnanosťou.