Essentials of Probability
Exercises ~ Week 10
1 Essentials of Probability
Probabilitas adalah dasar penting dalam statistik karena membantu kita memahami ketidakpastian dan membuat keputusan yang lebih tepat. Dengan konsep probabilitas, kita bisa menghitung peluang suatu peristiwa, membaca pola data, dan menganalisis fenomena yang terjadi dalam berbagai eksperimen.
Bagian ini membahas konsep-konsep dasar seperti ruang sampel, peristiwa, aturan lengkap, peristiwa independen-independen, peristiwa ekslusif lengkap, serta peluang gabungan. Selain itu, juga dibahas eksperimen binomial yang sering digunakan dalam analisis data. Setiap materi dilengkapi dengan video pembelajaran untuk membantu pemahaman.
2 Fundamental Concept
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Video ini bahas dasar probabilitas, kayak cara ngitung peluang dari sebuah peristiwa. Contohnya, lempar koin sekali peluang kepala itu 1/2. Kalau lempar dua kali, peluang dua kepala jadi 0,25
Video ini jelasin ruang sampel (HH, HT, TH, TT) dan cara pakai itu buat ngitung peluang, misalnya peluang muncul minimal satu ekor itu 0,75
Dijelasin juga dua aturan penting:
- Probabilitas selalu antara 0-1
- Total semua peluang dalam satu ruang sampel:
2.1 Aturan Probabilitas
\[ \sum P(\text{kejadian}) = 1 \]
Aturan Komplemen:
\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]
Atau bentuk lengkapnya:
\[ P(A) + P(A^c) = 1 \]
3 Independent and Dependent
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Dalam video ini dijelasin tentang kejadian independen dan dependen dalam probabilitas.
- Kejadian Independen Kejadian independen adalah dua
kejadian yang satu tidak mempengaruhi peluang kejadian
lainnya.Contohnya: Melempar dadu dan melempar koin.
Hasil dadu tidak berpengaruh pada hsil koin.
3.1 Rumus Kejadian Bersamaan (A dan B)
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
3.2 Contoh kasus
Peluang muncul angka 5 pada dadu:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
Peluang muncul kepala pada koin:
\[ P(B) = \frac{1}{2} \]
Maka peluang keduanya terjadi bersamaan:
\[ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \]
- Kejadian Dependen Kejadian dependen adalah kejadian
di mana kejadian pertama mempengaruhi peluang kejadian
berikutnya. Ini biasanya tejadi jika pengembalian dilakukan
tanpa penggantian
3.3 Contoh Soal: Peluang Tanpa Penggantian
Kita memiliki 10 kelereng (7 hijau dan 3 biru). Ketika 1 kelereng hijau diambil, jumlah total berubah menjadi 9 sehingga peluang berikutnya juga berubah.
Peluang mengambil kelereng hijau terlebih dahulu:
\[ P(\text{Hijau pertama}) = \frac{7}{10} \]
Setelah hijau diambil, tersisa 9 kelereng. Peluang mengambil biru:
\[ P(\text{Biru kedua}) = \frac{3}{9} \]
Maka peluang mengambil hijau lalu biru tanpa penggantian:
\[ P(\text{Hijau lalu Biru}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{30} \]
4 Union of Events
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Video ini membahas probabilitas Gabungan dengan mengulang konsep dasar seperti ruang sampel dan probabilitas sederhana. Ruang sampel adalah semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Misalnya, melempar satu dadu menghasilkan 6 kemungkinan, sedangkan dua dadu menghasilkan 36 kemungkinan.
4.1 Probabilitas
Probabilitas dihitung dengan rumus:
\(\displaystyle P = \frac{\text{jumlah hasil yang diinginkan}}{\text{jumlah seluruh hasil}}\)
4.2 Contoh Perhitungan
Probabilitas mendapatkan dua angka enam:
\(\displaystyle P = \frac{1}{36}\)
Probabilitas mendapatkan dua angka genap:
\(\displaystyle P = \frac{9}{36}\)
Probabilitas mendapatkan setidaknya satu angka dua:
\(\displaystyle P = \frac{11}{36}\)
4.3 Kejadian Tumpang Tindih
Ketika dua kejadian saling tumpang tindih, kita perlu melihat irisan \(A \cap B\).
Misalnya, dua angka genap dan setidaknya satu angka dua memiliki 5 kemungkinan:
\(\displaystyle P(A \cap B) = \frac{5}{36}\)
4.4 Kejadian Gabungan
Untuk kejadian gabungan \(A \cup B\), digunakan rumus:
\(\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Rumus ini mencegah penghitungan ganda pada kejadian yang tumpang tindih.
4.5 Menggunakan Nilai yang Sudah Dihitung
\(\displaystyle P(\text{dua angka genap}) = \frac{9}{36}\)
\(\displaystyle P(\text{setidaknya satu angka dua}) = \frac{11}{36}\)
\(\displaystyle P(\text{irisan}) = \frac{5}{36}\)
4.6 Probabilitas Gabungannya
\(\displaystyle P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = 0.4167\)
5 Exclusive and Exhaustive
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Dalam video sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa probabilitas kejadian A atau B sama dengan probabilitas kejadian A ditambah probabilitas kejadian B dikurangi probabilitas kejadian A dan B. Jika kejadian A dan B merupakan kejadian yang benar-benar lengkap, maka dengan menggunakan rumus ini kita akan mendapatkan nilai 1.
5.1 Rumus probabilitas gabungan:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
5.2 Contoh 1 (kejadian lengkap):
\[ P(A) = \frac{11}{36},\quad P(B) = \frac{33}{36},\quad P(A \cap B) = \frac{8}{36} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = 1 \]
5.3 Contoh 2 (genap dan ganjil):
\[ P(A) = \frac{18}{36},\quad P(B) = \frac{18}{36},\quad P(A \cap B) = 0 \]
\[ P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{18}{36} = 1 \]
6 Binomial Experiment
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Video ini menjelaskan konsep pengaturan binomial dan bagaimana menggunakan rumus distribusi binomial untuk menghitung peluang suatu kejadian yang memiliki dua kemungkinan berhasil atau gagal.
Distribusi binomial digunakan ketika suatu percobaan diulang beberapa kali, dan setiap percobaan hanya menghasilkan dua kemungkinan hasil. Untuk dapat disebut sebagai eksperimen binomial, terdapat empat syarat yang harus dipenuhi:
- Jumlah percobaan (n) tetap
- Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil, yaitu berhasil atau gagal
- Probabilitas keberhasilan (p) konstan pada setiap percobaan
- setiap percobaan bersifat independen, artinya hasil satu percobaan tidak memperngaruhi percobaan lainnya
6.1 Rumus Dasar
Peluang mendapatkan tepat \(k\) keberhasilan dari \(n\) percobaan diberikan oleh:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \]
dengan:
\[ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
6.2 Contoh 1: Melempar Koin 3 Kali
Dicari peluang mendapatkan tepat satu kepala.
- Jumlah percobaan \(n = 3\)
- Peluang kepala \(p = 0.5\)
- Keberhasilan yang dicari \(k = 1\)
\[ P(X = 1) = {3 \choose 1}(0.5)^1(0.5)^2 = 3 \times 0.5 \times 0.25 = 0.375 \]
6.3 Contoh 2: Mengambil Kelereng Dengan Penggantian
- Terdapat 10 kelereng: 3 merah muda, 2 hijau, 5 biru.
Peluang mengambil kelereng hijau:
\[ p = \frac{2}{10} = 0.2 \]
- Diambil sebanyak \(n = 5\) kali
dengan penggantian.
- Dicari peluang tepat 2 kelereng hijau.
\[ P(X = 2) = {5 \choose 2}(0.2)^2(0.8)^3 \]
\[ = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048 \]
7 Binomial Distribution
Klik gambar di bawah untuk membuka video di YouTube:
Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen dengan probabilitas sukses yang tetap.
7.1 Rumus Binomial sederhana
\[ p(x = l) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k} \]
- \(k\) = jumlah keberhasilan
- \(n\) = jumlah percobaan
- \(p\) = probabilitas keberhasilan
7.2 Contoh Kasus
Melempar koin 2 kali (n=2) dengan probabilitas kepala (p=0.5)
hasil probabilitas:
- 0 keberhasilan: 0.25
- 1 keberhasilan: 0.50
- 2 keberhasilan: 0.25
7.3 Karakteristik Distribusi Binomial
Parameter - Mean (μ) = n × p - Variance = n × p × (1-p) - Standard deviation = √[n × p × (1-p)]
7.4 Pengaruh Nilai p terhadap Bentuk Distribusi:
- p = 0.5: Distribusi simetris
- p < 0.5: Distribusi miring ke kanan
- p > 0.5: Distribusi miring ke kiri
7.5 Pengaruh Nilai n
Semakin besar n, distribusi binomial semakin mendekati distribusi normal
8 Kesimpulan
Intinya, semua materi ini ngajarin kita cara ngitung peluang biar ngga asal nebak. Mulai dari peluang dasar, kejadian yang saling ngaruh atau ngga, sampai gimana ngitung peluang kalau kejadian bisa tumpang tindih. Bagian binomial, kita ngitung peluang dari percobaan yang diulang-ulang tapi hasilnya cuma dua yaitu sukses atau gagal. Rumusnya sbeerapa besar kemungkinan sesuatu kejadian muncul beberapa kali. Bnetuk distribusinya juga bisa berubah trgantung nilai p dan jumlah percobaan.
9 Refrensi
https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/Preface.html dan Chat.GPT