Usando el wronskiano, verifique si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente dependientes o independientes en toda la recta real (\(\mathbb R\)).

1. \[f_1(x) = sinx\] \[f_2(x) = cosx\]
2. \[f_1(x) = x\] \[f_2(x) = x^2\] \[f_3(x) = x^3\]
3. \[f_1(x) = 5 + 7x\] \[f_2(x) = -15 - 21x\] \[f_3(x) = 10 + 14x\]

Solución

Para los tres conjuntos de funciones, usaremos el Teorema de Independencia Lineal de Funciones: \[W \ne 0 \ para \ algún \ x \in \mathbb R <=> Las \ funciones \ son \ linealmente \ independientes.\] Entonces, para cada conjunto de funciones calculamos el wronskiano:

1.

\[W = \begin{vmatrix} sinx & cosx \\ cosx & -sinx \end{vmatrix}\] \[\therefore W = -sin^2x - cos^2x\] Usando la identidad \(sin^2x + cos^x = 1 \ \forall x\): \[W = -1 \ \forall x \in \mathbb R\] Entonces las funciones \(f_1\) y \(f_2\) son linealmente independientes.

2.

\[W = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}\] \[\therefore W = x \begin{vmatrix} 2x & 3x^2 \\ 2 & 6x \end{vmatrix} - x^2 \begin{vmatrix} 1 & 3x^2 \\ 0 & 6x \end{vmatrix} + x^3 \begin{vmatrix} 1 & 2x \\ 0 & 2 \end{vmatrix}\] \[\therefore W = x(12x^2 - 6x^2) -x^2(6x) + x^3(2)\] \[\therefore W = 6x^3 -6x^3 + 2x^3\] \[\therefore W = 2x^3\] \[\therefore W \ne 0 \ \forall x \ne 0\] Entonces las funciones \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\) son linealmente independientes.

3.

\[W = \begin{vmatrix} 5+7x & -15-21x & 10+14x \\ 7 & -21 & 14 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\] \[\therefore W = (5+7x) \begin{vmatrix} -21 & 14 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - (-15-21x) \begin{vmatrix} 7 & 14 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (10+14x) \begin{vmatrix} 7 & -21 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\] \[\therefore W = 0 \ \forall x \in \mathbb R\] Entonces las funciones \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\) son linealmente dependientes.

Rúbrica

Para cada pregunta, los puntajes son los siguientes:

Total: 20 puntos

\[---------------------------------------------------\]