2.1.1 Contoh & Pembahasan

1. Melempar Dadu

Jika sebuah dadu dilempar ke atas, maka tentukan ruang sampel kemungkinan mata dadu yang muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Sehingga ruang sampelnya dinyatakan dengan S = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

2. Produk Pabrik

Suatu pabrik memproduksi sejenis produk kesehatan. Kemungkinan produk yang dihasilkan adalah produk yang “cacat” dan “tidak cacat”. Sehingga ruang sampel dari sebuah produk yang dihasilkan oleh pabrik dapat dinyatakan dengan S = {Cacat, Tidak Cacat}.

3. Melempar Koin

Sebuah koin dilempar ke atas. Setelah jatuh, maka kemungkinan sisi yang muncul paling atas adalah “Gambar” atau “Angka”. Sehingga ruang sampel percobaan tersebut dapat dinyatakan dengan S = {Angka, Gambar}.[2]

2.2.1 Contoh & Pembahasan

1. Melempar Dadu

Berapa peluang muncul angka 4 saat melempar satu dadu fair?

Penyelesaian:

Ruang sampel: \[ S = \{1,2,3,4,5,6\} \quad \Rightarrow \quad n(S)=6 \]

Hasil yang menguntungkan: \[ A = \{4\} \quad \Rightarrow \quad n(A)=1 \]

Probabilitas:

\[ P(A) = \frac{1}{6} \]

2. Melempar Dua Koin

Peluang muncul dua gambar (GG)?

Penyelesaian:

Ruang sampel: \[ S = \{GG, GA, AG, AA\} \quad \Rightarrow \quad n(S)=4 \]

Hasil yang menguntungkan: \[ A = \{GG\} \quad \Rightarrow \quad n(A)=1 \]

Probabilitas: \[ P(GG)=\frac{1}{4} \]

3. Mengambil Bola dari Kotak

Kotak berisi 5 bola merah, 3 biru, dan 2 hijau. Peluang mengambil bola merah?

Penyelesaian:

Jumlah total bola: \[ n(S)=5+3+2=10 \]

Jumlah bola merah: \[ n(A)=5 \]

Probabilitas: \[ P(\text{merah})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \]

2.3.1 Contoh & Pembahasan

Soal 1

Peluang terjadi hujan pada suatu hari adalah 0,3. Berapakah peluang tidak terjadi hujan?

Penyelesaian:

Menggunakan aturan komplemen:

\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

Maka:

\[ P(\text{tidak hujan}) = 1 - 0,3 = 0,7 \]

Soal 2

Sebuah dadu fair dilempar. Berapakah peluang tidak muncul angka 6?

Penyelesaian:

Kejadian \(A = \{\text{muncul 6}\}\), sehingga:

\[ P(A) = \frac{1}{6} \]

Dengan aturan komplemen:

\[ P(A^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Soal 3

Peluang seorang siswa hadir ke kelas adalah 0,85. Berapakah peluang siswa tersebut tidak hadir?

Penyelesaian:

\[ P(\text{tidak hadir}) = 1 - 0,85 = 0,15 \]

3.1.1 Contoh & Pembahasan

1. Melempar Dadu

Sebuah dadu enam sisi dilempar sekali.
- Kejadian \(A\): muncul angka genap
- Kejadian \(B\): muncul angka lebih dari 3

Pertanyaan: Hitung probabilitas \(A \cap B\) ?

Rumus probabilitas independen:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Penyelesaian:
\[ P(A) = \frac{3}{6}, \quad P(B) = \frac{3}{6} \] \[ P(A \cap B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = 0.25 \]

2. Melempar Koin

Dua koin dilempar bersamaan.
- Kejadian \(A\): koin pertama muncul gambar
- Kejadian \(B\): koin kedua muncul angka

Pertanyaan: Hitung probabilitas \(A \cap B\)?

Rumus probabilitas independen:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Penyelesaian:
\[ P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{2} \] \[ P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

3. Memilih Bola

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 5 bola biru. Bola diambil dengan pengembalian, dua kali.
- Kejadian \(A\): bola pertama merah
- Kejadian \(B\): bola kedua biru

Pertanyaan: Hitung probabilitas \(A \cap B\) ?

Rumus probabilitas independen:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Penyelesaian:
\[ P(A) = \frac{5}{10}, \quad P(B) = \frac{5}{10} \] \[ P(A \cap B) = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{25}{100} = 0.25 \]

3.2.1 Contoh & Pembahasan

1. Bola Tanpa Pengembalian

Kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa dikembalikan.

Pertanyaan:

1. Probabilitas bola pertama merah dan bola kedua biru.
2. Probabilitas kedua bola berwarna merah.

Penyelesaian:

• Total bola = 6 + 4 = 10
• \(A\) = bola pertama merah
• \(B\) = bola kedua biru

a) Probabilitas bola pertama merah dan bola kedua biru

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\]

• \(P(A) = \frac{6}{10} = 0.6\)
• Jika bola pertama merah, tersisa 5 merah + 4 biru = 9 bola \(P(B \mid A) = \frac{4}{9} \approx 0.444\)

\[P(A \cap B) = 0.6 \times 0.444 \approx 0.2667\]

b) Probabilitas kedua bola merah

\[P(\text{merah pertama} \cap \text{merah kedua}) = P(A) \times P(\text{merah kedua} \mid A)\]

• \(P(A) = 6/10 = 0.6\)
• \(P(\text{merah kedua} \mid A) = 5/9 \approx 0.5556\)

\[P(\text{merah pertama} \cap \text{merah kedua}) = 0.6 \times 0.5556 \approx 0.3333\]

2.Kartu Remi

Diambil 2 kartu secara acak dari 52 kartu (tanpa pengembalian).

Pertanyaan:

1. Probabilitas kartu pertama As dan kartu kedua King.
2. Probabilitas kedua kartu As.

Penyelesaian:

• Total kartu = 52
• As = 4 kartu, King = 4 kartu

a) Probabilitas As pertama dan King kedua

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\]

• \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
• Setelah As diambil, tersisa 51 kartu, King tetap 4 kartu \(P(B \mid A) = \frac{4}{51}\)

\[P(A \cap B) = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663} \approx 0.00603\]

b) Probabilitas kedua kartu As

• \(P(A) = 4/52 = 1/13\)
• Setelah As pertama diambil, tersisa 3 As dari 51 kartu \(P(\text{As kedua} \mid A) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}\)

\[P(\text{As pertama} \cap \text{As kedua}) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221} \approx 0.00452\]

3. Dadu dan Koin

Dadu dilempar, kemudian koin dilempar. Jika dadu genap, koin muncul kepala dengan peluang 0.75, jika dadu ganjil, peluang kepala = 0.5

Pertanyaan:

1. Probabilitas dadu genap dan koin kepala.
2. Jelaskan mengapa peristiwa dependent.

Penyelesaian:

• Dadu genap = 2,4,6 → \(P(\text{genap}) = 3/6 = 0.5\)
• Probabilitas kepala jika genap = 0.75 \[P(\text{genap} \cap \text{kepala}) = P(\text{genap}) \times P(\text{kepala} \mid \text{genap}) = 0.5 \times 0.75 = 0.375\]
• Peristiwa dependent, karena peluang muncul kepala dipengaruhi hasil dadu. Jika dadu ganjil, peluang kepala berbeda (0.5), sehingga probabilitas koin tidak independen dari dadu.

4.2.1 Contoh & Pembahasan

1. Peristiwa Tidak Saling Meniadakan

Sebuah dadu dilempar satu kali. Diketahui:

• \(A\) = muncul angka genap = {2, 4, 6}
• \(B\) = muncul angka lebih dari 3 = {4, 5, 6}

Tentukan \(P(A \cup B)\).

Penyelesaian

\[P(A) = \frac{3}{6}, P(B) = \frac{3}{6}, A \cap B = \{4,6\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{2}{6}\] Gunakan rumus penjumlahan:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

2. Peristiwa Saling Meniadakan (Mutually Exclusive)

Sebuah kartu diambil dari set kartu angka 1 sampai 10. Diketahui:

• \(A\) = kartu bilangan genap = {2,4,6,8,10}
• \(B\) = kartu bilangan ganjil kurang dari 5 = {1,3} Karena tidak ada angka yang sama, \(A\) dan \(B\) mutually exclusive.

Tentukan \(P(A \cup B)\).

Penyelesaian

\[P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\] Rumus untuk kejadian saling meniadakan:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}\]

3. Gabungan Tiga Peristiwa

Dalam satu kali lemparan dadu, definisikan:

• \(A\) = muncul bilangan prima = {2,3,5}
• \(B\) = muncul bilangan genap = {2,4,6}
• \(C\) = muncul bilangan kurang dari 4 = {1,2,3}

Tentukan \(P(A \cup B \cup C)\).

Penyelesaian:

Hitung probabilitas masing-masing:

\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Hitung semua irisan:

\[A \cap B = \{2\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{6}\] \[A \cap C = \{2,3\} \Rightarrow P(A \cap C) = \frac{2}{6}\] \[B \cap C = \{2\} \Rightarrow P(B \cap C) = \frac{1}{6}\] \[A \cap B \cap C = \{2\} \Rightarrow P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{6}\]

Gunakan rumus inklusi-eksklusi:

\[P(A \cup B \cup C) =\] \[P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]

Substitusi:

\[= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{2} - \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{2} - \frac{3}{6} =\] \[\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1\]

Artinya, gabungan tiga peristiwa mencakup semua hasil dadu → wajar jika hasilnya 1.

5.1.1 Contoh & Pembahasan

1. Lempar Dadu

Sebuah dadu enam sisi dilempar sekali.

• Kejadian \(A = \{\text{muncul angka genap}\} = \{2, 4, 6\}\)
• Kejadian \(B = \{\text{muncul angka ganjil}\} = \{1, 3, 5\}\)

Pertanyaan:

1. Tentukan apakah \(A\) dan \(B\) saling eksklusif.
2. Hitung \(P(A \cup B)\)

Penyelesaian:

1. Irisan: \(A \cap B = \emptyset\) → saling eksklusif
2. Probabilitas masing-masing:

\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\] 3. Probabilitas gabungan:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

2. Kartu Remi

Diambil satu kartu dari setumpuk 52 kartu.

• Kejadian \(A = \{\text{kartu hati}\}\)
• Kejadian \(B = \{\text{kartu sekop}\}\)

Pertanyaan:

1. Tentukan apakah \(A\) dan \(B\) saling eksklusif.
2. Hitung \(P(A \cup B)\).

Penyelesaian:

• Tidak ada kartu yang sekaligus hati dan sekop → saling eksklusif
• Probabilitas masing-masing: \[P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]
• Probabilitas gabungan: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

3. Melempar Koin

Dua koin dilempar bersamaan sekali.

• Kejadian \(A = \{\text{muncul sisi depan koin pertama}\}\)
• Kejadian \(B = \{\text{muncul sisi belakang koin pertama}\}\)

Pertanyaan:

1. Tentukan apakah \(A\) dan \(B\) saling eksklusif.
2. Hitung \(P(A \cup B)\).

Penyelesaian:

• Koin pertama hanya bisa muncul depan atau belakang, tidak bisa keduanya bersamaan → saling eksklusif
• Probabilitas masing-masing: \[P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{2}\]
• Probabilitas gabungan: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

5.2.1 Contoh & Pembahasan

1. Pelemparan Dadu

Sebuah dadu enam sisi dilempar satu kali. Tentukan apakah kejadian-kejadian berikut merupakan collectively exhaustive events: - \(A = \{1, 2, 3\}\) (muncul angka ≤ 3) - \(B = \{4, 5, 6\}\) (muncul angka ≥ 4)

Penyelesaian:

Gabungan kedua kejadian:

\[A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = S\] Karena gabungan menutupi seluruh ruang sampel \(S\), maka \(A\) dan \(B\) adalah collectively exhaustive events.

2. Pelemparan Koin

Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan apakah kejadian-kejadian berikut membentuk collectively exhaustive events:

• \(C = \{H\}\)
• \(D = \{T\}\)

Penyelesaian:

Ruang sampel: \(S = \{H, T\}\) Gabungan kejadian: \[C \cup D = \{H\} \cup \{T\} = \{H, T\} = S\] Karena gabungan menutupi seluruh ruang sampel, \(C\) dan \(D\) adalah collectively exhaustive events.

3. Pemilihan Angka dari 1–10

Sebuah angka dipilih secara acak dari himpunan \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). Tentukan apakah kejadian-kejadian berikut membentuk collectively exhaustive events:

• \(E = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) (angka ganjil)
• \(F = \{2, 4, 6, 8\}\) (angka genap ≤ 8)

Penyelesaian:

Ruang sampel: \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) Gabungan: \[E \cup F = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \neq S\] Hasil gabungan tidak menutupi seluruh ruang sampel (angka 10 tidak termasuk), sehingga \(E\) dan \(F\) bukan collectively exhaustive events.

6.4.1 Contoh & Soal

1. Lempar Koin

Sebuah koin dilempar sebanyak 10 kali. Sukses didefinisikan sebagai munculnya sisi gambar. Tentukan apakah percobaan ini merupakan percobaan binomial.

Penyelesaian

• n = 10 (tetap) ✔
• Dua hasil (gambar/angka) ✔
• Peluang sukses tetap (koin fair) ✔
• Ulangan independen ✔

Jawaban: Ya, ini adalah percobaan binomial.

2. Menentukan \(p\) dan \(q\)

Dalam suatu pabrik, peluang sebuah lampu yang dihasilkan berkualitas baik adalah 0.92. Tentukan:

1. Peluang sukses \((p)\)
2. Peluang gagal \((q)\)

Penyelesaian

• Sukses = “lampu berkualitas baik”
• \(p=0.92\)
• \(q = 1 - p = 1 - 0.92 = 0.08\)

3. Dadu

Sebuah dadu dilempar hingga muncul angka 6 untuk pertama kali. Apakah ini percobaan binomial?

Penyelesaian:

• \(n\) tidak tetap (berapa kali pelemparan tidak ditentukan) ✘
• Dua hasil (6/tidak 6) ✔
• \(p\) tetap ✔
• Ulangan independen ✔

Karena \(n\) tidak tetap, syarat binomial gagal.

Jawaban: Tidak, ini bukan percobaan binomial.

7.4.1 Soal & Pembahasan

1. Tepat 2 sukses dari 5 pelemparan koin

Sebuah koin fair dilempar sebanyak \(n=5\) kali. Misalkan sukses = muncul sisi “angka” dengan \(p = \frac{1}{2}\). Hitung \(P(X=2)\) (tepat 2 sukses).

Penyelesaian:

Cek syarat binomial: ulangan tetap \((n=5)\), dua hasil (angka/gambar), \(p\) konstan, ulangan independen — terpenuhi.

Rumus binomial:

\[P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\]

Masukkan nilai \(n = 5\), \(x = 2\), \(p = \frac{1}{2}\):

\[P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{5-2} = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^5\]

Hitung kombinasi:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10\]

Jadi

\[P(X = 2) = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} = 0,3125\]

Visualisasi

Visualisasi grafik batang ini menunjukkan distribusi probabilitas binomial untuk percobaan melempar koin fair sebanyak 5 kali, dimana batang pada titik \(X=2\) yang memiliki tinggi 0,3125 (31,25%) secara spesifik merepresentasikan peluang mendapatkan tepat 2 angka dari 5 pelemparan tersebut. Nilai ini sesuai dengan perhitungan teoritis menggunakan rumus binomial yang menghasilkan 0,3125. Pola grafik yang simetris, dengan puncak pada 1 dan 3 sukses serta probabilitas yang menurun untuk hasil yang lebih ekstrem (0 atau 5 sukses), mengonfirmasi karakteristik distribusi binomial dengan probabilitas sukses \(p=0,5\), sekaligus menegaskan bahwa outcome 2 sukses merupakan salah satu hasil yang paling mungkin terjadi dalam percobaan ini.

2. Paling banyak 2 sukses dari 8 percobaan \((p = 0.3)\)

Sebuah percobaan diulang \(n=8\) kali dengan peluang sukses \(p=0.3\) setiap ulangan. Hitung \(P(X \leq 2)\) (paling banyak 2 sukses).

Penyelesaian:

Cek syarat binomial: terpenuhi (\(n\) tetap, dua hasil, \(p\) konstan, independen).

Hitung

\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

dengan

\[P(X = k) = \binom{8}{k} (0.3)^k (0.7)^{8-k}\]

Hitung masing-masing:

• \(P(X = 0) = \binom{8}{0} (0.3)^0 (0.7)^8 = (0.7)^8 \approx 0,05764801\)
• \(P(X = 1) = \binom{8}{1} (0.3)^1 (0.7)^7 = 8 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^7 \approx 0,19765032\)
• \(P(X = 2) = \binom{8}{2} (0.3)^2 (0.7)^6 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 0.3^2 \cdot (0.7)^6 = 28 \cdot 0.09 \cdot (0.7)^6\) \[\approx 0,29647548\]

Jumlahkan:

\[P(X \leq 2) \approx 0,05764801 + 0,19765032 + 0,29647548 = 0,55177381\]

Visualisasi

Visualisasi grafik batang ini merepresentasikan distribusi probabilitas binomial untuk 8 percobaan independen dengan peluang sukses setiap percobaan \(p=0,3\), dimana probabilitas “paling banyak 2 sukses” \((X≤2)\) ditunjukkan oleh penjumlahan tiga batang pertama yaitu \(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\) yang mencapai 0,5518 atau 55,18%. Nilai ini berasal dari kontribusi masing-masing probabilitas: 0,0576 untuk 0 sukses, 0,1977 untuk 1 sukses, dan 0,2965 untuk 2 sukses, yang secara visual terlihat sebagai tiga batang dengan tinggi kumulatif yang dominan dibandingkan dengan outcome lainnya. Grafik juga memperlihatkan pola distribusi yang miring ke kiri (right-skewed) yang khas untuk binomial dengan \(p<0,5\), dimana probabilitas semakin menurun secara drastis untuk jumlah sukses yang lebih tinggi, dengan \(X=7\) dan \(X=8\) memiliki peluang hampir mendekati nol.

3. Paling sedikit 3 sukses dari 10 percobaan \((p = 0.2)\)

Dalam \(n=10\) ulangan, peluang sukses tiap ulangan \(p=0.2\). Hitung \(P(X \geq 3)\) (paling sedikit 3 sukses).

Penyelesaian:

Syarat binomial terpenuhi.

Menghitung komplemen:

\[P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))\]

dengan

\[P(X = k) = \binom{10}{k} (0.2)^k (0.8)^{10-k}\]

Hitung:

• \(P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.2)^0 (0.8)^{10} = (0.8)^{10} \approx 0,1073741824\)

• \(P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.2)^1 (0.8)^9 = 10 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^9 \approx 0,2684354560\)

• \(P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.2)^2 (0.8)^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 0.04 \cdot (0.8)^8\) \[= 45 \cdot 0.04 \cdot (0.8)^8 \approx 0,3019898880\]

Jumlah:

\[P(X \leq 2) \approx 0,1073741824 + 0,2684354560 + 0,3019898880 = 0,6777995264\]

Maka

\[P(X \geq 3) = 1 - 0,6777995264 \approx 0,3222004736\]

Visualisasi

Visualisasi grafik batang ini menunjukkan distribusi probabilitas binomial untuk 10 percobaan dengan peluang sukses \(p=0,2\), dimana area yang diarsir pada batang \(X≥3\) merepresentasikan probabilitas “paling sedikit 3 sukses” sebesar 0,3222 atau 32,22%, yang diperoleh melalui pendekatan komplemen dengan mengurangkan 1 dari jumlah tiga batang pertama \((P(X≤2)=67,78%)\). Grafik dengan jelas memperlihatkan distribusi yang sangat miring ke kanan (right-skewed) yang konsisten dengan nilai \(p=0,2\) yang kecil, dimana probabilitas tertinggi berada pada \(X=1\) dan \(X=2\) (masing-masing sekitar 26,84% dan 30,20%), sementara probabilitas untuk outcome yang lebih tinggi dari 3 sukses menurun secara drastis, dengan \(X≥6\) sudah memiliki peluang di bawah 1%.