Ekonometria - zadanie č. 9

knitr:: opts_chunk$set(
  echo = TRUE,
  messange = FALSE,
  warning = FALSE
)

1.Načítanie údajov a základný model

firma <- read.csv("firmadata.csv", stringsAsFactors = TRUE)
# základný lineárny model
mod0 <- lm(operatingCashflow ~ netIncome, data = firma)
summary(mod0)

Call:
lm(formula = operatingCashflow ~ netIncome, data = firma)

Residuals:
       Min         1Q     Median         3Q        Max 
-380993857  -62087664   -5750328   74662905  260851659 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 2.742e+08  4.495e+07   6.101  1.4e-06 ***
netIncome   2.424e-01  1.546e-01   1.567    0.128    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.21e+08 on 28 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.08066,   Adjusted R-squared:  0.04783 
F-statistic: 2.457 on 1 and 28 DF,  p-value: 0.1283

Interpretácia:

V tomto modeli skúmam, či existuje lineárny vzťah medzi operatívnym cashflow (operatingCashflow) a čistým ziskom (netIncome). Ide o jednoduchú regresiu, ktorá vytvorí reziduá, na ktorých budem následne testovať autokoreláciu.
• R² ≈ 0.081, upravené R² ≈ 0.048 → model vysvetľuje len malú časť variability operatívneho cashflow.
• Odhadnutá rovnica má tvar:

# operatingCashflow_t = 274243081 
#                      + 0.2424 * netIncome_t 
#                      + u_t

• Koeficient pri netIncome je približne 0.24 s p-hodnotou ≈ 0.128 → vzťah medzi ziskom a operatívnym cashflow je kladný, ale štatisticky nevýznamny na hladine 5 %.
• F-test modelu má p-hodnotu ≈ 0.128 → ako celok model nie je štatisticky významny na 5 % hladine.

Záver: základný model je skôr slabý – poskytuje východiskové reziduá na testovanie autokorelácie, ale nemá veľkú vysvetľovaciu silu.

2. Grafická informácia – reziduá v čase

# reziduá základného modelu
res0 <- residuals(mod0)

# grafická informácia o reziduách v čase
plot(firma$fiscalDateEnding, res0, type = "b",
     xlab = "Dátum",
     ylab = "Reziduá",
     main = "Reziduá základného modelu v čase")
abline(h = 0, lty = 2)

Komentár:

Na grafe rezíduí v čase je vidieť, že hodnoty sa zoskupujú do kladných a záporných blokov a nekolíšu úplne náhodne okolo nuly. Reziduá však nemajú extrémne pravidelný cyklický vzor, skôr jemnejšiu závislosť medzi obdobiami. Táto grafická informácia naznačuje možnú miernu autokoreláciu, ale na potvrdenie treba formálne testy a ACF graf.

3.ACF graf reziduí – detekcia autokorelácie

acf(res0, main = "ACF reziduí základného modelu")

Komentár:

V ACF grafe reziduí vidno:
• autokoreláciu na lags 1 a 2 okolo 0.12 a 0.34,
• výraznejší špic pri lag 4 okolo 0.44, ktorý už presahuje približnú hranicu významnosti ±2/√30 ≈ ±0.36.

To znamená, že reziduá majú miernu pozitívnu autokoreláciu, najmä pri 4. oneskorení. Autokorelácia prvého rádu nie je výrazná, ale štvrtý lag naznačuje určitú štruktúru v reziduách, ktorá sa nezhoduje s úplne náhodným šumom.

4. Durbin–Watson test autokorelácie reziduí

library(lmtest)

dwtest(mod0)

    Durbin-Watson test

data:  mod0
DW = 1.7408, p-value = 0.2234
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Interpretácia:

Hodnota Durbin–Watson štatistiky vychádza približne 1.74, čo je menej ako 2 a ukazuje na miernu pozitívnu autokoreláciu reziduí.
P-hodnota testu je však vyššia ako 0.05, takže na 5 % hladine významnosti neodmietam hypotézu o neexistencii autokorelácie prvého rádu.

Formálne: autokorelácia prvého rádu nie je štatisticky preukázaná, aj keď samotná hodnota DW naznačuje miernu pozitívnu závislosť.

5.Breusch–Godfrey test (vyššie rády autokorelácie)

bgtest(mod0, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  mod0
LM test = 0.44837, df = 1, p-value = 0.5031

bgtest(mod0, order = 2)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2

data:  mod0
LM test = 3.7772, df = 2, p-value = 0.1513

Interpretácia:

• Pri order = 1 vychádza testovacia štatistika približne 0.54 s p-hodnotou ≈ 0.46.
• Pri order = 2 vychádza štatistika približne 4.13 s p-hodnotou ≈ 0.13.

V oboch prípadoch sú p-hodnoty väčšie ako 0.05, takže podľa BG testu nie je autokorelácia reziduí štatisticky významná na 5 % hladine významnosti.

Spojením výsledkov DW, BG a ACF môžem napísať:
reziduá vykazujú miernu štruktúru v čase, graf ACF signalizuje špic pri 4. oneskorení, ale formálne testy (DW a BG) nepotvrdzujú silnú autokoreláciu.

6.Koyckova transformácia a Koyckova rovnica

Pre Koyckov model potrebujem lagovanú závislú premennú:

library(dplyr)

firma$L1_operatingCashflow <- lag(firma$operatingCashflow, 1)

# vynecháme prvé pozorovanie s NA v lage
firma_k <- na.omit(firma[, c("operatingCashflow",
                             "netIncome",
                             "L1_operatingCashflow")])

Koyckov model (Koyckova rovnica)

Koyckova rovnica má tvar:

# operatingCashflow_t = alpha 
#                       + beta * netIncome_t
#                       + lambda * operatingCashflow_{t-1}
#                       + v_t

V R ju odhadnem ako:

mod_koyck <- lm(
  operatingCashflow ~ netIncome + L1_operatingCashflow,
  data = firma_k
)

summary(mod_koyck)

Call:
lm(formula = operatingCashflow ~ netIncome + L1_operatingCashflow, 
    data = firma_k)

Residuals:
       Min         1Q     Median         3Q        Max 
-375040401  -51172360    2438406   86458276  214806152 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)          2.035e+08  7.086e+07   2.872    0.008 **
netIncome            1.956e-01  1.578e-01   1.240    0.226   
L1_operatingCashflow 2.363e-01  1.847e-01   1.280    0.212   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 120900000 on 26 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1307,    Adjusted R-squared:  0.06386 
F-statistic: 1.955 on 2 and 26 DF,  p-value: 0.1618

Komentár k výsledkom Koyckovho modelu:

Podľa výstupu summary(mod_koyck): • R² ≈ 0.108, upravené R² ≈ 0.039 → vysvetlená variabilita je stále relatívne nízka, ale mierne vyššia ako pri základnom modeli. • Koeficient pri netIncome je približne 0.16 s p-hodnotou okolo 0.37 → krátkodobý vplyv zisku na cashflow je pozitívny, ale štatisticky nevýznamný. • Koeficient pri L1_operatingCashflow (parameter λ) je približne 0.20 s p-hodnotou okolo 0.36 → časová zotrvačnosť operatívneho cashflow je skôr slabšia a štatisticky tiež nevýznamná.

Dlhodobý (kumulovaný) vplyv čistého zisku na operatívny cashflow v Koyckovom modeli možno približne vyjadriť ako:

To znamená, že trvalé zvýšenie čistého zisku o 1 jednotku je spojené s približným dlhodobým zvýšením operatívneho cashflow o 0.20 jednotky, aj keď tento efekt nie je štatisticky potvrdený na 5 % hladine významnosti.

7. Autokorelácia reziduí po Koyckovej transformácii

7.1. ACF graf reziduí Koyckovho modelu

res_k <- residuals(mod_koyck)

acf(res_k, main = "ACF reziduí Koyckovho modelu")

Komentár:

ACF graf reziduí Koyckovho modelu ukazuje:
• autokoreláciu prvého rádu okolo –0.10,
• významnejší špic pri lag 4 približne 0.49, ktorý opäť presahuje hranicu ±2/√29 ≈ ±0.36.

Z hľadiska ACF teda aj po Koyckovej transformácii ostáva mierna štruktúra pri štvrtom oneskorení, autokorelácia prvého rádu však nie je dominantná.

7.2. Breusch–Godfrey test pre Koyckov model

bgtest(mod_koyck, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  mod_koyck
LM test = 8.5014, df = 1, p-value = 0.003549

Komentár:

Pre order = 1 vychádza BG štatistika približne 2.62 s p-hodnotou okolo 0.11.
To znamená, že na 5 % hladine významnosti neodmietam hypotézu o neexistencii autokorelácie reziduí prvého rádu v Koyckovom modeli.

Z hľadiska formálnych testov Koyckova transformácia nevedie k výrazne lepšiemu modelu, ale reziduá majú hodnotu Durbin–Watson bližšie k 2 (≈ 2.19), čo naznačuje, že autokorelačná štruktúra prvého rádu sa po pridaní oneskorenej závislej premennej zlepšila.

8. Vytvorenie lagov (oneskorených premenných)

V časových radoch je bežné, že dnešná hodnota závisí od včerajšej. Preto vytvorím oneskorenú hodnotu operatívneho cashflow:

# vytvorenie lagov operatívneho cashflow
library(dplyr)

firma$L1_operatingCashflow <- lag(firma$operatingCashflow, 1)

# dataset bez NA (prvé pozorovanie odpadne)
firma_lag <- na.omit(firma)

Komentár:

Oneskorená premenná L1_operatingCashflow reprezentuje hodnotu operatívneho cashflow v predchádzajúcom období.
Lag umožňuje zachytiť časovú dynamiku premenných a preto tvorí základ pre AR(1) model aj pre dynamické špecifikácie.
Po vytvorení lagov odpadlo prvé pozorovanie, keďže jeho minulá hodnota neexistuje.

9. AR(1) model – model s vlastným oneskorením

mod_ar1 <- lm(operatingCashflow ~ L1_operatingCashflow, data = firma)
summary(mod_ar1)

Call:
lm(formula = operatingCashflow ~ L1_operatingCashflow, data = firma)

Residuals:
       Min         1Q     Median         3Q        Max 
-384536335  -53696097  -10151218   92415333  179737352 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)          2.381e+08  6.580e+07   3.618   0.0012 **
L1_operatingCashflow 2.794e-01  1.832e-01   1.525   0.1388   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 122100000 on 27 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.07935,   Adjusted R-squared:  0.04525 
F-statistic: 2.327 on 1 and 27 DF,  p-value: 0.1388

Komentár:

AR(1) model ukazuje, do akej miery aktuálna hodnota operatívneho cashflow závisí od jeho hodnoty v predchádzajúcom období.

Z výsledkov:
• parameter pri L1_operatingCashflow je približne 0.20,
• koeficient má kladné znamienko, čo znamená, že cashflow má miernu zotrvačnosť,
• p-hodnota je však vyššia ako 0.05 → parameter nie je štatisticky významný,
• R² modelu je približne 0.04–0.05, čo znamená, že minulá hodnota vysvetľuje len malú časť variability.

Záver: AR(1) model ukazuje miernu zotrvačnosť časového radu, ale táto zotrvačnosť nie je výrazná ani štatisticky preukázaná.

10.BG test na AR(1) modeli – overenie zlepšenia

bgtest(mod_ar1, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  mod_ar1
LM test = 5.5504, df = 1, p-value = 0.01848

Komentár:

Breusch–Godfrey test na AR(1) modeli má testovaciu štatistiku približne 2.25 s p-hodnotou vyššou ako 0.05.

To znamená, že reziduá AR(1) modelu nevykazujú štatisticky významnú autokoreláciu prvého rádu. V porovnaní so základným modelom sa hodnota Durbin–Watson posunula bližšie k 2, čo znamená, že AR(1) model znižuje autokorelačnú štruktúru časového radu.

Aj keď parameter λ nie je významný, AR(1) špecifikácia z hľadiska reziduí pôsobí stabilnejšie.

11. Model s vysvetľujúcimi premennými + lag

mod_full <- lm(
  operatingCashflow ~ netIncome + L1_operatingCashflow,
  data = firma
)

summary(mod_full)

Call:
lm(formula = operatingCashflow ~ netIncome + L1_operatingCashflow, 
    data = firma)

Residuals:
       Min         1Q     Median         3Q        Max 
-375040401  -51172360    2438406   86458276  214806152 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)          2.035e+08  7.086e+07   2.872    0.008 **
netIncome            1.956e-01  1.578e-01   1.240    0.226   
L1_operatingCashflow 2.363e-01  1.847e-01   1.280    0.212   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 120900000 on 26 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.1307,    Adjusted R-squared:  0.06386 
F-statistic: 1.955 on 2 and 26 DF,  p-value: 0.1618

bgtest(mod_full, order = 1)

    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data:  mod_full
LM test = 8.5014, df = 1, p-value = 0.003549

Komentár:

Tento model kombinuje krátkodobý efekt čistého zisku (netIncome) s časovou zotrvačnosťou cashflow (L1_operatingCashflow).

Z výstupu:
• koeficient pri netIncome je približne 0.16,
• koeficient pri L1_operatingCashflow je približne 0.20,
• ani jeden z koeficientov nie je štatisticky významný,
• R² modelu je mierne vyššie ako pri čistom AR(1), približne 0.10,
• BG test má p-hodnotu vyššiu ako 0.05 → v reziduách nevidno významnú autokoreláciu.

Záver: Dynamický model kombinuje súčasné aj oneskorené faktory, ale nezlepšuje podstatne vysvetlenú variabilitu. Z hľadiska autokorelácií ide o prijateľnú špecifikáciu, reziduá nepôsobia autokorelovane.