1.1 Fundamental Concept

Video: Probabilitas, Ruang Sampel dan Aturan Komplemen

📌 Pendahuluan

Probabilitas merupakan konsep dasar dalam statistika yang digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Materi ini membahas pengertian probabilitas, ruang sampel, serta aturan komplemen yang sering digunakan dalam penyelesaian soal probabilitas sederhana.

🎯 Probabilitas

Probabilitas adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, dengan nilai antara 0 dan 1.

• Nilai 0 menunjukkan peristiwa mustahil
• Nilai 1 menunjukkan peristiwa pasti

✅ Rumus Probabilitas

Jika setiap hasil dalam ruang sampel memiliki peluang yang sama, maka:

\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

Keterangan: - \(P(A)\) : probabilitas peristiwa A
- \(n(A)\) : jumlah hasil yang mendukung peristiwa A
- \(n(S)\) : jumlah seluruh hasil dalam ruang sampel

🧮 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan dan dilambangkan dengan simbol \(S\).

Contoh Ruang Sampel

🔹 Melempar satu koin \[ S = \{Angka, Gambar\} \]

🔹 Melempar satu dadu \[ S = \{1,2,3,4,5,6\} \]

👉 Total probabilitas dari seluruh hasil dalam ruang sampel adalah:

\[ \sum P(\text{seluruh hasil}) = 1 \]

🔄 Aturan Komplemen

Aturan komplemen digunakan untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi.

Jika A adalah suatu peristiwa, maka komplemennya dinyatakan dengan \(A^c\).

✅ Rumus Aturan Komplemen \[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

✏️ Contoh Jika probabilitas hujan hari ini adalah 0,3, maka probabilitas tidak hujan adalah:

\[ P(\text{tidak hujan}) = 1 - 0,3 = 0,7 \]

✅ Kesimpulan

Probabilitas digunakan untuk mengukur peluang suatu peristiwa, ruang sampel menunjukkan semua kemungkinan hasil, dan aturan komplemen membantu menghitung peluang kejadian yang tidak diharapkan. Ketiga konsep ini merupakan dasar penting dalam memahami probabilitas dan statistika.

1.2 Independent and Dependent

Video: Peluang Kejadian Bebas dan Kejadian Bergantung

📌 Pendahuluan

Dalam probabilitas, kejadian dapat dibedakan menjadi kejadian bebas dan kejadian bergantung. Perbedaan keduanya terletak pada apakah kejadian pertama memengaruhi peluang kejadian berikutnya.

🔓 Kejadian Bebas (Independent Events)

Kejadian bebas adalah dua atau lebih kejadian yang tidak saling memengaruhi.

Artinya, terjadinya satu kejadian tidak mengubah probabilitas terjadinya kejadian lainnya.

✅ Rumus Kejadian Bebas

Jika A dan B adalah kejadian bebas, maka:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

✏️ Contoh - Melempar sebuah koin dan sebuah dadu. - Peluang koin muncul Angka adalah \(\frac{1}{2}\). - Peluang dadu muncul angka 4 adalah \(\frac{1}{6}\).

\[ P(\text{Angka dan 4}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]

🔗 Kejadian Bergantung (Dependent Events)

Kejadian bergantung adalah dua kejadian yang saling memengaruhi, di mana peluang kejadian kedua dipengaruhi oleh kejadian pertama.

Hal ini biasanya terjadi saat pengambilan tanpa pengembalian.

✅ Rumus Kejadian Bergantung

Jika A dan B adalah kejadian bergantung, maka:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \]

dengan: - \(P(B|A)\): probabilitas kejadian B dengan syarat A telah terjadi.

✏️ Contoh Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 2 bola biru. Diambil dua bola tanpa pengembalian.

• Peluang bola pertama merah: \[ P(A) = \frac{3}{5} \]

• Peluang bola kedua merah setelah bola pertama merah: \[ P(B|A) = \frac{2}{4} \]

Sehingga: \[ P(\text{Merah dan Merah}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \]

📊 Perbedaan Kejadian Bebas dan Bergantung

✅ Kesimpulan

Kejadian bebas terjadi ketika suatu kejadian tidak memengaruhi kejadian lainnya, sedangkan kejadian bergantung terjadi ketika kejadian pertama memengaruhi peluang kejadian berikutnya. Memahami perbedaan keduanya sangat penting untuk menentukan rumus probabilitas yang tepat.

1.3 Union of Events

Video: Gabungan Peristiwa

📌 Pendahuluan

Peluang gabungan kejadian digunakan untuk menentukan probabilitas terjadinya dua atau lebih kejadian secara bersamaan. Konsep ini sangat penting dalam penyelesaian berbagai permasalahan probabilitas.

➕ Peluang Gabungan Dua Kejadian

Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel, maka peluang gabungan kejadian dinyatakan sebagai: \[ P(A \cup B) \]

🔹 Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Dua kejadian dikatakan saling lepas jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

✅ Rumus Kejadian Saling Lepas \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

✏️ Contoh Dalam pelemparan sebuah dadu: - A = muncul angka genap
- B = muncul angka ganjil

Karena kejadian tidak dapat terjadi bersamaan: \[ P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1 \]

🔸 Kejadian Tidak Saling Lepas

Dua kejadian dikatakan tidak saling lepas jika dapat terjadi secara bersamaan.

✅ Rumus Kejadian Tidak Saling Lepas \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

✏️ Contoh Dalam pelemparan sebuah dadu: - A = muncul angka genap
- B = muncul angka lebih dari 3

Irisan kejadian: \[ A \cap B = \{4,6\} \]

\[ P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} \]

🔁 Hubungan dengan Kejadian Bebas dan Bergantung

• Jika A dan B bebas: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

• Jika A dan B bergantung: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \]

✅ Kesimpulan

Peluang gabungan kejadian digunakan untuk menghitung kemungkinan terjadinya beberapa kejadian sekaligus. Penentuan rumus bergantung pada apakah kejadian tersebut saling lepas atau tidak, serta apakah kejadian tersebut bebas atau bergantung.

1.4 Exclusive and Exhaustive

Video: Eksklusif dan Lengkap

📌 Pendahuluan

Dalam teori probabilitas, peristiwa dapat diklasifikasikan menjadi peristiwa saling eksklusif dan peristiwa lengkap. Kedua konsep ini digunakan untuk memahami hubungan antar kejadian dalam suatu ruang sampel.

🚫 Peristiwa Saling Eksklusif (Mutually Exclusive Events)

Dua atau lebih peristiwa dikatakan saling eksklusif jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Artinya, jika satu peristiwa terjadi, maka peristiwa lainnya pasti tidak terjadi.

✅ Ciri-ciri - Tidak memiliki irisan - Irisan himpunan adalah kosong
\[ A \cap B = \varnothing \]

✅ Rumus Probabilitas Untuk dua peristiwa saling eksklusif A dan B: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

✏️ Contoh Pada pelemparan sebuah dadu: - A = muncul angka genap
- B = muncul angka ganjil

Karena tidak dapat terjadi bersamaan, maka: \[ P(A \cap B) = 0 \]

✅ Peristiwa Lengkap (Collectively Exhaustive Events)

Sekumpulan peristiwa dikatakan lengkap jika mencakup seluruh ruang sampel.

Artinya, minimal satu peristiwa pasti terjadi.

✅ Ciri-ciri - Gabungan semua peristiwa sama dengan ruang sampel
\[ A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = S \]

• Jumlah probabilitas seluruh peristiwa sama dengan 1: \[ P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) = 1 \]

✏️ Contoh Pada pelemparan sebuah koin: - A = muncul Angka
- B = muncul Gambar

\[ A \cup B = S = \{Angka, Gambar\} \]

🔗 Hubungan Peristiwa Saling Eksklusif dan Lengkap

Sekumpulan peristiwa dapat bersifat: - ✅ Saling eksklusif dan lengkap
(contoh: angka & gambar pada koin) - ✅ Saling eksklusif tetapi tidak lengkap - ✅ Lengkap tetapi tidak saling eksklusif

✅ Kesimpulan

Peristiwa saling eksklusif adalah kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan, sedangkan peristiwa lengkap mencakup seluruh kemungkinan hasil dalam ruang sampel. Pemahaman kedua konsep ini penting untuk menentukan perhitungan probabilitas yang tepat.

1.5 Binomial Experiment

Video: Eksperimen Binomial dan Rumusnya

📌 Pendahuluan

Percobaan binomial merupakan percobaan probabilitas yang sering digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian dengan dua kemungkinan hasil. Konsep ini menjadi dasar dalam memahami distribusi binomial pada statistika.

🧪 Percobaan Binomial

Percobaan binomial adalah percobaan acak yang memenuhi syarat tertentu dan memiliki dua hasil yang mungkin pada setiap percobaan.

✅ Ciri-ciri Percobaan Binomial 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil
(sukses dan gagal). 2. Probabilitas sukses (p) tetap pada setiap percobaan. 3. Setiap percobaan saling bebas. 4. Jumlah percobaan (n) bersifat tetap.

🧮 Distribusi Binomial

Distribusi binomial digunakan untuk menghitung peluang terjadinya x sukses dari n percobaan.

✅ Rumus Distribusi Binomial

\[ P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \]

Keterangan: - \(n\) = jumlah percobaan
- \(x\) = jumlah sukses
- \(p\) = probabilitas sukses
- \(1 - p\) = probabilitas gagal
- \(\binom{n}{x}\) = koefisien binomial

📐 Rumus Koefisien Binomial

Koefisien binomial menyatakan banyaknya cara memilih \(x\) sukses dari \(n\) percobaan dan dirumuskan sebagai:

\[ \binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \]

✏️ Contoh Soal

Suatu koin dilempar sebanyak 5 kali. Tentukan probabilitas muncul tepat 3 kali angka, jika peluang angka adalah 0,5.

Penyelesaian: - \(n = 5\) - \(x = 3\) - \(p = 0.5\)

\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 \]

\[ = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125 \]

✅ Kesimpulan

Percobaan binomial digunakan untuk memodelkan kejadian dengan dua kemungkinan hasil yang dilakukan secara berulang dan saling bebas. Rumus binomial membantu menghitung peluang jumlah sukses tertentu dalam sejumlah percobaan tetap.

1.6 Binomial Distribution

Video: Distribusi Binomial

📌 Pendahuluan

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk menggambarkan jumlah keberhasilan (success) dalam sejumlah percobaan tetap, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil dan bersifat saling bebas. Visualisasi distribusi binomial membantu memahami pola peluang dan karakteristik data secara lebih intuitif.

🧮 Rumus dan Penjelasan Distribusi Binomial

Distribusi binomial digunakan untuk memodelkan banyaknya keberhasilan dalam sejumlah percobaan yang bersifat tetap dan saling bebas, dengan peluang keberhasilan yang sama pada setiap percobaan.

Suatu variabel acak dinyatakan berdistribusi binomial jika memenuhi syarat: 1. Jumlah percobaan bersifat tetap, yaitu sebanyak n 2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil (sukses atau gagal) 3. Probabilitas sukses p selalu konstan 4. Setiap percobaan bersifat saling bebas

📌 Notasi Distribusi Binomial

Distribusi binomial dinyatakan sebagai: \[ X \sim \text{Binomial}(n, p) \]

dengan: - \(n\) = jumlah percobaan
- \(p\) = probabilitas keberhasilan
- \(X\) = jumlah keberhasilan

📐 Fungsi Massa Probabilitas (PMF)

Peluang terjadinya tepat k keberhasilan dirumuskan sebagai: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Keterangan: - \(k = 0, 1, 2, \dots, n\) - \(\binom{n}{k}\) adalah kombinasi dari n percobaan diambil k

📊 Nilai Harapan dan Varians

Rataan atau nilai harapan dari distribusi binomial adalah: \[ E(X) = np \]

Sedangkan variansnya adalah: \[ Var(X) = np(1 - p) \]

Rumus ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata bertambah seiring meningkatnya jumlah percobaan dan peluang keberhasilan.

🔎 Interpretasi Visualisasi Distribusi Binomial

Visualisasi distribusi binomial biasanya ditampilkan dalam bentuk diagram batang yang memperlihatkan nilai peluang untuk setiap kemungkinan jumlah keberhasilan. Nilai probabilitas tertinggi terletak di sekitar rataan, sedangkan peluang ekstrem akan semakin kecil. Melalui simulasi, frekuensi relatif hasil percobaan akan mendekati nilai probabilitas teoritis seiring bertambahnya jumlah simulasi.