Chapter 6 : Essentials of Probability

1 Fundamental Concept

Konsep dasar probabilitas membahas ruang sampel, kejadian, dan komplemen inti yang menentukan bagaimana probabilitas disusun dan ditafsirkan.

1. Probabilitas adalah peluang terjadinya suatu peristiwa. Dalam konteks statistik, probabilitas digunakan untuk membuat pernyataan tentang kejadian-kejadian di masa depan berdasarkan data yang telah dikumpulkan atau asumsi yang masuk akal.

   \(P(A) = \frac{\text{jumlah hasil pada A}}{\text{jumlah seluruh hasil}}\)

• Misalnya, jika kita melempar koin, probabilitas muncul kepala adalah 0,5 atau 50%, karena ada dua kemungkinan hasil yang sama-sama mungkin terjadi.

2. Ruang sampel adalah kumpulan seluruh hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan acak. Ruang Sampel dan Peristiwa :

• Ruang Sampel (Sample Space) : Set lengkap dari semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen. Misalnya, dalam pelemparan koin, ruang sampelnya adalah {Kepala, Ekor}.
• Peristiwa (Event) : Subset dari ruang sampel. Misalnya, dalam pelemparan koin, salah satu peristiwa dapat berupa munculnya Kepala.

3. Probability rules memenuhi dua kondisi:

• Probabilitas terjadinya suatu peristiwa selalu miliki nilai antara 1 dan 0, inclusive. Misalnya, probabilitas 0 berarti peristiwa tersebut tidak akan pernah terjadi, Probabilitas 1 berarti peristiwa tersebut akan selalu terjadi, Probabilitas 0.5 berarti peristiwa tersebut diharapkan terjadi 50% dari waktu.
• Probabilitas semua hasil harus selalu berjumlah 1

2 Independent and Dependent

1. Independent Events merujuk pada terjadinya suatu peristiwa yang tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain

• Peristiwa A dan B independen jika:

  \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

  keterangan:

  P(A) = probabilitas kejadian A terjadi

  P(B) = probabilitas kejadian B terjadi

  A ∩ B = irisan A dan B, artinya A dan B terjadi secara bersamaan

  P(A ∩ B) = peluang bahwa kedua peristiwa A dan B terjadi pada waktu yang sama

• Contoh melempar dadu dan koin

  peristiwa:

  A = dadu pertama muncul 6

  B = koin kedua muncul gambar

  keduanya berasal dari percobaan berbeda → tidak saling mempengaruhi.

  \(P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\)

2. Dependent Events mengacu terjadinya satu peristiwa yang memengaruhi probabilitas peristiwa lain

• Rumus kejadian bergantung

  \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\)

  keterangan:

  P(A∩B) = peluang A dan B terjadi bersama

  P(A) = peluang A

  P(B∣A) = peluang B dengan syarat A sudah terjadi (peluang B setelah A memengaruhi kondisi)

3 Union Events

1. Gabungan kejadian adalah kejadian yang menyebabkan terjadinya A atau B, atau keduanya.

• Rumus

  \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

• Contoh

  Diketahui:

  P(A) = 0.4

  P(B) = 0.5

  P(A ∩ B) = 0.2

  Hitung P(A ∪ B).

  Penyelesaian:

  \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7 \]

4 Exclusive and Exhaustive

1. Exclusive apabila tidak dapat terjadi bersamaan pada waktu yang sama.

• Rumus

  \(P(A \cap B) = 0\)

• Ciri-ciri Exclusive Events:

• Tidak memiliki irisan (intersection)

• Probabilitas irisan adalah nol

• Terjadinya satu kejadian menghalangi kejadian lain

2. Exhaustive apabila gabungan semua kejadian mencakup seluruh ruang sampel.

• Jika A dan B adalah exhaustive

  \(A \cup B = S\)

  s = ruang sampel

• Ciri - ciri

• Mencakup seluruh ruang sampel

• Probabilitas total sama dengan satu

• Keharusan terjadi

5 Binomial Experiment

1. Distribusi probabilitas distribusi yang menghitung jumlah kejadian sukses dalam serangkaian percobaan independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil (sukses atau gagal) dengan probabilitas keberhasilan yang tetap

• Rumus

  \(P(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\)

  Keterangan :

  k = jumlah keberhasilan

  n = jumlah percobaan

  p = probabilitas keberhasilan

• Binomial Setting

• Jumlah percobaan (n) harus tetap

• Hanya ada dua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan: sukses dan gagal

• Probabilitas (p) keberhasilan harus konstan untuk setiap percobaan

• Setiap percobaan harus independen

6 Binomial Distribution

1. Jika sebuah variabel X mengikuti Distribusi Binomial

• Mean

  \(\mu = n p\)

• Variance

  \(\sigma^2 = n\,p(1 - p)\)

• Standard Deviation (Simpangan Baku)

  \(\sigma = \sqrt{np(1 - p)}\)

Referensi

https://gurumuda.net/statistika/konsep-dasar-probabilitas-dalam-statistika.htmhttps://gurumuda.net/statistika/konsep-dasar-probabilitas-dalam-statistika.htm

https://statorials.org/id/acara-acara-independen/#:~:text=Perbedaan%20antara%20kejadian%20independen%20dan%20kejadian%20dependen%20adalah, suatu%20peristiwa%20tidak%20mempengaruhi%20peluang%20terjadinya%20peristiwa%20lainnya.