2.1.1 Definisi Dasar Probabilitas (Peluang)

Probabilitas didefinisikan sebagai kesempatan atau kemungkinan bahwa suatu kejadian (event) akan terjadi. Rumus Probabilitas DasarPeluang suatu kejadian \(A\) terjadi, dilambangkan dengan \(P(A)\), dihitung sebagai berikut:

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Menguntungkan (Favorable Outcomes)}}{\text{Jumlah Total Hasil yang Mungkin (Total Possible Outcomes)}} \quad\] Contoh: Peluang mendapatkan Head (Kepala) saat melempar koin adalah \(1/2\) atau \(0.5\) (50%). Probabilitas Gabungan Dua Kejadian Untuk kejadian yang bersifat independen (kejadian satu tidak memengaruhi kejadian lain), peluang kedua kejadian terjadi bersamaan adalah perkalian peluang masing-masing. \[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B) \quad\text{}\]

2.1.2 Ruang Sampel (Sample Space)

• Ruang sampel adalah seluruh himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

• Definisi: Ruang sampel (Sample Space) merujuk pada seluruh set dari hasil yang mungkin.

• Contoh (Lempar Koin 2 Kali):

  • Set hasil yang mungkin: HH, HT, TH, TT.
  • Total hasil dalam ruang sampel: 4.

• Ruang sampel sangat berguna untuk memvisualisasikan semua kemungkinan dan menghitung peluang kejadian yang lebih kompleks (misalnya, peluang mendapatkan minimal satu Tail).

2.1.3 Dua Aturan Wajib Probabilitas

Setiap perhitungan probabilitas harus selalu memenuhi dua kondisi penting ini:

• Nilai Peluang antara 0 dan 1

  1. Peluang suatu kejadian \(A\) terjadi harus selalu bernilai di antara 0 dan 1 (inklusif). \[0 \le P(A) \le 1\]

  2. \(P=0\) berarti mustahil terjadi, \(P=1\) berarti pasti terjadi.

• Jumlah Total Peluang Sama dengan 1

  1. Jika semua peluang dari seluruh hasil yang mungkin (di dalam ruang sampel) dijumlahkan, totalnya harus sama dengan 1. \[\sum P(\text{seluruh kemungkinan hasil}) = 1\]

2.1.4 Aturan Komplemen (The Complement Rule)

Aturan komplemen adalah turunan dari aturan kedua di atas, yang menyediakan cara cepat untuk menghitung peluang bahwa suatu kejadian tidak terjadi.

Rumus Aturan Komplemen Peluang bahwa suatu kejadian \(A\) tidak terjadi (\(A^c\) atau complement dari \(A\)) adalah 1 dikurangi peluang kejadian \(A\) terjadi. \[P(A^c) = 1 - P(A) \quad \text{}\]

• Contoh: Berapa peluang tidak mendapatkan dua Tails (TT) dari dua lemparan koin?

  1. Peluang mendapatkan \(P(\text{TT})\) adalah \(0.25\).

  2. Peluang tidak mendapatkan TT adalah \(1 - P(\text{TT}) = 1 - 0.25 = 0.75\).

• Aturan ini sangat efisien terutama ketika jumlah hasil yang tidak diinginkan jauh lebih sedikit daripada jumlah hasil yang diinginkan.

2.2.1 Kejadian Independen (Independent Events)

Kejadian independen adalah dua kejadian atau lebih di mana hasil dari kejadian pertama tidak memengaruhi probabilitas (peluang) dari kejadian kedua.

Karakteristik Utama Tidak ada keterkaitan antara satu kejadian dengan kejadian lainnya.

Contoh Klasik: Melempar dadu dan melempar koin. Apapun hasil dadu (misal, dapat angka 6), peluang koin untuk mendapatkan Head akan tetap 1/2 (50%).

Rumus Probabilitas Kejadian Independen

Contoh Penerapan:

Pertanyaan: Berapa peluang melempar dadu 6 sisi dan mendapatkan angka 5, dan melempar koin dan mendapatkan Head?

• \(P(Dapat 5)=1/6\)

• \(P(Dapat Head)=1/2\)

• \(P(\text{Dapat 5 dan Head}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx 0.0833\)

2.2.2 Kejadian Dependen (Dependent Events)

Kejadian dependen adalah dua kejadian atau lebih di mana hasil dari kejadian pertama secara langsung mengubah probabilitas (peluang) dari kejadian kedua.

Karakteristik Utama

• Sering terjadi dalam situasi “tanpa pengembalian” (without replacement), di mana item yang diambil dari suatu set tidak dikembalikan ke dalam set tersebut.

• Contoh Klasik: Mengambil dua kelereng dari kotak tanpa mengembalikan kelereng pertama. Jumlah total kelereng dan komposisi warnanya akan berubah setelah pengambilan pertama, sehingga mengubah peluang pengambilan kedua.

Rumus Peluang Kejadian Dependen (Aturan Perkalian Umum)

Konsep: Peluang dua kejadian terjadi berurutan, di mana hasil kejadian pertama memengaruhi peluang kejadian kedua. Ini sering terjadi dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian.Rumus Matematis

Peluang kejadian \(A\) dan kejadian \(B\) terjadi adalah:\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A)\]

2.3.1 Konsep Dasar Gabungan Kejadian (Union of Events)

Gabungan Kejadian (\(A\) atau \(B\)) merujuk pada peluang salah satu dari dua kejadian (atau keduanya) terjadi.

• Identifikasi: Anda tahu sedang berhadapan dengan gabungan kejadian ketika pertanyaan probabilitas mengandung kata kunci “ATAU”

-Masalah Inti: Jika kita hanya menjumlahkan \(P(A) + P(B)\), kita akan menghitung dua kali (mendapat duplikasi) untuk hasil yang masuk dalam kedua kejadian tersebut. Area tumpang tindih ini disebut Irisan Kejadian (Intersection of Events).

2.3.2 Irisan Kejadian (Intersection of Events)

Irisan Kejadian (\(A\) dan \(B\)) adalah hasil yang dimiliki secara bersamaan oleh kejadian \(A\) dan kejadian \(B\).

• Irisan adalah apa yang kita cari ketika pertanyaan mengandung kata kunci “DAN”.

• Tujuan: Untuk menghitung peluang Gabungan (\(A\) atau \(B\)), kita harus mengidentifikasi dan mengurangi peluang Irisan (\(A\) dan \(B\)) agar tidak terjadi perhitungan ganda.

2.3.3 Rumus Probabilitas Gabungan Kejadian

Untuk menghitung peluang bahwa kejadian \(A\) atau kejadian \(B\) akan terjadi, digunakan Aturan Penjumlahan Umum (General Addition Rule):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Keterangan:

• \(P(A \cup B)\): Probabilitas \(A\) atau \(B\) terjadi (Union).
• \(P(A)\): Probabilitas kejadian \(A\).
• \(P(B)\): Probabilitas kejadian \(B\).
• \(P(A \cap B)\): Probabilitas \(A\) dan \(B\) terjadi (Intersection). Terminus ini digunakan untuk menghilangkan hitungan ganda.

Visualisasi (Diagram Venn)

Konsep ini paling mudah dipahami melalui Diagram Venn.

• Kotak luar adalah Ruang Sampel (total peluang = 1).

• Lingkaran A + Lingkaran B.

• Area tumpang tindih (\(A \cap B\)) adalah area yang harus dikurangi.

2.3.4 Contoh Penerapan (Lempar Dua Dadu)

Ruang Sampel: Melempar dua dadu 6 sisi menghasilkan total \(6 \times 6 = 36\) kemungkinan hasil.

Pertanyaan: Berapa peluang mendapatkan dua angka genap (\(A\)) ATAU mendapatkan minimal satu angka 2 (\(B\))?

Rumus: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Perhitungan: \[P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} \approx 0.4167\]

2.4.1 Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive Events)

Kejadian \(A\) dan \(B\) disebut saling lepas (atau saling terpisah) jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam percobaan yang sama. Dengan kata lain, tidak ada hasil yang dimiliki bersama oleh kedua kejadian.

Kondisi Utama

Irisan (Intersection) dari kejadian \(A\) dan \(B\) adalah himpunan kosong, dan probabilitas irisannya adalah nol.

Rumus Matematis (Irisan)\[P(A \cap B) = 0\]

Rumus Probabilitas Gabungan (Union)

Karena tidak ada area yang dihitung ganda, Rumus Penjumlahan Umum (General Addition Rule) menjadi lebih sederhana: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] Visualisasi Konsep:Contoh Sederhana

• Skenario: Melempar satu dadu 6 sisi.
• Kejadian A: Mendapatkan angka genap (2, 4, 6).
• Kejadian B: Mendapatkan angka ganjil (1, 3, 5).
• Kesimpulan: Anda tidak mungkin mendapatkan angka genap dan angka ganjil pada lemparan yang sama. Oleh karena itu, \(P(A \cap B) = 0\).

2.4.2 Kejadian Lengkap/Mencakup (Exhaustive Events)

Satu set kejadian disebut lengkap (atau exhaustive) jika setidaknya satu dari kejadian tersebut pasti terjadi dalam ruang sampel.

Kondisi Utama

Gabungan (Union) dari semua kejadian mencakup seluruh Ruang Sampel. Dengan kata lain, jika semua peluang kejadian dijumlahkan, totalnya harus sama dengan

1. Rumus Matematis (Total Peluang)

Jika kejadian \(A_1, A_2, \dots, A_n\) adalah exhaustive, maka: \[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1\]

Contoh Sederhana:

• Skenario: Melempar satu dadu 6 sisi.
• Kejadian A: Mendapatkan angka 1.
• Kejadian B: Mendapatkan angka \(>1\) (yaitu 2, 3, 4, 5, 6).
• Kesimpulan: Kedua kejadian ini lengkap karena setiap hasil yang mungkin (1, 2, 3, 4, 5, 6) termasuk dalam \(A\) atau \(B\).

2.5.1 Eksperimen Binomial (Binomial Setting)

Distribusi Binomial merujuk pada probabilitas keberhasilan atau kegagalan dalam suatu eksperimen yang diulang berkali-kali. Kata kunci “Bi” (dua) merujuk pada dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.

Eksperimen hanya dapat dianggap Binomial jika memenuhi empat kondisi berikut (sering disingkat BINS):

• B (Binary/Biner): Hanya ada dua hasil yang mungkin di setiap percobaan: Sukses atau Gagal.
• I (Independent/Independen): Hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan berikutnya.
• [01:03] (Ini sering terjadi dalam pengambilan sampel dengan pengembalian).
• N (Number of Trials/Jumlah Percobaan): Jumlah percobaan (\(n\)) harus tetap/fixed.
• S (Success Probability/Peluang Sukses): Peluang sukses (\(p\)) harus konstan untuk setiap percobaan.

2.5.2 Rumus Probabilitas Binomial

Rumus Binomial adalah cara singkat untuk menghitung peluang mendapatkan tepat \(k\) sukses dalam \(n\) kali percobaan, tanpa harus mendaftar dan menjumlahkan semua kemungkinan urutan.

Rumus Matematis

Probabilitas mendapatkan \(k\) kali sukses dalam \(n\) percobaan dirumuskan sebagai: \[P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\] Keterangan Simbol:| Simbol | Makna | Keterangan || :— | :— | :— || \(P(X=k)\) | Probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses. | \(X\) adalah variabel acak binomial. || \(n\) | Jumlah total percobaan (trials). | || \(k\) | Jumlah sukses yang diinginkan. | || \(p\) | Probabilitas sukses dalam satu percobaan. | || \((1-p)\) | Probabilitas gagal dalam satu percobaan. | Sering dilambangkan \(q\). || \({n \choose k}\) | Kombinasi \(n\) pilih \(k\). | Menghitung jumlah cara mendapatkan \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan. |

Rumus Kombinasi: \[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

2.5.3 Contoh Penerapan

Kasus: Mengambil 5 kelereng dari kotak (3 Pink, 2 Hijau, 5 Biru; total 10) dengan pengembalian.

Berapa peluang mendapatkan tepat 2 kelereng Hijau?

Langkah-Langkah:

1. Identifikasi Variabel Binomial:

• \(n\) (Jumlah Percobaan) = 5 (mengambil 5 kelereng)
• \(k\) (Jumlah Sukses) = 2 (mendapatkan 2 kelereng Hijau)
• \(p\) (Peluang Sukses) = $P() =
  
• \(1-p\) (Peluang Gagal) = \(1 - 0.2 = 0.8\)

2. Substitusi ke dalam Rumus:

\[P(X=2) = {5 \choose 2} \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^{5-2}\] \[P(X=2) = {5 \choose 2} \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^3\] Perhitungan:Hitung Kombinasi:

• \({5 \choose 2} = 10\)
• \(P(\text{X}=2) = 10 \cdot (0.04) \cdot (0.512)\)
• \(P(\text{X}=2) = 0.2048\)

2.6.1 Distribusi Probabilitas Binomial

Visualisasi distribusi Binomial biasanya menggunakan diagram batang (bar chart).

• Sumbu X: Merepresentasikan jumlah sukses (\(k\)) yang mungkin.
• Sumbu Y: Merepresentasikan probabilitas (\(P\)) untuk setiap nilai \(k\).

Untuk menghitung probabilitas setiap nilai \(k\), digunakan Rumus Binomial yang sudah dibahas di video sebelumnya: \[P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Contoh: Melempar koin 2 kali (\(n=2, p=0.5\)). Probabilitas akan dihitung untuk \(k=0, 1,\) dan \(2\).

2.6.2 Parameter Statistik Distribusi Binomial

Jika suatu variabel acak \(X\) mengikuti Distribusi Binomial, parameter pusat (rata-rata) dan penyebarannya (varian/simpangan baku) dapat dihitung dengan rumus sederhana:

2.6.3 Parameter Statistik Distribusi Binomial (6.6)

Jika variabel acak \(X\) mengikuti Distribusi Binomial, parameter pusat dan penyebarannya dihitung dengan rumus berikut:

2.6.4 Pengaruh Parameter \(p\) dan \(n\) pada Bentuk Distribusi

Bentuk Distribusi Binomial sangat dipengaruhi oleh dua parameter utamanya, \(n\) dan \(p\).

A. Pengaruh Probabilitas Sukses (\(p\)) Nilai \(p\) menentukan apakah distribusi akan simetris atau miring (skewed).

2.6.5 Pengaruh Peluang Sukses (\(p\)) pada Bentuk Distribusi Binomial (6.6)

Bentuk kurva Distribusi Binomial ditentukan oleh peluang sukses (\(p\)):

B. Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\)) Nilai \(n\) menentukan seberapa dekat Distribusi Binomial menyerupai Distribusi Normal (Kurva Lonceng).

• Aturan: Semakin besar nilai \(n\), bentuk Distribusi Binomial (terlepas dari nilai \(p\)) akan semakin mendekati bentuk Distribusi Normal.

C. Asumsi Normalitas (Normal Approximation)

Kita dapat mengasumsikan bahwa Distribusi Binomial dapat didekati oleh Distribusi Normal jika kedua kondisi berikut terpenuhi:

• \[n \cdot p \ge 10\]

• \[n \cdot (1-p) \ge 10\]

Jika kedua syarat ini terpenuhi, perhitungan probabilitas dapat disederhanakan menggunakan tabel Z (Distribusi Normal Standar).