1.1 Pengertian Dasar Probabilitas

Probabilitas didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian akan terjadi. Rumus dasarnya adalah: P(A) = Jumlah hasil yang menguntungkan / Total kemungkinan hasil

Contoh: Melempar 1 koin → kemungkinan hasil: {Kepala, Ekor} → 2 hasil P(Kepala) = 1/2 = 0,5 = 50%

1.2 Probabilitas untuk Dua Kejadian

Untuk menghitung probabilitas dua kejadian terjadi bersamaan (misalnya, mendapatkan kepala dua kali dalam dua lemparan), kita mengalikan probabilitas masing-masing kejadian.

Rumus: P(A∩B) = P(A dan B) = P(A) × P(B)

Contoh: P(Dua Kepala) = P(H) × P(H) = 0.5 × 0.5 = 0.25 atau 25%.

Rumus ini hanya berlaku untuk kejadian independen (kejadian yang satu tidak mempengaruhi yang lain).

1.3 Konsep Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

Contoh untuk Pelemparan Dua Koin: Ruang sampelnya dapat digambarkan dengan diagram pohon dan menghasilkan 4 kemungkinan hasil: {HH, HT, TH, TT}

HH (kepala–kepala)

HT (kepala–ekor)

TH (ekor–kepala)

TT (ekor–ekor)

Setiap hasil memiliki probabilitas yang sama, yaitu 0.25.

1.4 Menyelesaikan Masalah dengan Ruang Sampel

Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah probabilitas (contoh: Peluang mendapatkan setidaknya satu Ekor dalam dua lemparan):

1. Identifikasi semua hasil dalam ruang sampel: {HH, HT, TH, TT}
2. Soroti hasil yang menguntungkan (yang memenuhi syarat setidaknya satu Ekor): {HT, TH, TT}
3. Jumlahkan probabilitas dari hasil yang disoroti: P(HT) + P(TH) + P(TT) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75

1.5 Aturan Dasar Probabilitas

Setiap masalah probabilitas mematuhi dua aturan dasar:

1. Nilai Probabilitas Selalu antara 0 dan 1:
   • 0 : Kejadian mustahil terjadi.
   • 1 : Kejadian pasti terjadi.
   • 0.5 : Kejadian memiliki peluang 50% untuk terjadi.
2. Total Probabilitas Semua Hasil Selalu 1: Jumlah probabilitas dari semua hasil dalam ruang sampel harus sama dengan 1 Contoh: P(H) + P(T) = 0.5 + 0.5 = 1

1.6 Aturan Komplemen (Complement Rule)

Aturan Komplemen menyatakan bahwa peluang suatu kejadian tidak terjadi sama dengan 1 dikurangi peluang kejadian tersebut terjadi.

Rumus: P(Bukan A) = 1 - P(A) atau P(A′)=1−P(A)

Contoh: Berapa peluang tidak mendapatkan dua Ekor dalam dua lemparan? P(Dua Ekor) = P(TT) = 0.25 P(Bukan Dua Ekor) = 1 - P(TT) = 1 - 0.25 = 0.75

Aturan ini sangat efisien karena seringkali lebih mudah menghitung peluang suatu kejadian tidak terjadi daripada menghitung peluang kejadian itu terjadi.

1.7 Referensi

[1] Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.

[2] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2016). Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th ed.). Pearson.

[3] Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

[4] Bertsekas, D. P., & Tsitsiklis, J. N. (2008). Introduction to Probability (2nd ed.). Athena Scientific.

[5] Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.

[6] “6 Essentials of Probability,” dsciencelabs, Intro to Statistics. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

2.1 Pengertian dan Konsep Dasar

1. Kejadian Bebas (Independent Events) Dua kejadian dikatakan bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian yang lain. Contoh: Melempar dadu dan melempar koin. Hasil dari lemparan dadu (misalnya, angka 6) sama sekali tidak mengubah probabilitas koin untuk menghasilkan gambar (Head) yang tetap 0.5.

2. Kejadian Tak Bebas (Dependent Events) Dua kejadian dikatakan tak bebas jika terjadinya satu kejadian mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian yang lain. Contoh: Mengambil dua kelereng secara berurutan dari sebuah kotak tanpa pengembalian. Pengambilan kelereng pertama mengubah komposisi kelereng dalam kotak, sehingga probabilitas pengambilan kelereng kedua juga berubah.

2.2 Rumus dan Cara Menghitung

1. Probabilitas untuk Kejadian Bebas= Probabilitas kedua kejadian (A dan B) terjadi bersamaan adalah hasil kali dari probabilitas masing-masing kejadian.

Rumus: P(A dan B) = P(A) × P(B)

Contoh Soal: Berapa probabilitas mendapatkan angka 5 pada dadu DAN gambar (Head) pada koin? P(angka 5) = 1/6 P(Head) = 1/2 P(angka 5 dan Head) = (1/6) × (1/2) = 1/12

2. Probabilitas untuk Kejadian Tak Bebas= Probabilitas kedua kejadian (A dan B) terjadi bersamaan adalah probabilitas kejadian A dikalikan dengan probabilitas kejadian B setelah kejadian A terjadi.

Rumus: P(A dan B) = P(A) × P(B | A) P(B | A) dibaca “probabilitas B diberikan A telah terjadi”.

Contoh Soal 1: Sebuah kotak berisi 10 kelereng (7 hijau, 3 biru). Berapa probabilitas mengambil 1 kelereng hijau lalu 1 kelereng biru tanpa pengembalian? P(Hijau pertama) = 7/10 Setelah hijau diambil, tersisa 9 kelereng (6 hijau, 3 biru). Jadi, P(Biru kedua | Hijau pertama) = 3/9 P(Hijau lalu Biru) = (7/10) × (3/9) = 7/30

Contoh Soal 2: Berapa probabilitas mengambil 2 kelereng hijau berturut-turut tanpa pengembalian? P(Hijau pertama) = 7/10 Setelah hijau pertama diambil, tersisa 9 kelereng (6 hijau, 3 biru). Jadi, P(Hijau kedua | Hijau pertama) = 6/9 P(Dua Hijau) = (7/10) × (6/9) = 7/15

2.3 Poin Penting dan Rekap

Kunci Identifikasi: Tanyakan, “Apakah kejadian pertama mengubah kondisi atau probabilitas untuk kejadian kedua?”

• Jika TIDAK berubah → Kejadian Bebas.

• Jika BERUBAH → Kejadian Tak Bebas.

Kata Kunci:

• Kejadian Bebas: “Dengan pengembalian”, percobaan yang benar-benar terpisah (dadu & koin).

• Kejadian Tak Bebas: “Tanpa pengembalian”, pengambilan berturut-turut dari kelompok yang sama.

Rumus Inti:

• Bebas: P(A dan B) = P(A) × P(B)

• Tak Bebas: P(A dan B) = P(A) × P(B setelah A)

Dengan memahami perbedaan mendasar antara kedua jenis kejadian ini dan menerapkan rumus yang tepat, kita dapat menganalisis dan menghitung probabilitas untuk berbagai skenario dengan akurat.

2.4 Referensi

[1] Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.

[2] Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

[3] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2016). Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th ed.). Pearson.

[4] Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.

[5] SimpleLearningPro. (n.d.). Independent and Dependent Events. https://simplelearningpro.com/series/statistics-and-probability

[6] “6 Essentials of Probability,” dsciencelabs, Intro to Statistics. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

3.1 Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel adalah kumpulan seluruh hasil yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan acak. → Dilambangkan dengan huruf S atau Ω

Contoh:

Melempar 1 dadu → hasil: {1,2,3,4,5,6} → total = 6

Melempar 2 dadu → 6 × 6 = 36 kemungkinan hasil

Contoh hasil: (3,5), (6,6), dll. Semua hasil itu membentuk ruang sampel.

3.2 Probabilitas Kejadian Sederhana

Probabilitas suatu kejadian dihitung dengan rumus: \[P(A) = \frac{\text{jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{jumlah total hasil}}\]

Contoh: peluang muncul dua angka enam saat melempar 2 dadu \[ P(\text{dua angka enam}) = \frac{1}{36} \] → Karena hanya ada 1 hasil yang cocok dari 36 kemungkinan.

3.3 Probabilitas Beberapa Kejadian dalam Ruang Sampel

Dengan mengamati ruang sampel dua dadu:

Kejadian Banyak Hasil Probabilitas Dua angka genap 9

3.4 Irisan Kejadian (A ∩ B) → “dan”

Irisan adalah kejadian yang terjadi bersamaan.

Contoh:

A = dua angka genap

B = setidaknya satu angka 2

Irisan: dua angka genap dan mengandung angka 2 → ada 5 hasil \[ P(A \cap B) = \frac{5}{36} \]

3.5 Gabungan Kejadian (A ∪ B) → “atau”

Gabungan adalah kejadian A terjadi atau B terjadi atau keduanya terjadi.

Rumus gabungan: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Dengan nilai: \[ P(A) = \frac{9}{36}, \quad P(B) = \frac{11}{36} \]

,\[ P(A \cap B) = \frac{5}{36}, \quad P(A) = \frac{9}{36} \]

,\[P(B)= 36 11 \]

,\[P(A∩B)= 36 5\]

Maka: \[ P(A \cup B) = \frac{15}{36} \approx 0.4167 \]

3.6 Diagram Venn untuk Probabilitas

Kotak besar → seluruh ruang sampel

Lingkaran → kejadian

Area tumpang tindih → irisan

Pengurangan pada rumus gabungan → untuk menghilangkan perhitungan ganda pada irisan

Tujuannya untuk mempermudah menghitung peluang gabungan dan menghindari hitung ganda hasil.

3.7 Referensi

[1] Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.

[2] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2016). Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th ed.). Pearson.

[3] Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

[4] Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.

[5] Bertsekas, D. P., & Tsitsiklis, J. N. (2008). Introduction to Probability (2nd ed.). Athena Scientific.

[6] “6 Essentials of Probability,” dsciencelabs, Intro to Statistics. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

4.1 Konsep Dasar Ruang Sampel

Ruang sampel adalah kumpulan semua kemungkinan hasil dari suatu eksperimen acak. Dalam konteks video, contoh yang digunakan adalah pelemparan dua dadu bersisi 6. Setiap dadu memiliki 6 kemungkinan hasil (angka 1-6), sehingga ketika dua dadu dilempar bersamaan, total kemungkinan hasilnya adalah 6 × 6 = 36 hasil berbeda. Pemahaman tentang ruang sampel sangat penting karena ini merupakan dasar untuk menghitung probabilitas semua kejadian yang mungkin terjadi. Semua analisis probabilitas dimulai dengan mengidentifikasi ruang sampel yang lengkap dan benar.

4.2 Kejadian Saling Eksklusif (Mutually Exclusive Events)

Definisi

Dua kejadian dikatakan saling eksklusif jika mereka tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Artinya, tidak ada satu pun hasil dalam ruang sampel yang termasuk dalam kedua kejadian tersebut.

Penjelasan Detail:

• Secara Visual: Dalam diagram Venn, dua kejadian saling eksklusif digambarkan sebagai dua lingkaran yang terpisah sama sekali, tanpa area tumpang tindih
• Secara Matematis: Probabilitas irisan kedua kejadian adalah nol, ditulis P(A ∩ B) = 0
• Secara Konseptual: Terjadinya kejadian A secara otomatis mengecualikan terjadinya kejadian B, dan sebaliknya

Contoh:

• Kejadian A: Muncul setidaknya satu angka 5 pada kedua dadu Hasil yang memenuhi: 11 hasil P(A) = 11/36

• Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 4 Hasil yang memenuhi: 3 hasil (1+1, 1+2, 2+1) P(B) = 3/36

Analisis: Ketika diperiksa, tidak ada satupun hasil yang memenuhi kedua kriteria sekaligus. Oleh karena itu, P(A ∩ B) = 0

Ciri-ciri Utama:

1. Tidak mungkin terjadi bersamaan dalam percobaan yang sama
2. Diagram Venn menunjukkan pemisahan yang jelas tanpa overlap
3. Probabilitas irisan selalu sama dengan nol
4. Rumus union disederhanakan menjadi P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4.3 Kejadian Lengkap (Exhaustive Events)

Definisi:

Kumpulan kejadian dikatakan lengkap jika gabungan semua kejadian tersebut mencakup seluruh ruang sampel. Artinya, tidak ada hasil dalam ruang sampel yang berada di luar gabungan kejadian-kejadian tersebut.

Penjelasan Detail:

• Secara Visual: Dalam diagram Venn, seluruh area kotak (yang mewakili ruang sampel) terisi penuh oleh kejadian-kejadian tersebut
• Secara Matematis: Probabilitas gabungan semua kejadian sama dengan 1, ditulis P(A ∪ B) = 1
• Secara Konseptual: Apapun hasil yang muncul dari eksperimen, pasti termasuk dalam salah satu kejadian yang telah didefinisikan

Contoh:

• Kejadian A: Muncul setidaknya satu angka 6 Hasil yang memenuhi: 11 hasil P(A) = 11/36

• Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 11 Hasil yang memenuhi: 33 hasil P(B) = 33/36

Analisis: Meskipun masing-masing kejadian tidak mencakup semua hasil, ketika digabungkan, mereka mencakup semua 36 hasil dalam ruang sampel. Ada 8 hasil yang termasuk dalam kedua kejadian (tumpang tindih).

Ciri-ciri Utama:

1. Gabungan kejadian mencakup semua kemungkinan hasil
2. Probabilitas gabungan selalu sama dengan 1
3. Tidak harus berimbang - bisa saja satu kejadian memiliki probabilitas besar dan lainnya kecil
4. Dapat memiliki area tumpang tindih antar kejadian

4.4 Rumus dan Pembuktian Matematis

Rumus Dasar Union:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Pembuktian untuk Kejadian Lengkap:

• P(A) = 11/36 (probabilitas setidaknya satu angka 6)
• P(B) = 33/36 (probabilitas jumlah < 11)
• P(A ∩ B) = 8/36 (probabilitas irisan keduanya)
• P(A ∪ B) = 11/36 + 33/36 - 8/36 = 36/36 = 1

Pembuktian untuk Kejadian Saling Eksklusif: - Karena P(A ∩ B) = 0 - Maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)

4.5 Kasus Khusus: Kombinasi Saling Eksklusif dan Lengkap

Contoh:

• Kejadian A: Jumlah kedua dadu genap Hasil yang memenuhi: 18 hasil P(A) = 18/36 = 1/2

• Kejadian B: Jumlah kedua dadu ganjil Hasil yang memenuhi: 18 hasil P(B) = 18/36 = 1/2

Analisis Mendalam:

1. Saling Eksklusif:

   • Sebuah jumlah tidak mungkin genap dan ganjil sekaligus
   • Tidak ada hasil yang memenuhi kedua kriteria
   • P(A ∩ B) = 0

2. Lengkap:

   • Setiap jumlah pasti genap atau ganjil
   • Tidak ada kemungkinan ketiga
   • Gabungan A dan B mencakup semua 36 hasil
   • P(A ∪ B) = 1

Pembuktian Matematis:

P(A ∪ B) = 18/36 + 18/36 - 0 = 36/36 = 1

Implikasi:

Ketika dua kejadian bersifat saling eksklusif dan lengkap, mereka membentuk partisi dari ruang sampel. Ini adalah situasi ideal untuk banyak analisis statistik karena memungkinkan kita membagi ruang sampel menjadi kategori-kategori yang jelas dan komprehensif.

4.6 Perbedaan Utama dan Persamaan

Perbedaan Mendasar:

Hubungan dan Persamaan:

• Keduanya merupakan sifat hubungan antar kejadian
• Dapat diterapkan pada lebih dari dua kejadian
• Keduanya membantu dalam menyederhanakan perhitungan probabilitas

4.7 Aplikasi Praktis

1. Dalam Analisis Risiko:

   • Kejadian Lengkap: Memastikan semua skenario risiko telah dipertimbangkan
   • Saling Eksklusif: Menghindari duplikasi penghitungan risiko yang sama

2. Dalam Pengambilan Keputusan Bisnis:

   • Dengan memahami kejadian lengkap, manajer yakin telah mempertimbangkan semua opsi
   • Dengan memahami kejadian saling eksklusif, menghindari konflik dalam alokasi sumber daya

3. Dalam Desain Eksperimen Ilmiah:

   • Memastikan ruang sampel terdefinisi dengan baik
   • Menjamin kelengkapan data yang dikumpulkan
   • Menghindari bias dalam pengambilan sampel

4. Dalam Pemrograman dan Analisis Data:

   • Struktur if-else yang baik merepresentasikan kejadian saling eksklusif dan lengkap
   • Memastikan semua kasus telah ditangani dalam algoritma

4.8 Tips Identifikasi dan Verifikasi

Langkah-langkah Identifikasi:

1. Untuk Mengecek Saling Eksklusif:

   • Tanyakan: “Bisakah kedua kejadian ini terjadi bersamaan?”
   • Periksa apakah ada hasil yang memenuhi kedua kriteria
   • Hitung P(A ∩ B) - jika nol, maka saling eksklusif

2. Untuk Mengecek Kelengkapan:

   • Tanyakan: “Apakah ada kemungkinan hasil yang tidak termasuk dalam kejadian-kejadian ini?”
   • Periksa apakah gabungan semua kejadian mencakup seluruh ruang sampel
   • Hitung P(A ∪ B) - jika sama dengan 1, maka lengkap

Teknik Verifikasi:

• Selalu gunakan diagram Venn untuk visualisasi
• Lakukan perhitungan matematis untuk konfirmasi
• Pertimbangkan semua kemungkinan hasil dalam ruang sampel

4.9 Contoh Aplikasi dalam Berbagai Bidang

Bidang Kesehatan:

• Saling Eksklusif: Diagnosa penyakit (pasien tidak mungkin memiliki dua penyakit yang saling mengecualikan)
• Lengkap: Klasifikasi status kesehatan (sehat, sakit ringan, sakit berat)

Bidang Keuangan:

• Saling Eksklusif: Jenis investasi (saham, obligasi, properti)
• Lengkap: Portfolio investasi yang mencakup semua kelas aset

Bidang Pendidikan:

• Saling Eksklusif: Kategori nilai (A, B, C, D, E)
• Lengkap: Sistem penilaian yang mencakup semua kemungkinan hasil

4.10 Referensi

[1] Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

[2] Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.

[3] Bertsekas, D. P., & Tsitsiklis, J. N. (2008). Introduction to Probability (2nd ed.). Athena Scientific.

[4] Hogg, R. V., Tanis, E. A., & Zimmerman, D. L. (2015). Probability and Statistical Inference (9th ed.). Pearson.

[5] Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury.

[1] “6 Essentials of Probability,” dsciencelabs, Intro to Statistics. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

5.1 Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan probabilitas keberhasilan atau kegagalan dalam suatu percobaan yang diulang beberapa kali. Kata “binomial” berasal dari awalan “bi-” yang berarti dua, mengacu pada dua kemungkinan hasil dalam setiap percobaan, yaitu sukses atau gagal.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari: - Melempar koin (kepala atau ekor). - Mengambil kelereng dengan pengembalian (hijau atau bukan hijau).

5.2 Syarat Percobaan Binomial (Pengaturan Binomial)

Suatu percobaan dikatakan binomial jika memenuhi empat syarat berikut:

1. Jumlah Percobaan Tetap (n tetap): Percobaan diulang sebanyak n kali yang telah ditentukan.
2. Dua Kemungkinan Hasil: Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil: sukses atau gagal.
3. Probabilitas Sukses Konstan (p tetap): Probabilitas sukses (p) sama untuk setiap percobaan.
4. Percobaan Saling Bebas (Independen): Hasil satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.

5.3 Rumus Probabilitas Binomial

Rumus untuk menghitung probabilitas adalah:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1 - p)^{n - k} \]

Keterangan:

• \[ \binom{n}{k}\] = Kombinasi dari n percobaan yang diambil k sukses (dibaca “n pilih k”).
• \[( p )\] = Probabilitas sukses.
• \[( 1 - p )\] = Probabilitas gagal.
• \[( n )\] = Jumlah total percobaan.
• \[( k )\] = Jumlah sukses yang diinginkan.

Contoh Penggunaan Rumus:

• Soal: Jika mengambil 5 kelereng dengan pengembalian, berapa probabilitas tepat 2 kelereng hijau?
• Diketahui: \[( n = 5 ), ( k = 2 ), ( p = 0.2 )\]
• Perhitungan: \[ P(X = 2) = \binom{5}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^3 = 10 \times 0.04 \times 0.512 = 0.2048 \]

5.4 Contoh Soal dan Penyelesaian

1. Melempar Koin 3 Kali:

Pertanyaan: Berapa probabilitas mendapatkan tepat 1 kepala? Penyelesaian Manual: - Tiga urutan mungkin: (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H). - Probabilitas setiap urutan: \(( 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 )\). - Total probabilitas: \(( 3 \times 0.125 = 0.375 )\). - Verifikasi Syarat Binomial: Semua syarat terpenuhi (n=3, dua hasil, p=0.5 konstan, independen).

2. Mengambil Kelereng dengan Pengembalian:

• Pertanyaan: Dari 10 kelereng (2 hijau, 8 lainnya), ambil 5 dengan pengembalian. Berapa probabilitas tepat 2 hijau?
• Penyelesaian dengan Rumus: \[ P(X = 2) = \binom{5}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^3 = 0.2048 \]

5.5 Referensi

[1] Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2020). Statistics for Business and Economics (14th ed.). Cengage Learning.

[2] Devore, J. L. (2020). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.

[3] Illowsky, B., & Dean, S. (2017). Introductory Statistics. OpenStax. https://openstax.org/details/books/introductory-statistics

[4] Khan Academy. (n.d.). Binomial Distribution. Retrieved November 27, 2025, from https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/binomial-random-variables/v/binomial-distribution

[5] Miller, J. D. (2018). “Binomial Distribution: A Comprehensive Review”. Journal of Statistical Education, 26(2), 45-58.

[6] “6 Essentials of Probability,” dsciencelabs, Intro to Statistics. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

6.1 Konsep Dasar Distribusi Binamol

Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan tetap yang independen.

Syarat Distribusi Binomial:

6.2 Rumus Distribusi Binomal

Rumus Probabilitas:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Keterangan:

• n = jumlah percobaan
• k = jumlah keberhasilan
  
• p = probabilitas sukses
• C(n,k) = kombinasi = n!/(k!(n-k)!)

Contoh Perhitungan

(n = 2, p = 0.5):

Probabilitas tertinggi terjadi pada 1 keberhasilan

6.3 Parameter Distribusi

Parameter Utama:

• Mean (Rata-rata): μ = n × p
• Varians: σ² = n × p × (1-p)
• Standar Deviasi: σ = √[n × p × (1-p)]

Contoh

n = 2, p = 0.5:**

μ = 2 × 0.5 = 1 σ² = 2 × 0.5 × 0.5 = 0.5 σ = √0.5 ≈ 0.707

6.4 Bentuk Distribusi Berdasarkan Nilai p

• Jika peluang sukses rendah → keberhasilan sedikit lebih mungkin
• Jika peluang sukses tinggi → keberhasilan banyak lebih mungkin

6.5 Pendekatan Normal

Jika n besar → distribusi binomial mendekati distribusi normal

Syarat pendekatan normal:

n × p ≥ 10 dan n × (1-p) ≥ 10

6.6 Visualisasi Distribusi Binomal

# Visualisasi 1: Distribusi Binomial Dasar
n <- 2
p <- 0.5
k <- 0:n  # 0, 1, 2

# Hitung probabilitas
prob <- dbinom(k, size = n, prob = p)

# Buat bar plot
barplot(prob, 
        names.arg = k,
        main = "Distribusi Binomial (n = 2, p = 0.5)",
        xlab = "Jumlah Keberhasilan (k)",
        ylab = "Probabilitas",
        col = "lightblue",
        border = "black",
        ylim = c(0, 0.6))

# Tambahkan grid
grid(nx = NA, ny = NULL, col = "gray", lty = "dotted")

# Tambahkan nilai probabilitas di atas batang
text(x = seq(0.7, 2.7, by = 1), 
     y = prob + 0.02, 
     labels = round(prob, 3), 
     col = "red", 
     font = 2) 

# Visualisasi 2: n yang lebih besar
n <- 10
p <- 0.5
k <- 0:n

# Hitung probabilitas
prob <- dbinom(k, size = n, prob = p)

# Buat bar plot
barplot(prob, 
        names.arg = k,
        main = "Distribusi Binomial (n = 10, p = 0.5)",
        xlab = "Jumlah Keberhasilan (k)",
        ylab = "Probabilitas",
        col = "lightgreen",
        border = "darkgreen",
        ylim = c(0, max(prob) * 1.1))

# Tambahkan garis mean
abline(h = 0, col = "gray")
mean_val <- n * p
arrows(mean_val + 0.5, max(prob) * 0.9, 
       mean_val + 0.5, max(prob) * 0.1, 
       col = "red", lwd = 2, code = 2)
text(mean_val + 1, max(prob) * 0.95, 
     paste("Mean =", mean_val), col = "red", font = 2)

# Visualisasi 3: Perbandingan nilai p yang berbeda
# Set layout 1 baris, 3 kolom
par(mfrow = c(1, 3))
par(mar = c(4, 4, 4, 2))  # Atur margin

n <- 10

# p = 0.1 (Miring kanan)
prob1 <- dbinom(0:n, size = n, prob = 0.1)
barplot(prob1, 
        names.arg = 0:n,
        main = "p = 0.1 (Miring Kanan)",
        xlab = "Jumlah Sukses (k)",
        ylab = "Probabilitas",
        col = "lightcoral",
        border = "darkred",
        ylim = c(0, max(prob1) * 1.2))

# p = 0.5 (Simetris)
prob2 <- dbinom(0:n, size = n, prob = 0.5)
barplot(prob2, 
        names.arg = 0:n,
        main = "p = 0.5 (Simetris)",
        xlab = "Jumlah Sukses (k)",
        ylab = "",
        col = "lightblue",
        border = "darkblue",
        ylim = c(0, max(prob2) * 1.2))

# p = 0.8 (Miring kiri)
prob3 <- dbinom(0:n, size = n, prob = 0.8)
barplot(prob3, 
        names.arg = 0:n,
        main = "p = 0.8 (Miring Kiri)",
        xlab = "Jumlah Sukses (k)",
        ylab = "",
        col = "lightgreen",
        border = "darkgreen",
        ylim = c(0, max(prob3) * 1.2))

# Kembalikan ke layout normal
par(mfrow = c(1, 1))

# Visualisasi 4: Pendekatan Normal pada Binomial
library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.5.2

visualisasi_pendekatan_normal <- function(n, p) {
  k_values <- 0:n
  binomial_probs <- dbinom(k_values, size = n, prob = p)
  
  # Parameter normal
  mean_bin <- n * p
  sd_bin <- sqrt(n * p * (1 - p))
  normal_probs <- dnorm(k_values, mean = mean_bin, sd = sd_bin)
  
  # Buat data frame
  df <- data.frame(
    k = k_values,
    Binomial = binomial_probs,
    Normal = normal_probs
  )
  
  # Plot
  ggplot(df, aes(x = k)) +
    geom_col(aes(y = Binomial, fill = "Binomial"), 
             alpha = 0.6, width = 0.7) +
    geom_line(aes(y = Normal, color = "Normal"), 
              size = 1.2) +
    geom_point(aes(y = Normal, color = "Normal"), size = 1.5) +
    scale_fill_manual(values = c("Binomial" = "blue")) +
    scale_color_manual(values = c("Normal" = "red")) +
    labs(
      title = "Pendekatan Normal pada Binomial",
      subtitle = paste("n =", n, ", p =", p),
      x = "Jumlah Keberhasilan (k)",
      y = "Probabilitas/Densitas",
      fill = "Distribusi",
      color = "Distribusi"
    ) +
    theme_minimal() +
    theme(legend.position = "bottom")
}

# Contoh penggunaan
visualisasi_pendekatan_normal(30, 0.4)

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

# Visualisasi 5: CDF (Cumulative Distribution Function)
n <- 10
p <- 0.5
k_values <- 0:n

# Hitung CDF
cdf_values <- pbinom(k_values, size = n, prob = p)

# Plot CDF
plot(k_values, cdf_values, 
     type = "s", 
     lwd = 2,
     col = "blue",
     main = "Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF)\nDistribusi Binomial",
     xlab = "Jumlah Keberhasilan (k)",
     ylab = "Probabilitas Kumulatif P(X ≤ k)",
     ylim = c(0, 1.1),
     xaxt = "n")
axis(1, at = k_values)
grid()

# Tambahkan titik-titik
points(k_values, cdf_values, pch = 16, col = "red", cex = 1.2)

# Tambahkan beberapa nilai penting
text(k_values, cdf_values + 0.05, 
     labels = round(cdf_values, 2), 
     col = "darkgreen", cex = 0.8)

6.7 Referensi

[1] dsciencelabs, “6 Essentials of Probability,” Intro to Statistics. Bookdown, n.d. Available: https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html.

[2] M. DeGroot and M. Schervish, Probability and Statistics, 4th ed. Boston, MA: Pearson, 2014.

[3] A. Agresti and B. Finlay, Statistical Methods for the Social Sciences, 4th ed.  Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2010.

[4] K. B. Buckley and J. A. P. Smith, “Binomial Distribution,” Khan Academy, 2023. Available: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/binomial-probability.