Probabilitas merupakan fondasi utama dalam statistika dan sains
modern, yang memungkinkan kita untuk mengkuantifikasi ketidakpastian.
Konsep ini berawal dari analisis permainan peluang pada abad ke-17,
namun aplikasinya kini telah merambah ke berbagai disiplin ilmu, mulai
dari genetika dan mekanika kuantum hingga ilmu komputer dan ekonomi.
Secara formal, probabilitas didefinisikan sebagai ukuran numerik yang
menyatakan kemungkinan kemunculan suatu peristiwa (event) dari ruang
sampel (semua hasil yang mungkin). Nilai probabilitas berkisar dari 0
(yang menandakan ketidakmungkinan) hingga 1 (yang menandakan kepastian).
Makalah atau pembahasan ini akan menguraikan konsep dasar probabilitas,
termasuk ruang sampel, jenis-jenis probabilitas (klasik, empiris, dan
subjektif), serta aturan-aturan dasar yang mengatur perhitungannya,
sebagai landasan untuk memahami analisis statistika yang lebih
kompleks.
1.1 .Teori
Probabilitas
Teori probabilitas menyediakan dasar matematis untuk memahami dan
menghitung probabilitas. Beberapa konsep penting dalam teori
probabilitas meliputi:
Ruang Sampel dan Peristiwa : Ruang Sampel (Sample Space) : Set
lengkap dari semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen.
Misalnya, dalam pelemparan koin, ruang sampelnya adalah {Kepala, Ekor}.
– Peristiwa (Event) : Subset dari ruang sampel. Misalnya, dalam
pelemparan koin, salah satu peristiwa dapat berupa munculnya
Kepala.
Probabilitas Klasik : Didefinisikan sebagai rasio jumlah hasil
yang diinginkan dengan total jumlah hasil dalam ruang sampel. Misalnya,
probabilitas terbentuknya angka 4 dalam pelemparan sebuah dadu adalah
1/6, karena ada satu angka 4 dari total enam sisi dadu.
Probabilitas Empiris : Berdasarkan data atau pengamatan yang
telah dilakukan. Misalnya, jika kita telah melempar koin 100 kali dan
mendapatkan Kepala 55 kali, probabilitas empiris munculnya Kepala adalah
55/100 atau 0,55.
Probabilitas Subjektif : Berdasarkan dugaan atau asumsi pribadi
dan bukan hasil dari eksperimen atau teori. Misalnya, seorang dokter
mungkin memberikan probabilitas subjektif tentang peluang penyembuhan
pasien berdasarkan pengalaman dan pengamatan pribadi.
1.2 . Jenis-jenis
Probabilitas
Berdasarkan cara penentuannya, probabilitas dapat dibagi menjadi
beberapa jenis:
Probabilitas Kondisional : Probabilitas suatu peristiwa terjadi
dengan syarat bahwa peristiwa lain telah terjadi. Dinyatakan dengan
P(A|B), yang berarti probabilitas A terjadi diberikan bahwa B telah
terjadi.
Probabilitas Marginal : Probabilitas dari suatu kejadian tanpa
mempertimbangkan kejadian lainnya. Misalnya, dalam penelitian tentang
preferensi musik, probabilitas marginal seseorang menyukai musik klasik
tanpa mempertimbangkan faktor usia atau jenis kelamin.
Probabilitas Total : Menggunakan Teorema Probabilitas Total, yang
menyatakan bahwa kita dapat menemukan probabilitas dari suatu kejadian
dengan menjumlahkan probabilitas-probabilitas kondisional yang
terkait.
1.3 . Aturan-Aturan
Probabilitas
Beberapa aturan penting dalam probabilitas termasuk:
Aturan Penjumlahan : Digunakan untuk menghitung probabilitas
salah satu dari beberapa kejadian saling eksklusif terjadi. Misalnya,
probabilitas terjadinya A atau B adalah P(A) + P(B) jika A dan B saling
eksklusif.
Aturan Perkalian : Digunakan untuk menghitung probabilitas dua
atau lebih kejadian terjadi bersamaan. Untuk kejadian saling bebas, P(A
dan B) = P(A) × P(B). Untuk kejadian tidak saling bebas, P(A dan B) =
P(A) × P(B|A).
Hukum Komplemen : Probabilitas suatu kejadian tidak terjadi
adalah 1 dikurangi probabilitas kejadian itu terjadi, dinyatakan sebagai
P(A’) = 1 – P(A).
2 . Konsep Dasar
Probabilitas adalah salah satu konsep fundamental dalam statistika,
memainkan peran penting dalam memahami dan memprediksi fenomena acak.
Probabilitas memungkinkan kita menentukan kemungkinan terjadinya
kejadian atau peristiwa tertentu berdasarkan data atau asumsi yang kita
miliki. Artikel ini akan menguraikan konsep dasar probabilitas dalam
statistika, termasuk definisi, teori, jenis-jenis probabilitas, aturan,
dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari serta penelitian
ilmiah.
2.1 .Pengertian
Probabilitas
Secara sederhana, probabilitas adalah angka antara 0 dan 1 yang
mengukur seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi.
Probabilitas sebesar 0 berarti peristiwa tersebut tidak akan pernah
terjadi, sedangkan probabilitas sebesar 1 berarti peristiwa tersebut
pasti terjadi. Probabilitas seringkali dinyatakan dalam bentuk
persentase untuk memudahkan interpretasi.
1. Definisi Probabilitas :
Probabilitas adalah peluang bahwa suatu peristiwa akan terjadi.
Rumus : Jumlah total hasil yang menguntungkan dibagi
dengan jumlah total hasil yang mungkin.
\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang
Menguntungkan}}{\text{Jumlah Total Hasil yang Mungkin}}\]
Probabilitas Peristiwa Independen Peluang dua peristiwa (A dan B)
terjadi bersamaan, di mana peristiwa satu tidak memengaruhi peristiwa
lainnya.
\[P(A \text{ dan } B) = P(A) \times
P(B)\]
Contoh: Dalam kasus melempar satu koin, peluang
mendapatkan “Head” adalah \(1/2\), atau
\(0.5\), atau \(50\%\). Melempar Satu Koin Hasil yang
Mungkin: Head (H) atau Tail (T). Total hasil = 2.
Peluang mendapatkan Head (H):
\(P(H) = 1 \text{ (hasil yang diinginkan)}
/ 2 \text{ (total hasil)}\)\(P(H) =
0.5\) atau \(50\%\)
Peristiwa Independen: Untuk dua peristiwa independen
(tidak saling memengaruhi), probabilitas keduanya terjadi bersamaan
adalah hasil perkalian probabilitas masing-masing peristiwa. Contoh:
Jika Anda melempar koin dua kali, probabilitas mendapatkan dua “Head”
adalah \(0.5 \times 0.5 = 0.25\) atau
\(25\%\)
2. Ruang Sampel (Sample Space)Definisi :
Ruang sampel mengacu pada seluruh rangkaian hasil yang mungkin
terjadi Visualisasi:
contoh:Untuk melempar koin dua kali, kita dapat
membuat diagram ruang sampel. Total Hasil yang Mungkin: Terdapat empat
hasil yang mungkin: Head-Head (HH), Head-Tail (HT), Tail-Head (TH), dan
Tail-Tail (TT).
Menghitung Probabilitas Hasil Tunggal: Probabilitas setiap hasil
dihitung dengan mengalikan probabilitas setiap lemparan. Misalnya, P(HH)
= \(0.5 \times 0.5 = 0.25\).
Bisa di lihat di visualisai berikut:
Menghitung Probabilitas Peristiwa Kompleks: Untuk menemukan
probabilitas peristiwa yang lebih luas (misalnya, mendapatkan setidaknya
satu “Tail” saat koin dilempar dua kali), Anda cukup menjumlahkan
probabilitas dari semua hasil yang memenuhi kondisi tersebut.
Menghitung Peristiwa KompleksUntuk mencari probabilitas suatu
peristiwa yang melibatkan beberapa hasil (misalnya, at least one Tail),
kita menjumlahkan probabilitas semua hasil yang termasuk dalam peristiwa
tersebut.
Soal: Berapa peluang mendapatkan setidaknya satu
Tail (T)? Hasil yang memenuhi: HT, TH, TT.
Perhitungan:
\(P(\text{setidaknya satu T}) = P(HT) +
P(TH) + P(TT)\)\(P(\text{setidaknya
satu T}) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = \mathbf{0.75}\) atau \(75\%\)
3. Aturan ProbabilitasSemua masalah probabilitas harus
memenuhi dua kondisi wajib:
Nilai Antara 0 dan 1: Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi
selalu memiliki nilai antara 0 dan 1 (inklusif). Probabilitas 0:
Peristiwa tidak akan pernah terjadi, Probabilitas 1: Peristiwa pasti
akan terjadi.Total Probabilitas = 1: Jumlah probabilitas dari semua
hasil yang mungkin dalam suatu ruang sampel harus selalu berjumlah
1.
Contoh: Untuk lemparan koin satu kali, P(Head) +
P(Tail) = \(0.5 + 0.5 = 1\).
Atau
Setiap masalah probabilitas harus memenuhi dua kondisi penting: Batas
Nilai: Probabilitas suatu peristiwa harus selalu memiliki nilai antara 0
dan 1 (inklusif). \(P = 0\) : Peristiwa
tidak akan pernah terjadi. \(P = 1\):
Peristiwa pasti akan terjadi. \[0 \le P(A)
\le 1\] Jumlah Total: Jumlah probabilitas dari semua hasil yang
mungkin dalam ruang sampel harus selalu sama dengan 1. \[\sum P(\text{semua hasil}) = 1\]
4. Aturan Komplemen (The Complement Rule)
Prinsip:
Aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak
terjadi sama dengan 1 dikurangi probabilitas peristiwa itu akan
terjadi.
Formula:\(P(\text{Komplemen } A) = 1 - P(A)\)
Contoh Penggunaan: Untuk menemukan probabilitas
tidak mendapatkan dua “Tail” (TT) saat melempar koin dua kali:
Aturan komplemen adalah metode yang efisien untuk menghitung
probabilitas bahwa suatu peristiwa tidak terjadi.
Definisi: Probabilitas bahwa peristiwa A tidak
terjadi sama dengan 1 dikurangi probabilitas bahwa peristiwa A
terjadi.
Rumus:\[P(A^c) = 1 -
P(A)\] (Di mana \(A^c\) adalah
“komplemen dari A,” atau “A tidak terjadi”)
Contoh: Menggunakan Aturan Komplemen (Melempar Dua
Koin)
Soal: Berapa peluang tidak mendapatkan dua Tail
(TT)? Peristiwa A: Mendapatkan dua Tail (TT). Kita tahu \(P(TT) = 0.25\).
Peristiwa \(A^c\) (Komplemen A): Tidak
mendapatkan dua Tail.
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi yang
melibatkan ketidakpastian dan peluang. Mulai dari prakiraan cuaca, hasil
permainan dadu, hingga analisis risiko dalam dunia keuangan—semuanya
memerlukan pemahaman mendasar tentang probabilitas. Namun, yang lebih
menarik adalah ketika kita mengamati hubungan antar berbagai kejadian:
apakah terjadinya satu peristiwa memengaruhi kemungkinan terjadinya
peristiwa lainnya? Dua konsep fundamental dalam mempelajari hubungan
antar kejadian adalah kemandirian (independence) dan ketergan-tungan
(dependence). Konsep ini menjawab pertanyaan mendasar: “Apakah
pengetahuan tentang terjadinya suatu peristiwa mengubah peluang kita
untuk menyaksikan peristiwa lainnya?” .Kemandirian menggambarkan situasi
di mana dua kejadian berjalan sendiri-sendiri tanpa saling mempengaruhi,
seperti dua koin yang dilempar secara terpisah. Sebaliknya,
ketergan-tungan mencerminkan hubungan di mana satu kejadian memberikan
informasi berharga tentang kemungkinan terjadinya kejadian lain,seperti
pengambilan kartu dari deck tanpa pengembalian.
Video ini menjelaskan bagaimana probabilitas dua peristiwa yang
terjadi bersamaan dihitung, tergantung pada apakah peristiwa tersebut
saling memengaruhi atau tidak.
1. Peristiwa Independen (Independent Events)
Definisi: Peristiwa independen adalah kondisi di mana
terjadinya satu peristiwa tidak memengaruhi probabilitas terjadinya
peristiwa yang lain.
Contoh Utama: Melempar Dadu dan Melempar Koin. Hasil
dari dadu (misalnya, mendapat angka 6) tidak akan mengubah peluang koin
mendarat pada Head (H) atau Tail (T). Peluang H akan tetap 0.5.Rumus
Peristiwa IndependenUntuk menghitung probabilitas dua peristiwa
independen A dan B terjadi bersamaan, Anda cukup mengalikan probabilitas
masing-masing
Peristiwa:\[\mathbf{P(A
\text{ dan } B) = P(A) \times P(B)}\] Contoh Perhitungan (Dadu
dan Koin) Soal: Berapa probabilitas melempar dadu 6 sisi mendapatkan
angka 5 dan melempar koin mendapatkan Head?
Langkah 1: Tentukan \(P(A)\) (Mendapatkan 5 pada Dadu) Hasil yang
menguntungkan: 1 (angka 5) Total hasil: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)\[P(A) = 1/6\]Langkah 2:
Tentukan \(P(B)\) (Mendapatkan Head
pada Koin)Hasil yang menguntungkan: 1 (Head)Total hasil: 2 (Head,
Tail)\[P(B) = 1/2\]Langkah
3: Kalikan Probabilitas\[P(A \text{
dan } B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx
\mathbf{0.0833} \text{ atau } \mathbf{8.33\%}\]
2. Peristiwa Dependen (Dependent
Events)Definisi:
Peristiwa dependen adalah kondisi di mana terjadinya peristiwa
pertama memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa yang kedua. Contoh
Utama: Pengambilan item tanpa pengembalian (without replacement). Ketika
Anda mengambil kelereng dari kotak dan tidak mengembalikannya, jumlah
total kelereng di dalam kotak berkurang, sehingga mengubah probabilitas
untuk pengambilan berikutnya.
Rumus Peristiwa DependenUntuk menghitung probabilitas dua
peristiwa dependen A dan B terjadi bersamaan:
\[\mathbf{P(A \text{ dan } B) = P(A)
\times P(B \text{ setelah } A)}\]\(P(B
\text{ setelah } A)\)
diartikan sebagai probabilitas peristiwa B terjadi setelah peristiwa
A sudah terjadi dan memengaruhi ruang sampel. Contoh Perhitungan
(Pengambilan Kelereng Tanpa Pengembalian)Misalkan ada sebuah kotak
berisi 10 kelereng :7 kelereng Hijau (H)3 kelereng Biru (B)
Soal A: Berapa peluang mengambil kelereng Hijau lalu
kelereng Biru tanpa pengembalian?
Dalam menganalisis kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, kita
sering dihadapkan pada situasi yang kompleks dimana multiple peristiwa
dapat terjadi secara bersamaan atau alternatif. Bagaimana kita
menghitung peluang bahwa minimal satu dari beberapa peristiwa akan
terjadi? Atau bagaimana kita mengkombinasikan beberapa kemungkinan
outcome menjadi satu ukuran probabilitas yang komprehensif?
Pertanyaan-pertanyaan inilah yang mendasari pentingnya pemahaman tentang
penyatuan peristiwa (union of events).
Video ini membahas cara menghitung probabilitas bahwa salah satu dari
dua kejadian (A atau B) akan terjadi. Probabilitas Gabungan Dua
KejadianVideo ini dimulai dengan mengulas konsep dasar sebelum masuk ke
probabilitas gabungan (Union of Events).
1. Ulasan Konsep Dasar Ruang Sampel (Sample
Space):
Ini adalah seluruh set hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen
statistik.
Contoh: Melempar satu dadu (6 hasil) atau melempar
dua dadu (total 36 hasil yang mungkin, \(6
\times 6\)).
Probabilitas Sederhana : Peluang suatu kejadian akan
terjadi, dihitung dengan membagi jumlah hasil yang diinginkan (favorable
outcomes) dengan jumlah total hasil yang mungkin (ruang sampel).
Contoh: Probabilitas mendapatkan dua angka 4 saat
melempar dua dadu adalah 1/36.
2. Menghitung Irisan Dua Kejadian (“DAN”):
Sebelum membahas “gabungan”, video memperkenalkan “irisan”
(intersection), yang ditunjukkan oleh kata “dan”.
Pertanyaan Contoh: Berapa probabilitas mendapatkan
dua angka genap dan setidaknya satu angka 2?
Penyelesaian: Karena dua kejadian ini tidak
independen (saling berhubungan), kita tidak bisa mengalikan
probabilitasnya. Solusinya adalah mencari hasil di ruang sampel yang
memenuhi kedua kriteria (irisan).
Hasil: Ditemukan ada 5 hasil yang tumpang tindih
(overlap). Probabilitas irisan adalah 5/36.
3. Konsep Utama: Probabilitas Gabungan Dua Kejadian
(“ATAU”)
Kata kunci untuk probabilitas gabungan (Union of Events) adalah
“atau” . Konsep ini menghitung probabilitas bahwa kejadian A atau
kejadian B akan terjadi.
Rumus Probabilitas Gabungan (A atau B): \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]Penjelasan Rumus: Istilah pengurangan \(P(A \cap B)\) (probabilitas irisan) ada di
dalam rumus karena kita harus menghilangkan hasil yang terhitung ganda
(duplicate outcomes). Ketika kita menjumlahkan \(P(A)\) dan \(P(B)\), hasil yang berada di irisan
dihitung dua kali, sehingga harus dikurangi satu kali agar menjadi
benar.
4. Penerapan Rumus Gabungan
Pertanyaan Contoh: Berapa probabilitas mendapatkan
dua angka genap atau setidaknya satu angka 2?
Komponen:
\(P(A)\): Probabilitas dua angka
genap = 9/36
\(P(B)\): Probabilitas setidaknya
satu angka 2 = 11/36
Perhitungan:\[P(\text{A
atau B}) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} =
\frac{15}{36}\]Jawaban Akhir: Probabilitas
gabungan adalah 15/36 (atau 0.4167).
5 . Eksklusif dan
Lengkap
Probabilitas bermula dari intuisi manusia dan kegemarannya berjudi,
namun telah berevolusi menjadi sebuah disiplin ilmu matematika yang
mendalam dan elegan. Ia tidak lagi sekadar alat untuk memprediksi hasil
permainan kartu, tetapi telah menjadi fondasi bagi revolusi ilmiah,
teknologi, dan ekonomi modern. Pemahaman yang komprehensif tentang
probabilitas tidak dimulai dari rumus, tetapi dari filsafat tentang apa
arti “peluang” itu sendiri dan bagaimana kita memodelkan realitas yang
tidak pasti.
video ini membahas dua konsep fundamental dalam teori probabilitas:
Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive) dan Kejadian Kolektif Lengkap
(Exhaustive Events).
1. Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive
Events)
Kejadian saling lepas (atau terpisah/disjoint) adalah dua atau lebih
kejadian yang tidak mungkin terjadi pada saat yang bersamaan.
Karakteristik Utama: Irisan Nol: Tidak ada hasil yang tumpang tindih
(irisan) di antara kejadian-kejadian tersebut.
Jika A dan B adalah kejadian saling lepas, maka probabilitas keduanya
terjadi secara bersamaan adalah nol.
\[P(A \cap B) = 0\] Aturan
Penjumlahan yang Disederhanakan: Karena irisannya nol, rumus
probabilitas gabungan (“ATAU”) menjadi sederhana:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]Contoh Kasus:Melempar Koin: Mendapat “Angka” dan
mendapat “Gambar” adalah saling lepas. Koin tidak mungkin menghasilkan
keduanya sekaligus.
Melempar Dadu Tunggal: Mendapat angka 2 dan mendapat angka 5.
Mustahil mendapatkan dua hasil ini dalam satu lemparan.
Kartu Remi: Mengambil kartu King dan mengambil kartu Queen dalam
sekali pengambilan adalah saling lepas.
2. Kejadian Kolektif Lengkap (Exhaustive Events)
Kejadian kolektif lengkap adalah sekumpulan dua atau lebih kejadian
yang mencakup semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel (semua
kemungkinan yang ada). Karakteristik Utama:
Mencakup Semua: Sekurang-kurangnya salah satu dari kejadian-kejadian
tersebut pasti terjadi dalam skenario yang diberikan.
Jumlah Probabilitas Sama dengan 1: Jika kita menjumlahkan
probabilitas semua kejadian kolektif lengkap, totalnya harus selalu sama
dengan 1 (atau 100%).
Contoh Kasus: Atlet Berenang:
\(Kejadian (A)\): Atlet memenangkan
medali.
\(Kejadian (B)\): Atlet tidak
memenangkan medali. Kedua kejadian ini kolektif lengkap karena tidak ada
hasil lain yang mungkin.
Kantong Kelereng: Jika sebuah tas hanya berisi kelereng Merah dan
Biru, maka kejadian mengambil kelereng Merah atau Biru adalah kolektif
lengkap, karena semua kemungkinan telah dicakup.Kejadian Saling Lepas
DAN Kolektif LengkapAda kasus di mana dua kejadian memenuhi kedua
kriteria (saling lepas dan kolektif lengkap).
Saling Lepas: Mereka tidak tumpang tindih (\(P(A \cap B) = 0\)).
Kolektif Lengkap: Gabungan keduanya mencakup seluruh ruang sampel
(\(P(A \cup B) = 1\)).
Contoh klasik adalah pelemparan koin : Mendapat Angka (A) dan
mendapat Gambar (G) adalah saling lepas (tidak terjadi bersamaan) dan
kolektif lengkap (total probabilitas \(P(A) +
P(G) = 1\)).
bisa dilihat di diagram berikut:
6 . Percobaan
Binominal
Dalam teori probabilitas, Percobaan Binomial (atau Binomial
Experiment) adalah salah satu jenis percobaan acak yang paling
fundamental dan banyak penerapannya. Percobaan ini digunakan untuk
memodelkan situasi di mana kita hanya peduli pada dua hasil yang mungkin
dari setiap percobaan ulang.
Video ini menjelaskan kapan dan bagaimana menggunakan rumus binomial
untuk menghitung probabilitas keberhasilan (sukses) atau kegagalan
(failure) dalam serangkaian percobaan yang diulang.
1. Pengantar Eksperimen Binomial
Distribusi probabilitas Binomial merujuk pada probabilitas
keberhasilan atau kegagalan dalam eksperimen yang diulang berkali-kali.
Kata “Bi” berarti dua, merujuk pada dua kemungkinan hasil dalam setiap
percobaan: sukses atau gagal.
2. Empat Kondisi Pengaturan Binomial (Binomial
Setting)
Suatu eksperimen harus memenuhi empat kondisi berikut agar dapat
dikategorikan sebagai eksperimen binomial:
1. Jumlah Percobaan (n) Tetap (Fixed): Jumlah
pengulangan eksperimen harus ditetapkan atau diketahui di awal.
2. Dua Hasil yang Mungkin: Setiap percobaan hanya
memiliki dua hasil, yaitu sukses atau gagal .
3. Probabilitas Sukses (p) Konstan: Probabilitas
sukses (\(p\)) harus tetap sama untuk
setiap percobaan.
4. Percobaan Independen: Hasil dari satu percobaan
tidak memengaruhi hasil dari percobaan lainnya.
Contoh 1: Pelemparan Koin (Memverifikasi
Kondisi)Pertanyaan: Melempar koin biasa sebanyak 3 kali, berapakah
probabilitas mendapatkan tepat satu Kepala (Head)?
Penyelesaian Manual: Ada 3 cara untuk mendapatkan 1 Kepala (H): HTT,
THT, TTH.
Probabilitas untuk satu urutan (misalnya HTT) adalah \(0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\).
Verifikasi Binomial: Eksperimen ini memenuhi semua 4
kondisi:
1.\(n\) = 3$ (Tetap).
2. Hasil: Kepala (Sukses) atau Ekor (Gagal).
3.\(p\) = 0.5$
(Konstan).
4. Hasil pelemparan satu koin tidak memengaruhi yang lain
(Independen). Kesimpulan: Ini adalah eksperimen binomial.
Contoh 2: Pengambilan Kelereng DENGAN Pengembalian
Pertanyaan: Dalam kotak berisi 10 kelereng (3 pink, 2 hijau, 5 biru).
Jika diambil 5 kelereng dengan pengembalian, berapakah probabilitas
mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?
Verifikasi Binomial:
1.\(n = 5\) (5 kali
pengambilan).
2. Sukses: Kelereng Hijau; Gagal: Bukan Hijau.
3.\(p\) Konstan:
Probabilitas sukses (Hijau) adalah \(2/10 =
0.2\). Ini konstan karena pengambilan dilakukan dengan
pengembalian.
4. Independen: Pengembalian memastikan setiap pengambilan
adalah independen.
Komponen Probabilitas:
\(P\)() = p = 0.2
\(P\)() = 1 - p = 0.8
Jumlah kombinasi untuk 2 Sukses dan 3 Gagal adalah 10 cara.
5. Rumus Binomial
Untuk menghindari penghitungan manual semua kombinasi (seperti 10
cara di atas), digunakan Rumus Binomial.
# Membuat data frametabel_binomial <-data.frame(Simbol =c("P(k)", "n", "k", "p", "binom(n,k)", "(1-p)", "(n-k)"),Deskripsi =c("Probabilitas untuk k kali sukses","Jumlah percobaan total","Jumlah sukses yang diinginkan","Probabilitas sukses dalam satu percobaan","Kombinasi (\"n choose k\"). Ini menghitung semua cara yang mungkin untuk mendapatkan k sukses dari n percobaan","Probabilitas kegagalan","Jumlah kegagalan"),Contoh_Kasus_Kelereng =c("P(2)", "n=5", "k=2", "p=0.2", "binom(5,2)", "1-0.2=0.8", "5-2=3"))# Menampilkan tabel dengan kable (package knitr)library(knitr)kable(tabel_binomial, col.names =c("Simbol", "Deskripsi", "Contoh Kasus Kelereng"),align =c("c", "l", "c"),caption ="Tabel Simbol Distribusi Binomial")
Tabel Simbol Distribusi Binomial
Simbol
Deskripsi
Contoh Kasus Kelereng
P(k)
Probabilitas untuk k kali sukses
P(2)
n
Jumlah percobaan total
n=5
k
Jumlah sukses yang diinginkan
k=2
p
Probabilitas sukses dalam satu percobaan
p=0.2
binom(n,k)
Kombinasi (“n choose k”). Ini menghitung semua cara
yang mungkin untuk mendapatkan k sukses dari n percobaan
binom(5,2)
(1-p)
Probabilitas kegagalan
1-0.2=0.8
(n-k)
Jumlah kegagalan
5-2=3
Aplikasi Rumus ke Contoh Kelereng:
\[P(2) = \binom{5}{2} \cdot (0.2)^2 \cdot
(1 - 0.2)^{(5-2)}\]\[P(2) = 10 \cdot
(0.04) \cdot (0.512)\]\[P(2) =
0.2048\] Hasil ini sama dengan hasil yang didapat dari
penjumlahan 10 kemungkinan cara secara manual. Rumus ini adalah jalan
pintas yang efisien untuk menghitung probabilitas dalam eksperimen
binomial.
7 . Distribusi
Binomial
Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang
menghitung peluang sukses dalam sejumlah percobaan tertentu, di mana
setiap percobaan memiliki hanya dua kemungkinan hasil (sukses/gagal) dan
peluang suksesnya tetap sama untuk setiap percobaan.
Di video ini menjelaskan bagaimana visualisasi dan parameter
Distribusi Binomial dipengaruhi oleh jumlah percobaan (\(n\)) dan probabilitas sukses (\(p\)).
1. Ulasan Rumus dan Visualisasi Dasar
Video ini dimulai dengan mengulas Rumus Binomial yang digunakan untuk
menghitung probabilitas \(k\) kali
sukses dalam \(n\) percobaan : \[P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot
(1-p)^{n-k}\] Contoh Dasar (Melempar Koin 2 Kali): \(n=2\), \(p=0.5\) Hasil perhitungan probabilitas
untuk \(k=0, 1, 2\)
sukses adalah 0.25, 0.50, dan 0.25.
Visualisasinya menggunakan diagram batang (bar chart), di mana
sumbu-X adalah jumlah sukses (\(k\))
dan sumbu-Y adalah probabilitasnya.
2. Parameter Distribusi Binomial
Setiap Distribusi Binomial memiliki parameter yang dapat dihitung
untuk menentukan titik tengah dan penyebarannya:
# Membuat data frame untuk tabel parameterparameter_binomial <-data.frame(Parameter =c("Rata-rata (Mean) ($\\mu$)", "Varians ($\\sigma^2$)", "Deviasi Standar ($\\sigma$)"),Rumus =c("$\\mu = n \\cdot p$", "$\\sigma^2 = n \\cdot p \\cdot (1-p)$", "$\\sigma = \\sqrt{n \\cdot p \\cdot (1-p)}$"),Deskripsi =c("Menunjukkan titik pusat atau jumlah sukses yang diharapkan dalam $n$ percobaan","Mengukur seberapa jauh penyebaran data dari rata-rata","Akar kuadrat dari varians, sering digunakan untuk mengukur penyebaran"))# Menampilkan tabel dengan kablelibrary(knitr)kable(parameter_binomial,col.names =c("Parameter", "Rumus", "Deskripsi"),align =c("l", "c", "l"),caption ="Tabel Parameter Distribusi Binomial",escape =FALSE)
Tabel Parameter Distribusi Binomial
Parameter
Rumus
Deskripsi
Rata-rata (Mean) (\(\mu\))
\(\mu = n \cdot
p\)
Menunjukkan titik pusat atau jumlah sukses yang
diharapkan dalam \(n\) percobaan
Varians (\(\sigma^2\))
\(\sigma^2 = n \cdot p
\cdot (1-p)\)
Mengukur seberapa jauh penyebaran data dari
rata-rata
Deviasi Standar (\(\sigma\))
\(\sigma = \sqrt{n \cdot p
\cdot (1-p)}\)
Akar kuadrat dari varians, sering digunakan untuk
mengukur penyebaran
3. Pengaruh Jumlah Percobaan (\(n\))
Ketika probabilitas sukses (\(p\))
dijaga konstan (misalnya \(p=0.5\)),
dan jumlah percobaan (\(n\))
ditingkatkan (misalnya dari \(n=2\)
menjadi \(n=10\)), bentuk
Distribusi Binomial mulai menyerupai Distribusi Normal (kurva
lonceng)
kita bisa lihat di contoh di visualisasi
berikut:
4. Pengaruh Probabilitas Sukses (\(p\)) Terhadap Kemiringan
(Skewness)
Bentuk (kemiringan) Distribusi Binomial sangat bergantung pada nilai
\(p\)
# Membuat data frame untuk tabel bentuk distribusibentuk_distribusi <-data.frame(`Nilai p`=c("$p = 0.5$", "$p < 0.5$", "$p > 0.5$"),`Bentuk Distribusi`=c("Simetris", "Miring ke Kanan (Right-Skewed)", "Miring ke Kiri (Left-Skewed)"),`Arah Kemiringan`=c("Tidak miring (berpusat di tengah, $\\mu = n/2$)", "Data mengelompok di sisi kiri (mendekati 0)", "Data mengelompok di sisi kanan (mendekati $n$)"),Alasan =c("Tingkat sukses sedang, sehingga distribusi seimbang","Tingkat sukses rendah, sehingga sebagian besar hasil adalah kegagalan","Tingkat sukses tinggi, sehingga sebagian besar hasil adalah keberhasilan"))# Menampilkan tabel dengan kablelibrary(knitr)kable(bentuk_distribusi,col.names =c("Nilai p", "Bentuk Distribusi", "Arah Kemiringan", "Alasan"),align =c("c", "c", "l", "l"),caption ="Tabel Bentuk Distribusi Binomial Berdasarkan Nilai p",escape =FALSE)
Tabel Bentuk Distribusi Binomial Berdasarkan Nilai p
Nilai p
Bentuk Distribusi
Arah Kemiringan
Alasan
\(p = 0.5\)
Simetris
Tidak miring (berpusat di tengah, \(\mu = n/2\))
Tingkat sukses sedang, sehingga distribusi
seimbang
\(p < 0.5\)
Miring ke Kanan (Right-Skewed)
Data mengelompok di sisi kiri (mendekati 0)
Tingkat sukses rendah, sehingga sebagian besar hasil
adalah kegagalan
\(p > 0.5\)
Miring ke Kiri (Left-Skewed)
Data mengelompok di sisi kanan (mendekati \(n\))
Tingkat sukses tinggi, sehingga sebagian besar hasil
adalah keberhasilan
5. Aproksimasi Normal dari Distribusi Binomial
Meskipun distribusi mungkin miring (skewed) karena \(p \neq 0.5\), ia akan menjadi semakin
menyerupai Distribusi Normal jika nilai \(n\) (jumlah percobaan) terus ditingkatkan.
Ada pedoman kasar yang digunakan untuk menentukan apakah kita dapat
mengasumsikan aproksimasi (pendekatan) Normal untuk suatu Distribusi
Binomial:
Dua kondisi harus dipenuhi: 1. \(n \cdot p
\ge 10\) (Rata-rata sukses harus cukup besar). 2. \(n \cdot (1-p) \ge 10\) (Rata-rata kegagalan
juga harus cukup besar). Jika kedua kondisi ini terpenuhi, penggunaan
Distribusi Normal sebagai perkiraan untuk Distribusi Binomial akan
menghasilkan akurasi yang baik.
Contoh 1: Kondisi Terpenuhi (n=100, p=0.3)
n × p = 30 ≥ 10 n × (1-p) = 70 ≥
10 Kesimpulan: Aproksimasi normal
direkomendasikan — Contoh 2: p Terlalu
Kecil (n=200, p=0.02)
n × p = 4 < 10 n × (1-p) = 196 ≥
10 Kesimpulan: Aproksimasi normal tidak
direkomendasikan — Contoh 3: p Terlalu Besar
(n=50, p=0.95)
n × p = 47.5 ≥ 10 n × (1-p) = 2.5
< 10 Kesimpulan: Aproksimasi normal tidak
direkomendasikan — Contoh 4: Di Batas (n=50,
p=0.2)
n × p = 10 ≥ 10 n × (1-p) = 40 ≥
10 Kesimpulan: Aproksimasi normal
direkomendasikan — Perbandingan
Probabilitas Kasus Baik (n=100, p=0.3)
Probabilitas P(25 ≤ X ≤ 35): - Binomial (eksak):
0.7704 - Normal (aproksimasi): 0.7699 -
Selisih: 4^{-4} - Status:
Direkomendasikan Kasus Buruk (n=50, p=0.02)
Probabilitas P(0 ≤ X ≤ 3): - Binomial (eksak):
0.9822 - Normal (aproksimasi): 0.9294 -
Selisih: 0.0529 - Status: Tidak
Direkomendasikan — Ringkasan Kondisi Aproksimasi
