Essential of Probability
Tugas Week 10
Nama : Angelica Florentina M.
NIM : 52250063
1 Introduction
Secara umum, probabilitas dapat dipandang melalui dua jenis interpretasi. Interpretasi pertama, menyatakan bahwa probabilitas merupakan tingkat kepercayaan akan suatu hal. Hal ini dapat terjadi berdasarkan tingkat pemikiran rasional serta informasi yang tersedia dalam penilaian probabilitas tersebut. Sebaliknya, interpretasi kedua menyatakan bahwa probabilitas dari suatu kejadian merupakan frekuensi relatif dari suatu eksperimen. Hal ini bermakna bahwa kita dapat menghitung probabilitas dari suatu kejadian berdasarkan jumlah hasil (outcome) dari suatu eksperimen, dan selanjutnya kita membaginya dengan total jumlah hasil yang mungkin muncul dari eksperimen tersebut. Prinsip dasar probabilitas, seperti yang dirumuskan dalam teori probabilitas klasik, mengasumsikan bahwa semua hasil yang mungkin dalam suatu percobaan memiliki probabilitas yang sama untuk terjadi.
Bagian ini menyajikan prinsip-prinsip utama yang membentuk dasar probabilitas :
- Konsep dasar probabilitas, termasuk ruang sampel, kejadian, dan komponen inti aturan pelengkap yang menentukan bagaimana probabilitas disusun dan diinterpretasikan.
- Peristiwa Independent dan Dependent, yang membedakan skenario dimana terjadinya satu peristiwa memengaruhi atau tidak memengaruhi peristiwa lain, suatu perbedaan penting untuk pemodelan dan prediksi yang akurat.
- Gabungan Kejadian, yang membahas kemungkinan bahwa sedikitnya satu diantara beberapa kejadian akan terjadi.
- Peristiwa Eksklusif dan Lengkap, mengklarifikasi bagaimana peristiwa berinteraksi dalam ruang sampel dan bagaimana hubungan tersebut membentuk perhitungan probabilitas.
- Eksperimen Binomial dan Distribusi Binomial, alat penting untuk menganalisis percobaan berulang dengan dua kemungkinan hasil, digunakan secara luas dalam studi ilmiah, pengujian keandalan, dan analisis survei.
2 Fundamental Concepts
2.1 What is Probability?
Probabilitas adalah peluang terjadinya suatu peristiwa. Peluang sama juga dengan :
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{Jumlah total hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah total hasil yang mungkin terjadi}}\]
Contohnya disaat kita melempar sebuah koin sekali. Hasil yang mungkin terjadi adalah bagian Head (H) dan bagian Tail (T).
Probabilitas mendapatkan bagian (Head) adalah :
\[P(H) = \frac{H}{H × T} = \frac{\text{1}}{\text{2}}\]
lalu probabilitas untuk mendapatkan bagian (Tail) adalah :
\[P(T) = \frac{T}{T × H} = \frac{\text{1}}{\text{2}}\]
2.2 Sample Space
Definisi
Ruang sampel (sample space) adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil yang dapat muncul dari suatu percobaan atau kejadian acak. Setiap anggota ruang sampel disebut titik sampel, yang mewakili satu kemungkinan hasil yang terjadi secara spesifik. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S dan bisa berisi elemen-elemen yang diskrit seperti hasil lemparan dadu atau bisa juga kontinu tergantung jenis percobaan.
Contoh percobaan, yaitu melempar sebuah koin sebanyak 2 kali. Kemungkinan jumlah (T) yang dapat muncul :
- 0 Tail
- 1 Tail
- 2 Tail
karena hanya melakukan 2 kali lemparan, jadi mustahil ada lebih dari 2 tail.
Ruang sampel merupakan konsep dasar dalam probabilitas yang membantu mengorganisasi semua kemungkinan hasil yang harus dipertimbangkan saat menghitung probabilitas suatu peristiwa.
2.3 Sample Space Diagram
Definisi
Diagram Ruang Sampel adalah representasi visual dari ruang sampel dalam probabilitas, yang menampilkan semua kemungkinan hasil suatu percobaan secara terstruktur, sering menggunakan tabel dua arah (two-way table), diagram pohon (tree diagram), atau daftar untuk memudahkan perhitungan probabilitas.
Pada lemparan pertama dapat menghasilkan H atau T. Lalu untuk hasil lemparan kedua juga dapat menghasilkan H atau T. Dengan percabangan tersebut, didapat empat kemungkinan yaitu :
- HH (Head Head)
- HT (Head Tail)
- TH (Tail Head)
- TT (Tail Tail)
Probabilitas yang didapat yaitu :
- HH => 0.5 * 0.5 = 0.25
- HT => 0.25
- TH => 0.25
- TT => 0.25
Probabilitas dua kejadian yang terjadi bersama :
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)}\]
Hanya berlaku jika A dan B Independen (misalnya dua lemparan koin).
2.4 Probability Rule
1. Semua probabilitas berada diantara 0 dan 1 (inklusif) :
- P = 0 -> tidak mungkin terjadi
- P = 1 -> pasti terjadi
- P = 0.5 -> terjadi setengah dari percobaan.
2. Jumlah seluruh probabilitas outcome dalam satu ruang sampel harus = 1.
Contoh :
- Satu lemparan koin => P(H) + P(T) = 0.5 + 0.5 = 1
- Dua lemparan koin => 0.25 x 4 = 1
Kedua aturan ini wajib diikuti dalam semua perhitungan probabilitas.
2.5 Complement Rule
Complement rule dalam probabilitas menyatakan bahwa probabilitas kejadian pelengkap (Aᶜ), digunakan untuk mencari probabilitas keberlawanan dari suatu kejadian.
Rumus :
\[P(A^c) = {1} - {P(A)}\] Aᶜ = Kejadian bahwa A tidak terjadi
Karena kejadian A dan pelengkap (Aᶜ) mencakup seluruh ruang sampel dan bersifat saling eksklusif. Aturan ini memudahkan perhitungan probabilitas kejadian sulit secara langsung, seperti setidaknya satu atau tidak pernah, dengan menguranginya dari 1.
2.6 Example
Jika kita melempar 2 buah koin, apa probabilitasnya ketika tidak mendapatkan 2 ekor?
Answer :
menggunakan complement rule
\[P(A^c) = {1} - {P(A)}\]
\[{\text{P(TT)}} = {1} - {P(TT)} = {1} - {0.25} = {0.75}\]
atau cara lain , penjumlahan langsung
\[{\text{P(TT)}} = {P(HH)} + {P(HT)} + {P(TH)} = {0.25} + {0.25} + {0.25} = {0.75}\]
2.7 Conclusion
Probabilitas: Ukuran kemungkinan terjadinya kejadian acak antara 0 hingga 1, dihitung dengan rumus : \[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]
Ruang Sampel(S): Seluruh kumpulan outcomes yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan acak, seperti {1,2,3,4,5,6}
Diagram Ruang Sampel: Visualisasi terstruktur untuk enumerasi hasil, memudahkan hitung probabilitas seperti tabel 6x6 untuk dua dadu.
Complement Rule: \[P(A^c) = {1} - {P(A)}\] berguna untuk kejadian tidak A atau setidaknya satu tanpa enumerasi penuh.
Probabilitas, ruang sampel, diagram ruang sampel, dan complement rule membentuk fondasi teori probabilitas untuk mengukur ketidakpastian kejadian acak melalui himpunan semua hasil mungkin dan aturan perhitungan efisien.
3 Independent and Dependent
3.1 Independent Events
Kejadian Independent adalah suatu kejadian dimana terjadinya satu kejadian tidak memengaruhi probabilitas kejadian lainnya.
Rumus probabilitas dua event independen terjadi bersamaan :
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)}\]
Contoh :
- Event A : Mendapat angka 5 pada dadu 6 sisi
- Event B : Mendapat bagian kepala pada koin.
Langkah-langkah :
\[P(A)= \frac{\text{1}}{\text{6}}\]
\[P(B) = \frac{\text{1}}{\text{2}}\]
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)}\]
\[{\text{P(A ∩ B)}} = \frac{\text{1}}{\text{6}} × \frac{\text{1}}{\text{2}} = \frac{\text{1}}{\text{12}} {\text{≈ 0.0833}}\]
3.2 Dependent Event
Kejadian Dependent adalah kejadian dimana terjadinya satu kejadian memengaruhi probabilitas kejadian lainnya, sehingga probabilitas bersyarat.
Contoh :
Mengambil marmer dari suatu kotak tanpa pengembalian.
- Kotak : 10 marmer, yang terdiri dari 7 hijau, 3 biru
- Event A : mengambil marmer hijau pertama
- Event B : mengambil marmer biru berikutnya
Langkah-langkah (1) :
\[P(A)= \frac{\text{7}}{\text{10}} = {\text{0.7}}\]
\[P(B)= \frac{\text{3}}{\text{9}} = {\text{0.33}}\]
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)} = \frac{\text{7}}{\text{10}} × \frac{\text{3}}{\text{9}} = \frac{\text{7}}{\text{30}} {\text{≈ 0.233}}\]
Langkah-langkah (2) :
\[P(A)= \frac{\text{7}}{\text{10}} = {\text{0.7}}\]
\[{\text{P(B setelah A terjadi)}} = \frac{\text{6}}{\text{9}}\]
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)} = \frac{\text{7}}{\text{10}} × \frac{\text{6}}{\text{9}} = \frac{\text{7}}{\text{15}} {\text{≈ 0.4667}}\]
3.3 Conclusion
Independent adalah outcome satu event tidak berubah (tidak memengaruhi) event lain.
Rumus :
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {P(B)} \]
Dependent adalah outcome satu event saling memengaruhi event berikutnya, biasanya muncul saat pengambilan tanpa pengembalian.
Rumus :
\[{\text{P(A ∩ B)}} = {P}(A) × {\text{P(B setelah A terjadi)}}\]
4 Union of Events
4.1 Definisi
Gabungan kejadian (Union of Events) adalah kejadian yang terjadi jika salah satu atau kedua kejadian A dan B terjadi. Dalam notasi himpunan, gabungan ini dilambangkan dengan \[{\text{A ∪ B}}\]
yang berarti himpunan semua unsur yang termasuk dalam A atau B atau keduanya.
Rumus probabilitas gabungan untuk dua kejadian yang tidak saling lepas (tidak mutually exclusive) adalah :
\[{\text{P(A ∪ B)}} = {P(A)} + {P(B)} - {P(A ∩ B)}\] dimana \[{P(A ∩ B)}\] adalah probabilitas irisan (kejadian kedua A dan B terjadi bersamaan).
Jika kejadian A dan B saling lepas (mutually exclusive), maka rumus nya :
\[{\text{P(A ∪ B)}} = {P(A)} + {P(B)}\] karena tidak ada irisan antara kedua kejadian tersebut.
Contoh :
- Event (A) : Peluang mendapatkan dua angka genap saat melempar dua dadu.
\[{P(A)} = \frac{\text{9}}{\text{36}}\]
- Event (B) : Peluang mendaptkan setidaknya satu angka 2.
\[{P(B)} = \frac{\text{11}}{\text{36}}\]
- Mengurangi Peluang Duplikasi :
\[{P(A ∩ B)} = \frac{\text{5}}{\text{36}}\]
- Menghitung rumus :
\[{P(A ∪ B)} = \frac{\text{9}}{\text{36}} + \frac{\text{11}}{\text{36}} - \frac{\text{5}}{\text{36}} = \frac{\text{15}}{\text{36}} = {0.4167}\]
4.2 Visualisation
library(ggplot2)
library(ggvenn)
# Membuat set data sesuai contoh video
A <- c("2,2", "2,4", "2,6", "4,2", "4,4", "4,6", "6,2", "6,4", "6,6")
B <- c("2,1", "2,2", "2,3", "2,4", "2,5", "2,6",
"1,2", "3,2", "4,2", "5,2", "6,2")
data_union <- list(
"Dua Angka Genap" = A,
"Minimal Satu 2" = B
)
# Plot venn
ggvenn(
data_union,
fill_color = c("maroon", "brown"), # 2 warna sesuai style Anda
stroke_size = 1,
set_name_color = "white",
text_color = "white",
fill_alpha = 0.5
) +
ggtitle("Visualisasi Union of Events") +
theme(
plot.title = element_text(hjust = 0.5, face="bold", size=16)
)
Visualisasi ini menunjukkan (A) memiliki 4 elemen unik (9 total - 5 irisan = 4), dan (B) memiliki 6 elemen unik (11 total - 5 irisan = 6). Irisan menunjukkan 5 elemen yang merupakan anggota keduanya.
Visualsasi venn diagram memudahkan kita melihat elemen unik dan irisan antara dua kejadian. Dengan melihat diagram, kita bisa memahami hubungan probabilitas gabungan dua kejadian secara intuitif.
5 Exclusive and Exhaustive
5.1 Mutually Exclusive Events
Definisi :
Dua atau lebih peristiwa dikatakan mutually exclusive jika tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Jika satu terjadi, yang lain pasti tidak terjadi.
Ciri-ciri :
- Tidak memiiki irisan (intersection).
- Probabilitas terjadinya keduanya sekaligus = 0
- Secara matematis,
\[{P(A ∩ B)} = {0}\]
Contoh :
- Melempar dadu
- A = muncul angka 1
- B = muncul angka 6 Kedua kejadian ini tidak dapat terjadi bersamaan.
- Melempar koin
- A = muncul angka
- B = muncul gambar Tidak mungkin keduanya muncul bersamaan.
- Memilih satu kartu
- A = kartu hati
- B = kartu sekop Tidak mungkin satu kartu punya dua jenis sekaligus.
5.2 Exhaustive Events
Definisi :
Exhaustive events (kejadian menyeluruh/lengkap) adalah kumpulan kejadian yang bersama-sama mencakup seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Artinya, jika semua kejadian dalam kumpulan itu digabungkan, maka tidak ada hasil yang tertinggal.
Ciri-ciri :
- Union (gabungan) dari semua kejadian = ruang sampel.
- Menutupi seluruh kemungkinan hasil percobaan.
- Secara matematis,
\[{A^1} ∪ {A^2} ∪ {...} ∪ { A^n}= S\]
Contoh :
- Melempar dadu 1 kali
- A = {1,2}
- B = {3,4}
- C = {5,6}
A ∪ B ∪ C = {1,2,3,4,5,6} -> lengkap
- Melempar koin
- A = {angka}
- B = {gambar}
A ∪ B = {angka, gambar} -> semua kemungkinan tercover
- Cuaca
- A = hujan
- B = mendung
- C = cerah
Semua kondisi cuaca tercakup
6 Binomial Experiment
6.1 Definisi
Binomial Experiment (Percobaan Binomial) adalah sebuah percobaan statistik dengan karakteristik tertentu yang membuatnya cocok dianalisis menggunakan distribusi binomial. Distribusi binomial mengukur probabilitas sukses atau gagal dalam eksperimen yang diulang berkali-kali dengan prefiks bi menunjukkan dua kemungkinan hasil seperti roda sepeda atau lensa teleskop.
6.2 Ciri-ciri
Hanya ada dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan (sukses dan gagal).
Jumlah percobaan tetap (n).
Probabilitas sukses konstan setiap percobaan (p).
Probabilitas saling independen.
6.3 Rumus
Jika X = jumlah sukses dalam n percobaan, maka :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}\] dimana :
- n = jumlah percobaan
- k = jumlah sukses yang diinginkan
- p = probabilitas sukses
- 1 - p = probabilitas gagal
Contoh :
- Sebuah kotak mempunyai 10 marmer (2 hijau), ambil 5 kali dengan pengambilan (n = 5, p = 0.2 untuk hijau/sukses).
Cari P(X = 2)
answer :
- n = 5
- k = 2
- p = 0.2
- q = 1 - p = 0.8
Kombinasi memilih 2 sukses dari 5: \[ \binom{5}{2} \, = 10\]
Hitung peluang satu urutan sukses dan gagal :
\[{p^2} × {q^3} = {(0.2)^2} × {(0.8)^3} = {0.02048}\]
Kalikan kombinasi dan peluang urutan:
\[{10} × {0.02048} = {0.2048}\]
Jadi, peluang tepat dua marmer hijau adalah 0.2048
Contoh :
- Lempar koin 3 kali (n = 3, p = 0.5 untuk heads/sukses).
Cari P(X = 1), tepat satu heads
answer :
- n = 3
- k = 1
- p = 0.5
- q = 1 - p = 0.5
Kombinasi 1 sukses dari 3 percobaan \[ \binom{3}{1} \, = 3\]
Hitung peluang satu urutan sukses dan dua gagal: \[{p^1} × {q^2} = {0.5} × {0.5} × {0.5} = {0.125}\]
Kalikan kombinasi dan peluang urutan \[{3} × {0.125} = {0.375}\]
Jadi, peluang tepat satu heads adalah 0.375
7 Binomial Distribution
7.1 Definisi
Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit untuk variabel acak yang menghitung jumlah keberhasilan (sukses) dalam n percobaan Bernoulli independen, di mana setiap percobaan memiliki dua hasil mungkin (sukses dengan probabilitas p, gagal dengan q=1 - p).
Rumus :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}\]
7.2 Parameter
- Mean :
\[{μ} = {n} × {p}\]
- Varians :
\[{σ^2} = {np(1−p)}\]
- Simpangan Baku :
\[{σ} = \sqrt{np(1-p)}\]
Perubahan bentuk distribusi saat p berubah
Distribusi binomial juga dipengaruhi oleh nilai p :
- Jika p = 0.5, distribusi simetris (miring kanan - kiri sama).
- Jika p < 0.5, distribusi miring ke kanan (skew right) karena lebih mungkin sedikit sukses.
- Jika p > 0.5, distribusi miring ke kiri (skew left) karena sukses lebih dominan.
Contohnya jika p = 0.1, kemungkinan sukses sangat kecil sehingga distribusi mengarah ke jumlah sukses yang rendah (sebelah kiri) dengan probabilitas tinggi dekat 0. Sebaliknya, jika p = 0.8, probabilitas sukses tinggi sehingga distribusi mengarah ke jumlah sukses yang besar (sebelah kanan).
Efek nilai n terhadap Skewness dan Normalitas :
- Untuk distribusi yang tidak simetris (skewed), menaikka n cukup banyak dapat membuat distribusi mendekati normal.
- Untuk distribusi sudah simetris (biasanya p = 0.5), kenaikan n tidak perlu besar untuk mendekati distribusi normal.
Pedoman pendekatan normal pada binomial :
- n × p ≥ 10
- n × (1 - p) ≥ 10
7.3 Visualisation
# Load library
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(tidyr)
# Fungsi untuk membuat data distribusi binomial
create_binom_data <- function(n, p, name) {
k <- 0:n
prob <- dbinom(k, size = n, prob = p)
data.frame(
k = k,
prob = prob,
type = name,
mean = n * p
)
}
# Parameter untuk 3 distribusi (n=20 untuk efek skewness jelas)
n <- 20
# 1. Simetris: p = 0.5 (bentuk lonceng)
simetris <- create_binom_data(n, 0.5, "Simetris (p=0.5)")
# 2. Skew right: p = 0.2 (ekor kanan panjang)
skew_right <- create_binom_data(n, 0.2, "Skew Right (p=0.2)")
# 3. Skew left: p = 0.8 (ekor kiri panjang)
skew_left <- create_binom_data(n, 0.8, "Skew Left (p=0.8)")
# Gabungkan data
data_all <- bind_rows(simetris, skew_right, skew_left)
# Plot 1: Bar chart + Density overlay (terpisah per distribusi)
p1 <- ggplot(data_all, aes(x = k, y = prob)) +
geom_col(aes(fill = type), alpha = 0.7, width = 0.8, position = "identity") +
geom_line(aes(color = type, group = type), size = 1.2) +
geom_point(aes(color = type), size = 2) +
geom_vline(aes(xintercept = mean, color = type), linetype = "dashed", size = 1) +
facet_wrap(~ type, scales = "free_x", ncol = 1) +
scale_fill_manual(values = c("Simetris (p=0.5)" = "#1f77b4",
"Skew Right (p=0.2)" = "#ff7f0e",
"Skew Left (p=0.8)" = "#d62728")) +
scale_color_manual(values = c("Simetris (p=0.5)" = "#1f77b4",
"Skew Right (p=0.2)" = "#ff7f0e",
"Skew Left (p=0.8)" = "#d62728")) +
labs(title = "Distribusi Binomial",
subtitle = "Bar chart dengan density line overlay (n=20)",
x = "Jumlah Sukses (k)", y = "Probabilitas P(X=k)",
caption = expression(paste(mu, " = np, ", sigma, " = sqrt(np(1-p))"))) +
theme_minimal() +
theme(legend.position = "none",
plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"))
print(p1)
Interpretasi :
Pengaruh p : Mengontrol skewness, p=0.5 simetris, p<0.5 skew right (mode < mean), p>0.5 skew left (mode > mean).
Mean akurat : Garis putus tepat di pusat massa setiap distribusi, konfirmasi μ = n p
Diskrit vs Kontinu: Bar chart tunjukkan sifat diskrit (k=0,1,2,…), density line bantu visualisasi tren kontinu.
Aplikasi: Plot ini identik dengan video transkrip - berguna untuk memahami bentuk tergantung p dan kapan binomial ≈ normal (n besar).
8 References
[1] Nur Hayati, S.ST,MT, Probabilitas dan Statistika TEP4413 (2017). https://www.scribd.com/document/356816510/Buku-Ajar-Probabilitas-dan-Statistika-pdf
[2] Dr. Ir. Agus Wibowo, M.Kom, M.Si, MM, dari digital library STI Estekom. Statistika Dasar, Probabilitas dan Statistik Probabilitas https://digilib.stiestekom.ac.id/assets/dokumen/ebook/feb_AcuCNdjqXwwqmI-dzUPB-KqX7d4_cbJcgDCk9j6HkA_ToNkG-XnSTw_1671766248.pdf
[3] Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc, ASAI Dr. Achmad Choiruddin,
S.Si, M.S, (2021)
Pengantar Teori Probabilitas dan Statistika https://slims.ahmaddahlan.ac.id/index.php?p=fstream-pdf&fid=112&bid=3337
[4] DSCienceLabs, Essentials of Probability, in Introductory Statistics with R, Bookdown. Available: https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html, 2024.