Ejercicios sobre estructura temporal de tasas
Ejericicio 1
La figura muestra que la estructura temporal de tasas de interés puede ser decreciente, con tasas spot de corto plazo más altas que las tasas spot de largo plazo. ¿Qué tan pronunciada puede ser esta caída en las tasas spot?
Enunciado 1
Considere dos STRIPS:
uno con 3 años al vencimiento, que rinde una tasa continuamente compuesta de \(r(0,3)=10\%\),
y un segundo con 5 años al vencimiento, que rinde una tasa continuamente compuesta de \(r(0,5)=5\%\)
Analice si este escenario es posible y, en caso contrario, qué estrategia de arbitraje podría establecerse para aprovechar el error de valuación.
Ejercicio 2
Usando la curva de rendimientos con capitalización semestral mostrada en la Tabla, calcule el precio de los siguientes instrumentos financieros:
- Bono cupón cero a 5 años
- Bono a 7 años que paga un cupón del 15% semestral
- Bono a 3 1/4 años que paga un cupón del 9% semestral
- Bono flotante a 4 años, con spread cero y pagos semestrales
Tabla 1– Curva de rendimientos al 15 de marzo del 2025 (Capitalización semestral)
| Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 6.33% | 2.75 | 6.86% | 5.25 | 6.39% |
| 0.50 | 6.49% | 3.00 | 6.83% | 5.50 | 6.31% |
| 0.75 | 6.62% | 3.25 | 6.80% | 5.75 | 6.24% |
| 1.00 | 6.71% | 3.50 | 6.76% | 6.00 | 6.15% |
| 1.25 | 6.79% | 3.75 | 6.72% | 6.25 | 6.05% |
| 1.50 | 6.84% | 4.00 | 6.67% | 6.50 | 5.94% |
| 1.75 | 6.87% | 4.25 | 6.62% | 6.75 | 5.81% |
| 2.00 | 6.88% | 4.50 | 6.57% | 7.00 | 5.67% |
| 2.25 | 6.89% | 4.75 | 6.51% | 7.25 | 5.50% |
| 2.50 | 6.88% | 5.00 | 6.45% | 7.50 | 5.31% |
Tasas calculadas con datos del CRSP (Daily Treasuries).
Ejercicio 3
Una institución financiera debe realizar los siguientes pagos futuros:
- $1,000 dentro de 2 años
- $2,000 dentro de 4 años
La tasa de interés de mercado actual es del 10% y se supone que la curva de rendimientos es plana en todo momento.
La institución desea inmunizar el riesgo de tasa de interés comprando bonos cero cupón que vencen a 1, 3 y 5 años. Un miembro del equipo de gestión de riesgos, Alan, propone la siguiente estrategia:
Comprar un bono cero cupón a 1 año con valor nominal de $44.74
Comprar un bono cero cupón a 3 años con valor nominal de $2,450.83
Comprar un bono cero cupón a 5 años con valor nominal de $500.00
Ejericio consiste en
- Calcular el valor presente de las obligaciones (la cartera de pasivos).
- Mostrar que la cartera propuesta por Alan satisface las condiciones de la estrategia de inmunización por duración.
- Definir el superávit \(S = V_A - V_L\) (valor de los activos menos valor de los pasivos) y calcular \(S\) cuando hay un cambio inmediato y único en la tasa de interés del 10% a:
- 9%
- 11%
- 15%
- 30%
- 80%
- Calcular la convexidad de la cartera de activos y de la cartera de pasivos para \(i = 10\%\).
Ejercicio 4
Hoy es 15 de mayo de 2025 y la curva de rendimientos vigente, con capitalización semestral, se muestra en la
Tabla — Curva de rendimientos al 15 de mayo del 2025 (Capitalización semestral)
| Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 6.33% | 2.75 | 6.86% | 5.25 | 6.39% |
| 0.50 | 6.49% | 3.00 | 6.83% | 5.50 | 6.31% |
| 0.75 | 6.62% | 3.25 | 6.80% | 5.75 | 6.24% |
| 1.00 | 6.71% | 3.50 | 6.76% | 6.00 | 6.15% |
| 1.25 | 6.79% | 3.75 | 6.72% | 6.25 | 6.05% |
| 1.50 | 6.84% | 4.00 | 6.67% | 6.50 | 5.94% |
| 1.75 | 6.87% | 4.25 | 6.62% | 6.75 | 5.81% |
| 2.00 | 6.88% | 4.50 | 6.57% | 7.00 | 5.67% |
| 2.25 | 6.89% | 4.75 | 6.51% | 7.25 | 5.50% |
| 2.50 | 6.88% | 5.00 | 6.45% | 7.50 | 5.31% |
Las tasas provienen de CRSP (Daily Treasuries).
Calcule la duración de los siguientes instrumentos:
- Bono cupón cero a 3 años.
- Bono a 3 1/4 años que paga un cupón del 6% en forma semestral.
- Bono a 1 año que paga un cupón del 4% en forma trimestral.
Use en todos los casos la Tabla.
Ejercicio 5
Un inversionista está planeando invertir a corto plazo $100 millones y va a escoger entre dos portafolios distintos. Este inversionista está seriamente preocupado por la volatilidad de las tasas de interés en el mercado.
Calcule la duración de cada portafolio. ¿Cuál de ellos es más adecuado para el objetivo del inversionista?
Suponga que hoy es 15 de mayo de 2025 y utilice la curva de rendimientos de la Tabla
Curva de rendimientos al 15 de marzo del 2025 (Capitalización semestral)
| Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa | Plazo (años) | Tasa |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 6.33% | 2.75 | 6.86% | 5.25 | 6.39% |
| 0.50 | 6.49% | 3.00 | 6.83% | 5.50 | 6.31% |
| 0.75 | 6.62% | 3.25 | 6.80% | 5.75 | 6.24% |
| 1.00 | 6.71% | 3.50 | 6.76% | 6.00 | 6.15% |
| 1.25 | 6.79% | 3.75 | 6.72% | 6.25 | 6.05% |
| 1.50 | 6.84% | 4.00 | 6.67% | 6.50 | 5.94% |
| 1.75 | 6.87% | 4.25 | 6.62% | 6.75 | 5.81% |
| 2.00 | 6.88% | 4.50 | 6.57% | 7.00 | 5.67% |
| 2.25 | 6.89% | 4.75 | 6.51% | 7.25 | 5.50% |
| 2.50 | 6.88% | 5.00 | 6.45% | 7.50 | 5.31% |
Portafolio A
- 40% invertido en bonos a 4 1/4 años que pagan un cupón del 5% semestral.
- 25% invertido en bonos a 7 años que pagan un cupón del 2,5% semestral.
- 20% invertido en bonos flotantes a 1 3/4 años, con un spread de 30 puntos base, que pagan cupones semestrales.
- 10% invertido en bonos cupón cero a 1 año.
- 5% invertido en bonos a 2 años que pagan un cupón del 3% en forma trimestral.
Portafolio B
- 40% invertido en bonos a 7 años que pagan un cupón del 10% semestral.
- 25% invertido en bonos a 4 1/4 años que pagan un cupón del 3% en forma trimestral.
- 20% invertido en bonos cupón cero a 90 días.
- 10% invertido en bonos flotantes a 2 años, con spread cero, que pagan cupones semestrales.
- 5% invertido en bonos a 1 1/2 años que pagan un cupón del 6% semestral.
Ejercicio 6
Calcule la duración de Macaulay y la duración modificada para los mismos instrumentos del Ejercicio 4, usando la curva de la tabla del ejercicio 4.
Ejercicio 7
Utilizando la curva de rendimientos de la Tabla 3.6, calcule la dólar duración (dollar duration) de los siguientes instrumentos:
- Posición larga en un bono a 5 años que paga un cupón del 4% semestral.
- Posición corta en un bono cupón cero a 7 años.
- Posición larga en un bono a 3 1/2 años que paga un cupón del 7% en forma trimestral.
- Posición larga en un bono flotante a 2 años, con spread cero, que paga cupones semestrales.
- Posición corta en un bono flotante a 2 1/4 años, con spread cero, que paga cupones semestrales.
- Posición corta en un bono flotante a 5 1/4 años, con un spread de 25 puntos base, que paga cupones semestrales.
Donde
“Dollar duration: A diferencia de la duración, la dollar duration mide (el negativo de) los cambios en el precio, en dólares, debidos a un desplazamiento paralelo de la estructura temporal de tasas de interés. Esto puede utilizarse para valores o estrategias que requieren una inversión neta igual a cero.”
Definición (Dólar duración)
La dólar duración \(D_{P}\) de un instrumento con precio \(P\) se define como:
\[ D_{$P} = -\frac{dP}{dr}. \]
Ejercicio 8
Debido a una serie de eventos desafortunados, el inversionista del Ejercicio 2 descubre que debe recaudar $50 millones. Decide hacerlo tomando posiciones cortas en los bonos de largo plazo de cada portafolio:
- En el Portafolio A, mantendrá las mismas posiciones en todos los instrumentos, excepto en los bonos a 7 años que pagan un cupón del 2,5% semestral, de los cuales se tomará una posición corta suficiente para recaudar los $50 millones.
- En el Portafolio B, mantendrá las mismas posiciones en todos los instrumentos, excepto en los bonos a 7 años que pagan un cupón del 10% semestral, de los cuales se tomará una posición corta suficiente para recaudar los $50 millones.
- ¿Cuántos bonos de cada tipo debe vender en corto el inversionista en cada portafolio para recaudar los $50 millones?
- ¿Cuál es la nueva dólar duración de cada portafolio después de este ajuste?
- ¿Se mantiene la conclusión a la que se llegó en el Ejercicio 2 sobre cuál portafolio es más conveniente frente a movimientos en las tasas de interés?