Bab Esensi Probabilitas ini bertujuan memberikan landasan matematis
untuk menganalisis ketidakpastian, dimulai dengan mendefinisikan Konsep
Fundamental probabilitas Tujuannya adalah agar pembaca mampu membedakan
dan menghitung probabilitas untuk peristiwa Independen dan Dependen,
menerapkan Aturan Penjumlahan untuk Union of Events, serta
mengklasifikasikan peristiwa sebagai Exclusive and Exhaustive. Selain
itu, bab ini secara spesifik bertujuan untuk melatih pembaca
mengidentifikasi karakteristik Eksperimen Binomial dan menggunakan
Distribusi Binomial untuk menghitung probabilitas dalam skenario
percobaan berulang, sehingga membekali mereka dengan alat penting untuk
pemodelan statistik.
2 Konsep Dasar
Probabilitas
Probabilitas didefinisikan sebagai peluang terjadinya suatu kejadian,
dihitung dengan membagi jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah total
kemungkinan hasil. Misalnya, peluang mendapatkan kepala saat melempar
koin adalah 1/2 atau 0.5. Untuk kejadian berulang atau majemuk, seperti
mendapatkan dua kepala dalam dua lemparan, probabilitasnya dikalikan
(0.5×0.5=0.25), karena ini adalah kejadian independen.
Konsep kunci lainnya adalah Ruang Sampel, yaitu seluruh himpunan
hasil yang mungkin. Untuk dua lemparan koin, ruang sampelnya adalah
empat hasil: HH, HT, TH, dan TT, yang masing-masing memiliki
probabilitas 0.25. Dengan menjumlahkan probabilitas hasil yang relevan,
kita dapat menghitung probabilitas kejadian yang lebih kompleks, seperti
mendapatkan setidaknya satu ekor, yang dihitung sebagai
P(HT)+P(TH)+P(TT)=0.75. Video ini juga menekankan dua kondisi wajib
probabilitas: nilai probabilitas suatu peristiwa harus selalu antara 0
dan 1, dan jumlah total probabilitas semua hasil dalam ruang sampel
harus selalu berjumlah 1.
Berdasarkan kondisi-kondisi tersebut, diturunkan Aturan Komplemen.
Aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi
(P(Ac)) sama dengan 1 dikurangi probabilitas peristiwa tersebut terjadi
(P(A)). Aturan ini menyediakan cara alternatif untuk menyelesaikan
masalah. Misalnya, probabilitas tidak mendapatkan dua kepala dapat
dihitung dengan Aturan Komplemen: 1−P(HH)=1−0.25=0.75, yang memberikan
hasil yang sama dengan menjumlahkan probabilitas hasil lainnya.
2.1 Referensi
Tambahan
Konsep probabilitas dasar sering diinterpretasikan dalam dua aliran
utama yaitu:
A. Aliran Frekuentis (Frequentist).Penulis Ronald Fisher (buku teks
statistik klasik) Probabilitas didefinisikan sebagai limit frekuensi
relatif suatu kejadian dalam jangka panjang (long run). Ini adalah
interpretasi yang digunakan dalam sebagian besar statistika inferensial
(uji hipotesis).
B. Bayesian (Subjektif) Penulis Thomas Bayes (via Pierre-Simon
Laplace); Applied Bayesian Modeling. Probabilitas adalah tingkat
kepercayaan pribadi (derajat kepercayaan) terhadap suatu proposisi.
Probabilitas awal (prior) diperbarui (posterior) ketika ada data
baru.
3 Independen dan
Dependen
Inti dari video ini adalah tentang peluang atau Probabilitas—seberapa
besar kemungkinan sesuatu akan terjadi. Peluang dihitung dengan membagi
jumlah hasil yang kita inginkan dengan total semua hasil yang mungkin.
Contoh sederhananya, peluang mendapat kepala saat melempar koin adalah 1
dari 2 (0.5). Jika ada beberapa kejadian yang tidak saling mempengaruhi
(independen), seperti melempar koin dua kali, kita bisa mengalikan
peluangnya: 0.5×0.5=0.25 untuk mendapat dua kepala.
Ruang Sampei yaitu daftar lengkap semua hasil yang mungkin. Ketika
melempar dua koin, ada empat hasil yang mungkin: Kepala-Kepala (HH),
Kepala-Ekor (HT), Ekor-Kepala (TH), dan Ekor-Ekor (TT), di mana
masing-masing punya peluang 0.25. Jika kita ingin tahu peluang hasil
yang lebih luas (misalnya, mendapat setidaknya satu ekor), kita cukup
menjumlahkan peluang dari hasil-hasil yang relevan
(0.25+0.25+0.25=0.75). Dua aturan dasar yang harus selalu dipenuhi
adalah: peluang suatu kejadian harus selalu berada di antara 0 (pasti
tidak terjadi) dan 1 (pasti terjadi), dan jika kita menjumlahkan peluang
semua hasil yang mungkin, totalnya harus 1.
Aturan Komplemen. Aturan ini menyatakan bahwa peluang suatu kejadian
tidak terjadi adalah sama dengan 1 dikurangi peluang kejadian itu
terjadi. Jadi, daripada menghitung semua kemungkinan hasil yang bukan
dua kepala, kita bisa menggunakan 1−P(dua kepala). Karena peluang
mendapat dua kepala adalah 0.25, maka peluang tidak mendapat dua kepala
adalah 1−0.25=0.75.
3.1 Referensi
tambahan
Independent Events (Kejadian Independen Bebas) Independensi adalah
asumsi yang sangat kuat dan sering digunakan untuk menyederhanakan
fungsi likelihood atau probabilitas bersama (joint probability) dari
data yang kompleks.
Definisi Kunci (Conditional Probability): Dua kejadian A dan B
independen jika probabilitas terjadinya A tidak dipengaruhi oleh
terjadinya B, dan sebaliknya. P(A∣B)=P(A)
Aturan Perkalian untuk Independen: Jika A dan B independen,
probabilitas irisan (intersection) mereka adalah hasil kali probabilitas
marginal: P(A∩B)=P(A)P(B)
Relevansi Utama dalam ESL: Data & Error: Dalam banyak model,
seperti Regresi Linier, sering diasumsikan bahwa observasi data atau
error residual adalah independen dan terdistribusi identik (i.i.d.).
Asumsi ini penting untuk menyederhanakan dan membenarkan penggunaan
fungsi likelihood yang merupakan perkalian probabilitas.
Model Naive Bayes: Model klasifikasi ini didasarkan pada asumsi kuat
(dan terkadang tidak realistis) bahwa semua fitur (variabel prediktor)
independen bersyarat (Xj independen dari Xk bersyarat pada kelas
Y).
Dependent Events (Kejadian Dependen/Bergantung)
Kejadian A dan B adalah dependen (atau tidak independen) ketika
informasi tentang satu kejadian mengubah probabilitas kejadian yang
lain.
Definisi Kunci: Pengetahuan tentang terjadinya B mengubah
probabilitas terjadinya A. P(A∣B)=P(A)
Aturan Perkalian Umum (Menggunakan Probabilitas Bersyarat): Untuk
kejadian dependen, probabilitas irisan harus menggunakan probabilitas
bersyarat: P(A∩B)=P(A∣B)P(B)
Relevansi Utama dalam ESL:Korelasi & Multikolinearitas:
Dependensi muncul secara alami sebagai korelasi antar variabel
prediktor. Pemodelan yang mengabaikan dependensi ini dapat menyebabkan
masalah, seperti multikolinearitas dalam regresi.
Model Interaksi: Dalam model regresi, ketika efek satu fitur
bergantung pada fitur lain, kita secara eksplisit memodelkan dependensi
(interaction term).
Model Lanjutan: Model yang menangani data berurutan (misalnya, time
series) seperti Hidden Markov Models atau Recurrent Neural Networks
secara eksplisit dirancang untuk memodelkan dan memanfaatkan dependensi
antara observasi yang berdekatan.
Hubungan Kunci : Konsep dependensi adalah fondasi dari Probabilitas
Bersyarat (P(A∣B)), yang kemudian menjadi inti dari Teorema Bayes.
Teorema Bayes, pada gilirannya, adalah dasar matematis untuk banyak
algoritma kunci dalam Statistical Learning, termasuk Maximum A
Posteriori (MAP) estimation dan Bayesian Networks.
4 Probabilitas Gabungan
Kejadian
Video ini menjelaskan tentang Probabilitas Gabungan Kejadian (dikenal
dengan kata kunci “atau”), yaitu peluang terjadinya salah satu dari dua
peristiwa atau keduanya. Sebagai dasar, video ini meninjau kembali Ruang
Sampel (seluruh hasil yang mungkin, misalnya 36 hasil dari melempar dua
dadu) dan Probabilitas Sederhana. Konsep penting yang menjadi jembatan
adalah Irisan Kejadian (dikenal dengan kata kunci “dan”), yang merupakan
hasil-hasil yang dimiliki bersama atau tumpang tindih antara dua
peristiwa.
Untuk menghitung probabilitas gabungan, rumusnya adalah: peluang
kejadian A ditambah peluang kejadian B, lalu dikurangi peluang irisan
(kejadian A dan B). Bagian pengurangan ini sangat krusial karena ia
berfungsi untuk menghilangkan perhitungan ganda (duplikasi) dari
hasil-hasil yang tumpang tindih. Tanpa pengurangan ini, kita akan
menghitung hasil yang sama sebanyak dua kali. Misalnya, untuk mencari
peluang mendapat dua angka genap atau setidaknya satu angka dua, kita
menjumlahkan peluang masing-masing, kemudian mengurangi peluang tumpang
tindihnya (9/36+11/36−5/36=15/36). Konsep ini dapat divisualisasikan
dengan mudah menggunakan Diagram Venn.
4.1 Referensi
tambahan
Definisi Penting: Gabungan (union) dari semua kejadian sama
dengan Ruang Sampel Ω. A1∪A2∪⋯∪An=Ω Contoh: Dalam pelemparan dadu,
kejadian mendapatkan angka ≤3 (A={1,2,3}) dan kejadian mendapatkan angka
>3 (B={4,5,6}) adalah komprehensif, karena A∪B={1,2,3,4,5,6}=Ω.
Aturan Probabilitas: Probabilitas gabungan dari semua kejadian
komprehensif selalu 1: P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(Ω)=1
Union of Events (Gabungan Kejadian)
Konsep gabungan kejadian (A∪B) adalah notasi fundamental dalam
mendefinisikan ruang probabilitas, meskipun penggunaannya dalam derivasi
model ESL biasanya implisit. Definisi: Gabungan dua kejadian A dan B
adalah kejadian di mana setidaknya satu dari A atau B terjadi.
Aturan Penjumlahan Umum (General Addition Rule): Probabilitas untuk
gabungan dua kejadian dihitung sebagai: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Aplikasi ESL Implisit: Aturan ini secara mendasar terkait dengan
probabilitas kesalahan total atau error rate secara keseluruhan, di mana
kesalahan bisa disebabkan oleh kejadian di kategori A atau kategori
B.
5 Kejadian saling Lepas
dan Kejadian Komprehensif
Video ini membahas dua jenis hubungan antar kejadian dalam
probabilitas. Pertama, Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive) adalah
peristiwa yang tidak mungkin terjadi bersamaan (tidak ada irisan, P(A
dan B)=0). Untuk kejadian seperti ini, peluang gabungan (A atau B)
hanyalah penjumlahan sederhana: P(A atau B)=P(A)+P(B). Kedua, Kejadian
Komprehensif (Exhaustive) adalah sekumpulan peristiwa yang bersama-sama
mencakup semua hasil yang mungkin dalam ruang sampel, sehingga jika
peluang semua kejadian ini dijumlahkan, hasilnya pasti sama dengan 1.
P(E1)+P(E2)+⋯+P(En)=1
5.1 Referensi
tambahan
Mutually Exclusive Events (Kejadian Saling Lepas) Kejadian A dan B
disebut saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi
secara bersamaan dalam satu kali percobaan.
Definisi Penting: Irisan (intersection) dari kedua kejadian tersebut
adalah himpunan kosong. A∩B=∅ Contoh: Dalam pelemparan dadu, mendapatkan
angka genap (A={2,4,6}) dan mendapatkan angka ganjil (B={1,3,5}) adalah
saling lepas karena mustahil mendapatkan keduanya sekaligus.
Aturan Penjumlahan (Addition Rule): Karena A dan B saling lepas,
probabilitas gabungan mereka (union) adalah penjumlahan probabilitas
masing-masing: P(A∪B)=P(A)+P(B)(Ini adalah kasus khusus dari Aturan
Penjumlahan Umum P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B), di mana P(A∩B)=0).
Generalisasi: Sebuah koleksi kejadian A1,A2,A3,…,An disebut saling lepas
berpasangan (pairwise mutually exclusive) jika setiap pasang kejadian di
dalamnya adalah saling lepas.
Sebuah koleksi kejadian A1,A2,A3,…,An disebut kejadian komprehensif
atau mencakup jika gabungan dari semua kejadian tersebut mencakup
seluruh Ruang Sampel (Ω). Dengan kata lain, setidaknya satu dari
kejadian tersebut harus terjadi.
Saling Lepas dan Komprehensif Partisi Ruang Sampel: Ketika sebuah
koleksi kejadian (misalnya A dan Ac) memenuhi kedua kondisi ini, mereka
dikatakan mempartisi Ruang Sampel. 1. A dan Ac (komplemen dari A) selalu
saling lepas (A∩Ac=∅).
A dan Ac selalu komprehensif (A∪Ac=Ω).
Hukum Probabilitas Total (Law of Total Probability): Digunakan untuk
menghitung probabilitas suatu kejadian dengan membaginya ke dalam
kasus-kasus saling lepas dan komprehensif. Teorema Bayes: Rumus
fundamental dalam inferensi probabilitas, yang pengaplikasiannya sangat
bergantung pada pembagian ruang sampel menjadi kejadian-kejadian yang
saling lepas dan komprehensif
6 Eksperimen Binomial dan
Rumus Binomial
Video ini menjelaskan tentang Eksperimen Binomial dan Rumus Binomial,
yang merupakan cara untuk menghitung probabilitas mendapatkan jumlah
keberhasilan (k sukses) tertentu dalam serangkaian percobaan (n) yang
diulang. Suatu eksperimen dianggap binomial jika memenuhi empat syarat
ketat: jumlah percobaan (n) harus tetap, hanya ada dua hasil yang
mungkin (sukses atau gagal), probabilitas sukses (p) harus konstan di
setiap percobaan, dan setiap percobaan harus independen satu sama lain.
Untuk menghitung peluang mendapatkan tepat k sukses, kita bisa
menggunakan Rumus Binomial sebagai jalan pintas untuk menggantikan
penghitungan manual semua urutan hasil yang mungkin.
Rumus Binomial untuk probabilitas mendapatkan tepat k sukses adalah:
P(X=k)=(kn)⋅pk⋅(1−p)n−k
Di mana (kn) adalah kombinasi (n pilih k), yang menghitung jumlah
total cara k sukses dapat terjadi dalam n percobaan.
6.1 Referensi
tambahan
Ringkasan mengenai Eksperimen Binomial dan Distribusi Binomial
berdasarkan buku Introduction to Probability oleh Charles M. Grinstead
& J. Laurie Snell.
Eksperimen Binomial (Binomial Experiment) Dalam konteks buku ini,
Eksperimen Binomial adalah suatu rangkaian percobaan yang harus memenuhi
empat kondisi spesifik:
Jumlah Percobaan Tetap (n): Eksperimen terdiri dari sejumlah
percobaan independen yang dilakukan sebanyak n kali yang sudah
ditetapkan sebelumnya.
Dua Hasil yang Mungkin (Dichotomy): Setiap percobaan hanya
memiliki dua hasil yang mungkin: Sukses (Success, S) atau Gagal
(Failure, F).
Probabilitas Sukses Konstan (p): Probabilitas untuk mendapatkan
hasil Sukses (p) harus sama untuk setiap percobaan. Dengan demikian,
probabilitas Gagal adalah q=1−p.
Independensi: Hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil
dari percobaan lainnya. Semua percobaan bersifat independen.
Variabel acak yang diminati dalam Eksperimen Binomial adalah jumlah
total sukses (X) yang terjadi dalam n percobaan tersebut.
7 Distribusi
Binomial
Video ini menginterpretasikan Distribusi Binomial sebagai model
probabilitas yang sangat fleksibel, yang bentuknya secara langsung
dikendalikan oleh parameter n dan p. Interpretasi n (Evolusi ke Normal):
Interpretasi kunci dari peningkatan n adalah bahwa dengan semakin
banyaknya percobaan, variasi dalam hasil menjadi lebih halus dan
terdistribusi merata, yang secara matematis mengarah pada Distribusi
Normal. Ini sangat penting karena dalam statistik, begitu sebuah
distribusi dapat diasumsikan normal, kita dapat menggunakan berbagai
teknik statistik yang lebih sederhana dan kuat (seperti Z-score) untuk
perhitungan probabilitas.
Interpretasi p (Penceng): Nilai p tidak hanya menentukan peluang
sukses, tetapi juga arah “kemiringan” hasil. Ketika p=0.5, keberhasilan
dan kegagalan sama-sama mungkin, sehingga distribusi menjadi seimbang
(simetris) di sekitar nilai rata-rata (μ). Ketika p jauh dari 0.5,
distribusi menjadi menceng karena hasil yang paling mungkin adalah yang
sangat ekstrem (sangat sedikit sukses jika p kecil, atau sangat banyak
sukses jika p besar). Data selalu mengelompok di sekitar Rata-rata
(μ=np) yang merupakan hasil yang paling diharapkan dalam percobaan.
Interpretasi Rumus Parameter: Rumus μ=n×p memberikan nilai yang
diharapkan (expected value) dari jumlah keberhasilan. Misalnya, jika
Anda melempar koin 10 kali (n=10) dan probabilitas mendapatkan sisi
gambar adalah 0.5 (p=0.5), rata-rata (ekspektasi) sukses adalah 10×0.5=5
kali. Rumus Varians dan Standar Deviasi mengukur seberapa jauh hasil
yang diamati kemungkinan akan menyimpang dari nilai rata-rata yang
diharapkan tersebut.
7.1 Referensi
tambahan
Fungsi Massa Probabilitas (Probability Mass Function, PMF)
Probabilitas untuk mendapatkan tepat k kali sukses dalam n percobaan
diberikan oleh fungsi massa probabilitas (PMF) Binomial:
b(n,p,k)=P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k Di mana:
1, P(X=k): Probabilitas mendapatkan tepat k sukses.
(kn)=k!(n−k)!n!: Koefisien Binomial, yang menghitung jumlah cara
berbeda untuk mendapatkan k sukses dalam n percobaan.
pk: Probabilitas mendapatkan k sukses.
4’ (1−p)n−k: Probabilitas mendapatkan n−k gagal.
Parameter Distribusi
Sebuah Distribusi Binomial sepenuhnya ditentukan oleh dua parameter,
n (jumlah percobaan) dan p (probabilitas sukses). Distribusi ini sering
dinotasikan sebagai B(n,p).
Nilai Harapan (Expected Value) atau Rata-rata (μ): E(X)=μ=np
Interpretasi: Jika eksperimen diulang berkali-kali, rata-rata jumlah
sukses yang diamati akan mendekati n×p.
Varians (σ2): σ2=np(1−p)
Interpretasi: Varians mengukur seberapa tersebar (bervariasi) jumlah
sukses yang mungkin terjadi di sekitar rata-rata.
