Probabilitas merupakan pilar fundamental dalam penalaran statistik,
yang menyediakan kerangka kerja sistematis untuk mengukur, menganalisis,
dan memprediksi ketidakpastian. Dalam konteks analisis data, pemahaman
yang kokoh terhadap probabilitas sangat esensial untuk membangun model
yang valid, menafsirkan pola dalam data, dan membuat keputusan yang
didasarkan pada bukti, bukan spekulasi.
2 Fundamental
Concept
Probabilitas didefinisikan sebagai peluang suatu peristiwa terjadi,
dihitung dengan membagi hasil yang diinginkan dengan total semua hasil
yang mungkin.Analisis yang efektif, pemahaman akan Ruang Sampel (\(S\)) sangat esensial; ini adalah
keseluruhan himpunan dari semua kemungkinan hasil, yang menjadi acuan
universal bagi perhitungan. Misalnya, melempar dua koin menghasilkan
empat Ruang Sampel: HH, HT, TH, dan TT. Setiap probabilitas yang
dihitung harus divalidasi, yaitu harus berada di antara 0 dan 1, dan
jumlah seluruh peluang dalam Ruang Sampel harus sama dengan satu.
Terakhir, Aturan Komplemen adalah alat yang sangat penting untuk
efisiensi. Aturan ini memungkinkan kita menghitung probabilitas suatu
peristiwa tidak terjadi dengan hanya mengurangkan probabilitasnya dari
1, mempermudah penyelesaian masalah yang lebih kompleks.
2.1 Probabilitas
Sederhana (Simple Probability)
Probabilitas adalah ukuran peluang suatu peristiwa akan terjadi.
2.1.1 Formula Inti:
Probabilitas suatu peristiwa (A) dihitung dengan membagi jumlah hasil
yang diinginkan (favorable outcomes) dengan total semua hasil yang
mungkin (possible outcomes).\[\text{P(A)} =
\frac{\text{Jumlah Hasil yang Diinginkan}}{\text{Total Hasil yang
Mungkin}}\]
2.1.2 Contoh:
Melempar satu koin.
Hasil yang Diinginkan (Kepala/Heads): 1
Total Hasil yang Mungkin (Kepala atau Ekor): 2
\(P(\text{Kepala}) = 1/2 = 0.5\)
atau 50%
2.2 Ruang Sampel (Sample
Space)
Ruang Sampel (\(S\)) adalah
keseluruhan himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu
percobaan.
2.2.1 Tujuan:
Ruang sampel membantu memvisualisasikan semua kemungkinan hasil,
terutama ketika ada beberapa kali percobaan.
2.2.2 Contoh:
Melempar koin dua kali.
Diagram pohon dapat digunakan untuk memvisualisasikan semua
hasil.
Ruang Sampelnya adalah: \(\{HH, HT, TH,
TT\}\) (Total 4 hasil yang mungkin).
Probabilitas setiap hasil adalah \(0.5
\times 0.5 = 0.25\).
2.2.3 Penerapan:
Untuk menemukan probabilitas peristiwa yang melibatkan lebih dari
satu hasil (misalnya, \(P(\text{Setidaknya
satu ekor})\)), kita cukup menjumlahkan probabilitas dari setiap
hasil yang relevan (\(P(HT) + P(TH) + P(TT) =
0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75\))
2.3 Aturan Probabilitas
Dasar (Probability Rules)
Setiap probabilitas harus memenuhi dua kondisi dasar :
Batasan Nilai: Probabilitas suatu peristiwa harus selalu bernilai
antara 0 (mustahil terjadi) dan 1 (pasti terjadi).
Jumlah Total: Jumlah probabilitas dari semua hasil dalam Ruang
Sampel harus selalu sama dengan 1.
2.4 Aturan Komplemen (The
Complement Rule)
Definisi:Aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa
tidak terjadi adalah 1 dikurangi probabilitas peristiwa itu terjadi.
2.4.1 Formula:
\[P(A^c) = 1 - P(A)\]Di mana \(A^c\) adalah komplemen dari A (peristiwa A
tidak terjadi).
2.4.2 Contoh:
Jika melempar dua koin, berapa \(P(\text{Tidak mendapatkan dua
ekor/TT})\)?
Aturan ini sangat berguna ketika menghitung probabilitas “setidaknya
satu”, karena seringkali lebih mudah menghitung probabilitas
kebalikannya (“tidak sama sekali”) dan menguranginya dari 1.
3 Independent and
Dependent
Kejadian Independen didefinisikan sebagai peristiwa dalam
probabilitas yang tidak saling memengaruhi; hasil dari satu peristiwa
sama sekali tidak memiliki pengaruh terhadap hasil peristiwa
lainnya.Video tersebut mengilustrasikan ini menggunakan contoh sederhana
seperti melempar dadu dan melempar koin—dua tindakan yang tetap
sepenuhnya independen terlepas dari hasilnya.
Untuk menghitung probabilitas kejadian independen terjadi bersamaan,
kita cukup mengalikan probabilitas dari setiap peristiwa, mengikuti
formula \(P(A \text{ dan } B) = P(A) \times
P(B)\). Formula ini esensial untuk menentukan probabilitas
gabungan (joint probabilities) ketika peristiwa-peristiwa tersebut
terjadi secara independen.Sebaliknya, Kejadian Dependen terjadi ketika
hasil dari satu peristiwa memengaruhi probabilitas peristiwa
berikutnya.
Video ini menjelaskan konsep ini menggunakan contoh pengambilan
kelereng tanpa pengembalian (without replacement). Ketika sebuah item
dikeluarkan dari total sampel, jumlah total hasil yang mungkin berubah,
yang berarti probabilitas untuk pengambilan berikutnya harus
disesuaikan. Ini menyoroti mengapa sangat penting untuk mengenali
kejadian dependen—menggunakan formula untuk kejadian independen dalam
situasi ini akan mengarah pada hasil yang salah.
Untuk menghitung probabilitas kejadian dependen, kita mengalikan
probabilitas peristiwa pertama dengan probabilitas yang disesuaikan
untuk peristiwa kedua, yang mencerminkan jumlah sisa hasil yang
diperbarui. Mengambil item tanpa pengembalian adalah skenario klasik
yang menunjukkan cara kerja kejadian dependen. Pada akhirnya, perbedaan
utama antara kedua konsep tersebut terletak pada apakah hasil satu
peristiwa memengaruhi peristiwa lain.
Kejadian independen tetap tidak terpengaruh satu sama lain, sementara
kejadian dependen memerlukan penyesuaian probabilitas secara
berkelanjutan setelah setiap hasil.
3.1 Kejadian Independen
(Independent Events)
Kejadian independen terjadi ketika terjadinya peristiwa pertama tidak
memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa kedua.
3.1.1 Contoh:
Melempar dadu dan melempar koin. Hasil dadu (misalnya, mendapat 5)
tidak meningkatkan atau menurunkan probabilitas koin mendarat pada
Heads.
3.1.2 Formula
Perkalian:
Untuk menghitung probabilitas dua kejadian independen (A dan B)
terjadi bersamaan, Anda cukup mengalikan probabilitas
masing-masing:\[P(A \text{ dan } B) = P(A)
\times P(B)\].
3.1.3 Contoh
Perhitungan:
Probabilitas melempar dadu mendapat 5 (\(P(A) = 1/6\)) dan melempar koin mendapat
Heads (\(P(B) = 1/2\)) adalah:\[P(5 \text{ dan Heads}) = (1/6) \times (1/2) =
1/12\].
3.2 Kejadian Dependen
(Dependent Events)
Kejadian dependen terjadi ketika terjadinya peristiwa pertama
memengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa kedua.
3.2.1 Konteks Umum:
Kejadian dependen sering terjadi pada situasi pengambilan tanpa
pengembalian (without replacement), yang berarti item yang diambil tidak
dimasukkan kembali ke dalam total sampel. Hal ini menyebabkan
probabilitas berubah setelah setiap pengambilan
3.2.2 Formula
Probabilitas Bersyarat:
Untuk menghitung probabilitas dua kejadian dependen (A dan B)
terjadi, gunakan rumus berikut:\[P(A \text{
dan } B) = P(A) \times P(B \text{ setelah } A \text{
terjadi})\]
3.2.3 Contoh Perhitungan
(Tanpa Pengembalian):
Misalnya, mengambil kelereng dari kotak yang berisi 10 kelereng (7
Hijau, 3 Biru).
\(P(\text{Hijau Pertama})\):
\(7/10\)
\(P(\text{Biru Kedua})\):
Setelah satu kelereng hijau diambil, tersisa 9 kelereng. Jumlah kelereng
biru tetap 3. Jadi, probabilitasnya berubah menjadi \(3/9\).
Konsep utama dalam video ini adalah menghitung probabilitas Union of
Events, yang mengacu pada peluang salah satu dari dua peristiwa atau
lebih akan terjadi (ditandai dengan kata kunci “OR”). Perhitungan ini
dimulai dengan mendefinisikan Ruang Sampel, seperti 36 kemungkinan hasil
saat melempar dua dadu, dan probabilitas sederhana dari setiap
peristiwa.
Rumus inti untuk Union of Events (A atau B) adalah: \[P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{
dan } B)\] Bagian terpenting dari formula ini adalah pengurangan
istilah \(P(A \text{ dan } B)\), yang
dikenal sebagai Irisan Peristiwa (Intersection). Istilah ini harus
dikurangi karena ketika \(P(A)\) dan
\(P(B)\) dijumlahkan, hasil yang
tumpang tindih (yang dimiliki oleh A dan B) telah dihitung dua kali
(duplicate outcomes). Pengurangan irisan ini memastikan bahwa setiap
hasil hanya dihitung satu kali, sehingga menghasilkan probabilitas Union
yang benar. Dengan kata lain, Union of Events mengajari kita cara
menggabungkan probabilitas tanpa melakukan penghitungan ganda terhadap
area yang tumpang tindih.
5 Exclusive and
Exhaustive
Video tersebut berisi tentang klasifikasi peristiwa dengan berfokus
pada dua konsep yang mendefinisikan hubungan antar hasil dalam Ruang
Sampel. Mutually Exclusive Events (Saling Lepas) diartikan sebagai
peristiwa yang tidak memiliki tumpang tindih sama sekali; terjadinya
satu peristiwa secara ketat mencegah terjadinya peristiwa lain, yang
secara matematis berarti probabilitas irisan mereka adalah nol.
Sebaliknya, Exhaustive Events (Kolektif Lengkap) adalah serangkaian
peristiwa yang, ketika dikombinasikan, mencakup seluruh Ruang Sampel
secara kolektif. Pentingnya konsep Exhaustive adalah bahwa jumlah
probabilitas dari semua peristiwa dalam set tersebut harus sama dengan
satu. Pemahaman yang jelas tentang kedua klasifikasi ini sangat
fundamental, karena memandu kita dalam penerapan Aturan Penjumlahan yang
benar—menggunakan \(P(A) + P(B)\) untuk
peristiwa Mutually Exclusive—dan memastikan bahwa analisis probabilitas
kita mencakup semua hasil yang mungkin.
6 Binomial
Experiment
Eksperimen Binomial adalah model distribusi probabilitas diskret yang
paling ketat dan esensial. Model ini memungkinkan penghitungan
probabilitas mendapatkan sejumlah keberhasilan (k) dalam sejumlah
percobaan (n) yang identik.
6.1 Prasyarat: Empat
Kondisi Binomial Setting
Penerapan formula Binomial sepenuhnya tergantung pada validitas
eksperimen, yang harus memenuhi Empat Kondisi Binomial Setting
berikut:
Kriteria
Simbol
Keterangan Mendalam
B (Binary)
Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang
mungkin: Sukses (S) atau Gagal
(F).
I (Independent)
Hasil setiap percobaan harus
independen. Ini berarti \(P(S)\) pada percobaan ke-10 sama dengan
\(P(S)\) pada percobaan ke-1. (Contoh:
Percobaan dengan pengembalian).
N (Number of Trials)
\(n\)
Jumlah percobaan harus tetap dan
ditentukan di awal.
S (Success Probability)
\(p\)
Probabilitas sukses \(p\) harus konstan di
setiap percobaan. Akibatnya, probabilitas gagal adalah \(q = 1 - p\).
6.2 Formula Probabilitas
Binomial
Setelah kondisi Binomial Setting terpenuhi, probabilitas mendapatkan
tepat \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan dihitung menggunakan formula
berikut:\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k
q^{n-k}\] Penjelasan Komponen Formula:
Komponen
Nama
Fungsi
\(\binom{n}{k}\)
Koefisien Binomial atau Kombinasi
Menghitung jumlah cara berbeda di mana \(k\) sukses dapat terjadi dalam \(n\) percobaan, mengabaikan urutan. Formula
kombinasi itu sendiri adalah: \[\binom{n}{k}
= \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
\(p^k\)
Probabilitas Sukses
Probabilitas mendapatkan \(k\) sukses.
\(q^{n-k}\)
Probabilitas Gagal
Probabilitas mendapatkan \(n\) minus \(k\) kegagalan. Karena \(q = 1-p\), ini juga ditulis \((1-p)^{n-k}\).
6.3 Nilai Harapan dan
Variansi (Statistik Binomial)
Selain menghitung probabilitas spesifik, Distribusi Binomial juga
memiliki formula untuk menghitung nilai statistik utama dari distribusi
tersebut:
Statistik
Formula
Keterangan
Nilai Harapan (Mean)
\[\mu = E(X) = n \cdot
p\]
Rata-rata atau jumlah sukses yang diharapkan dalam
\(n\) percobaan.
Variansi
\[\sigma^2 = n \cdot p \cdot
q\]
Mengukur seberapa besar penyebaran data dalam
distribusi.
Simpangan Baku (Standard Deviation)
\[\sigma = \sqrt{n \cdot p
\cdot q}\]
Akar kuadrat dari Variansi.
7 Binomial
Distribution
Video tersebut menjelaskan Distribusi Binomial sebagai fungsi yang
bentuknya sepenuhnya bergantung pada dua parameter intinya: \(n\) (jumlah percobaan) dan \(p\) (probabilitas sukses). Distribusi
Binomial, yang probabilitasnya dihitung menggunakan formula binomial
untuk setiap nilai \(k\),
divisualisasikan menggunakan grafik batang (bar chart) dengan nilai k
(jumlah sukses) pada sumbu-x dan probabilitas pada sumbu-y. Analisis
visual ini mengungkapkan dua temuan kunci:
Pengaruh \(n\) (Ukuran Sampel):
Seiring \(n\) meningkat, bentuk
distribusi Binomial secara bertahap akan mendekati Distribusi Normal
yang simetris, terpusat di sekitar nilai harapan (\(\mu = n \cdot p\)).
Pengaruh \(p\) (Probabilitas
Sukses): Nilai \(p\) mengontrol
kemiringan (skewness) distribusi. Jika \(p =
0.5\), distribusi akan simetris (berbentuk lonceng). Jika \(p\) menjauhi 0.5 (misalnya \(p=0.1\) atau \(p=0.8\)), distribusi menjadi miring
(skewed), dan kemiringan selalu menjauh dari nilai yang kurang mungkin
(misalnya, \(p=0.1\) miring ke kanan
karena sukses jarang terjadi).
Oleh karena itu, video ini menyimpulkan dengan aturan pedoman (Normal
Approximation) bahwa distribusi Binomial dapat diasumsikan mendekati
Normal jika kondisi \(n \cdot p \geq
10\) dan \(n \cdot (1-p) \geq
10\) terpenuhi, yang memberikan landasan kapan model yang lebih
sederhana (Distribusi Normal) dapat digunakan untuk memperkirakan
probabilitas Binomial.
