kuis-10-mandiri--1-.knit

Probability Statistics

1 Konsep Dasar Probabilitas

Apa itu Probabilitas?

Probabilitas adalah cabang ilmu statistika yang mempelajari tentang bagaimana cara mengukur ketidakpastian dan kemungkinan suatu peristiwa terjadi. Probabilitas memberikan nilai numerik antara 0 sampai 1, di mana nilai 0 berarti kejadian mustahil terjadi, sedangkan 1 berarti kejadian pasti terjadi.

Dalam eksperimen acak, setiap kemungkinan hasil yang dapat muncul disebut outcome. Kumpulan seluruh outcome yang mungkin terjadi disebut Ruang Sampel (sampel space), dilambangkan dengan S.

Sementara itu, kejadian atau event adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contohnya, pada pelemparan satu dadu, ruang sampel adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika kita ingin melihat peluang muncul angka genap, maka event A = {2, 4, 6}, yang menrupakan subset dari S.

Rumus Dasar Probabilitas

Jika setiap outcome dianggap memiliki peluang yang sama, probabilitas suatu kejadian A dapat dihitun dengan rumus:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

Di mana:

n(A): jumlah outcome yang termasuk dalam kejadian A
n(S): jumlah seluruh outcome yang mungkin terjadi dalam ruang sampel (sample space)

Contoh:

Melempar dadu, P = muncul angka genap

\[P(A) = \frac{3}{6} = 0.5 = 50\%\]

Insight

Pada kehidupan nyata, probabilitas digunakan dalam banyak keputusan sehari-hari, misalnya memutuskan membawa payung berdasarkan peluang hujan, mennentukan strategi bisnis berdasarkan risiko kerugian, atau memprediksi keberhasilan pengobatan dalam bidang medis.

2 Basic Concept of Probability

Definisi Probabilitas

Probabilitas adalah ukuran numerik yang menunjukkan seberapa mungkin suatu kejadian (event) terjadi dalam sebuah percobaan acak. Nilai probabilitas terletak antara 0 dan 1, di mana 0 berarti kejadian tidak mungkin terjadi dan 1 berarti kejadian pasti terjadi.

Menurut Aksioma Kolmogorov, probabilitas memenuhi tiga aturan dasar:

Non-negativity: \(P(A) ≥ 0\)
Normalization: \(P(S) = 1\), dimana S adalah ruang sampel
Additivity: Untuk kejadian saling lepas, \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\)

Rumus Probabilitas Klasik:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

dimana:
n(A) = jumlah hasil yang menguntungkan
n(S) = jumlah total hasil pada ruang sampel

Ruang Sampel dan Kejadian

Sample Space (S): merupakan himpunan semua kemungkinan hasil dalam percobaan acak.

Event (A): adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang berisi hasil tertentu yang ingin diamati.

Contoh: Lempar dua koin

Ruang Sampel (S): {HH, HT, TH, TT}

Outcome	Probability
HH	¹⁄₄
HT	¹⁄₄
TH	¹⁄₄
TT	¹⁄₄

Total Probability = ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ = 1

Aturan Probabilitas dan Komplemen

Aturan Komplemen:

\(P(A') = 1 - P(A)\)

Contoh: Probabilitas tidak muncul TT

P(TT) = ¹⁄₄

P(TT’) = 1 - ¹⁄₄ = ³⁄₄

Ringkasan Rumus:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\]

\[P(A') = 1 - P(A)\]

Jika independen:

\[P(A ∩ B) = P(A) × P(B)\]

3 Independent and Dependent

Kejadian Independen (Independent Event)

Dua kejadian dikatakan independen jika kemunculan salah satu tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnya. Jadi hasil kejadian pertama tidak mengubah peluang kejadian kedua.

Kejadian Dependen (Dependent Events)

Dua kejadian dikatakan dependen jika kemunculan kejadian pertama mengubah probabilitas kejadian kedua. Misalnya, ketika hasil pertama dipakai ulang (tanpa pengembalian), maka jumlah kemungkinan berubah sehingga probabilitas berubah.

Untuk Kejadian Independen \[P(A ∩ B) = P(A) × P(B)\] Untuk Kejadian Dependen \[P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)\] \[P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)\]

Contoh 1: Kejadian Independen - Melempar Dadu dan Koin

Misalnya, A = muncul angka 5 pada dadu dan B = muncul kepala (H) pada koin.

\(P(A) = \frac{1}{6}\) dan \(P(B) = \frac{1}{2}\)

\(P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\)

Contoh 2: Kejadian Dependen - Mengambil Kelereng Tanpa Pengembalian

Di dalam kotak terdapat 10 kelereng: 7 hijau dan 3 biru.

• Tarikan pertama: peluang mengambil hijau = \(\frac{7}{10}\)

• Tarikan kedua setelah hijau diambil: tersisa 9 kelereng, 6 hijau, 3 biru.

\(P(\text{hijau lalu biru}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}\)

Tabel Perbandingan Indpenden & Dependen

Tipe Kejadian	Definisi	Rumus	Contoh
Independen	Kejadian pertama tidak mempengaruhi kejadian kedua	\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)	Dadu + koin
Dependen	Kejadian pertama mempengaruhi kejadian kedua	\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\)	Kelereng tanpa pengembalian

Catatan Kesalahan Umum

Jangan memakai rumus independen ketika kejadian bersifat dependen dan ruang sampel berubah.

4 Union of Events

Sample Space dan Kejadian

Ruang sampel (sample space, S) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari sebuah percobaan acak.

Contoh: jika kita melempar satu dadu 6-muka, maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika dua dadu dilempar bersama, total outcome = 36 kombinasi.

Irisan (Intersection) & Gabungan (Union) Kejadian

Intersection (A ∩ B): kejadian di mana A dan B terjadi bersama — hasil termasuk dalam A dan B.

Union (A ∪ B): kejadian di mana A terjadi, atau B terjadi, atau keduanya.

Untuk Dua Kejadian (terutama jika keduanya tidak saling lepas)

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Untuk Tiga Kejadian

\[P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)\]

Contoh Soal: Dua Dadu

Misalkan A = “muncul angka genap” pada pelemparan satu dadu, B = “muncul angka ≥ 4”.

Perhatikan bahwa A dan B bisa saling beririsan (ada hasil yang termasuk A dan juga B).

Kemudian probabilitas A ∪ B dihitung dengan rumus union di atas — karena banyak outcomes tumpang tindih jika dijumlah langsung P(A)+P(B).

Visualisasi Probabilitas A ∪ B

Diagram Venn: Union (A ∪ B)

A ∪ B

Interpretasi Probabilitas Union (A ∪ B)

Union (A ∪ B) merupakan gabungan semua elemen yang berada dalam kejadian A atau B, termasuk elemen yang berada pada irisan keduanya.

Area lingkaran A (pink) mewakili kejadian A
Area lingkaran B (biru) mewakili kejadian B
Area tumpang tindih di tengah menunjukkan elemen yang termasuk dalam A ∪ B

Sehingga, probabilitas dari gabungan dua kejadian dirumuskan sebagai:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Ringkasan

Tipe Kasus	Kondisi	Rumus
Mutually Exclusive (tidak saling lepas)	A ∩ B = ∅ (tidak ada irisan)	\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Non-exclusive / Biasa	A ∩ B ≠ ∅	\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Kesalahan Umum

langsung menjumlah P(A) + P(B) tanpa mengurangi P(A ∩ B) ketika A dan B tidak saling lepas — menyebabkan hasil kelebihan hitung.

5 Exclusive and Exhaustive

Definisi & Konsep Dasar

Mutually Exclusive Events adalah dua kejadian yang tidak memiliki outcome yang sama dan tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Secara matematis ditulis sebagai:

\(P(A ∩ B) = 0\)

Exhaustive Events adalah kejadian yang secara bersama-sama mencakup seluruh outcome dalam sample space.

Secara matematis ditulis sebagai:

\(P(A ∪ B) = 1\)

Contoh Kasus – Dua Dadu

Misalkan kita melempar dua dadu secara bersamaan (36 kemungkinan total outcome).

Contoh Mutually Exclusive:

A = muncul minimal satu angka 5
B = jumlah mata dadu kurang dari 4

Kedua kejadian tidak memiliki overlap sehingga keduanya tidak dapat terjadi bersamaan. Maka:

\(P(A ∩ B) = 0\)

Contoh Exhaustive Events:

A = muncul minimal satu angka 6
B = jumlah mata dadu kurang dari 11

Kedua kejadian bersama-sama mencakup semua 36 outcome. Maka:

\(P(A ∪ B) = 1\)

Visualisasi — Diagram Venn

Mutually Exclusive Events (A ∩ B = ∅)

Mutually exclusive menunjukkan dua kejadian yang tidak memiliki irisan. Pada diagram di atas, lingkaran A dan B tidak saling bersentuhan, yang berarti tidak ada outcome yang berada di kedua kejadian sekaligus. Contohnya pada pelemparan dua dadu:

A = minimal satu angka 5, B = jumlah < 4

\(P(A ∩ B) = 0\)

Exhaustive Events (A ∪ B = S)

Sample Space (S)

Exhaustive events adalah dua kejadian yang jika digabung mencakup seluruh sample space. Pada diagram terlihat bahwa kotak S berisi kedua lingkaran A dan B yang bersama-sama menutupi seluruh ruang kejadian.

A = minimal satu angka 6, B = jumlah < 11

\(P(A ∪ B) = 1\)

Summary Table

Property	Mutually Exclusive	Exhaustive
Definisi	Tidak ada outcome yang sama	Mencakup seluruh outcome sample space
Rumus	\(P(A ∩ B)=0\)	\(P(A ∪ B)=1\)
Hubungan Diagram Venn	Tidak ada irisan	Mengisi seluruh kotak

6 Binomial Experiment

Apa itu Binomial Probability?

Binomial Probability adalah metode untuk menghitung peluang terjadinya suatu jumlah keberhasilan tertentu dari beberapa percobaan yang memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu success atau failure. Konsep ini sering digunakan pada kasus seperti pelemparan koin, pengundian bola, survei, dan eksperimen berulang lainnya.

Empat Syarat Utama Binomial Experiment

Sebuah percobaan dikatakan binomial jika memenuhi empat kondisi berikut:

Fixed number of trials — jumlah percobaan ditetapkan, dilambangkan dengan \(n\)
Two possible outcomes — hanya ada 2 hasil: success atau failure
Constant probability — peluang success \(p\) konstan di setiap percobaan
Independent trials — satu percobaan tidak mempengaruhi percobaan lainnya

Jika keempat kondisi terpenuhi, maka disebut Binomial Experiment.

Rumus Binomial Probability

Untuk menghitung peluang mendapatkan \(k\) success dari \(n\) percobaan digunakan rumus:

\[P(X = K) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{(n-k)}\] \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Contoh 1: Pelemparan Koin

Koin dilempar sebanyak 3 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 1 head?

Diketahui:

\(n = 3\)
\(k = 1\)
\(p = \frac{1}{2}\)

Penyelesaian:

\(P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\)

Contoh 2: Pengambilan Kelereng

Terdapat 10 kelereng: 3 pink, 2 hijau, 5 biru. Jika diambil 5 kali dengan pengambilan, berapa peluang mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?

Diketahui:

\(n = 5\)
\(k = 2\)
\(p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)

\(P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^3\)

Insight

Konsep	Traditional Method	Binomial Formula
Pendekatan	List semua outcome	Langsung gunakan formula
Kapan digunakan	Trial sedikit	Trial banyak
Efisiensi	Lambat & rumit	Sangat efisien

7 Binomial Distribution

Apa itu Binomial Distribution?

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit yang menggambarkan peluang terjadinya k keberhasilan dalam n percobaan, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan (sukses atau gagal) dengan peluang yang sama untuk setiap percobaan.

Rumus Binomial Distribution

untuk menghitung peluang terjadinya tepat \(k\) keberhasilan dari \(n\) percobaan yang independen:

\[P(X = K) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Di mana:

\(n\) = jumlah percobaan
\(k\) = jumlah keberhasilan
\(p\) = probabilitas keberhasilan tiap percobaan
\(q = 1-p\) = probabilitas kegagalan

Peluang setiap kejadian dihitung sebagai:

\(P(0) = \frac{2!}{0!2!} (0.5)^0 (0.5)^2 = 0.25\)
\(P(1) = \frac{2!}{1!1!} (0.5)^1 (0.5)^1 = 0.50\)
\(P(2) = \frac{2!}{2!0!} (0.5)^2 (0.5)^0 = 0.25\)

Distribusi Parameter

Karakteristik penting dalam distribusi binomial:

Mean: \(\mu = np\)
Variance: \(\sigma^2 = np(1-p)\)
Standard Deviation: \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)

Example (n = 10, p = 0.5)

\(\mu = 10 \cdot 0.5 = 5\)
\(\sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5\)
\(\sigma = \sqrt{2.5} = 1.58\)

Effect of Probability (p) on Distribution Shape

p Value	Shape	Skew Direction
p = 0.5	Symmetrical	No skew
p < 0.5	Skewed	Right-skewed
p > 0.5	Skewed	Left-skewed

Normal Approximation

Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika jumlah percobaan besar.

Syarat pendekatan normal:

\(np \ge 10\) dan \(n(1-p) \ge 10\)

Contoh: Ujian Pilihan Ganda

Sebuah soal pilihan ganda memiliki 4 opsi jawaban, dan hanya 1 yang benar. Seseorang menebak jawaban secara acak untuk 5 soal. Berapa peluang bahwa ia menjawab tepat 2 soal dengan benar?

Diketahui:

\(n = 5\) (jumlah percobaan)
\(k = 2\) (jumlah keberhasilan yang diinginkan)
\(p = \frac{1}{4}\) (peluang jawaban benar)
\(q = 1 - p = \frac{3}{4}\)

Penyelesaian:

\(P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3\)

\(= 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = 10 \cdot \frac{27}{1024} = \frac{270}{1024} \approx 0.2637\)

Jadi, peluang menjawab tepat 2 soal dengan benar adalah sekitar 0,2637 atau 26,37%

Histogram Binomial Distribution

library(ggplot2)

n <- 5
p <- 1/4

x <- 0:n
prob <- dbinom(x, size = n, prob = p)

binom_data <- data.frame(
  X = factor(x),
  Prob = prob
)

ggplot(binom_data, aes(x = X, y = Prob)) +
  geom_col(fill = "#ff4f9e", width = 0.7) +  # bar sedikit lebih ramping biar estetis
  geom_text(aes(label = round(Prob, 4)), vjust = -0.5, size = 5) +
  scale_x_discrete(expand = expansion(add = 0.6)) +  # CENTERING MAGIC
  labs(
    title = "Histogram Distribusi Binomial (n = 5, p = 0.25)",
    x = "Jumlah Jawaban Benar (X)",
    y = "Probabilitas"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 15) +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),  # Judul pusat
    axis.title.x = element_text(face = "bold"),
    axis.title.y = element_text(face = "bold"),
    axis.text = element_text(size = 12),
    plot.margin = margin(20, 20, 20, 20)  # ruang kiri kanan biar ga mojok
  ) +
  expand_limits(y = max(prob) + 0.04)

Berdasarkan histogram distribusi binomial yang ditampilkan, terlihat bahwa nilai probabilitas tertinggi berada pada X = 1 dan X = 2. Hal ini menunjukkan bahwa hasil yang paling mungkin terjadi adalah menjawab benar 1 hingga 2 soal ketika seseorang menebak secara acak. Sebaliknya, nilai ekstrem seperti X = 0 dan X = 5 memiliki probabilitas yang sangat rendah, sehingga kemungkinan terjadinya jauh lebih kecil.

Factor	Effect
n increases	Distribution approaches normal
p = 0.5	Symmetrical shape
p ≠ 0.5	Distribution becomes skewed

8 Penutup

Melalui pembahasan mengenai probabilitas, dapat kita pahami bahwa ketidakpastian bukanlah sesuatu yang sepenuhnya acak atau mustahil diprediksi. Dengan pendekatan yang sistematis dan berbasis data, kita dapat memperkirakan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dengan lebih terukur dan rasional.

Visualisasi yang telah dibuat membantu menggambarkan bagaimana peluang tiap kejadian dapat dibandingkan secara jelas. Dari histogram tersebut terlihat bahwa kemungkinan terbesar biasanya berada pada rentang nilai yang paling seimbang, bukan pada nilai yang ekstrem. Hal ini menegaskan bahwa probabilitas tidak hanya soal angka, tetapi juga pemahaman terhadap pola dan kecenderungan.

Dalam kehidupan sehari-hari, konsep probabilitas sangat membantu dalam pengambilan keputusan yang lebih objektif baik dalam perencanaan, penelitian, maupun aktivitas sederhana sekalipun. Dengan memahami konsep dasar probabilitas, kita menjadi lebih siap menghadapi berbagai situasi yang penuh ketidakpastian.

9 Referensi

[1] Hidayat, A. (2024). Statistika deskriptif & probabilitas. ResearchGate. https://www.researchgate.net/publication/388263759_Statistika_Deskriptif_Probabilitas

[2] Marcelino, A. (2025). Dasar statistik. Universitas Krisnadwipayana Press. https://repository.unkris.ac.id/id/eprint/4619/1/EBOOK%20DASAR%20STATISTIK.pdf

[3] Penerbit Stekom. (2023). Statistik probabilitas. Penerbit STEKOM. https://penerbit.stekom.ac.id/index.php/yayasanpat/article/view/385

[4] Universitas Ahmad Dahlan. (2021). Pengantar teori probabilitas dan statistika (E-book). https://slims.ahmaddahlan.ac.id/index.php?bid=3337&fid=112&p=fstream-pdf

[5] Universitas Terbuka. (2022). Modul statistika dan peluang. Universitas Terbuka.

Essential of Probability

Tugas Week 10 ~ Essential of Probability

1 Konsep Dasar Probabilitas

Apa itu Probabilitas?

Rumus Dasar Probabilitas

Insight

2 Basic Concept of Probability

Definisi Probabilitas

Ruang Sampel dan Kejadian

Aturan Probabilitas dan Komplemen

3 Independent and Dependent

Kejadian Independen (Independent Event)

Kejadian Dependen (Dependent Events)

Tabel Perbandingan Indpenden & Dependen

Catatan Kesalahan Umum

4 Union of Events

Sample Space dan Kejadian

Contoh Soal: Dua Dadu

Visualisasi Probabilitas A ∪ B

Diagram Venn: Union (A ∪ B)

Interpretasi Probabilitas Union (A ∪ B)

Ringkasan

Kesalahan Umum

5 Exclusive and Exhaustive

Definisi & Konsep Dasar

Contoh Kasus – Dua Dadu

Visualisasi — Diagram Venn

Mutually Exclusive Events (A ∩ B = ∅)

Exhaustive Events (A ∪ B = S)

Summary Table

6 Binomial Experiment

Apa itu Binomial Probability?

Empat Syarat Utama Binomial Experiment

Rumus Binomial Probability

Insight

7 Binomial Distribution

Apa itu Binomial Distribution?

Rumus Binomial Distribution

Distribusi Parameter

Effect of Probability (p) on Distribution Shape

Normal Approximation

Histogram Binomial Distribution

8 Penutup

9 Referensi