Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
\[y'' + 7y' + 6y = 12\]
Primero resolvemos la ecuación diferencial homogénea:
\[y'' + 7y' + 6y = 0\] Proponemos una solución exponencial:
\[y(x) = e^{rx}\] Sustituir en la ecuación diferencial homogénea:
\[r^2e^{rx} + 7re^{rx} + 6e^{rx} = 0\] Como \(e^{rx} \ne 0 \ \forall x \in \mathbb{R}\), podemos dividir por \(e^{rx}\):
\[r^2 + 7r + 6 = 0\]
Resolver la ecuación cuadrática:
\[r = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6}}{2}\] \[r_1 = -6\] \[r_2 = -1\] Entonces la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
\[y_h(x) = c_1e^{-6x} + c_2e^{-x}\]
donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes arbitrarios.
Ahora necesitamos una solución particular cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea. El lado derecho, \(g(x)\), es una constante. Probemos con la función constante:
\[y_p(x) = 2\]
Para verificar, sustituir \(y_p\) en la ecuación diferencial original:
\[0 + 7 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 12\]
Efectivamente, \(y_p\) es una solución de la ecuación diferencial original.
Aplicar el teorema de la solución general de una ecuación diferencial:
\[y = y_h + y_p\]
Entonces la solución general de la ecuación diferencial original es:
\[y(x) = c_1e^{-6x} + c_2e^{-x} + 2\]
Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
\[y''+y'- 2y = x^2 - 7x + 4\]
Primero resolvemos la ecuación diferencial homogénea:
\[y''+y'- 2y = 0\] Proponemos una solución exponencial:
\[y(x) = e^{rx}\]
Sustituir en la ecuación diferencial homogénea:
\[r^2e^{rx} + re^{rx} - 2e^{rx} = 0\] Como \(e^{rx} \ne 0 \ \forall x \in \mathbb{R}\), podemos dividir por \(e^{rx}\):
\[r^2 + r - 2 = 0\] Resolver la ecuación cuadrática:
\[r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-2)}}{2}\] \[r_1 = 1\] \[r_2 = -2\] Entonces la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
\[y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-2x}\]
donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes arbitrarios.
Ahora necesitamos una solución particular cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea. El lado derecho, \(g(x)\), es un polinomio de grado 2. Probemos con un polinomio general de grado 2:
\[y_p(x) = ax^2 + bx + c\] Sustituir en la ecuación diferencial no homogénea:
\[(ax^2 + bx + c)'' + (ax^2 + bx + c)' -2(ax^2 + bx + c) = x^2 - 7x + 4\]
\[\therefore 2a + (2ax + b) -2(ax^2 + bx + c) = x^2 - 7x + 4\] \[\therefore -2ax^2 + 2(a-b)x + (2a+b-2c) = x^2 - 7x + 4\] Igualar coeficientes de términos iguales de ambos lados:
\[-2a = 1\] \[2(a-b) = -7\] \[2a+b-2c = 4\] Resolver el sistema de 3 ecuaciones:
\[a = -\frac{1}{2}\] \[2 \left(-\frac{1}{2}-b \right) = -7\] \[-1 -2b = -7\] \[\therefore b = 3\]
\[-2 \cdot \frac{1}{2} + 3 -2 c = 4\] \[\therefore c = -1\] Entonces, una solución particular es:
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1\] Para verificar, sustituir \(y_p\) en la ecuación diferencial original:
\[\left( -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1 \right)''+ \left( -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1 \right)'- 2 \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1 \right) =\]
\[= (-1) + (-x+3) - 2 \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1 \right)\] \[= x^2 -7x + 4\] \[Q.E.D.\] Entonces la solución general de la ecuación diferencial original es:
\[y(x) = c_1e^x + c_2e^{-2x} + -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1\]
Encuentre la solución del problema de valor inicial:
\[y'' - y = sinx\] \[y(0) = 2\] \[y'(0) = -\frac{1}{2}\]
Primero resolvemos la ecuación diferencial homogénea:
\[y'' - y = 0\] Proponemos una solución exponencial:
\[y(x) = e^{rx}\]
Sustituir en la ecuación diferencial homogénea:
\[r^2 - 1 = 0\] \[r_1 = 1\] \[r_2 = -1\] Entonces la solución de la ecuación diferencial homogénea es:
\[y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-x}\] Para la solución particular, \(g(x) = sinx\). Observamos que la ecuación diferencial no tiene término \(y'\), y \(g''(x) = -sinx\). Por lo tanto, postulamos una solución particular con \(sin\) solamente:
\[y_p(x) = asinx\] Sustituir en la ecuacion diferencial no homogénea:
\[-asinx - asinx = sinx\] \[\therefore -2asinx = sinx\] \[\therefore a = -\frac{1}{2}\] Entonces una solución particular es:
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}sinx\] Y la solución general es:
\[y(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} -\frac{1}{2}sinx\] Usar las condiciones iniciales \(y(0) = 2\) y \(y'(0) = -\frac{1}{2}\):
\[2 = c_1e^0 + c_2e^{-0} -\frac{1}{2}sin(0)\] \[\therefore c_1 + c_2 = 2...(1)\]
\[y'(x) = c_1e^x - c_2e^{-x} -\frac{1}{2}cos(x)\] \[\therefore -\frac{1}{2} = c_1e^0 - c_2e^0 -\frac{1}{2}cos(0)\] \[\therefore -\frac{1}{2} = c_1 - c_2 -\frac{1}{2}\] \[\therefore c_1 - c_2 = 0...(2)\]
\[\therefore c_1 = c_2\] Sustituir en (1):
\[c_1 = c_2 = 1\] Entonces la solución del problema de valor inicial (PVI) es:
\[y(x) = e^x + e^{-x} -\frac{1}{2}sinx\]