Contoh sederhana

• Lempar 1 koin: \(S = \{H, T\}\). Jika koin fair, maka: \[ P(H) = \frac{1}{2}, \quad P(T) = \frac{1}{2} \]

• Lempar 1 dadu 6 sisi: \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\). Peluang muncul angka “5”: \[ P(5) = \frac{1}{6} \]

• Contoh 1: Misalnya peluang tidak muncul “gambar” jika kita lempar koin fair dan “gambar” dianggap satu sisi koin, berarti: \[ P(\text{not gambar}) = 1 - P(\text{gambar}) = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} \]

• Contoh 2:Jika kita melempar dadu dan A adalah kejadian “muncul angka 5”, maka komplementnya, yaitu “tidak muncul angka 5”, memiliki peluang: \[ P(A^c) = 1 - P(\text{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Konsep dasar ini adalah fondasi dari seluruh topik probabilitas selanjutnya. Memahami ini dengan baik membuat kita lebih nyaman dan paham ketika menghadapi situasi yang lebih kompleks seperti gabungan kejadian, probabilitas bersyarat, distribusi probabilitas, dll.

Dalam probabilitas, dua kejadian dapat bersifat independen atau dependen, tergantung apakah terjadinya satu kejadian mempengaruhi peluang terjadinya kejadian lainnya. Memahami perbedaan keduanya penting karena cara menghitung peluang gabungannya (\(P(A \cap B)\)) akan berbeda.

Contoh 1 – Melempar koin dua kali

Setiap lemparan koin tidak terpengaruh oleh lemparan sebelumnya.

• P(H) pada lemparan pertama: \(0.5\)
• P(H) pada lemparan kedua: \(0.5\)

Karena independen:

\[ P(\text{HH}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 = 25\% \]

Contoh 2 – Melempar dadu dan koin

Dua eksperimen ini tidak saling mempengaruhi.

• Peluang muncul angka 5 pada dadu: \(\frac{1}{6}\)
• Peluang muncul gambar pada koin: \(\frac{1}{2}\)

Maka:

\[ P(\text{muncul 5 dan gambar}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \]

Misalkan terdapat 10 kelereng dalam satu kotak:

Jumlah kelereng hijau = 7
Jumlah kelereng biru = 3
Jumlah total kelereng = 10

Contoh 1: Peluang mendapat kelereng hijau, kemudian biru (tanpa pengembalian)

Langkah 1 – Pengambilan pertama: kelereng hijau

\[ P(\text{hijau pertama}) = \frac{7}{10} \]

Langkah 2 – Pengambilan kedua: kelereng biru, setelah satu hijau diambil

Karena satu kelereng (hijau) sudah diambil dan tidak dikembalikan, maka sisa kelereng:
- Hijau tersisa: 6
- Biru tetap: 3
- Total kelereng tersisa: 9

Sehingga probabilitas mengambil biru pada pengambilan kedua adalah:

\[ P(\text{biru kedua} \mid \text{hijau pertama}) = \frac{3}{9} \]

Langkah 3 – Probabilitas gabungan

Karena kejadian ini dependen, kita gunakan:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) \]

\[ P(\text{hijau lalu biru}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \]

\[ = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \approx 0.233 \]

Contoh 2: Peluang mendapat dua kelereng hijau berturut-turut (tanpa pengembalian)

Langkah 1 – Pengambilan pertama: kelereng hijau

\[ P(\text{hijau pertama}) = \frac{7}{10} \]

Langkah 2 – Pengambilan kedua: kelereng hijau lagi

Setelah satu hijau diambil, tersisa:
- Hijau tersisa: 6
- Total sisa kelereng: 9

\[ P(\text{hijau kedua} \mid \text{hijau pertama}) = \frac{6}{9} \]

Langkah 3 – Probabilitas gabungan

\[ P(\text{dua hijau}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \]

\[ = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0.4667 \]

Kedua contoh ini menunjukkan inti dari Kejadian Dependen dimana peluang pada pengambilan kedua berubah karena hasil pengambilan pertama mempengaruhi jumlah kelereng yang tersisa.

Perbedaan utama terletak pada apakah peluang kejadian kedua berubah setelah kejadian pertama berlangsung. Dalam probabilitas, kejadian tanpa pengembalian (without replacement) hampir selalu bersifat dependen, karena pengambilan sebelumnya mengubah jumlah item yang tersisa. Sebaliknya, dengan pengembalian (with replacement) biasanya menghasilkan kejadian independen.

Sebelum masuk ke materi inti sub bab ini, kita meninjau kembali konsep dari probabilitas sederhana. Dimana Probabilitas suatu kejadian dapat dihitung dengan: \[ P(A) = \frac{\text{jumlah hasil yang memenuhi A}}{\text{jumlah total hasil yang memungkinkan}} \]

Pada sub bab sebelumnya, kita juga mempelajari tentang ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan acak.

• Jika kita melempar 1 buah dadu, maka ruang sampelnya: \[ S = \{1,2,3,4,5,6\}, \quad n(S)=6 \]

• Jika kita melempar 2 buah dadu sekaligus, maka setiap dadu memiliki 6 kemungkinan.
  Total ruang sampel menjadi: \[ n(S) = 6 \times 6 = 36 \]

Berikut ilustrasi ruang sampel untuk dua buah dadu (36 pasangan hasil):

Contoh 1: Peluang muncul dadu angka (4,4)

Hanya ada 1 pasangan yang bernilai (4,4), sehingga: \[ P(4,4) = \frac{1}{36} \]

Contoh 2: Peluang Dua Angka Genap

Angka genap pada dadu adalah 2, 4, dan 6.
Jika dua dadu, maka setiap dadu memiliki 3 kemungkinan genap.

Sehingga total pasangan dua angka genap: \[ 3 \times 3 = 9 \] Sehingga: \[ P(\text{dua angka genap}) = \frac{9}{36} \]

Contoh 3: Peluang Setidaknya Satu Angka 2

Kita mencari pasangan yang mengandung angka 2 minimal di salah satu dadu.

Ada total 11 pasangan yang memenuhi kondisi tersebut, sehingga: \[ P(\text{setidaknya satu angka 2}) = \frac{11}{36} \]

Contoh 4: Peluang Dua Angka Enam (Irisan Dua Kejadian Independen)

Kita ingin menghitung peluang muncul (6,6).
Dua dadu bersifat independen, sehingga: \[ P(6,6) = P(6) \times P(6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

Secara ruang sampel, memang hanya ada satu pasangan dengan hasil angka dadu (6,6).

Contoh 5: Peluang Dua Angka Genap dan Setidaknya Satu Angka 2
(Irisan Dua Peristiwa)

Kedua peristiwa ini tumpang tindih.
Cara terbaik untuk penyelesaian ini adalah dengan mengamati ruang sampel. Terdapat \(\frac{9}{36}\) kemungkinan untuk mendapatkan dadu angka genap, dan \(\frac{11}{36}\) kemungkinan untuk mendapatkan dadu setidaknya satu angka 2.
Jika kita perhatikan, ada 5 pasangan yang memenuhi kedua kondisi tersebut.

Maka: \[ P(A \cap B) = \frac{5}{36} \]

Contoh 6: Peluang Dua Angka Genap atau Setidaknya Satu Angka 2
(Gabungan Dua Peristiwa)

Untuk gabungan kejadian, kita menggunakan rumus: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Substitusi nilai dari perhitungan sebelumnya: \[ P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} \]

Berikut adalah gambar diagram venn yang menggambarkan hubungan kedua event tersebut:

Video menjelaskan dua konsep utama dalam probabilitas, yaitu kejadian saling eksklusif (mutually exclusive) dan kejadian menyeluruh (collectively exhaustive). Kedua konsep ini digunakan untuk memahami hubungan antar kejadian dan bagaimana peluangnya dihitung di dalam ruang sampel suatu percobaan acak.

Contohnya pada satu kali pelemparan dadu:
- Kejadian A: muncul angka 3
- Kejadian B: muncul angka 5

A dan B tidak dapat terjadi pada saat yang sama, sehingga termasuk kejadian saling eksklusif.

Contoh kejadian saling eksklusif dengan Dua Dadu

Ruang sampel dua dadu berisi 36 pasangan angka.

Kejadian A: Muncul minimal satu angka 5
- Jumlah hasil yang memenuhi: 11
- Peluang:
\[ P(A) = \frac{11}{36} \]

Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 4
- Hasil yang memenuhi: (1,1), (1,2), (2,1)
- Peluang:
\[ P(B) = \frac{3}{36} \]

Apakah A dan B kejadian eksklusif?
- Kejadian A memerlukan adanya angka 5 pada salah satu dadu.
- Kejadian B hanya memungkinkan total 2 atau 3.
- Tidak ada Hasil yang memiliki angka 5 dan jumlahnya < 4.

Karena tidak ada irisan:
\[ P(A \cap B) = 0 \]

Kesimpulan: A dan B adalah mutually exclusive events.

Contoh sederhana pada satu dadu:
- A: muncul bilangan genap
- B: muncul bilangan ganjil

A dan B bersama-sama mencakup semua kemungkinan, sehingga bersifat exhaustive.

Contoh Kejadian Menyeluruh dengan Dua Dadu

Kejadian A: Muncul minimal satu angka 6
- Jumlah Hasil: 11
- Peluang:
\[ P(A) = \frac{11}{36} \]

Kejadian B: Jumlah kedua dadu kurang dari 11
- Jumlah hasil: 33
- Peluang:
\[ P(B) = \frac{33}{36} \]

Pada video dijelaskan bahwa terdapat 8 outcome yang menjadi irisan A dan B.

Menggunakan rumus gabungan: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = \frac{11}{36} + \frac{33}{36} - \frac{8}{36} = \frac{36}{36} = 1 \]

Kesimpulan: kejadian A dan B adalah kejadian menyeluruh atau exhaustive events.

Contoh kejadian yang memenuhi kedua sifat sekaligus: jumlah dua dadu genap dan ganjil.

kejadian A: Jumlah kedua dadu genap
- Hasil: 18
- Peluang:
\[ P(A) = \frac{18}{36} \]

Kejadian B: Jumlah kedua dadu ganjil
- Hasil: 18
- Peluang:
\[ P(B) = \frac{18}{36} \]

Apakah Kejadian Eksklusif?
- Suatu bilangan tidak mungkin genap dan ganjil pada saat yang sama.
- Tidak ada irisan.
\[ P(A \cap B) = 0 \]

Apakah Kejadian Menyeluruh?
- Semua bilangan pasti genap atau ganjil.
- Bersama-sama mencakup seluruh ruang sampel.
\[ P(A \cup B) = 1 \]

Kesimpulan: A dan B adalah kejadian yang saling meniadakan sekaligus saling melengkapi.

Sebelum masuk ke materi inti sub bab ini, kita meninjau kembali konsep dasar yang berkaitan dengan pengaturan binomial.
Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan sejumlah keberhasilan dari beberapa percobaan yang diulang-ulang dengan kondisi tertentu.

Kata binomial mengandung awalan “bi-” yang berarti dua. Dalam konteks ini maksudnya dua hasil yang mungkin pada setiap percobaan, yaitu sukses atau gagal. Contohnya: pada lemparan koin, dua hasilnya adalah Head (sukses) atau Tail (gagal).

Contoh 1: Melempar Koin 3 Kali

Pertanyaan: Berapa probabilitas mendapatkan tepat satu sisi H ketika koin dilempar tiga kali? Apakah ini merupakan percobaan binomial?

Pengecekan Tatanan Binomial
- n = 3 → tetap ✔
- Dua hasil: H (sukses), T (gagal) ✔
- Probabilitas H = 0.5 (konstan) ✔
- Setiap lemparan independen ✔

Contoh ini termasuk percobaan binomial.

Daftar Hasil dengan Tepat 1 H

Ada tiga kemungkinan urutan:

• H T T
  
• T H T
  
• T T H

Karena P(H) = 0.5 dan P(T) = 0.5, maka untuk setiap urutan:

\[ 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \]

Total probabilitas untuk tiga outcome:

\[ 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \]

Penghitungan dengan Rumus untuk Soal Koin

\[ n = 3,\; k = 1,\; p = 0.5 \] \[ P(X=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^{2} = 3 \times 0.125 = 0.375 \]

Contoh 2: Mengambil Kelereng (Dengan Pengembalian)

Dalam satu kotak terdapat:

• 3 kelereng pink
• 2 kelereng hijau
• 5 kelereng biru

Total = 10 kelereng.

Pertanyaan: Jika kita mengambil 5 kelereng dengan pengembalian, berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?

Langkah 1: Pengecekan Tatanan Binomial
- n = 5 → tetap ✔
- Dua hasil: hijau (sukses), tidak hijau (gagal) ✔
- Probabilitas p = 2/10 = 0.2 (konstan) ✔
- Ada pengembalian → percobaan independen ✔

Contoh ini termasuk percobaan binomial.

Langkah 2: Menentukan 10 Outcome yang Berisi Tepat 2 Hijau

Misalkan:
- G = hijau
- – = bukan hijau

Terdapat 10 susunan (kombinasi posisi G):

Setiap susunan memiliki:

• 2 sukses (G): \(p^2 = 0.2^2\)
  
• 3 gagal (–): \(0.8^3\)

Sehingga probabilitas setiap outcome:

\[ 0.2^2 \times 0.8^3 = 0.02048 \]

Jumlah 10 outcome:

\[ 10 \times 0.02048 = 0.2048 \]

Penghitungan dengan Rumus untuk Soal Kelereng

Diketahui:
- n = 5
- k = 2
- p = 0.2

\[ P(2) = \binom{5}{2} (0.2)^2 (0.8)^3 = 0.2048 \]

Hasilnya sama seperti perhitungan enumerasi 10 outcome.

Pada sub bab ini, kita mempelajari bagaimana bentuk distribusi binomial, bagaimana cara menghitung probabilitasnya, bagaimana distribusinya berubah ketika nilai p dan n dimanipulasi, serta kapan distribusi binomial dapat didekati dengan distribusi normal.

Contoh:
Jika kita melempar koin 2 kali, maka:
- \(n = 2\)
- \(p = 0.5\) (peluang muncul sisi H)
- nilai \(k\) dapat 0, 1, atau 2

Hasil perhitungan dari rumus binomial adalah:

\[ P(0) = 0.25,\quad P(1) = 0.50,\quad P(2) = 0.25 \]

Nilai ini kemudian divisualisasikan dalam diagram batang untuk menunjukkan probabilitas masing-masing jumlah keberhasilan.

Pada bagian ini, vidio menunjukkan bagaimana nilai p mempengaruhi bentuk distribusi.

Vidio juga menunjukkan bagaimana nilai n (jumlah percobaan) mempengaruhi bentuk distribusi

Dapat disimpulkan, ketika n meningkat, distribusi binomial:

• semakin halus
  
• semakin mirip dengan distribusi normal
  
• data terkumpul di sekitar mean \(np\)

Hal ini terjadi karena law of large numbers, yang membuat pola probabilitas lebih stabil saat percobaan semakin banyak.

Kapan Distribusi Binomial Bisa Didekati Normal?

Video menjelaskan sebuah pedoman kasar (rough guideline) untuk menentukan apakah distribusi binomial dapat dianggap mendekati distribusi normal.

Distribusi binomial dapat didekati normal jika:
1. \(np \ge 10\)
2. \(n(1 - p) \ge 10\)

Keduanya harus terpenuhi.

Namun, ada beberapa yang menggunakan angka 5, sehingga menjadi:
1. \(np \ge 5\)
2. \(n(1 - p) \ge 5\)